专题16 分式的运算十大题型举一反三-2024-2025学年八年级数学提优专题举一反三训练及试卷测试（人教版）

专题16 分式的运算十大题型举一反三（原卷版） 【题型 1 已知分式恒等式确定分子或分母】 【题型 2 比较分式的大小】 【题型 3 负整数指数幂】 【题型 4 利用科学记数法表示小数】 【题型 5 分式的混合运算】 【题型 6 分式的化简求值】 【题型 7 分式加减的应用】 【题型 8 分式运算的规律探究】 【题型 9 分式中的新定义问题】 【题型 10 分式中的阅读理解类问题】 【题型 1 已知分式恒等式确定分子或分母】 【题型 2 比较分式的大小】 【题型 3 负整数指数幂】 【题型 4 利用科学记数法表示小数】 【题型 5 分式的混合运算】 【题型 6 分式的化简求值】 【题型 7 分式加减的应用】 【题型 8 分式运算的规律探究】 【题型 1 已知分式恒等式确定分子或分母】 【例1】已知，其中A、B、C、D为常数，则A＝　 　． 【变式1-1】（2007秋•南靖县校级月考）已知是恒等式，则A﹣B＝　 　． 【变式1-2】（2023春•南关区校级期中）阅读下列材料： 若，试求A、B的值． 解：等式右边通分，得， 根据题意，得， 解之，得． 仿照以上解法，解答下题． （1）已知（其中M、N为常数）求M、N的值； （2）若对任意自然数n都成立，则a＝　　，b＝　　； （3）计算：　　． 【变式1-3】（2022秋•朝阳区校级期中）先阅读下列解法，再解答后面的问题． 已知，求A、B的值． 解法一：将等号右边通分，再去分母，得：3x﹣4＝A（x﹣2）+B（x﹣1）， 即：3x﹣4＝（A+B） x﹣（2A+B）， 由多项式相等的意义可知， ∴．解得． 解法二：在已知等式中取x＝0，有﹣A2，整理得2A+B＝4； 取x＝3，有B，整理得A+2B＝5． 解，得：． （1）已知，用上面的解法一或解法二求A、B的值． （2）①计算：[]（x+11）； ②直接写出使①中式子的值为正整数的所有整数x的值之和． 【题型 2 比较分式的大小】 【例2】（2023•任丘市二模）阅读给出的材料，比较与的大小（x是正数）．下列判断正确的是（　　） 作差法 比较代数式M，N的大小，只要作出它们的差M﹣N． 若M﹣N＞0，则M＞N；若M一N＝0，则M＝N；若M﹣N＜0，则M＜N． A．A≥B B．A＞B C．A≤B D．A＜B 【变式2-1】（2023秋•立山区校级月考）【阅读理解】：在比较两个数或代数式的大小时，解决策略一般是利用“作差法”，即要比较代数式M，N的大小，只要作出差M﹣N．若M﹣N＞0，则M＞N：若M﹣N＝0．则M＝N：若M﹣N＜0，则M＜N． 【解决问题】 （1）根据上面阅（1）根据上面阅读比较， 　≥　（填≥或≤）； （2）已知，当x＞﹣1时，比较A与的大小，并说明理由； 【学以致用】 （3）为了安全方便，某自助加油站只提供两种自助加油方式：方式一：每次定额只加200元．方式二：每次定量只加20升．自助加油站规定每辆车只能选择其中一种自助加油方式，现实生活中油价常有变动，现以两次加油为例来研究，设第一次油价为x元/升，第二次油价为y元/升（x≠y）．那么哪种加油方式更合算呢？予以说明． 【变式2-2】（2024春•梁溪区校级期中）已知：P＝x+1，． （1）当x＞0时，比较P与Q的大小关系，并说明理由； （2）设，若x是整数，求y的整数值． 【变式2-3】（2020秋•武陵区校级期中）我们可以用“作差法”比较两个数的大小：若M﹣N＞0，则M＞N；若M﹣N＜0，则M＜N；若M﹣N＝0，则M＝N；例如：因为5﹣4＞0，所以5＞4；因为，所以． （1）若a、b为正数，且a＜b，直接判断与的大小； （2）若a、b为正数，且a≠b，试比较与2的大小，并说明理由； （3）若，试比较与ab的大小，并说明理由． 【变式2-4】（2024春•宁德期末）已知b＞a＞0． （1）若A＝a2+2b，B＝2b﹣1，比较A﹣B与0的大小； （2）分式的分子、分母都加1，所得的分式的值增大了还是减小了？为什么？ （3）将分式的分子、分母都加c（c≠0且b+c≠0），比较所得的分式的值与的大小，并说明理由． 【题型 3 负整数指数幂】 【例3】（2020春•江北区期末）已知x＝1+7n，y＝1+7﹣n，则用x表示y的结果正确的是（　　） A． B． C． D．7﹣x 【变式3-1】（2022秋•丹阳市校级期中）若x2﹣3x+1＝0，则x4的个位数字是（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【变式3-2】（2020春•沙坪坝区校级月考）已知x＝3﹣q，y﹣1＝21﹣p，z＝4p27﹣q，用x，y表示z的代数式为　 　． 【题型 4 利用科学记数法表示小数】 【例4】（2024春•雅安期末）把0.002写成a×10n（1≤a＜10，n为整数）的形式，则a+n为（　　） A．2 B．5 C．0 D．﹣1 【变式4-1】（2024春•兰州期末）某种细胞的直径是0.00059毫米，0.00059这个数用科学记数法可表示为（　　） A．5.9×10﹣4 B．59×10﹣5 C．5.9×10﹣5 D．0.59×10﹣3 【变式4-2】（2023春•砀山县校级期中）芯片是手机最核心的部件，更小的芯片意味着更高的性能，目前我国芯片的量产工艺已达到7纳米，已知7纳米等于0.000000007米，请将0.000000007用科学记数法表示可记为 　 　． 【题型 5 分式的混合运算】 【例5】（2023秋•巨野县期中）计算： （1）；（2）． 【变式5-1】（2019秋•白云区期末）计算的结果是（　　） A．b2 B． C．b2（a+b）2 D．b2（a﹣b）2 【变式5-2】（2023秋•莱芜区期中）当x分别取﹣2024，﹣2023，﹣2022，﹣2021，…，﹣3，﹣2，﹣1，1，，，…，，，，时，分别计算分式的值，再将所得结果相加，其和等于（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2023 【变式5-3】（2024春•宛城区校级月考）下面是小明同学进行分式化简的过程，请认真阅读并解答问题： 解：． 第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 第六步 （1）①以上化简步骤中，第 　 　步是进行分式的通分，通分的依据是 　 　； ②第步开始出现错误，这一步错误的原因是 　 　； ③请写出正确的化简结果：　 ． （2）先化简再求值：，已知m2﹣3m﹣4＝0． 【题型 6 分式的化简求值】 【例6】（2022秋•汨罗市月考）已知abc＝1，a+b+c＝2，a2+b2+c2＝16，求的值． 【变式6-1】先化简再求值：，已知x满足x2﹣x﹣1＝0． 【变式6-2】（2022春•江北区校级期末）若abc＝1，a+b+c＝2，a2+b2+c2＝3，则　　． 【变式6-3】（2020•浙江自主招生）已知正实数x，y，z满足：xy+yz+zx≠1，且4．求的值为　 　． 【题型 7 分式加减的应用】 【例7】（2022秋•青山区期末）如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为m米（m＞1）的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为（m﹣1）米的正方形，两块试验田的小麦都收获了n千克．设“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦的单位面积产量分别为P千克/米2和Q千克/米2．下列说法： ①P＞Q；②P＝Q；③P＜Q；④P是Q的倍．其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式7-1】（2022秋•新市区校级期中）一辆货车送货上山，并按原路下山．上山速度为m千米/时，下山速度为n千米/时．则货车上、下山的平均速度为（　　）千米/时． A． B． C．（m+n） D． 【变式7-2】（2023秋•宁乡市期末）数学来源于生活，生活中处处有数学，用我们平时喝的糖水做“糖水实验”也能验证发现一些数学结论．现有a克糖水，其中含有b克糖（a＞b＞0），则糖水的浓度（即糖的质量与糖水的质量比）为． （1）糖水实验一：加入m克水，则糖水的浓度为 　．生活经验告诉我们，糖水加水后会变淡，由此可以写出一个不等式 　 ，我们趣称为“糖水不等式”． （2）糖水实验二： 将“糖水实验一”中的“加入m克水”改为“加入m克糖”，则糖水的浓度为 　 　．根据生活经验，请你写出一个新的“糖水不等式”　 ． （3）请结合（2）探究得到的结论尝试证明： 设a、b、c为△ABC三边的长，求证：． 【题型 8 分式运算的规律探究】 27．【例8】（2023•包河区三模）观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， … 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第5个等式：　　； （2）写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并证明． 【变式8-1】（2022•合肥模拟）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：；…… 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第6个等式：　 ； （2）写出你猜想的第n个等式：　　（用含n的等式表示），并证明． 【变式8-2】（2021秋•中山区期末）观察下列式子： ，，，，… 按照上面式子的规律，完成下列问题： （1）再写出两个（不同于上面算式）具有上述规律的式子： ①　 　，②　 　； （2）设第一个数为x，则这个规律可用字母x表示为（　　）（不必写出字母的取值范围）； （3）验证这个规律． 【题型 9 分式中的新定义问题】 【变式9-1】（2024春•泗洪县期末）定义：若分式A与分式B的差等于它们的积，即A﹣B＝AB，则称分式B是分式A“友好分式”． 如与，因为，，所以是的“友好分式”． （1）分式 　 　分式的“友好分式”（填“是”或“不是”）； （2）小明在求分式的“友好分式”时，用了以下方法； 设的“友好分式”为N，则， ∴，∴． 请你仿照小明的方法求分式的“友好分式”． （3）①观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“友好分式”：　　． ②若是的“友好分式”，则m+n的值为 　 ． 【变式9-2】（2023春•吴兴区校级期末）新定义：若两个分式A与B的差为n（n为正整数），则称A是B的“n分式”．例如：，则称分式是分式的“1分式”．根据以上定义，下列选项中说法错误的是（　　） A．是的“3分式” B．若a的值为﹣3，则是的“2分式” C．若是的“1分式”，则a2＝3b2 D．若a与b互为倒数，则是的“5分式” 【变式9-3】（2023春•柯桥区期末）定义：若分式M与分式N的差等于它们的积，M﹣N＝MN，则称分式N是分式M的“互联分式”．如与，因为，，所以是的“互联分式”． （1）判断分式与分式是否是“互联分式”，请说明理由； （2）小红在求分式的“互联分式”时，用了以下方法：设的“互联分式”为N，， ∴N ∴， 请你仿照小红的方法求分式的“互联分式”． （3）解决问题：仔细观察第（1）（2）小题的规律，请直接写出实数a，b的值，使是的“互联分式”． 【变式9-4】（2024春•清江浦区校级期中）定义：两个分式A与B满足：|A﹣B|＝3，则称A与B这两个分式互为“美妙分式”． （1）下列三组分式：①与；②与；③与．其中互为“美妙分式”的有 　 　（只填序号）； （2）求分式的“美妙分式”； 【题型 10 分式中的阅读理解类问题】 【例10】（2024春•海州区期中）【阅读】在处理分式问题时，由于分子的次数不低于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将分式拆分成一个整式与一个分式的和（差）的形式，通过对简单式子的分析来解决问题，我们称之为分离整式法． 例：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：设x+2＝t，则x＝t﹣2． 原式， ∴． 这样，分式就拆分成一个整式（x﹣5）与一个分式的和的形式． 【应用】（1）使用分离整式法将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式，则结果为 　 　； （2）将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式，则结果为 　 　； 【拓展】已知分式的值为整数，求正整数x的值． 【变式10-1】（2022秋•赫山区期末）阅读下列材料： 【材料一】 我们定义：在分式中对于只含有一个字母的分式当分子的次数大于或等于分母的次数时我们称之为“假分式”：当分子的次数小于分母的次数时我们称之为“真分式”． 如这样的分式就是假分式：再如这样的分式就是真分式． 类似的假分式也可以化为带分式．如：． 【材料二】 问题：用配方法求代数式x2+x+1的最值． 解：∵，而， ∴， 故当时，x2+x+1的最小值为． 解答下列问题： （1）分式是 　 　（填“真分式”或“假分式”）；假分式可以化为带分式 　　的形式； （2）如果分式的值为整数，求满足条件的整数x的值． （3）求分式的最值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 分式的运算十大题型举一反三（解析版） 【题型 1 已知分式恒等式确定分子或分母】 【题型 2 比较分式的大小】 【题型 3 负整数指数幂】 【题型 4 利用科学记数法表示小数】 【题型 5 分式的混合运算】 【题型 6 分式的化简求值】 【题型 7 分式加减的应用】 【题型 8 分式运算的规律探究】 【题型 9 分式中的新定义问题】 【题型 10 分式中的阅读理解类问题】 【题型 1 已知分式恒等式确定分子或分母】 【题型 2 比较分式的大小】 【题型 3 负整数指数幂】 【题型 4 利用科学记数法表示小数】 【题型 5 分式的混合运算】 【题型 6 分式的化简求值】 【题型 7 分式加减的应用】 【题型 8 分式运算的规律探究】 【题型 1 已知分式恒等式确定分子或分母】 【例1】已知，其中A、B、C、D为常数，则A＝　2　． 【分析】先把等式右边的式子统分，再令等式两边的分子相等，比较x3及x的系数即可得到关于A、C的方程组，求出A的值即可． 【解答】解：∵原式可化为：， ∴2x3﹣3x2+6x+1＝（Ax+B）（x2+3）+（Cx+D）（x2+1）， 即2x3﹣3x2+6x+1＝（A+C）x3+Dx2+（3A+C）x+3B+D， ∴， 解得A＝2． 故答案为：2． 【点评】本题考查的是部分分式，能根据题意得出关于A、C的二元一次方程组是解答此题的关键． 【变式1-1】（2007秋•南靖县校级月考）已知是恒等式，则A﹣B＝　4　． 【分析】先对等式右边进行异分母分式加减，然后根据对应项系数相等列方程即可求解． 【解答】解：∵ ， ∴， 解得A＝2，B＝﹣2， ∴A﹣B＝4． 故答案为4． 【点评】此题首先将右边的分母变成和左边的分母相同，则分子相等，然后根据对应项系数相等，得到关于A，B的方程组，解方程组，求得A，B的值． 【变式1-2】（2023春•南关区校级期中）阅读下列材料： 若，试求A、B的值． 解：等式右边通分，得， 根据题意，得， 解之，得． 仿照以上解法，解答下题． （1）已知（其中M、N为常数）求M、N的值； （2）若对任意自然数n都成立，则a＝　　，b＝　　； （3）计算：　　． 【分析】（1）根据阅读材料中的方法计算即可求出M与N的值； （2）根据阅读材料中的方法计算即可求出a与b的值； （3）由，，⋯，利用裂项相消，即可求解． 【解答】解：（1）等式右边通分，得， 根据题意，得， 解得； （2）等式右边通分，得， 根据题意，得， 解得． 故答案为：，； （3） ． 故答案为：． 【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式1-3】（2022秋•朝阳区校级期中）先阅读下列解法，再解答后面的问题． 已知，求A、B的值． 解法一：将等号右边通分，再去分母，得：3x﹣4＝A（x﹣2）+B（x﹣1）， 即：3x﹣4＝（A+B） x﹣（2A+B）， 由多项式相等的意义可知， ∴． 解得． 解法二：在已知等式中取x＝0，有﹣A2，整理得2A+B＝4； 取x＝3，有B，整理得A+2B＝5． 解， 得：． （1）已知，用上面的解法一或解法二求A、B的值． （2）①计算：[]（x+11）； ②直接写出使①中式子的值为正整数的所有整数x的值之和． 【分析】（1）根据方法一先对等号右边的分式进行加减，根据等号左右两边相等，得到关于A、B的二元一次方程组，求解即可； （2）裂项求解可得原式，由式子的值为正整数知x﹣1＝1、2、3、4、6、12，从而得出答案． 【解答】解：（1）等号右边通分、再去分母，得：2＝A（x+1）+B（x﹣1）， 即2＝（A+B）x+（A﹣B）， ∴， 解得：； （2）①原式＝（）（x+11） ＝（）（x+11） •（x+11） ； ②∵式子的值为正整数， ∴x﹣1＝1、2、3、4、6、12， 则x＝2、3、4、5、7、13， ∴2+3+4+5+7+13＝34． 【点评】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算顺序和法则及裂项求解的方法是解题的关键． 【题型 2 比较分式的大小】 【例2】（2023•任丘市二模）阅读给出的材料，比较与的大小（x是正数）．下列判断正确的是（　　） 作差法 比较代数式M，N的大小，只要作出它们的差M﹣N． 若M﹣N＞0，则M＞N；若M一N＝0，则M＝N；若M﹣N＜0，则M＜N． A．A≥B B．A＞B C．A≤B D．A＜B 【分析】按异分母分式的加减法法则先计算A﹣B，再根据x为正数确定差的正负，最后得结论． 【解答】解：A﹣B ． ∵x是正数， ∴2（x+1）＞0，﹣（x﹣1）2≤0． ∴0． ∴A≤B．． 故选：C． 【点评】本题主要考查了分式的加减法，掌握分式的加减法法则、分式结果的正负判断是解决本题的关键． 【变式2-1】（2023秋•立山区校级月考）【阅读理解】：在比较两个数或代数式的大小时，解决策略一般是利用“作差法”，即要比较代数式M，N的大小，只要作出差M﹣N．若M﹣N＞0，则M＞N：若M﹣N＝0．则M＝N：若M﹣N＜0，则M＜N． 【解决问题】 （1）根据上面阅（1）根据上面阅读比较， 　≥　（填≥或≤）； （2）已知，当x＞﹣1时，比较A与的大小，并说明理由； 【学以致用】 （3）为了安全方便，某自助加油站只提供两种自助加油方式：方式一：每次定额只加200元．方式二：每次定量只加20升．自助加油站规定每辆车只能选择其中一种自助加油方式，现实生活中油价常有变动，现以两次加油为例来研究，设第一次油价为x元/升，第二次油价为y元/升（x≠y）．那么哪种加油方式更合算呢？予以说明． 【分析】（1）计算，由此即可得出答案； （2）计算，并根据x＞﹣1作出判断即可； （3）计算两种方式加油的平均油价为：，再计算出，，分两种情况：当x＞y时，当x＜y时，分别进行计算即可． 【解答】解：（1） ＝a2+1﹣2a ＝（a﹣1）2≥0， ∴， 故答案为：≥； （2）∵， ∴ ， ∵x＞﹣1， ∴x+1＞0， ∴， ∴； （3）由题意可得： 两种方式加油的平均油价为：， ∵，， ∴当x＞y时，x﹣y＞0，y﹣x＜0，此时，， ∴，此时方式二加油更划算； 当x＜y时，x﹣y＜0，y﹣x＞0，此时，， ∴，此时方式一加油更划算； 综上所述，当x＞y时，方式二加油更划算；当x＜y时，方式一加油更划算． 【点评】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质并灵活运用是解此题的关键． 【变式2-2】（2024春•梁溪区校级期中）已知：P＝x+1，． （1）当x＞0时，比较P与Q的大小关系，并说明理由； （2）设，若x是整数，求y的整数值． 【分析】（1）利用分式的减法的法则进行求解即可； （2）把式子进行化简，再结合条件分析即可． 【解答】解：（1）P＞Q，理由如下： P﹣Q ＝x+1 ， ∵x＞0， ∴， ∴P﹣Q＞0，即P＞Q； （2） ， 当x是整数时，y的整数值为： 当x＝0时，y＝3； 当x＝﹣2时，y＝﹣5； 当x＝3时，y＝0； 当x＝﹣3时，y＝﹣3． 【点评】本题主要考查分式的加减法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 【变式2-3】（2020秋•武陵区校级期中）我们可以用“作差法”比较两个数的大小：若M﹣N＞0，则M＞N；若M﹣N＜0，则M＜N；若M﹣N＝0，则M＝N；例如：因为5﹣4＞0，所以5＞4；因为，所以． （1）若a、b为正数，且a＜b，直接判断与的大小； （2）若a、b为正数，且a≠b，试比较与2的大小，并说明理由； （3）若，试比较与ab的大小，并说明理由． 【分析】（1）根据做差法及除法法则求解； （2）先做差化简，再根据两数相除的法则确定符号求解； （3）先把条件变形，再做差整体代入求解． 【解答】解：（1）∵a、b为正数，且a＜b， ∴ab＞0，b﹣a＞0， ∴0， ∴； （2）∵a、b为正数，且a≠b， ∴ab＞0，（a﹣b）2＞0， ∴20， ∴2； （3）∵， ∴a+b＝ab， ∴（a+b）2＝a2b2， ∴a2+b2﹣a2b2＝﹣2ab， ∴ab2＜0， ∴ab． 【点评】本题考查了分式的加减，做差法是解题的关键． 【变式2-4】（2024春•宁德期末）已知b＞a＞0． （1）若A＝a2+2b，B＝2b﹣1，比较A﹣B与0的大小； （2）分式的分子、分母都加1，所得的分式的值增大了还是减小了？为什么？ （3）将分式的分子、分母都加c（c≠0且b+c≠0），比较所得的分式的值与的大小，并说明理由． 【分析】（1）根据整式的减法计算A﹣B＝a2+1，即可判断大小； （2）利用异分母分式加减法法则计算两个分式的差，再分析差的正负性可得答案； （3）同（2）计算两个分式的差，在根据①当c＞0时，②当c＜0时，判断差的正负性可得答案． 【解答】解：（1）∵A＝a2+2b，B＝2b﹣1， ∴A﹣B＝a2+2 b﹣（2 b﹣1）＝a2+1＞0． （2）分式的值增大了． 理由：． ∵b＞a＞0， ∴b﹣a＞0，b（b+1）＞0． ∴． ∴． ∴分式的值增大了． （3）． ∵b＞a＞0， ∴b﹣a＞0． ①当c＞0时，． ∴． ∴． ②当c＜0时， （i）若b+c＞0，即﹣b＜c＜0时，． ∴． ∴． （ii）若b+c＜0，即c＜﹣b时，． ∴． ∴． 综上所述，当c＞0或c＜﹣b时，；当﹣b＜c＜0时，． 【点评】此题主要考查了分式的加减法，关键是掌握异分母分式加减法法则，注意结果要化简． 【题型 3 负整数指数幂】 【例3】（2020春•江北区期末）已知x＝1+7n，y＝1+7﹣n，则用x表示y的结果正确的是（　　） A． B． C． D．7﹣x 【分析】根据x＝1+7n得7n＝x﹣1，根据负整数指数幂的计算法则求出y的表达式即可． 【解答】解：∵x＝1+7n， ∴7n＝x﹣1， ∴y＝1 ＝1 ， 故选：C． 【点评】本题考查了负整数指数幂，把7n＝x﹣1整体代入到y中是解题的关键． 【变式3-1】（2022秋•丹阳市校级期中）若x2﹣3x+1＝0，则x4的个位数字是（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【分析】由x2﹣13x+1＝0根的情况，可得方程两边都除以x，得出x3，方程两边再平方得，方程两边再平方得，即可作出判断． 【解答】解：依题意得，当x＝0时不符合题意，故x≠0， 由原方程得到：x3， ∴x27 ∴x4（x2）2﹣2＝49﹣2＝47 则x4的个位数字是7． 故选：A． 【点评】本题是解一元二次方程与分式的求值相结合的题目，正确求式子的值是解题的关键． 【变式3-2】（2020春•沙坪坝区校级月考）已知x＝3﹣q，y﹣1＝21﹣p，z＝4p27﹣q，用x，y表示z的代数式为　4y2x3　． 【分析】根据x＝3﹣q，y﹣1＝21﹣p，z＝4p27﹣q，将z的式子进行变形，即可用含x、y的代数式表示z，本题得以解决． 【解答】解：∵x＝3﹣q，y﹣1＝21﹣p＝21•2﹣p＝2×2﹣p，z＝4p27﹣q， ∴y﹣1＝2﹣p， ∴z＝4p27﹣q＝（22）p•（33）﹣q＝（2﹣p）﹣2•（3﹣q）3＝（y﹣1）﹣2•x3＝4y2x3， 故答案为：4y2x3． 【点评】本题考查列代数式、负整数指数幂，解答本题的关键是明确题意，巧妙变形，用相应的代数式表示出z． 【题型 4 利用科学记数法表示小数】 【例4】（2024春•雅安期末）把0.002写成a×10n（1≤a＜10，n为整数）的形式，则a+n为（　　） A．2 B．5 C．0 D．﹣1 【分析】先根据用科学记数法表示绝对值小于1的数的方法计算出a和n的值，代再入a+n求值即可． 【解答】解：∵0.002＝2×10﹣3， ∴a＝2，n＝﹣3， ∴a+n＝2﹣3＝﹣1， 故选：D． 【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，代数式求值，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【变式4-1】（2024春•兰州期末）某种细胞的直径是0.00059毫米，0.00059这个数用科学记数法可表示为（　　） A．5.9×10﹣4 B．59×10﹣5 C．5.9×10﹣5 D．0.59×10﹣3 【分析】根据科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤a＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 【解答】解：0.00059＝5.9×10﹣4， 故选：A． 【点评】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤a＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 【变式4-2】（2023春•砀山县校级期中）芯片是手机最核心的部件，更小的芯片意味着更高的性能，目前我国芯片的量产工艺已达到7纳米，已知7纳米等于0.000000007米，请将0.000000007用科学记数法表示可记为 　7×10﹣9　． 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【解答】解：0.000000007＝7×10﹣9． 故答案为：7×10﹣9． 【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，掌握形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定是关键． 【题型 5 分式的混合运算】 【例5】（2023秋•巨野县期中）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）先通分，再把分子相加减即可； （2）先算除法，再算减法即可． 【解答】解：（1） ； （2） • ＝1． 【点评】本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． 【变式5-1】（2019秋•白云区期末）计算的结果是（　　） A．b2 B． C．b2（a+b）2 D．b2（a﹣b）2 【分析】直接利用分式的乘除运算法则化简得出答案． 【解答】解：原式＝b2（a+b）• ＝b2． 故选：A． 【点评】此题主要考查了分式的乘除法，正确分解因式是解题关键． 【变式5-2】（2023秋•莱芜区期中）当x分别取﹣2024，﹣2023，﹣2022，﹣2021，…，﹣3，﹣2，﹣1，1，，，…，，，，时，分别计算分式的值，再将所得结果相加，其和等于（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2023 【分析】先求出x＝﹣a和x（a≠0）时，分式的值的和，再归纳出一般规律，由此即可得． 【解答】解：当x＝﹣a和x（a≠0）时， ＝0， 则所求的和为0+0+0+⋯+0＝0， 故选：B． 【点评】本题考查了分式的求值，熟练掌握分式的运算法则和归纳出一般规律是解题关键． 【变式5-3】（2024春•宛城区校级月考）下面是小明同学进行分式化简的过程，请认真阅读并解答问题： 解：． 第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 第六步 （1）①以上化简步骤中，第 　一　步是进行分式的通分，通分的依据是 　分式的基本性质　； ②第步开始出现错误，这一步错误的原因是 　三，括号前面是“−”号，去掉括号后，括号内的第二项没有变号　； ③请写出正确的化简结果：　　． （2）先化简再求值：，已知m2﹣3m﹣4＝0． 【分析】（1）①以上化简步骤中，第一步是进行分式的通分，通分的依据是分式的基本性质；②根据去括号的法则即可得出答案；③根据分式的混合运算法则计算即可得出答案； （2）括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简，由题意得出m2﹣3m＝4，整体代入计算即可． 【解答】解：（1）①以上化简步骤中，第一步是进行分式的通分，通分的依据是分式的基本性质； 故答案为：一，分式的基本性质； ②第三步开始出现错误，这一步错误的原因是括号前面是“−”号，去掉括号后，括号内的第二项没有变号； 故答案为：三，括号前面是“−”号，去掉括号后，括号内的第二项没有变号； ③． ， 故答案为：； （2）解： ， ∵m2﹣3m﹣4＝0， ∴m2﹣3m＝4， ∴原式． 【点评】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【题型 6 分式的化简求值】 【例6】（2022秋•汨罗市月考）已知abc＝1，a+b+c＝2，a2+b2+c2＝16，求的值． 【分析】先根据完全平方公式得到a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac＝4，进一步推出ab+bc+ac＝﹣6，由a+b+c＝2得到c＝2﹣a﹣b，进而推出ab+3c+3＝（a﹣3）（b﹣3），同理可得bc+3a+3＝（b﹣3）（a﹣3），ca+3b+3＝（c﹣3）（a﹣3），由此代入所求式子中并化简得到，由此即可得到答案． 【解答】解：∵a+b+c＝2， ∴（a+b+c）2＝4， ∴a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac＝4， ∵a2+b2+c2＝16， ∴ab+bc+ac＝﹣6， ∵a+b+c＝2， ∴c＝2﹣a﹣b， ∴3c+3＝9﹣3a﹣3b， ∴ab+3c+3＝ab+9﹣3a﹣3b＝（ab﹣3a）﹣（3b﹣9）＝a（b﹣3）﹣3（b﹣3）＝（a﹣3）（b﹣3）， 同理可得：bc+3a+3＝（b﹣3）（a﹣3），ca+3b+3＝（c﹣3）（a﹣3）， ∴ ． 【点评】本题主要考查了分式的化简求值问题，完全平方公式，因式分解的应用，解题的关键是根据已知条件的结构特点，灵活运用有关公式将所给的代数式恒等变形，准确化简． 【变式6-1】先化简再求值：，已知x满足x2﹣x﹣1＝0． 【分析】首先把已知的分式分子分母分解因式，把除法转化为乘法，计算乘法，然后计算分式的减法即可化简，然后代入求解即可． 【解答】解：原式• ， ∵x2﹣x﹣1＝0， ∴x2﹣x＝1， ∴原式＝﹣1． 【点评】此题主要考查了方程解的定义和分式的运算，此类题型的特点是：利用方程解的定义找到相等关系，再把所求的代数式化简后整理出所找到的相等关系的形式，再把此相等关系整体代入所求代数式，即可求出代数式的值． 【变式6-2】（2022春•江北区校级期末）若abc＝1，a+b+c＝2，a2+b2+c2＝3，则　　． 【分析】首先求出，将原代数式的分母变形为，将该式进一步化简变形，借助已知条件即可解决问题． 【解答】解：∵a+b+c＝2， ∴a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc＝4， ∵a2+b2+c2＝3， ∴， ∵a+b+c＝2， ∴c﹣1＝1﹣a﹣b， ∴ab+c﹣1＝ab+1﹣a﹣b＝（a﹣1）（b﹣1）， 同理可得：bc+a﹣1＝（b﹣1）（c﹣1），ac+b﹣1＝（a﹣1）（c﹣1）， ∴原式 ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了分式的化简求值，掌握分式的化简求值的方法是关键． 【变式6-3】（2020•浙江自主招生）已知正实数x，y，z满足：xy+yz+zx≠1，且4．求的值为　1　． 【分析】将题目中的式子，先化简，然后提公因式，再根据xy+yz+zx≠1，整理化简，即可得到所求式子的值． 【解答】解：∵4， ∴z（x2﹣1）（y2﹣1）+x（y2﹣1）（z2﹣1）+y（z2﹣1）（x2﹣1）＝4xyz， ∴x2y2z﹣x2z﹣y2z+z+xy2z2﹣xy2﹣xz2+x+x2yz2﹣yz2﹣x2y+y＝4xyz， 整理，得 xyz（xy+yz+xz﹣1）﹣（x+y+z）（xy+yz+zx）+（x+y+z）＝0， ∴xyz（xy+yz+xz﹣1）﹣（x+y+z）（xy+yz+zx﹣1）＝0， ∴[xyz﹣（x+y+z）]（xy+yz+zx﹣1）＝0， ∵xy+yz+zx≠1， ∴xy+yz+zx﹣1≠0， ∴xyz﹣（x+y+z）＝0， ∴xyz＝x+y+z， ∴1， 即的值为1， 故答案为：1． 【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法． 【题型 7 分式加减的应用】 【例7】（2022秋•青山区期末）如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为m米（m＞1）的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为（m﹣1）米的正方形，两块试验田的小麦都收获了n千克．设“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦的单位面积产量分别为P千克/米2和Q千克/米2．下列说法： ①P＞Q；②P＝Q；③P＜Q；④P是Q的倍．其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】先利用平均数的定义得到P，Q，再计算P﹣Q额，从而可得到正确答案． 【解答】解：根据题意得P，Q， ∴P﹣Qn•， ∵m＞1， ∴（m+1）（m﹣1）2＞0， ∴P﹣Q＜0， 即P＜Q，所以③正确； ∵•， ∴PQ，所以④正确． 故选：B． 【点评】本题考查了分式的混合运算：分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．利用求差法比较代数式的大小是解决问题的关键． 【变式7-1】（2022秋•新市区校级期中）一辆货车送货上山，并按原路下山．上山速度为m千米/时，下山速度为n千米/时．则货车上、下山的平均速度为（　　）千米/时． A． B． C．（m+n） D． 【分析】平均速度＝总路程÷总时间，设单程的路程为s，表示出上山下山的总时间，把相关数值代入化简即可． 【解答】解：设上山的路程为s千米， 则上山的时间小时，下山的时间为小时， 则上、下山的平均速度（千米/时）． 故选：A． 【点评】本题考查了列代数式（分式），得到平均速度的等量关系是解决本题的关键，得到总时间的代数式是解决本题的突破点． 【变式7-2】（2023秋•宁乡市期末）数学来源于生活，生活中处处有数学，用我们平时喝的糖水做“糖水实验”也能验证发现一些数学结论．现有a克糖水，其中含有b克糖（a＞b＞0），则糖水的浓度（即糖的质量与糖水的质量比）为． （1）糖水实验一：加入m克水，则糖水的浓度为 　　．生活经验告诉我们，糖水加水后会变淡，由此可以写出一个不等式 　　，我们趣称为“糖水不等式”． （2）糖水实验二： 将“糖水实验一”中的“加入m克水”改为“加入m克糖”，则糖水的浓度为 　　．根据生活经验，请你写出一个新的“糖水不等式”　　． （3）请结合（2）探究得到的结论尝试证明： 设a、b、c为△ABC三边的长，求证：． 【分析】（1）①根据题意列式表示；根据“糖水加水后会变淡”可列出不等式； （2）根据题意列出代数式和不等式即可； （3）利用三角形的三边关系得到a+b＞c，b+c＞a，c+a＞b，即，，，在通过本题糖水不等式变形求证即可． 【解答】解：（1）①由题意得：加入m克水后，糖水的浓度为， ∵糖水加水后会变淡， ∴． 故答案为：，； （2）由题意得：加入m克糖后，糖水的浓度为， 根据生活经验，加入m（m＞0）克糖后，糖水会变甜， ∴， 故答案为：，； （3）在△ABC中，a+b＞c，b+c＞a，c+a＞b，且a＞0，b＞0，c＞0， ∴，，， 由糖水不等式得，，，， ∴2， ∴． 【点评】本题主要考查分式的运算及大小比较，理解不等式并能够利用糖水不等式以及三角形三边关系证明是解决本题的关键． 【题型 8 分式运算的规律探究】 27．【例8】（2023•包河区三模）观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， … 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第5个等式：　　； （2）写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并证明． 【分析】（1）根据前4个等式得出第五个等式即可； （2）通过观察减号后面的数字规律，再结合每个式子找到规律，最后写出即可． 【解答】解：（1）有题意可得：， 故答案为：； （2）， 左边， 右边•， ∴左边＝右边． 【点评】本题考查了数字类变化规律，掌握每个式子中对应位置的数字，并找到相关系数关系是解题的关键． 【变式8-1】（2022•合肥模拟）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：；…… 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第6个等式：　　； （2）写出你猜想的第n个等式：　　（用含n的等式表示），并证明． 【分析】（1）根据所给的等式进行求解即可； （2）分析所给的等式不难得出：，再把等式左边进行整理即可求证． 【解答】解：（1）； 故答案为：； （2）； 证明：左边右边， ∴等式成立． 故答案为：． 【点评】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的等式总结出存在的规律． 【变式8-2】（2021秋•中山区期末）观察下列式子： ，，，，… 按照上面式子的规律，完成下列问题： （1）再写出两个（不同于上面算式）具有上述规律的式子： ①　2　，②　2　； （2）设第一个数为x，则这个规律可用字母x表示为（　　）（不必写出字母的取值范围）； （3）验证这个规律． 【分析】（1）根据所给式子，写出符合条件的即可； （2）第一个数为x，第一个数的分母为x﹣3，第二个数的分子为6﹣x，分母为6﹣x﹣3，由此可得结论； （3）利用分式的运算方法验证即可． 【解答】解：（1）①2； ②2； 故答案为：2，2； （2）通过观察可得规律：2， 故答案为：x﹣3，6﹣x，6﹣x﹣3； （3） ＝2， ∴2成立． 【点评】本题考查数字的变化规律，通过观察式子的特点，找到各式子分子、分母之间的联系是解题的关键． 【题型 9 分式中的新定义问题】 【变式9-1】（2024春•泗洪县期末）定义：若分式A与分式B的差等于它们的积，即A﹣B＝AB，则称分式B是分式A“友好分式”． 如与，因为，，所以是的“友好分式”． （1）分式 　是　分式的“友好分式”（填“是”或“不是”）； （2）小明在求分式的“友好分式”时，用了以下方法； 设的“友好分式”为N，则， ∴，∴． 请你仿照小明的方法求分式的“友好分式”． （3）①观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“友好分式”：　　． ②若是的“友好分式”，则m+n的值为 　　． 【分析】（1）分别计算两个分式的差与乘积，再进行判断； （2）仿照例题进行求解； （3）仔细观察会发现“友好分式”的分子与分母之间的关系根据发现的规律进行回答． 【解答】解：（1）∵ ， ， ∴， 即分式是分式的“友好分式”， 故答案为：是． （2）设的“友好分式”为N， 则， ∴， ∴N． ∴的“友好分式”为：． （3）规律：“友好分式”的分母是另一个分式的分子与分母的和，两个“友好分式”的分子一样． ①的“友好分式”是， ②根据题意可得：， 变形为：， 把①代入②得：3（m+n）＝3﹣1， ∴m+n． 故答案为：； ． 【点评】本题主要考查了分式的相关知识，找出规律是解答（3）的关键． 【变式9-2】（2023春•吴兴区校级期末）新定义：若两个分式A与B的差为n（n为正整数），则称A是B的“n分式”．例如：，则称分式是分式的“1分式”．根据以上定义，下列选项中说法错误的是（　　） A．是的“3分式” B．若a的值为﹣3，则是的“2分式” C．若是的“1分式”，则a2＝3b2 D．若a与b互为倒数，则是的“5分式” 【分析】根据新定义运算逐个验证正确与否即可． 【解答】解：A、，A说法正确； B、，B说法正确； C、由已知条件得：，化简得：a2＝2b2，C说法错误； D、由已知得：ab＝1，，D说法正确． 故选：C． 【点评】本题考查了新定义运算，解题的关键是正确运用新定义的运算规则． 【变式9-3】（2023春•柯桥区期末）定义：若分式M与分式N的差等于它们的积，M﹣N＝MN，则称分式N是分式M的“互联分式”．如与，因为，，所以是的“互联分式”． （1）判断分式与分式是否是“互联分式”，请说明理由； （2）小红在求分式的“互联分式”时，用了以下方法：设的“互联分式”为N，， ∴N ∴， 请你仿照小红的方法求分式的“互联分式”． （3）解决问题：仔细观察第（1）（2）小题的规律，请直接写出实数a，b的值，使是的“互联分式”． 【分析】（1）计算两个式子的差与两个式子的乘积，然后进行判断； （2）仿照例子进行计算； （3）仔细观察可以发现两个“互联分式”的分子分母之间的关系，根据关系列出二元一次方程组． 【解答】解：（1）与是“互联分式”，理由如下： ∵ ， ， ∴， ∴与是“互联分式”． （2）设的“互联分式”为N， ， ∴， ∴N． 的“互联分式”为：． （3）根据题意可得：， 解得：． ∴a，b． 【点评】本题主要考查了用新定义解决数学的问题同时也考查了分式的计算，理解题意是解答的关键． 【变式9-4】（2024春•清江浦区校级期中）定义：两个分式A与B满足：|A﹣B|＝3，则称A与B这两个分式互为“美妙分式”． （1）下列三组分式：①与；②与；③与．其中互为“美妙分式”的有 　②③　（只填序号）； （2）求分式的“美妙分式”； 【分析】（1）根据给出的“美妙分式”定义把每一组的分式相减求绝对值看结果来判断； （2）根据给出的“美妙分式”定义求分式的“美妙分式”即可． 【解答】解：（1）①， ②， ③， 故答案为：②③； （2）设分式的“美妙分式”为A， 则， ∴或， ①当时， ， ②当时， ， 答：分式的“美妙分式”为或． 【点评】本题考查了分式的加减法和实数的性质，绝对值的意义，熟练掌握分式加减法的法则，对新定义的理解是解题关键． 【题型 10 分式中的阅读理解类问题】 【例10】（2024春•海州区期中）【阅读】在处理分式问题时，由于分子的次数不低于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将分式拆分成一个整式与一个分式的和（差）的形式，通过对简单式子的分析来解决问题，我们称之为分离整式法． 例：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：设x+2＝t，则x＝t﹣2． 原式， ∴． 这样，分式就拆分成一个整式（x﹣5）与一个分式的和的形式． 【应用】（1）使用分离整式法将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式，则结果为 　2　； （2）将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式，则结果为 　x﹣1　； 【拓展】已知分式的值为整数，求正整数x的值． 【分析】（1）根据题意将化简为一个整式与一个分式和的形式即可； （2）设x﹣1＝t，则x＝t+1，根据例题将分式转化为一个整式和一个分式的和的形式； 拓展：设t＝x﹣3，则x＝t+3，先将分式转化为一个整式和一个分式的和的形式，然后再根据结果是整数进行分析即可求解． 【解答】解：（1）， 故答案为：． （2）设x﹣1＝t，则x＝t+1， ∴t， ∴x﹣1 故答案为：x﹣1； （3）设t＝x﹣3，则x＝t+3， ∵t+5， ∴t+5x﹣3+5x+2， ∵x是正整数， ∴x﹣3＝±1，±13， 解得：x＝4或2或16． 【点评】本题考查了分式的加减法和分式的值，掌握分式的性质是解题的关键． 【变式10-1】（2022秋•赫山区期末）阅读下列材料： 【材料一】 我们定义：在分式中对于只含有一个字母的分式当分子的次数大于或等于分母的次数时我们称之为“假分式”：当分子的次数小于分母的次数时我们称之为“真分式”． 如这样的分式就是假分式：再如这样的分式就是真分式． 类似的假分式也可以化为带分式．如：． 【材料二】 问题：用配方法求代数式x2+x+1的最值． 解：∵，而， ∴， 故当时，x2+x+1的最小值为． 解答下列问题： （1）分式是 　真分式　（填“真分式”或“假分式”）；假分式可以化为带分式 　　的形式； （2）如果分式的值为整数，求满足条件的整数x的值． （3）求分式的最值． 【分析】（1）根据材料一的定义与例题判断化简即可； （2）将化为真分式，然后对分母进行赋值即可； （3）先将根据材料一化为真分式，然后根据材料二对分母转化求最值即可． 【解答】解：（1）∵1为0次，x为1次， 故分式是真分式； ； 故答案为：真分式，； （2）， x﹣1＝﹣5，解得x＝﹣4； x﹣1＝﹣1，解得x＝0； x﹣1＝1，解得x＝2； x﹣1＝5，解得x＝6． 故满足条件的整数x的值为﹣4，0，2，6 （3）， 故当时，分式的最小值为． 【点评】本题考查了新定义，相关知识点有：分式加法的逆用，多项式的配方等知识点，充分理解题意是解题关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$