第5章二次函数 单元综合练习题 2024-2025学年苏科版九年级数学下册

2024-2025学年苏科版九年级数学下册《第5章二次函数》单元综合练习题（附答案） 一、单选题 1．已知抛物线与轴的一个交点为，则它与轴的另一个交点是（ ） A． B． C． D． 2．关于二次函数，下列说法错误的是（    ） A．顶点坐标为 B．当时，的值随的增大而减小 C．当，有最大值 D．当时，的值随的增大而增大 3．二次函数的图象向下平移4个单位，再向左平移2个单位，所得到的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 4．巴黎奥运会上，一个运动员踢足球．若球的飞行高度与水平距离之间的函数关系式为，则足球在飞行过程中的最大高度为（    ） A． B． C． D． 5．已知二次函数的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围为（　　） A． B． C． D．且 6．已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 7．二次函数的部分图象如图所示，则当时，x的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 8．如图，抛物线的对称轴为直线，并与轴交于 两点， 若， 则下列结论中： ① ；②； ③； ④若为任意实数，则 ，错误结论的个数是（      ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 9．如果关于x的函数是二次函数，则m＝ ． 10．把二次函数化为形如的形式： ． 11．已知关于x的一元二次方程有一根为，则抛物线与直线的交点坐标为 ． 12．已知二次函数． （1）若，则y的取值范围为 ； （2）若，则x的取值范围为 ． 13．廊桥是我国古老的文化遗产，如图是某座抛物线形的廊桥示意图．已知抛物线的函数解析式为，在该抛物线上距水面高为6米的点E，F处安装了两盏警示灯． （1）这两盏警示灯之间的水平距离是 米． （2）一艘宽为20米的货船要顺利从桥下通过，需保持其顶部与桥之间的间隔不少于米，那么货船的高不得超过 米． 14．如图，抛物线与x轴交于点A、，与y轴交于点C，点Q为抛物线上一点，若，则点Q的坐标是 ． 15．如图，将抛物线在x轴下方的图象沿轴翻折，翻折后得到的图象与抛物线在轴上方的图象记为，已知直线与图象有两个公共点，求的取值范围为 ． 16．如图，抛物线交x轴正半轴于点A，交y轴于点B，线段轴交抛物线于点，则的面积是 ． 三、解答题 17．已知抛物线的图象顶点为，且过，试求a、b．c的值． 18．如图，小亮父亲想用长的栅栏．再借助房屋的外墙围成一个矩形的羊圈，已知房屋外墙长，设矩形的边，面积为． (1)写出与x之间的函数表达式，并写出x的取值范围； (2)为多少米时，羊圈的面积最大？最大值是多少？ 19．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，连接，，，，． (1)写出A的坐标 ，B的坐标 ，C的坐标 ； (2)求抛物线的表达式； (3)求的面积； (4)当时，y的最小值为3，直接写出m的值 ． 20．世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于．试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售．设每天销售量为y本，销售单价为ⅹ元． (1)请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围； (2)当每本足球纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利2400元？ (3)将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大？ 21．如图，在中，，，．点P从A点开始沿A边向点B以秒的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以秒的速度移动（一个点到达终点另一个点即停止运动）． (1)几秒钟后，P、Q相距6厘米？ (2)经过几秒钟，的面积等于是的三分之一？ (3)经过几秒钟，的面积最大，最大面积是多少？ 22．如图，抛物线的顶点坐标为，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴为直线l，点P是抛物线上一点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上的点，要使以P、D、E为顶点的三角形与全等，求满足条件的点P和点E的坐标． 23．如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过A、B两点，与x轴交于另一个点C，对称轴与直线AB交于点E，抛物线顶点为D． (1)求抛物线的解析式； (2)在第三象限内，F为抛物线上一点，以A、E、F为顶点的三角形面积为3，求点F的横坐标； (3)点P是对称轴上的一动点，是否存在某一点P使P、B、C为顶点的三角形是以BC为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D D A B D B B C 1．解：∵抛物线的对称轴为直线，且抛物线与轴的一个交点为， ∴抛物线与轴的另一交点坐标为． 故选：D． 2．解：A、函数顶点坐标是，故该选项正确，不符合题意； B、二次函数对称轴为直线，函数开口向下，则当时，的值随的增大而减小，故当时，的值随的增大而减小，故该选项正确，不符合题意； C、由于函数开口向下，当时，函数有最大值，故该选项正确，不符合题意； D、当时，的值随的增大而增大，当时，的值随的增大先增大后减小，故该选项错误，符合题意； 故选：D． 3．解：二次函数的图象向下平移4个单位，再向左平移2个单位， 所得到的函数关系式是， 即， 故选A． 4．解：∵，抛物线开口向下， 当时，y有最大值为8． 则足球在飞行过程中的最大高度为． 故选：B． 5．解：∵二次函数的图象和x轴有两个交点， ∴， ∴且． 故选：D． 6．解：由图象可得：，，， ∴； 故选：B． 7．解：由题意得：二次函数的对称轴为直线，经过， ∴抛物线与x轴的另一个交点为． ∵抛物线在x轴的上方部分， ∴当时，x的取值范围是． 故选：B． 8．解：∵图象开口向上，与轴交于负半轴， ∴， ∵对称轴为， ∴， ∴，故①错误； 设， ∴，且， ∴， 解得，， ∴， ∴当时，， ∵， ∴，故②正确； ∵对称轴为，， ∴， ∴， ∴， ∴，故③错误； ∵抛物线的开口向上，对称轴为， ∴当时，的值最小， ∴对应任意实数，都有， ∴， ∴，故④错误； 综上所述，错误的个数为①③④，共3个， 故选：C ． 9．解：由题意得：且， ∴且， ∴， 故答案为：1． 10．解：， 故答案为：． 11．解：由题意得： ， ， ， ∴， 解得：，， 当时，； 当时，， ∴交点坐标为，． 12．解：（1）， 对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向下， 当时，有最大值为， 当时， ∵, ∴当时，取得最小值，最小值为， ∴当时，， 故答案为：． （2）， 当时，即， 解得：， 当时，即， 解得：， ∴当时，x的取值范围为或， 故答案为：或． 13．解：（1）当时，则， 解得 ∴(米） 故答案为； （2）当时， ∵需保持其顶部与桥之间的间隔不少于米， ∴米，即货船的高不得超过米 故答案为：． 14．解：将代入得，， 解得，或（舍去）， ∴， 令， 解得，， ∴， 当时，，即， 如图，作于，过作轴于，过作于，设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 联立， 解得，，， ∴， 故答案为：． 15．解：如图， 令， 解得：或， ∴抛物线与x轴的交点坐标为，， 将，代入，得：， 将，代入，得：， ∴当时，直线与图象有两个公共点； ∵，且抛物线上任意一点关于轴对称的点的坐标为， ∴沿轴翻折的抛物线的解析式为，即， 联立， 整理得：， 当时， 解得：， ∴当时，直线与图象有两个公共点； 综上所述，当或时，直线与图象有两个公共点． 故答案为：或． 16．解：如图所示，轴， ， ，则， ， 抛物线交轴正半轴于点，交轴于点， ，对称轴为直线， 轴， ，则， ， 故答案为：． 17．解：由题意设抛物线为；           把代入，得： 解得：           ∴ ∴，， 18．（1）解：， ； 由矩形面积公式得： ， ， ， ； （2）解：， ， 当时，S随的增大而增大， ， 当时，S有最大值为， 答：当时，面积有最大值为． 19．（1）解：∵，， ∴，，； （2）解：设抛物线解析式为， 将点代入得， 解得， 即抛物线解析式为； （3）解：∵抛物线， ∴顶点， 连接，如图： ∵， ∴； （4）解：由顶点坐标可知抛物线的对称轴为， ①当时，位于对称轴右侧，y随着x的增大而增大， 此时当时，取最小值，即， 解得，（舍去）； ②当时，即时，位于对称轴左侧，y随着x的增大而减小， 此时当时，取最小值，即， 解得，（舍去）； ③当时，即时， 此时当时，取最小值，即，不符合题意，舍去． 综上所述，m的取值为4或． 故答案为：4或． 20．（1）解：由题意得，， 即：； 销售单价不低于44元，且获利不高于， 最高价为元，即， 故：． （2）解：由题意可得：， ，， 又结合（1）， ， 答：每本足球纪念册销售单价是50元时，商店每天获利2400元； （3）解：由题意，商店每天销售纪念册获得的利润为 ， 又，图象开口向下， 当时，随的增大而增大， 又， 当时，有最大值，最大值为， 答：将足球纪念册销售单价定为52元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大． 21．（1）解：设运动时间为x秒，则，， 又， ∴， ∵， ， ∴， 解得，（舍去）， ∴经过秒钟后，P、Q相距6厘米； （2）解：设运动时间为x秒， 根据题意，得， 解得，， ∴经过2秒或4秒钟，的面积等于是的三分之一 （3）解：设运动时间为x秒， 根据题意，得， ∴当时，有最大值为9， 即经过3秒钟，的面积最大，最大面积是． 22．（1）解：∵抛物线的顶点坐标为 ， ∴设抛物线的表达式为：； （2）解：在中，当 时，， ∴， 当时，即，解得：， 俗， ， 设，则， ∵和全等，且， ∴， ， 或． ①当 时，点位于直线的右侧， 此时，， ∴点的坐标为， ∴， ∵， ∴对应点的坐标为或． ②当 时，点位于直线的左侧， 此时，， ∴点的坐标为， ∴， ∵， ∴对应点的坐标为或． 综上所述，点的坐标为或，点的坐标为或． 23．（1）解：与x轴交于点A，与y轴交于点B， 令，得，即点A的坐标为， 令，得，即点B的坐标为， 将，代入， 得， ， 抛物线的解析式为； （2）解：如图1，设第三象限内的点F的坐标为， 则，， ， 对称轴为直线，顶点D的坐标为， 设抛物线的对称轴与x轴交于点G，连接，则，， 直线的解析式为， 当时，， 点坐标为， ， 以A、E、F为顶点的三角形面积为3时，， 解得：，（舍去）， 当时， ， 点F的坐标为； （3）解：设点P坐标为， ，， ， 分两种情况: ①如图2，若，则， 即， 解得， 点P的坐标为； ②如图3，若，则， 即， ， 点P的坐标为； 综上所述，P点坐标为或． 学科网（北京）股份有限公司 $$