专题17 分式方程十大题型典例及变式训练-2024-2025学年八年级数学提优专题举一反三训练及试卷测试（人教版）

专题17 分式方程十大题型典例及变式训练（解析版） 【题型 1 分式方程的判别】 【例1】（2024春•泗县月考）下列关于x的方程：①；②；③；④，其中是分式方程的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】分母中含有未知数的方程叫做分式方程，根据定义逐项分析即可． 【解答】解：②，④是分式方程； ①，③是一元一次方程； 所以是分式方程的是②④， 故选：B． 【点评】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键． 【变式1-1】（2024春•新宁县期末）有下列方程：①，②，③（m为不等于2的常数），其中，属于分式方程的有 　②　（填序号）． 【分析】根据分式方程的定义逐个判断即可． 【解答】解：①方程1的分母中不含有未知数，不是分式方程； ②方程2＝5的分母中含有未知数，是分式方程； ③方程6（m为不等于2的常数）的分母中不含有未知数，不是分式方程； 所以分式方程有②． 故答案为：②． 【点评】本题考查了分式方程的定义，能熟记分式方程的定义（分母中含有未知数的方程叫分式方程）是解此题的关键． 【变式1-2】（2023秋•樊城区期末）观察分析下列方程：①x3；②x5；③x7，请利用他们所蕴含的规律，写出这一组方程中的第n个方程是 　xn+（n+1）　． 【分析】方程中的分式的分子变化规律为：n（n+1），方程的右边的变化规律为n+（n+1）． 【解答】解：∵第1个方程为x1+2， 第2个方程为x2+3， 第3个方程为x3+4， … ∴第n个方程为xn+（n+1）． 故答案为：xn+（n+1）． 【点评】本题考查了分式的定义．该题属于寻找规律的题目，对于此类题型，应观察哪部分没有发生变化，哪部分发生了变化，变化的规律是什么． 【变式1-3】（2023秋•巴彦淖尔期末）下列方程中是分式方程的是（　　） A． B．2x﹣5＝3x C．x2﹣1＝0 D． 【分析】根据分式方程的定义进行判断即可． 【解答】解：A．是一元一次方程，故此选项不符合题意； B．是一元一次方程，故此选项不符合题意； C．是一元二次方程，故此选项不符合题意； D．是分式方程，故此选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了分式方程的定义，关键要注意分式方程的分母中含有字母． 【变式1-4】（2022春•二七区校级期末）请写出一个未知数是x的分式方程，并且当x＝1时没有意义 　　． 【分析】根据分式方程的定义及分式无意义的条件即可得到答案． 【解答】解：一个未知数是x且当x＝1时没有意义的分式方程为（答案不唯一）． 故答案为：． 【点评】此题考查的是分式方程的定义及分式无意义的条件，分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 【题型 2 解分式方程的一般方法】 【例2】（2024秋•莱西市期中）解分式方程： （1）； （2）． 【分析】（1）先把方程中各个分式的分母分解因式，然后方程两边同时乘x（x+3）（x﹣3），把分式方程化为整式方程，解方程求出x，再进行检验即可； （2）先把方程中各个分式的分母分解因式，然后方程两边同时乘（x+2）（x﹣2），把分式方程化为整式方程，解方程求出x，再进行检验即可． 【解答】解：（1）， ， 3（x﹣3）＝x， 3x﹣9＝x， 2x＝9， x＝4.5， 检验：当x＝4.5时，x（x+3）（x﹣3）≠0， ∴x＝4.5是原分式方程的解； （2）， ， 8+（x+2）（x﹣2）＝x（x+2）， 8+x2﹣4＝x2+2x， 2x＝4， x＝2， 检验：当x＝2时，（x+2）（x﹣2）＝0， ∴原分式方程无解． 【点评】本题主要考查了解分式方程，解题关键是熟练掌握把分式方程化成整式方程，注意求出未知数的值时要检验． 【变式2-1】（2024秋•北碚区校级期中）解方程： （1）； （2）． 【分析】（1）利用解分式方程的一般步骤解答即可； （2）利用解分式方程的一般步骤解答即可． 【解答】解：（1）去分母得： 2x﹣3＝2（2x﹣1）， 去括号得： 2x﹣3＝4x﹣2， 移项，合并同类项得： ﹣2x＝1， ∴x． 经检验：x是原方程的解． ∴原方程的解为x． （2）去分母得： 8+x2﹣4＝x（x+2）， 去括号得： 8+x2﹣4＝x2+2x， 移项，合并同类项得： 2x＝4， ∴x＝2． 经检验：x＝2是原方程的增根． ∴原方程无解． 【点评】本题主要考查了分式方程的解法，熟练掌握分式方程解法的一般步骤是解题的关键． 【变式2-2】（2024秋•襄都区月考）下面是某同学解分式方程的部分过程： 解：方程两边同乘_____，得1﹣（x﹣3）＝6x， 去括号，得1﹣x+3＝6x， 移项、合并同类项，得﹣7x＝﹣4， 系数化为1，解得． （1）这位同学解题过程中横线处应填 　2（x+1）　，解题过程缺少的步骤是 　检验　． （2）该同学反思上述解答过程时，发现不仅缺少了一步，还存在错误，请写出正确的解答过程． 【分析】（1）根据去分母以及解分式方程的步骤即可求得答案； （2）根据解分式方程的步骤解分式方程即可得出答案． 【解答】解：（1）这位同学解题过程中横线处应填2（x+1），解题过程缺少的步骤是检验， 故答案为：2（x+1）；检验； （2）， 方程两边同乘2（x+1）得：2（x+1）﹣（x﹣3）＝6x， 去括号得：2x+2﹣x+3＝6x， 移项得：2x﹣x﹣6x＝﹣2﹣3， 合并同类项得：﹣5x＝﹣5， 系数化为1得：x＝1， 检验：把x＝1代入得：2（x+1）≠0， ∴分式方程的解为x＝1． 【点评】本题主要考查解分式方程，掌握解分式方程的一般步骤是解决本题的关键． 【变式2-3】（2024秋•新邵县期中）阅读下列材料： 关于x的分式方程的解是x1＝c，；，即的解是x1＝c，；的解是x1＝c，；的解是x1＝c，； （1）请观察上述方程与解的特征，比较关于x的方程与它的关系，猜想它的解是什么，并利用方程解的概念进行验证； （2）由上述的观察，解关于x的方程：． 【分析】（1）根据材料即可判断方程的解，然后代入到方程的左右两边检验即可； （2）将方程左右两边同时减去1，变为题干中的形式，即可得出答案． 【解答】解：（1）由题意可猜想方程的解为， 验证：当x＝c时，方程的左边方程的右边， ∴x＝c是方程的解； 当时，方程的左边方程的右边， ∴是方程的解； （2）∵， ∴， ∴x﹣1＝a﹣1或， 解得． 经检验，都是原方程的解，且符合题意． 【点评】本题主要考查了解分式方程，掌握解分式方程的方法是解题的关键． 【题型 3 换元法解分式方程】 【例3】（2024秋•祁阳市校级期中）阅读下面材料，解答后面的问题． 解方程：． 解：设，则原方程化为，方程两边同时乘y，得y2﹣4＝0， 解得y＝±2．经检验：y＝±2都是方程的解． 当y＝2时，，解得x＝﹣1；当y＝﹣2时，，解得． 经检验：x＝﹣1和都是原分式方程的解， 所以原分式方程的解为x＝﹣1或． 上述这种解分式方程的方法称为换元法． 用换元法解：． 【分析】按照材料中分式方程换元的方法，可设，原方程化为，按照解分式方程的方法，可求得y的值，进而求得x的值． 【解答】解：设，则原方程化为． 方程两边同时乘y，得： y2﹣1＝0， 解得y＝±1． 经检验：y＝±1都是的解． 当y＝1时， ， 解得x＝2． 当y＝﹣1时， ， 解得x＝0． 经检验：x＝2和x＝0都是原分式方程的解． 所以原分式方程的解为x＝2和x＝0． 【点评】本题主要考查分式方程的解法，牢记分式方程的解题步骤是解答的关键． 【变式3-1】（2022春•杨浦区校级期中）解分式方程1，用y换元整理后得到的关于y的整式方程是 　y2﹣y﹣2＝0　． 【分析】根据y换元整理后，去分母即可得到结果． 【解答】解：设y， 方程变形得：y1， 去分母得：y2﹣y﹣2＝0． 故答案为：y2﹣y﹣2＝0． 【点评】此题考查了解分式方程，利用了换元的思想，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式3-2】用换元法解分式方程时，可设y＝　，　，原方程可化为 　y2﹣5y+6＝0　． 【分析】令y，然后根据一元二次方程的解法即可求出t的值，然后利用分式方程的解法即可求出x的值． 【解答】解：令y， ∴原方程化为：y2﹣5y+6＝0， 故答案为：，y2﹣5y+6＝0， 【点评】本题考查解分式方程，解题的关键是令y，本题属于基础题型． 【题型 4 裂项法解分式方程】 【例4】（2021秋•临湘市期末）观察下列各式：；；；；… （1）请你观察上面各式的规律，将下列式子写成类似的形式： ①　　；②　　； （2）请利用上述规律计算：（用含有n的式子表示）　　； （3）请利用上述规律解方程：． 【分析】（1）通过观察式子可求解； （2）原式＝1，再求解即可； （3）由（2）得到，再求解即可． 【解答】解：（1）①， ②； 故答案为：，； （2） ＝1 ＝1 ； （3）， ∴， ∴， ∴x+1＝2x﹣20， ∴x＝21， 经检验，x＝21是方程的根， ∴原方程的解为x＝21． 【点评】本题考查数字的变化规律，能够通过所给式子，探索出式子的规律，并加以运用是解题的关键． 【变式4-1】 【分析】直接去分母，计算比较麻烦，也易造成计算的错误，因此应先移项，再对方程两边分别通分求解． 【解答】解：移项得， 两边同时通分得，， 即， ∴（x﹣10）（x﹣9）＝（x﹣7）（x﹣6）， ∴x＝8， 检验，当x＝8时，（x﹣10）（x﹣9）（x﹣7）（x﹣6）≠0，所以x＝8是原方程的根． 【点评】如果要求的分式方程比较复杂时，不要进入解方程的程序，一般的，可以通过分式的运算性质进行化简后，再去分母进行解答． 【变式4-2】（2022秋•香洲区期末）李华在计算时，探究出了一个“裂项”的方法，如：，利用上面这个运算规律解决以下问题： （1）求的值； （2）证明：1； （3）解方程：． 【分析】（1）先根据已知算式得出规律，再根据得出的规律进行计算即可； （2）根据得出的规律进行计算展开，再根据有理数的加减法法则进行计算即可； （3）根据得出的规律进行计算展开，再算加减，再进行分式方程即可． 【解答】解：（1） ； （2）证明： ＝1... ＝1 ∵n为正指数， ∴n+1＞1， 即是真分数， ∴11， 即1； （3）， （）， ， 方程两边都乘9x（x+1），得9（x+1）﹣（x+1）＝18x， 解得：x， 经检验x是分式方程的解， 即分式方程的解是x． 【点评】本题考查了解分式方程和有理数的加减，能根据已知算式得出规律是解此题的关键． 【题型 5 由分式方程有解或无解求字母的值】 【例5】（2023春•遂宁期末）若关于x的方程m﹣3无解，则m的值为（　　） A．3 B．6或10 C．10 D．6 【分析】先将分式方程去分母化成整式方程，分式方程无解，可得化成的整式方程无解或分式方程产生增根，分别进行计算即可． 【解答】解：关于x的方程m﹣3去分母得， m（x+1）﹣5＝（m﹣3）（2x+1）， 即（m﹣6）x＝﹣2， 由于分式方程无解， 所以m﹣6＝0或分式方程有增根x， 当m﹣6＝0时，m＝6， 当分式方程有增根时，即（m﹣6）＝﹣2，解得m＝10， 所以m＝6或m＝10， 故选：B． 【点评】本题考查分式方程的解，理解分式方程无解的意义是正确解答的关键． 【变式5-1】（2023秋•临湘市期中）关于x的分式方程有解，则k满足 　k≠﹣3且k≠5　． 【分析】方程两边都乘以x（x﹣1）得出整式方程3x﹣3+6x﹣x﹣k＝0，求出方程的解，根据x≠0，x﹣1≠0，求出x的范围，即可得出0，1，求出即可． 【解答】解：方程两边都乘以x（x﹣1）得：3x﹣3+6x﹣x﹣k＝0， 8x＝k+3， x， ∵要使分式方程有解， ∴x≠0，x﹣1≠0， ∴x≠0，x≠1， ∴0，1， 解得：k≠﹣3且k≠5， 故答案为：k≠﹣3且k≠5． 【点评】本题考查了分式方程的解，解题关键是要掌握方程的解的定义，使方程成立的未知数的值叫做方程的解． 【变式5-2】（2021秋•固安县期末）已知分式方程■有解，其中“■”表示一个数． （1）若“■”表示的数为7，求分式方程的解； （2）小瑞回忆说：由于抄题时等号右边的数值抄错，导致找不到原题目，但可以肯定的是“■”是﹣1或0其中之一，请你确定“■”表示的数． 【分析】（1）根据题意列出分式方程，求出解即可； （2）把﹣1和0分别代入方程，求出解判断即可． 【解答】解：（1）根据题意得：7， 去分母得：3﹣x＝7+7x， 解得：x， 检验：把x代入得：1+x≠0， ∴分式方程的解为x； （2）若“■”是﹣1，则有1， 去分母得：3﹣x＝﹣1﹣x，无解； 若“■”是0，则有0， 去分母得：3﹣x＝0， 解得：x＝3， 检验：把x＝3代入得：1+x≠0， 所以“■”代表的数是0． 【点评】本题考查了解分式方程，以及分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法是解本题的关键． 【变式5-3】（2023秋•十堰期末）对于实数x，y定义一种新运算“*”：，例如：，则分式方程无解时，m的值是 　0或﹣1　． 【分析】根据题中运算法则列出分式方程，然后化为整式方程，根据分式方程解的情况分类求解即可． 【解答】解：根据题意，可化为， 化为整式方程为：mx＝﹣1， 当m＝0时，整式方程mx＝﹣1无解，即原分式方程无解； 当m≠0时，整式方程mx＝﹣1的解为， ∵当x＝1时，分式方程无解， ∴，则m＝﹣1， 综上，当m＝0或m＝﹣1时，原分式方程无解． 故答案为：0或﹣1． 【点评】本题考查解分式方程，理解题意新定义，熟练掌握分式方程无解的等价条件是解答的关键． 【题型 6 由分式方程有增根求字母的值】 【例6】（2024秋•潜江校级期中）如果解关于x的方程会产生增根，求k的值． 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到x﹣2＝0，求出x的值代入整式方程求出k的值即可． 【解答】解：去分母得：k+2（x﹣2）＝x， 由分式方程有增根，得到x﹣2＝0，即x＝2， 把x＝2代入整式方程得：k＝2． 【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 【变式1】（2023秋•梁山县期末）若分式方程有增根，则增根是（　　） A．x＝1 B．x＝2 C．x＝3 D．x＝4 【分析】根据分式方程的增根的定义解答即可． 【解答】解：∵分式方程有增根， ∴x﹣4＝0， ∴x＝4， 故选：D． 【点评】本题考查了分式方程的增根，增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根． 【变式2】（2024春•市南区期末）小明在解关于x的分式方程时，发现墨水不小心把其中一个数字污染了，翻看答案上说此方程有增根无解，则被污染的数字为（　　） A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣2 【分析】根据分式方程的解法以及分式方程增根的定义进行计算即可． 【解答】解：将关于x的分式方程2两边都乘以x+1，得 x＝m﹣2x﹣2， 解得x， 由于分式方程的增根是x＝﹣1， 当x＝﹣1时，即﹣1＝m+2﹣2， 解得m＝﹣1， 由于方程有增根无解， 所以m＝﹣1． 故选：A． 【点评】本题考查解分式方程，分式方程的解，理解分式方程解的定义，掌握分式方程的解法是正确解答的关键． 【变式3】（2024春•滁州期末）已知关于x的分式方程． （1）当a＝﹣3时，方程的根是 　x＝7　； （2）若该方程的解是非负数，且满足a﹣1≤0，则所有满足条件的偶数a的值之和为 　﹣22　． 【分析】（1）把a＝﹣3代入分式方程，计算即可求出方程的根； （2）表示出分式方程的解，由分式方程的解为非负数且a﹣1≤0，求出a的范围，确定出偶数a的值之和即可． 【解答】解：（1）把a＝﹣3代入得：5， 去分母得：4x+3﹣6＝5x﹣10， 解得：x＝7， 检验：把x＝7代入得：x﹣2≠0， ∴分式方程的根为x＝7； 故答案为：x＝7； （2）分式方程整理得：5， 去分母得：4x﹣a+2a＝5x﹣10， 解得：x＝a+10， ∵该方程的解是非负数，且满足a﹣1≤0， ∴， 解得：﹣10≤a≤1且a≠﹣8， ∴偶数a＝﹣10，﹣6，﹣4，﹣2，0， 则所有满足题意偶数a的和为﹣10+（﹣6）+（﹣4）+（﹣2）+0＝﹣22． 故答案为：﹣22． 【点评】此题考查了解分式方程，分式方程的解，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握各自的解法是解本题的关键． 【题型 7 由分式方程有整数解求字母的值】 【例7】（2023•龙江县三模）若关于x的分式方程有正整数解，则整数a＝　﹣1或2　． 【分析】解分式方程，可得出x，结合分式方程有正整数解，且x﹣2≠0，可得出整数a＝﹣1或2． 【解答】解：分式方程去分母得1﹣ax+3（x﹣2）＝﹣1， 整理得（3﹣a）x＝4， 解得x， ∵分式方程有正整数解，且x﹣2≠0， ∴整数a＝﹣1或2． 故答案为：﹣1或2． 【点评】本题考查了分式方程的解，牢记“求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解”是解题的关键． 【变式1】（2020•黑龙江）若关于x的分式方程有正整数解，则整数m的值是（　　） A．3 B．5 C．3或5 D．3或4 【分析】解分式方程，得x，因为分式方程有正整数解，进而可得整数m的值． 【解答】解：解分式方程，得x， 经检验，x是分式方程的解， 因为分式方程有正整数解， 则整数m的值是3或4． 故选：D． 【点评】本题考查了分式方程的解，解决本题的关键是准确求出分式方程的整数解． 【变式2】（2021春•沙坪坝区校级期中）已知关于x的不等式组无解，关于y的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数a的和为（　　） A．6 B．9 C．10 D．13 【分析】先求解二元一次不等式组无解可得a≥3，再解分式方程得y＝2，且y≠0，y≠2，求得a＝3或a＝6． 【解答】解：， 由①得，x≤5， 由②得，x＞2a﹣1， ∵不等式组无解， ∴2a﹣1≥5， ∴a≥3， ， 方程的两边同时乘y（y﹣2）， 得，a（y﹣2）﹣2y＝﹣8， 整理得，（a﹣2）y＝2a﹣8， ∵方程有整数解， ∴y2， ∴a﹣2＝±1，a﹣2＝±2，a﹣2＝±4， ∴a＝3或a＝1或a＝4或a＝0或a＝6或a＝﹣2， ∵a≥3， ∴a＝3或a＝4或a＝6， ∵y≠0，y≠2， ∴a≠4， ∴所有a的和为9， 故选：B． 【点评】本题考查一元一次不等式组的解，分式方程的解，熟练掌握一元一次不等式组的解法、分式方程的解法， 【题型 8 由分式方程解的取值范围求字母的范围】 【例8】（2018•黑龙江）已知关于x的分式方程1的解是负数，则m的取值范围是（　　） A．m≤3 B．m≤3且m≠2 C．m＜3 D．m＜3且m≠2 【分析】直接解方程得出分式的分母为零，再利用x≠﹣1求出答案． 【解答】解：1 解得：x＝m﹣3， ∵关于x的分式方程1的解是负数， ∴m﹣3＜0， 解得：m＜3， 当x＝m﹣3＝﹣1时，方程无解， 则m≠2， 故m的取值范围是：m＜3且m≠2． 故选：D． 【点评】此题主要考查了分式方程的解，正确得出分母不为零是解题关键． 【变式1】（2022秋•中江县期末）已知关于x的分式方程1的解为非负数，则m的取值范围是（　　） A．m≥﹣4且m B．m≥﹣4且m≠﹣3 C．m＞﹣4且m D．m＞﹣4且m≠﹣3 【分析】先解分式方程，令其分母不为零，再根据题意令分式方程的解大于等于0，综合得出m的取值范围． 【解答】解：根据题意解分式方程，得x， ∵2x﹣1≠0， ∴x，即，解得m≠﹣3， ∵x≥0， ∴0，解得m≥﹣4， 综上，m的取值范围是m≥﹣4且m≠﹣3， 故选：B． 【点评】本题考查分式方程的解和解一元一次不等式，需要注意分式方程的解要使得分母不为0． 【变式2】（2023春•城区校级期中）已知关于x的分式方程． （1）若分式方程的解为x＝2，求k的值． （2）若分式方程有正数解，求k的取值范围． 【分析】（1）将x＝2代入方程，即可求出k的值； （2）先解分式方程，得x，再根据方程有正数解以及分母不为0，即可求出k的取值范围． 【解答】解：（1）将x＝2代入分式方程， 得2， 解方程，得k＝﹣2； （2）解分式方程， 去分母，得1+2（x﹣1）＝﹣（k﹣1）， 解得x， ∵分式方程有正数解， ∴0且1， 解得k＜2且k≠0， ∴k的取值范围是k＜2且k≠0． 【点评】本题考查了分式方程的解，熟练掌握解分式方程是解题的关键． 【变式3】若关于x的分式方程1的解为非负数，则m的取值范围是 　m≤5且m≠2　． 【分析】先解分式方程得x＝5﹣m，再由题意可得5﹣m≥0，5﹣m≠3，从而求解即可． 【解答】解：1， 2＝x﹣3+m， x＝5﹣m， ∵方程的解为非负数， ∴5﹣m≥0， ∴m≤5， ∵x≠3， ∴5﹣m≠3， ∴m≠2， ∴m的取值范围为m≤5且m≠2， 故答案为：m≤5且m≠2． 【点评】本题考查分式方程的解以及解一元一次不等式，熟练掌握分式方程的解法，注意分式方程增根的情况是解题的关键． 【题型 9 分式方程的规律问题】 【例9】（2022春•射洪市期末）先阅读下面的材料，然后解答问题． 通过计算，发现：方程x2的解为x1＝2，x2； 方程x3的解为x1＝3，x2； 方程x4的解为x1＝4，x2；…… （1）观察猜想：关于x的方程xn的解是 　x1＝n，x2　； （2）利用你猜想的结论，解关于x的方程xa； （3）实践运用：对于关于x的方程xm的解，小明观察得“x1＝m”是该方程的一个解，则方程的另一个解x2＝　　，请利用上面的规律，求关于x的方程的解． 【分析】（1）根据已知方程得出规律，再根据求出的规律得出答案即可； （2）先变形得出x﹣3a﹣3，根据求出的规律得出x﹣3＝a﹣3或x﹣3，再求出x即可； （3）把方程变形得出xm，求出x﹣1m﹣1，根据得出的规律得出x﹣1＝m﹣1，x﹣1，再求出x即可． 【解答】解：（1）方程xn的解是x1＝n，x2， 故答案为：x1＝n，x2； （2）xa， 方程两边减3得：x﹣3a﹣3， ∴x﹣3＝a﹣3或x﹣3， ∴x1＝a，x2， 经检验：x1＝a，x2都是原方程的解， 即原方程的解是x1＝a，x2； （3）方程xm的另一个解是x， ， m， xm， x﹣1m﹣1， x﹣1＝m﹣1，x﹣1， 解得：x1＝m，x2， 经检验：x1＝m，x2都是原方程的解， 所以方程的解是x1＝m，x2， 故答案为：x． 【点评】本题考查了解分式方程，能根据已知方程的解得出规律是解此题的关键． 【变式9-1】读下列材料 方程的解为x＝1 方程的解为x＝2 方程的解为x＝3… （1）请你观察上述方程与解的特征，写出能反映上述方程的一般规律的方程，并猜想这个方程的解； （2）根据（1）中所得的结论，写出一个解为x＝2012的分式方程． 【分析】（1）根据观察发现规律：方程的解是方程的最简公分母为零时x值的平均数，可得答案； （2）根据规律，可得方程． 【解答】解：（1）写出能反映上述方程的一般规律的方程：， 方程的解为x＝3； （2）出一个解为x＝2012的分式方程如：． 【点评】本题考查了解分式方程，发现规律：方程的解是x＝n． 【变式9-2】（2021秋•中江县期末）已知：①x3可转化为x1+2，解得x1＝1，x2＝2； ②x5可转化为x2+3，解得x1＝2，x2＝3； ③x7可转化为x3+4，解得x1＝3，x2＝4； … 根据以上规律，关于x的方程x﹣32n+1的解为 　x1＝n+3，x2＝n+4　． 【分析】仿照已知方程与解的特征，归纳总结得到一般性规律，确定出所求方程的解即可． 【解答】解：根据题意将方程变形得：x﹣3n+n+1， 可得x﹣3＝n或x﹣3＝n+1， 则方程的解为x1＝n+3，x2＝n+4， 故答案为：x1＝n+3，x2＝n+4 【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 【变式9-3】（2024春•舒城县期末）解方程： ①的解是x＝0； ②的解是x＝1； ③的解是x＝2； ④的解是x＝　0　． （1）请完成上面的填空； （2）根据你发现的规律直接写出第⑤个方程和它的解； （3）请你写出第n个式子，并写出它的解． 【分析】（1）方程两边都乘以（x+1）把分式方程化为整式方程，然后求解即可； （2）根据规律写出即可； （3）根据求解规律依次写出即可． 【解答】解：（1）①方程两边都乘以（x+1）得，1＝2﹣x﹣1， 解得x＝0， 经检验x＝0是原分式方程的解； ②方程两边都乘以（x+1）得，2＝4﹣x﹣1， 解得x＝1， 经检验x＝1是原分式方程的解； ③方程两边都乘以（x+1）得，3＝6﹣x﹣1， 解得x＝2， 经检验x＝2是原分式方程的解； ④方程两边都乘以（x+1）得，4＝8﹣x﹣1， 解得x＝3， 经检验x＝3是原分式方程的解； 故答案为：3； （2）⑤方程为1， 方程的解为x＝4； （3）含正整数n的式子表示为1， 方程的解为x＝n﹣1． 【点评】本题考查了分式方程的解，规律探索题，熟练掌握分式方程的解的求法并观察出方程的解与分子的关系是解题的关键． 【题型 10 分式方程的新定义问题】 【例10】（2023秋•延庆区期中）给出如下的定义：如果两个实数a，b使得关于x的分式方程1＝b的解是x成立，那么我们就把实数a，b称为关于x的分式方程1＝b的一个“方程数对”，记为[a，b]．例如：a＝2，b＝﹣5就是关于x的分式方程1＝b的一个“方程数对”，记为[2，﹣5]． （1）判断数对①[3，﹣5]，②[﹣2，4]中是关于x的分式方程1＝b的“方程数对”的是 　①　；（只填序号） （2）若数对[n，3﹣n]是关于x的分式方程1＝b的“方程数对”，求n的值； （3）若数对[m﹣k，k]（m≠﹣1且m≠0，k≠1）是关于x的分式方程1＝b的“方程数对”，用含m的代数式表示k． 【分析】（1）根据定义分别判断即可； （2）根据定义计算即可； （3）根据定义计算即可． 【解答】解：（1）当a＝3，b＝﹣5时，分式方程为1＝﹣5， 解得x， ∵， ∴①[3，﹣5]是关于x的分式方程的“方程数对”； 当a＝﹣2，b＝4时，分式方程为1＝4， 解得x， ∵， ∴②[﹣2，4]不是关于x的分式方程的“方程数对”； 故答案为：①； （2）∵数对[n，3﹣n]是关于x的分式方程的“方程数对”， ∴1＝3﹣n，x， ∴3n+1＝3﹣n， 解得n； （3）∵数对[m﹣k，k]（m≠﹣1且m≠0，k≠1）是关于x的分式方程的“方程数对”， ∴1＝k，x， ∴m（m﹣k）+1＝k， 解得k． 【点评】本题考查了新定义，分式方程的解，学生的理解能力以及知识的迁移能力等知识，理解“方程数对”的定义是解题的关键． 【变式10-1】（2023秋•鹿邑县期末）当a≠b时，定义一种新运算：F（a，b），例如：，F（﹣1，4）． （1）直接写出F（a+1，a）＝　2　； （2）若F（m，2）﹣F（2，m）＝1，求出m的值． 【分析】（1）根据题中的新运算计算即可； （2）已知等式利用题中的新运算化简，计算即可求出m的值． 【解答】解：（1）根据题中的新运算得：F（a+1，a）2； 故答案为：2； （2）当m＞2时，F（m，2）﹣F（2，m）＝1化简得：1， 解得：m2，不合题意，舍去； 当m＜2时，F（m，2）﹣F（2，m）＝1化简得：1， 解得：m＝0＜2， 综上，m＝0． 【点评】此题考查了解分式方程，有理数的混合运算，弄清题中的新运算是解本题的关键． 【变式10-2】对于一些特殊的方程，我们给出两个定义： ①若两个方程有相同的解，则称这两个方程为“相似方程”；若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”． （1）判断方程3﹣2（1﹣x）＝4x与是否为“相似方程”，并说明理由； （2）已知关于x，y的二元一次方程y＝mx+6和y＝x+4m是“相伴方程”，求正整数m的值． 【分析】（1）先分别算出方程3﹣2（1﹣x）＝4x与的解，再结合“相似方程”进行判断，即可作答． （2）因为关于x，y的二元一次方程y＝mx+6和y＝x+4m是“相伴方程”，所以mx+6＝x+4m，整理得，结合x，y，m均为整数，则m＝0，m＝2，m＝﹣1，m＝3，因为m为正整数，据此即可作答． 【解答】解：（1）是“相似方程”，理由如下： 3﹣2（1﹣x）＝4x， 解得x＝0.5， ， 8x2+4﹣（4x+1）＝2x（4x+1）， 8x2+4﹣4x﹣1＝8x2+2x， ﹣6x+3＝0， 解得x＝0.5， 经检验，x＝0.5是方程的解， ∵若两个方程有相同的解，则称这两个方程为“相似方程”； ∴方程3﹣2（1﹣x）＝4x与是“相似方程”． （2）mx+6＝x+4m， （m﹣1）x＝4m﹣6， ， ∵x，y，m均为整数， ∴m﹣1＝±1，m﹣1＝±2， ∴m＝0，m＝2，m＝﹣1，m＝3， ∵m为正整数， ∴m＝2或3． 【点评】本题考查了新定义以及解一元一次方程和解分式方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【变式10-3】（2022秋•茅箭区校级月考）对x，y定义一种新运算T，规定T（x，y）（其中a，b是非零常数，且x+y≠0），这里等式右边是通常的四则运算．如：T（3，1），T（m，﹣2）． （1）填空：T（4，﹣1）＝　　（用含a，b的代数式表示）； （2）若T（﹣2，0）＝﹣2，且T（5，﹣1）＝6．①求a与b的值； ②若T（3m﹣10，﹣3m）＝T（﹣3m，3m﹣10），求m的值． 【分析】（1）利用新运算的规定解答即可； （2）①利用新运算的规定得到关于a，b的方程，解方程即可求得结论； ②利用新定义的规定列出关于m的等式，再解关于m的方程即可． 【解答】解：（1）T（4，﹣1）， 故答案为：； （2）①∵T（﹣2，0）＝﹣2， ∴2， ∴a＝1． ∵T（5，﹣1）＝6， ∴6， ∴25a+b＝24， ∴b＝24﹣25＝﹣1， ∴a＝1，b＝﹣1． ②∵T（3m﹣10，﹣3m）＝T（﹣3m，3m﹣10）， ∴， ∴9m2﹣60m+100﹣9m2＝9m2﹣9m2+60m﹣100， ∴﹣120m＝﹣200， ∴m． 经检验，m是原方程的根， ∴m． 【点评】本题主要考查了有理数的混合运算，解分式方程，本题是新定义型，理解新定义的规定并熟练应用是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题17 分式方程十大题型典例及变式训练（原卷版） 【题型 1 分式方程的判别】 【例1】（2024春•泗县月考）下列关于x的方程：①；②；③；④，其中是分式方程的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-1】（2024春•新宁县期末）有下列方程：①，②，③（m为不等于2的常数），其中，属于分式方程的有 　 　（填序号）． 【变式1-2】（2023秋•樊城区期末）观察分析下列方程：①x3；②x5；③x7，请利用他们所蕴含的规律，写出这一组方程中的第n个方程是 　 　． 【变式1-3】（2023秋•巴彦淖尔期末）下列方程中是分式方程的是（　　） A． B．2x﹣5＝3x C．x2﹣1＝0 D． 【变式1-4】（2022春•二七区校级期末）请写出一个未知数是x的分式方程，并且当x＝1时没有意义 　 　． 【题型 2 解分式方程的一般方法】 【例2】（2024秋•莱西市期中）解分式方程： （1）； （2）． 【变式2-1】（2024秋•北碚区校级期中）解方程： （1）； （2）． 【变式2-2】（2024秋•襄都区月考）下面是某同学解分式方程的部分过程： 解：方程两边同乘_____，得1﹣（x﹣3）＝6x， 去括号，得1﹣x+3＝6x， 移项、合并同类项，得﹣7x＝﹣4， 系数化为1，解得． （1）这位同学解题过程中横线处应填 　 　，解题过程缺少的步骤是 　 　． （2）该同学反思上述解答过程时，发现不仅缺少了一步，还存在错误，请写出正确的解答过程． 【变式2-3】（2024秋•新邵县期中）阅读下列材料： 关于x的分式方程的解是x1＝c，；，即的解是x1＝c，；的解是x1＝c，；的解是x1＝c，； （1）请观察上述方程与解的特征，比较关于x的方程与它的关系，猜想它的解是什么，并利用方程解的概念进行验证； （2）由上述的观察，解关于x的方程：． 【题型 3 换元法解分式方程】 【例3】（2024秋•祁阳市校级期中）阅读下面材料，解答后面的问题． 解方程：． 解：设，则原方程化为，方程两边同时乘y，得y2﹣4＝0， 解得y＝±2．经检验：y＝±2都是方程的解． 当y＝2时，，解得x＝﹣1；当y＝﹣2时，，解得． 经检验：x＝﹣1和都是原分式方程的解， 所以原分式方程的解为x＝﹣1或． 上述这种解分式方程的方法称为换元法． 用换元法解：． 【变式3-1】（2022春•杨浦区校级期中）解分式方程1，用y换元整理后得到的关于y的整式方程是 　 ． 【变式3-2】用换元法解分式方程时，可设y＝　 　，原方程可化为 　 　． 【题型 4 裂项法解分式方程】 【例4】（2021秋•临湘市期末）观察下列各式：；；；；… （1）请你观察上面各式的规律，将下列式子写成类似的形式： ①　　；②　 ； （2）请利用上述规律计算：（用含有n的式子表示）　　； （3）请利用上述规律解方程：． 【变式4-1】 【变式4-2】（2022秋•香洲区期末）李华在计算时，探究出了一个“裂项”的方法，如：，利用上面这个运算规律解决以下问题： （1）求的值； （2）证明：1； （3）解方程：． 【题型 5 由分式方程有解或无解求字母的值】 【例5】（2023春•遂宁期末）若关于x的方程m﹣3无解，则m的值为（　　） A．3 B．6或10 C．10 D．6 【变式5-1】（2023秋•临湘市期中）关于x的分式方程有解，则k满足 　 　． 【变式5-2】（2021秋•固安县期末）已知分式方程■有解，其中“■”表示一个数． （1）若“■”表示的数为7，求分式方程的解； （2）小瑞回忆说：由于抄题时等号右边的数值抄错，导致找不到原题目，但可以肯定的是“■”是﹣1或0其中之一，请你确定“■”表示的数． 【变式5-3】（2023秋•十堰期末）对于实数x，y定义一种新运算“*”：，例如：，则分式方程无解时，m的值是 　 ． 【题型 6 由分式方程有增根求字母的值】 【例6】（2024秋•潜江校级期中）如果解关于x的方程会产生增根，求k的值． 【变式1】（2023秋•梁山县期末）若分式方程有增根，则增根是（　　） A．x＝1 B．x＝2 C．x＝3 D．x＝4 【变式2】（2024春•市南区期末）小明在解关于x的分式方程时，发现墨水不小心把其中一个数字污染了，翻看答案上说此方程有增根无解，则被污染的数字为（　　） A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣2 【变式3】（2024春•滁州期末）已知关于x的分式方程． （1）当a＝﹣3时，方程的根是 　 　； （2）若该方程的解是非负数，且满足a﹣1≤0，则所有满足条件的偶数a的值之和为 　 　． 【题型 7 由分式方程有整数解求字母的值】 【例7】（2023•龙江县三模）若关于x的分式方程有正整数解，则整数a＝　 　． 【变式1】（2020•黑龙江）若关于x的分式方程有正整数解，则整数m的值是（　　） A．3 B．5 C．3或5 D．3或4 【变式2】（2021春•沙坪坝区校级期中）已知关于x的不等式组无解，关于y的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数a的和为（　　） A．6 B．9 C．10 D．13 【题型 8 由分式方程解的取值范围求字母的范围】 【例8】（2024•黑龙江）已知关于x的分式方程1的解是负数，则m的取值范围是（　　） A．m≤3 B．m≤3且m≠2 C．m＜3 D．m＜3且m≠2 【变式1】（2022秋•中江县期末）已知关于x的分式方程1的解为非负数，则m的取值范围是（　　） A．m≥﹣4且m B．m≥﹣4且m≠﹣3 C．m＞﹣4且m D．m＞﹣4且m≠﹣3 【变式2】（2023春•城区校级期中）已知关于x的分式方程． （1）若分式方程的解为x＝2，求k的值． （2）若分式方程有正数解，求k的取值范围． 【变式3】若关于x的分式方程1的解为非负数，则m的取值范围是 　 　． 【题型 9 分式方程的规律问题】 【例9】（2022春•射洪市期末）先阅读下面的材料，然后解答问题． 通过计算，发现：方程x2的解为x1＝2，x2； 方程x3的解为x1＝3，x2； 方程x4的解为x1＝4，x2；…… （1）观察猜想：关于x的方程xn的解是 　 ； （2）利用你猜想的结论，解关于x的方程xa； （3）实践运用：对于关于x的方程xm的解，小明观察得“x1＝m”是该方程的一个解，则方程的另一个解x2＝　　，请利用上面的规律，求关于x的方程的解． 【变式9-1】读下列材料 方程的解为x＝1 方程的解为x＝2 方程的解为x＝3… （1）请你观察上述方程与解的特征，写出能反映上述方程的一般规律的方程，并猜想这个方程的解； （2）根据（1）中所得的结论，写出一个解为x＝2012的分式方程． 【变式9-2】（2021秋•中江县期末）已知：①x3可转化为x1+2，解得x1＝1，x2＝2； ②x5可转化为x2+3，解得x1＝2，x2＝3； ③x7可转化为x3+4，解得x1＝3，x2＝4； … 根据以上规律，关于x的方程x﹣32n+1的解为 　 ． 【变式9-3】（2024春•舒城县期末）解方程： ①的解是x＝0；②的解是x＝1； ③的解是x＝2；④的解是x＝　 　． （1）请完成上面的填空； （2）根据你发现的规律直接写出第⑤个方程和它的解； （3）请你写出第n个式子，并写出它的解． 【题型 10 分式方程的新定义问题】 【例10】（2023秋•延庆区期中）给出如下的定义：如果两个实数a，b使得关于x的分式方程1＝b的解是x成立，那么我们就把实数a，b称为关于x的分式方程1＝b的一个“方程数对”，记为[a，b]．例如：a＝2，b＝﹣5就是关于x的分式方程1＝b的一个“方程数对”，记为[2，﹣5]． （1）判断数对①[3，﹣5]，②[﹣2，4]中是关于x的分式方程1＝b的“方程数对”的是 　 　；（只填序号） （2）若数对[n，3﹣n]是关于x的分式方程1＝b的“方程数对”，求n的值； （3）若数对[m﹣k，k]（m≠﹣1且m≠0，k≠1）是关于x的分式方程1＝b的“方程数对”，用含m的代数式表示k． 【变式10-1】（2023秋•鹿邑县期末）当a≠b时，定义一种新运算：F（a，b），例如：，F（﹣1，4）． （1）直接写出F（a+1，a）＝　 　； （2）若F（m，2）﹣F（2，m）＝1，求出m的值． 【变式10-2】对于一些特殊的方程，我们给出两个定义： ①若两个方程有相同的解，则称这两个方程为“相似方程”；若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”． （1）判断方程3﹣2（1﹣x）＝4x与是否为“相似方程”，并说明理由； （2）已知关于x，y的二元一次方程y＝mx+6和y＝x+4m是“相伴方程”，求正整数m的值． 【变式10-3】（2022秋•茅箭区校级月考）对x，y定义一种新运算T，规定T（x，y）（其中a，b是非零常数，且x+y≠0），这里等式右边是通常的四则运算．如：T（3，1），T（m，﹣2）． （1）填空：T（4，﹣1）＝　　（用含a，b的代数式表示）； （2）若T（﹣2，0）＝﹣2，且T（5，﹣1）＝6．①求a与b的值； ②若T（3m﹣10，﹣3m）＝T（﹣3m，3m﹣10），求m的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$