第六章 立体几何初步单元测试-2024-2025学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

第六章 立体几何初步单元测试， 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知m，n是两条不同直线，，，是三个不同平面，则下列命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 2．祖暅是我国古代伟大的科学家，他在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：如果两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等，此即祖暅原理．这个原理经过研究推广，有着许多的推论，其中有一个推论为夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积比总为，那么这两个几何体的体积之比也为．现已知几何体与几何体是两个等高的几何体，且在同高处被平行于底面的平面截得的截面面积之比都为，若几何体是一个母线长为，上底面半径为1，下底面半径为2的圆台，则几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在多面体中，四边形为矩形，，，，，到平面的距离为3，则多面体的体积为（    ）    A．18 B．15 C．12 D．9 4．上、下底面均为等边三角形的三棱台的所有顶点都在同一球面上，若三棱台的高为3，上、下底面边长分别为，，则该球的表面积为（    ） A．32 B．36 C．40 D．42 5．已知正方体的棱长为是棱的两个三等分点，则四面体的体积为（    ） A． B． C． D． 6．下面三个命题，其中正确的个数是（    ） ①三条相互平行的直线必共面； ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ③若四边形有一组对角都是直角，则这个四边形是圆的内接四边形 A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 二、多选题 7．如图，在棱长为2的正方体中，点在线段上运动，则下列判断中正确的是（    ） A．平面 B．三棱锥的体积不变 C．以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为 D．异面直线与所成的角的范围是 8．下列命题中不正确的是（    ） A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 C．有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱 D．有一条侧棱垂直于底面的棱柱是直棱柱 三、填空题 9．已知正方体的棱长为，点分别为棱的中点，则下列结论中正确的序号是 . ①过三点作正方体的截面，所得截面为正六边形； ②平面； ③平面； ④四面体的体积等于 10．已知球内接正方体的表面积为S，那么球体积等于 ． 11．如图，在圆柱内有一个球，该球与圆柱的上､下面及母线均相切.记圆柱的体积为，球的体积为，则 . 12．金刚石也被称作钻石，是天然存在的最硬的物质，可以用来切割玻璃，也用作钻探机的钻头．金刚石经常呈现如图所示的“正八面体”外形．正八面体由八个全等的等边三角形围成，体现了数学的对称美．下面给出四个结论：      ①平面； ②平面平面； ③过点存在唯一一条直线与正八面体的各个面所成角均相等； ④以正八面体每个面的中心为顶点的正方体的棱长是该正八面体棱长的． 其中所有正确结论的序号是 ． 四、解答题 13．如图，在四棱锥中，平面，，且平分，为的中点，，. (1)证明平面； (2)求直线与平面所成的角的正切值. 14．如图，在三棱柱中，点D是AB的中点． (1)求证：∥平面． (2)若平面ABC，，求证：平面． 15．如图，在正三棱柱中，，分别为，的中点.    (1)证明：平面. (2)证明：平面平面. 16．如图，OABC是边长为1的正方形，是四分之一圆弧，求图中阴影部分绕轴OC旋转一周得到的旋转体的体积. 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C B B B D ABD ABC 1．C 【分析】由线，面的位置关系依次判断即可． 【详解】对于A项，若，则可以是平行，可以相交，也可以异面，故A项错误； 对于B项，若，则还可以平行，故B项错误； 对于C项，由线面垂直的性质，可得，故C项正确； 对于D项，若，则还可以相交，故D项错误； 故选：C 2．C 【分析】由题意可求出几何体为圆台，求出几何体体积为，再根据比例即可得出几何体的体积. 【详解】由题意知几何体的高为，故几何体（圆台）的体积为， 又因为几何体与几何体截面面积之比都为，故这两个几何体的体积之比也为， 所以几何体的体积为． 故选：C. 3．B 【分析】将多面体补形为三棱柱，过点F作平面平面与直线AB，DC分别交于点P，Q，且满足，利用，进行计算即可. 【详解】如图，可将多面体补形为三棱柱， 过点F作平面平面与直线AB，DC分别交于点P，Q， 且满足，由题知， 易知平面FPQ，∴， 连接EB，EC，则，∴．    故选： 【点睛】求空间几何体体积的常用方法 ①割补法：将所求几何体分割成几个或补形成一个容易求出体积的几何体，然后利用常见几何体的体积公式即可得出所求几何体的体积．②等体积法：特别地，对于三棱锥，由于其任意一个面均可作为三棱锥的底面，从而可选择一个容易求出面积及其对应的三棱锥的高的面作为三棱锥的底面，利用棱锥的体积公式即可求解． 4．B 【分析】首先作图进行解答，设，的外心分别为，，外接球的球心为，然后再设外接球的半径，进行求解，得出外接球表面积为. 【详解】设三棱台为，，外心分别为，，外接球的球心为， ，是等边三角形， ，是三角形的中心，也是三角形重心 由题意易知高为，高为，故由重心的定义知，，且由题意易知， 设外接球的半径为，，连接，则， 故，即， 解得，，所以外接球的表面积为， 故选:B. 5．B 【分析】连接，，计算得到答案. 【详解】如图所示：连接， 则， 故选：B 6．D 【分析】①三棱柱的三条侧棱为例判断；②③注意四个顶点不共面的情况，即为空间四边形判断. 【详解】①三条相互平行的直线，如三棱柱的三条侧棱相互平行，但不共面，错； ②两组对边分别相等的四边形，若四个顶点不共面，则不为平行四边形，错； ③若四边形有一组对角都是直角，同②若四个顶点不共面，不存在外接圆，错. 故选：D 7．ABD 【分析】通过证明平面平面，即可得出A项； 根据平面，可推出，求出即可得出B项； 由已知可得交线即以C为顶点，1为半径的圆与侧面的交线，取、中点为、，求出扇形的弧长即可得出结果，判断C项； 由，可知异面直线与所成的角即等于直线与所成的角或其补角.根据图象，即可得出点P为中点以及线段端点时，角最大或最小，即可求出结果. 【详解】 对于A项，如图，连结.根据正方体的性质可知，且，所以四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面.同理可得，平面.因为平面，平面，，所以平面平面.又平面，所以平面，故A项正确； 对于B项，由A知平面，所以点到平面的距离即等于点到平面的距离，所以.由正方体的性质可得，平面，所以，又，所以是个定值，故B项正确； 对于C项，由已知可得，点到侧面的距离等于.设球被侧面截得圆的半径为，球的半径，则.所以以D为顶点，为半径的球面与侧面的交线即以C为顶点，1为半径的圆与侧面的交线，分别取、中点为、，则有，所以交线即所对的圆弧的长，，所以，故C项不正确； 对于D项，如图，由已知可得，所以.又，所以异面直线与所成的角即等于直线与所成的角或其补角.显然当点P为中点时，，此时最大；当点P在点时，，当点P在点时，，此时最小.所以异面直线与所成的角的范围是，故D项正确. 故选：ABD. 8．ABC 【分析】根据柱体的结构特征确定正确选项. 【详解】柱体是：有两个面互相平行且全等,余下的每个相邻两个面的交线互相平行的几何体.所以AB选项错误. 对于C选项，如果一个棱柱有两个平行的侧面是矩形，这个棱柱可能是斜棱柱，C错误. 对于D选项，根据直棱柱的知识可知D选项正确. 故选：ABC 9．①③ 【分析】根据平面的性质作出截面即可判断①，根据与相交可判断②，证明和可判断③，求出四面体的体积可判断④. 【详解】延长，分别交的延长线交于，连接交于，设与的延长线交于，连接交于，交于，连接，则截面六边形为正六边形，故①正确； 与相交，故与平面相交，故②错误； 因为正方体中，平面，所以，因为，,所以平面，所以，同理可得，因为，所以平面，故③正确； 四面体的体积等于正方体的体积减去四个正三棱锥的体积，即为，故④错误. 故答案为：①③. 10． 【分析】由正方体表面积求出正方体棱长，再根据球直径等于内接正方体体对角线，得球的半径，代入球的体积公式. 【详解】因为正方体表面积为,所以正方体棱长为， 又因为球的直径等于其内接正方体体对角线，所以球直径， 球半径，体积. 故答案为：. 11． 【分析】设圆柱的底面半径为，可得圆柱的母线长和球的半径，结合圆柱、球的体积公式运算求解. 【详解】设圆柱的底面半径为，则圆柱的母线长为，球的半径为， 则，， 所以. 故答案为：. 12．①④ 【分析】根据线面平行的判定定理判断①； 根据二面角相关知识判断②； 根据线面角相关知识并结合图形特点进而判断③； 根据题意找出正方体的棱长，结合相似三角形从而判断④. 【详解】对于①，根据正八面体性质可知，， 又因为平面，平面， 所以平面，故①正确. 对于②，如下图所示，取中点，连接，      根据等边三角形性质可知， 所以是二面角的平面角， 设该正八面体棱长为， 则，， 则在中，， 所以，所以平面与平面不垂直，故②错误. 对于③，直线与正八面体的各个面所成角均相等，将其平移后使其过点， 则过点至少存在两条直线与正八面体的各个面所成角均相等，故③错误. 对于④，如下图所示，取中点，的中心， 连接，则即正方体的一条棱，    设该正八面体棱长为， 则，， 根据,， 得， 所以， 所以以正八面体每个面的中心为顶点的正方体的棱长是该正八面体棱长的， 故④正确. 故答案为：①④ 13．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）设，得到是三角形的中位线，故，利用线面平行的判定定理即可得证； （2）证明平面，可得即为直线与平面所成的角，再解即可. 【详解】（1）令，连结， ∵平分，∴， 又，∴，∴， 点为的中点， 为的中点，， 平面，平面， 平面； （2）由（1）可知， 平面，平面，， 又平面，平面， 即为直线与平面所成的平面角， 在中，，，， 直线与平面所成角的正切值为. 14．(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】(1)连接，交于点，连接，用中位线证明即可； (2)证明CD⊥AB，CD⊥即可. 【详解】（1）连接，交于点，连接 ∵是三棱柱，∴四边形为平行四边形，∴是的中点. ∵点是的中点，∴是的中位线，∴， 又平面，平面，∴∥平面. （2）∵平面，平面，∴， ∵，，∴， ∵，平面， ∴平面. 15．(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）取的中点，连接、，即可证明为平行四边形，从而得到，即可得证； （2）首先证明平面，即可得到平面，从而得证. 【详解】（1）取的中点，连接、，因为，分别为，的中点， 所以且，又三棱柱是正三棱柱，所以，， 所以且， 所以为平行四边形，所以，因为平面，平面， 所以平面.    （2）在正三棱柱中为的中点， 所以，又平面，平面，所以， ，平面，所以平面， 又，所以平面，又平面， 所以平面平面. 16． 【分析】先判断出该旋转体为一个圆柱内挖去一个半球后剩余部分，再计算圆柱体积和半球体积即可求解. 【详解】由题意知：该旋转体为一个圆柱内挖去一个半球后剩余部分，球是圆柱的内切球， 所以圆柱的底面半径为1，高为1，球的半径为1， 所以圆柱的体积：，半球的体积：； 故旋转体的体积为. 学科网（北京）股份有限公司 $$