精品解析：安徽省安庆市大观区安庆市外国语学校2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

安庆市外国语学校2024-2025学年第一学期 九年级期中考试数学试卷 （满分150分，时间：120分钟） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，抛物线经平移变换后得到抛物线，则这个平移变换可以是（ ） A. 向左平移2个单位 B. 向右平移2个单位 C. 向左平移8个单位 D. 向右平移8个单位 3. 反比例函数中，当时，，点在此反比例函数图象上，则m的值为（ ） A. 2 B. C. 8 D. 4. 已知抛物线经过，，三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，教练对小明推铅球录像进行技术分析，发现铅球行进高度与水平距离之间的关系为，由此可知铅球推出的距离是（ ） A. 或 B. C. D. 6. 如图，已知△ABC，D、E分别在边AB、AC上，下列条件中，不能确定△ADE∽△ACB的是（　　） A. ∠AED＝∠B B. ∠BDE+∠C＝180° C. AD•BC＝AC•DE D. AD•AB＝AE•AC 7. 如图，是一张直角三角形纸片，，．若将斜边上的高分成5等份，然后裁出4张宽度相等的长方形纸条，则这4张纸条的面积和是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，点O是的重心，如果，则点O到边的距离是（ ） A. 3 B. 6 C. 2 D. 4 9. 如图所示，一次函数与反比例函数的图象在第二象限内有两个交点，如图所示，则二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 在中，，为上一动点，若，，则的最小值为（ ） A. 5 B. 10 C. D. 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 11. 若，则的值为_____． 12. 若抛物线的顶点在x轴上，则b的值为___________． 13. 如图，在四边形中，，，，，E是上一点，，交于点F，则长为______． 14. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，的边在x轴上，顶点D在y轴的正半轴上，点C在第一象限，将沿y轴翻折，使点A落在x轴上的点E处，点B恰好为的中点，与交于点F．若反比例图象经过点C，且的面积为2， （1）的面积为______；（2）k的值为______． 三、解答题（本题共2小题，每题8分，共16分） 15. 若二次函数中，部分数值如下表所示： x 求此二次函数解析式． 16. 【观察思考】 【规律发现】 （1）上述9组算式，两数相乘，积的最大值是___________． （2）如果设每组算式第一个因数为，则第二个因数可以表示为___________（用含的代数表示） 【类比应用】 ，，，……，，， （3）猜想的最大值，并说明理由． 四、解答题（本题共2小题，每小题8分，共16分） 17. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和． （1）求一次函数的表达式和m值 （2）请根据图象，直接写出不等式的解集； （3）点P是线段上一点，过点P作轴于点D，连接，若的面积为S，则S的最小值为______． 18. 以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点A、B、C、D均在格点上．利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法． （1）如图①，在上找一点P，使． （2）如图②，在上找一点P，使． 五、解答题（本题共2小题，每小题10分，共20分） 19. 如图，在中，，以的一条直角边为斜边，向外作，延长交的延长线于点E，已知． （1）求证：； （2）若，．求的长． 20. 阅读理解：如图1，点B把线段分成两部分，如果，那么称线段被点B黄金分割，点B为线段的黄金分割点．与（或与）的比称为黄金比．如图2，在矩形中，如果与的比为黄金比，这样的矩形称为黄金矩形． 实践探索：第一步将边长为2的正方形纸片沿对折，使与重合，展平，如图3；第二步沿对折后展平，如图4；第三步再沿对折，使得落在折痕上，如图5． 求证：点Q是的黄金分割点． 六、解答题（本题12分） 21. 某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1:2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为xm（如图）． （1）若矩形养殖场的总面积为36，求此时x的值； （2）当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？ 七、解答题（本题12分） 22. 已知二次函数，，，都在二次函数的图象上． （1）若，求n、p、q的值； （2）若，求n的取值范围． 八、解答题（本题14分） 23. 四边形中，两条对角线，相交于点，如图，且． （1）若，求证：； （2）若，，求的值； （3）在（）的条件下如图，若平分，，，求长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安庆市外国语学校2024-2025学年第一学期 九年级期中考试数学试卷 （满分150分，时间：120分钟） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握顶点式是解题的关键．根据顶点式可直接进行求解． 【详解】解：由抛物线可知顶点坐标是． 故选：D． 2. 在平面直角坐标系中，抛物线经平移变换后得到抛物线，则这个平移变换可以是（ ） A. 向左平移2个单位 B. 向右平移2个单位 C. 向左平移8个单位 D. 向右平移8个单位 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与几何变换，正确得出变化前后的对称轴是解题关键．利用抛物线解析式得出变化前后对称轴，由对称轴的变化来进行求解． 【详解】解：∵抛物线， ∴其对称轴为：直线． ∵抛物线， ∴其对称轴为：直线， ∴抛物线经平移变换后得到抛物线，则这个变换可以是向左平移个单位长度． 故选：C． 3. 反比例函数中，当时，，点在此反比例函数图象上，则m的值为（ ） A. 2 B. C. 8 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数，用待定系数法求反比例函数的解析式，再把代入函数解析式求出m的值即可． 【详解】解：如图， ∵在反比例函数的图象中，当时，， ∴反比例函数经过坐标， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∵点在此反比例函数图象上， ∴ ∴， 故选：A． 4. 已知抛物线经过，，三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的增减性，由题意可知抛物线开口向上，对称轴是直线，求出关于直线的对称点，然后根据二次函数的增减性可以判断的大小关系，从而可以解答本题． 【详解】解：∵，， ∴抛物线开口向上，对称轴是直线， ∴当时，y随x的增大而减小； 关于直线的对称点是， ∵， ∴， 故选：A． 5. 如图，教练对小明推铅球录像进行技术分析，发现铅球行进高度与水平距离之间的关系为，由此可知铅球推出的距离是（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是解题关键．令，求出的值后即可判断得解． 【详解】解：令，即， 解得（舍去）， 选项D符合题意， 故选：D ． 6. 如图，已知△ABC，D、E分别在边AB、AC上，下列条件中，不能确定△ADE∽△ACB的是（　　） A. ∠AED＝∠B B. ∠BDE+∠C＝180° C. AD•BC＝AC•DE D. AD•AB＝AE•AC 【答案】C 【解析】 【分析】A、根据有两组角对应相等的两个三角形相似，进行判断即可； B：根据题意可得到∠ADE=∠C，根据有两组角对应相等的两个三角形相似，进行判断即可； C、根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，进行判断即可； D、根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，进行判断即可． 【详解】解：A、由∠AED=∠B，∠A=∠A，则可判断△ADE∽△ACB； B、由∠BDE+∠C=180°，∠ADE+∠BDE=180°，得∠ADE=∠C，∠A=∠A，则可判断△ADE∽△ACB； C、由AD•BC=AC•DE，得不能判断△ADE∽△ACB,必须两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似. D、由AD•AB=AE•AC得，∠A=∠A，故能确定△ADE∽△ACB， 故选C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定： 两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似（注意，一定是夹角）； 有两组角对应相等的两个三角形相似． 7. 如图，是一张直角三角形纸片，，．若将斜边上的高分成5等份，然后裁出4张宽度相等的长方形纸条，则这4张纸条的面积和是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定 和性质，勾股定理，三角形面积公式，矩形的性质，求出每个矩形的长度和宽是解答关键． 先利用勾股定理求出，再利用面积计算法求出，接着证明，进而求出，分别计算出从上往下数每个矩形的长，再利用每个矩形的宽均为，代销入矩形面积公式中求解． 【详解】解：如图 ，，， ， ， 即， ． 斜边上的高分成5等份， ． ， ，， ， ， 即， ， 即从上往下数，第一个矩形的长为， 同理可得从上往下数，第二个矩形的长为， 从上往下数，第三个矩形的长为， 从上往下数，第四个矩形的长为， 而所有矩形的宽都为， 所以4张纸条的面积和为． 故选：B． 8. 如图，在中，，点O是的重心，如果，则点O到边的距离是（ ） A. 3 B. 6 C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的重心，正确作出辅助线是解答本题的关键． 连接并延长交于点，作于点，连接并延长交于点，作交于，证明得，由点是的重心得，，代入比例式即可求解． 【详解】解∶连接并延长交于点，作于点，连接并延长交于点，作交于， 点是的重心，， ， ， ，，， ， ， 根据题意，在中，，， ， ， 点是的重心，， ， ， ， 所以点到边的距离是6． 故答案为∶B． 9. 如图所示，一次函数与反比例函数的图象在第二象限内有两个交点，如图所示，则二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，掌握函数图象与系数的关系是解题关键．根据一次函数与反比例函数的图象，得到，，，从而得到二次函数的开口方向、对称轴以及与轴交点，再根据当时，一次函数图象在反比例函数图象上方，得出，即可确定图象． 【详解】解：由函数图象可知，，，， 二次函数的图象开口向上，对称轴在轴左侧，与轴交点在正半轴， 当时，一次函数图象在反比例函数图象上方， 当时，，即， A选项图象符合题意， 故选：A． 10. 在中，，为上一动点，若，，则的最小值为（ ） A. 5 B. 10 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】以A为顶点，AC为一边在下方作45°角，过作于，过作于，交于，由，要使最小，只需最小，即BD的长，结合等腰三角形的判定和性质和解直角三角形求解． 【详解】解：以为顶点，为一边在下方作，过作于，过作于，交于，如图： ，要使最小，只需最小， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴最小即是最小，此时与重合，与重合，即最小值是线段的长度， ∵，， ∴， ∵， ∴，， 又， ∴，， ∵， ∴， 而， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故选：B． 【点睛】本题考查线段和的最小值，解题的关键是做45°角，将求的最小值转化为求垂线段的长． 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 11. 若，则的值为_____． 【答案】 ## 【解析】 【详解】解：∵， ∴． 12. 若抛物线的顶点在x轴上，则b的值为___________． 【答案】±6 【解析】 【分析】根据，列方程计算求解即可． 【详解】因为抛物线的顶点在x轴上， 所以， 所以， 解得b=±6， 故答案为：±6． 【点睛】本题考查了抛物线的顶点坐标，根据顶点坐标的特点列方程计算是解题的关键． 13. 如图，在四边形中，，，，，E是上一点，，交于点F，则长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，数量掌握相似三角形的判定方法，是解题的关键．延长，，交于点G，证明，得出，求出，证明，得出，根据相似三角形性质得出，代入数据求出结果即可． 【详解】解：延长，，交于点G，如图所示： ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，的边在x轴上，顶点D在y轴的正半轴上，点C在第一象限，将沿y轴翻折，使点A落在x轴上的点E处，点B恰好为的中点，与交于点F．若反比例图象经过点C，且的面积为2， （1）的面积为______；（2）k的值为______． 【答案】 ①. 18 ②. 48 【解析】 【分析】本题考查的是平行四边形的性质，反比例函数的应用，相似三角形判定和性质，作，延长交于点H，设，，由翻折的性质得：，根据全等三角形性质得，结合题意可得，，由平行四边形性质得，，，，根据相似三角形判定和性质得，即可求出的面积从而得，由三角形面积公式得，即，将点坐标代入反比例函数解析式即可求得k值． 【详解】解：作，延长交于点H，如图，设，， ∵中，，， ∴， 依题意可得：， ∴， ∴， ∵为中点， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵的面积为2， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴即， ∴， ∵在反比例函数上， ∴． 故答案为：18，48． 三、解答题（本题共2小题，每题8分，共16分） 15. 若二次函数中，部分数值如下表所示： x 求此二次函数解析式． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用待定系数法求二次函数解析式，根据表中数值一次求出的值即可求解，弄清表中数值的对应关系是解题的关键． 【详解】解：把代入，得， 把代入，得到， 把，，代入，得到， ∴此二次函数解析式． 16. 【观察思考】 【规律发现】 （1）上述9组算式，两数相乘，积的最大值是___________． （2）如果设每组算式第一个因数为，则第二个因数可以表示为___________（用含的代数表示） 【类比应用】 ，，，……，，， （3）猜想的最大值，并说明理由． 【答案】（1）25；（2）；（3）324，理由见解析 【解析】 【分析】（1）通过运算，可用发现两个因数相同时积最大，即的结果最大； （2）观察两个因数的和，可发现a与b的数量关系； （3）由于，将代入，利用二次函数的性质即可得出时，的最大值为324． 【详解】解：（1）， ， ， ， ， 故积的最大值为25； （2）设参与上述运算的第一个因数为a，则第二个因数为； （3）最大值为324， 理由是：∵， ∴， ∴， ∴当时，的最大值为324． 【点睛】本题考查二次函数最值，掌握求二次函数最值的方法是解题的关键． 四、解答题（本题共2小题，每小题8分，共16分） 17. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和． （1）求一次函数的表达式和m值 （2）请根据图象，直接写出不等式的解集； （3）点P是线段上一点，过点P作轴于点D，连接，若的面积为S，则S的最小值为______． 【答案】（1）； （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）将代入得b，即得一次函数的解析式为，将代入一次函数解析式得m； （2）求出，由图可得，根据直线在双曲线上方的部分的自变量的范围即的解集，即可求解； （3）由点P是线段上一点，可设，且，可得，根据二次函数的性质即可求得最小值． 【小问1详解】 解：一次函数图象过点， ， 解得， 一次函数解析式是 在一次函数的图象上， ， ， 【小问2详解】 有（1）得点， 由图可得，一次函数与反比例函数的交点分别为点和， 则得解集为：或，； 【小问3详解】 ∵点是线段上一点，设， ∴， ∴， ∵且， ∴当或时，有最小值，且最小值是． 故答案：. 18. 以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点A、B、C、D均在格点上．利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法． （1）如图①，在上找一点P，使． （2）如图②，在上找一点P，使． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图-应用与设计，平行线分线段成比例，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）如图中，利用平行线分线段成比例求解即可； （2）如图中，取格点，连接交于点P，连接．点P即为所求作． 【小问1详解】 解：如图1所示， 取格点E、F，连接交于点P， ， ， ， ， 点P即为所要找的点； 【小问2详解】 解：如图2所示，作点A关于的对称点，连接，交于点P，连接， 点P即为所要找的点， ， ， ， ． 五、解答题（本题共2小题，每小题10分，共20分） 19. 如图，在中，，以的一条直角边为斜边，向外作，延长交的延长线于点E，已知． （1）求证：； （2）若，．求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形判定与性质性质． （1）首先由得到，然后结合即可证明出； （2）首先求出得到，求出，然后证明出，得到，然后代数求解即可． 【小问1详解】 证明：， ， ， ； 【小问2详解】 解：，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 的长是． 20. 阅读理解：如图1，点B把线段分成两部分，如果，那么称线段被点B黄金分割，点B为线段的黄金分割点．与（或与）的比称为黄金比．如图2，在矩形中，如果与的比为黄金比，这样的矩形称为黄金矩形． 实践探索：第一步将边长为2的正方形纸片沿对折，使与重合，展平，如图3；第二步沿对折后展平，如图4；第三步再沿对折，使得落在折痕上，如图5． 求证：点Q是的黄金分割点． 【答案】 证明：延长交延长线于F．正方形的边长为2， 由折叠可知，，则，， 由勾股定理得， 在正方形中，， ， ， ∴． 又∵， ∴， ∴， ， ， ， 点Q是的黄金分割点． 【解析】 【分析】延长交延长线于F．正方形的边长为2，由勾股定理得，证明得，求出即可得证． 【详解】略 【点睛】本题考查了折叠问题，正方形的性质，等角等边，勾股定理，黄金比，以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 六、解答题（本题12分） 21. 某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1:2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为xm（如图）． （1）若矩形养殖场的总面积为36，求此时x的值； （2）当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？ 【答案】（1）x的值为2m； （2）当时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为 m2 【解析】 【分析】（1）由BC=x，求得BD=3x，AB=8-x，利用矩形养殖场的总面积为36，列一元二次方程，解方程即可求解； （2）设矩形养殖场的总面积为S，列出矩形的面积公式可得S关于x的函数关系式，再根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵BC=x，矩形CDEF的面积是矩形BCFA面积的2倍， ∴CD=2x， ∴BD=3x，AB=CF=DE=(24-BD)=8-x， 依题意得：3x(8-x)=36， 解得：x1=2，x2=6(不合题意，舍去)， 此时x的值为2m； ； 【小问2详解】 解：设矩形养殖场的总面积为S， 由（1）得：S=3x(8-x)=-3(x-4)2+48， ∵墙的长度为10， ∴0＜3x≤0， ∴0＜x≤， ∵-3<0， ∴x＜4时，S随着x的增大而增大， ∴当x=时，S有最大值，最大值为， 即当时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为 m2． 【点睛】本题考查了一元二次方程和二次函数在几何图形问题中的应用，数形结合并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 七、解答题（本题12分） 22. 已知二次函数，，，都在二次函数的图象上． （1）若，求n、p、q的值； （2）若，求n的取值范围． 【答案】（1），， （2）或． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由A、C纵坐标相同可得，对称轴是直线，再结合，得出，再把和分别代入进行计算，即可作答． （2）依题意，抛物线的图象开口向下，则抛物线上的点离对称轴越远就越小，反之越大，又因为，则，化简即可作答． 【小问1详解】 解：由题意，由A、C纵坐标相同可得，对称轴是直线． ∵， ∴对称轴是直线， ∴， ∴， 则把代入可得，， 则把代入可得，， 【小问2详解】 解：由题意，抛物线的图象开口向下， 抛物线上的点离对称轴越远就越小，反之越大． 则对称轴是直线， ，且当时，， ． ， 或． 八、解答题（本题14分） 23. 四边形中，两条对角线，相交于点，如图，且． （1）若，求证：； （2）若，，求的值； （3）在（）的条件下如图，若平分，，，求长． 【答案】（1）见解析； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（）由得，再证明即可； （）分别过点，作，，垂足分别为，，证明，由，，则，由即可求解； （）过作于，于，由，，得，，再通过所对直角边是斜边的一半得，，设，，，求出的值即可； 本题主要考查了相似三角形的判定与性质，分母有理化，所对直角边是斜边的一半等知识，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【小问1详解】 证明：∵， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：分别过点，作，，垂足分别为，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：过作于，于， ∵平分， ∴， 由（）可知，，， ∴，， ∴，，， ∵， ∴，， 设，，， 解得， ∴，同理可得， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $