安徽省六安第二中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

六安二中河西校区2024年秋学期高二年级期中考试 数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 命题人：李玉 审题人：刘春 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知点，点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. ，，且，则为（ ） A. B. C. 6 D. 3. 椭圆满足，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在平行六面体中中，，，，点在上，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开关两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（ ） A. B. C. D. 6. 在直三棱柱中，，分别是的中点，，则与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 7. 若圆的圆心为，且被直线截得的弦长为，求圆的一般方程（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆的其中一个焦点为，过点的直线交椭圆于，两点，若的中点坐标为，则的方程为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 圆和圆的交点为，，则（ ） A. 两圆圆心距 B. 公共弦所在直线的方程为 C. 圆和圆的公切线有3条 D. 公共弦的长为 10. 已知椭圆的左､右焦点分别为，，点为椭圆上一点，则（ ） A. 的周长为 B. 存在点，使得 C. 若，则的面积为 D. 使得为等腰三角形的点共有4个 11. 如图，在平行六面体中，已知，，E为棱上一点，且，则（ ） A. B. 直线与所成角的余弦值为 C. 平面 D. 直线与平面所成角为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.答案需要填最简形式. 12. 平行于直线，且与它距离为的直线方程是______. 13. 已知椭圆，点在椭圆上，已知点与点，则的最小值为______. 14. 已知正方体的棱长为，为的中点，为的中点，则直线到平面的距离为___________；点到直线的距离为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，演算步骤. 15. 已知椭圆长轴长为4，且椭圆的离心率，其左右焦点分别为，. （1）求椭圆的方程； （2）设斜率为且过的直线与椭圆交于，两点，求弦长. 16. 如图所示，四棱锥的底面是矩形，底面，. （1）证明：直线平面； （2）求点到平面的距离. 17. 已知过点的圆的圆心在直线上，且与轴相切． （1）求圆的标准方程； （2）求过点且被圆截得的弦长为的直线的方程． 18. 如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点，是边长为1的等边三角形，且． （1）证明：； （2）求直线和平面所成角的正弦值； （3）在棱上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，并求出的值． 19. 定义：若椭圆上的两个点，满足，则称A，B为该椭圆的一个“共轭点对”，记作．已知椭圆C：上一点． （1）求“共轭点对”中点B所在直线l的方程． （2）设O为坐标原点，点P，Q在椭圆C上，且，（1）中的直线l与椭圆C交于两点． ①求点，的坐标； ②设四点，P，，Q在椭圆C上逆时针排列，证明：四边形的面积小于． 六安二中河西校区2024年秋学期高二年级期中考试 数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 命题人：李玉 审题人：刘春 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】C 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】AD 【10题答案】 【答案】AB 【11题答案】 【答案】ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.答案需要填最简形式. 【12题答案】 【答案】或 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 ①. ②. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1）证明:由平面，且四边形为矩形，可建立如图所示空间直角坐标系， AI 则 由，得，解得，同理， ，显然面的一个法向量为， 显然且面，故面 （2）. 【17题答案】 【答案】（1）； （2）或 【18题答案】 【答案】（1） ∵，为的中点 ∴ 又∵平面平面，平面平面，平面 ∴平面 ∵平面 ∴ （2） （3） 在棱上存在点，使二面角的大小为. 设 由（2）知，， ， 是平面的一个法向量 设是平面的一个法向量，则 即 取，， ∵二面角的大小为 ∴ 即 整理得， 解得，或（舍去） 所以，， 所以，在棱上存在点，使二面角的大小为，. 【19题答案】 【答案】（1） （2）①，； ②设点，，则， 两式相减得． 又，所以，所以， 即，线段PQ被直线l平分． 设点到直线的距离为d， 则四边形的面积． 由，，得． 设过点P且与直线l平行的直线的方程为，则当与C相切时，d取得最大值． 由消去y得． 令，解得， 当时，此时方程为，即，解得， 则此时点P或点Q必有一个和点重合，不符合条件， 故直线与C不可能相切， 即d小于平行直线和（或）的距离． 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $