6.4探索三角形相似的条件 同步练习题 2024-2025学年苏科版九年级数学下册

2024-2025学年苏科版九年级数学下册《6.4探索三角形相似的条件》同步练习题（附答案） 一、单选题 1．下列命题中，正确的是（ ） A．所有的矩形都相似； B．所有的直角三角形都相似 C．有一个角是100°的所有等腰三角形都相似； D．有一个角是50°的所有等腰三角形都相似． 2．已知线段m，n，求作线段x，使得，下列作图正确的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，直线，直线AC和DF被，，所截，AB＝8，BC＝12，EF＝9，则DE的长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 4．观察下列每组三角形，不能判定相似的是（    ） A． B． C． D． 5．若△ABC的三边长分别为1，，，△DEF的三边长分别2，，，则与（　　） A．一定相似 B．一定不相似 C．不一定相似 D．无法判定是否相似 6．如图，在 中，点 是 上一点，过 作 交 于点 ， ， ，则 与 的比是（　　） A．3：2 B．3：5 C．9：16 D．9：4 7．如图，已知，点D，E分别在边，的反向延长线上，且．若，，，则AB为(   ) A．5 B．8 C．10 D．15 8．如图，D是△ABC的边AB上一点，下列条件：①∠ACD＝∠B；②；③＝；④∠B＝∠ACB，其中一定使△ABC∽△ACD的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 9．在和中，，，，，则与是否相似？ ，理由是 ． 10．如图，与交于点，要使，需要添加一个条件，这个条件可以是 ．（写一个即可） 11．如图，小正方形的边长都为1，则图形中的阴影三角形相似的序号为 ． 12．如图，在中，，点是边上的动点（点不与点重合），当 度时，． 13．已知如图，在中，，，垂足是，写出图中的一组相似三角形 ． 14．如图，为平行四边形的对角线上一点，的延长线交边于点．在不添加辅助线的情况下，请写出图中一对相似三角形: ． 15．的三条中线、、交于点，若，则的长为 ． 16．如图，是的直径，点在圆上，，，则图中与相似的三角形有 个． 三、解答题 17．如图，线段、是的两条高．求证：．    18．如图，点、在线段上，△是等边三角形，． (1)证明：； (2)线段、、之间有怎样的数量关系？请说明理由． 19．如图，已知，． (1)求的长； (2)求证：． 20．如图，是的直径，点在上，，垂足为，，分别交，于点，． (1)若的度数为，求的度数； (2)求证：； (3)求证：． 21．如图1，把两块全等的含角的直角三角板和叠放在一起，使三角板的锐角顶点与三角板的斜边中点重合，把三角板固定不动，让三角板绕点旋转，两边分别与线段，相交于点，. (1)．请直接写出采用的相似三角形的判定定理； (2)如图②，将含角的三角板（其中的锐角顶点与等腰（其中的底边中点重合，两边，分别与边、相交于点、．在不添加字母及辅助线的情形下，写出图中的一堆相似三角形，并证明． (3)将（2）中的其他条件不变，将三角板旋转至两边，分别与边的延长线、边相交于点、．上述结论还成立吗？请你在图③上补全图形，并直接写出（2）中的结论是否成立． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C B D A B C B 1．解：有一个角是100°，又由于三角形内角和180°， 所以这个角必是三角形的顶角， 所以底脚是40°， 由三角形相似性的判定：有两角对应相等的两个三角形相似． 所以C正确， 故选C． 2．解：A、根据题意得：，即，故本选项不符合题意； B、根据题意得：，即，故本选项不符合题意； C、根据题意得：，即，故本选项符合题意； D、根据题意得：，即，故本选项不符合题意； 故选：C 3．解：∵， ∴， ∵AB＝8，BC＝12，EF＝9， ∴，解得DE＝6， 故选：B． 4．解：由题意知，A中，能判定相似，故不符合要求； B中，，能判定相似，故不符合要求； C中，且对顶角相等，能判定相似，故不符合要求； D中，不能判定相似，故符合要求； 故选：D． 5．解： ． 故选：A． 6．解：∵ ， ， ， ∴， ∴ 与 的比是 ， 故选：． 7．解：∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得：， 故选：C． 8．解：∵∠DAC=∠CAB， ∴当∠ACD=∠B或∠ADC=∠ACB，可根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判断 △ACD∽△ABC，故①正确，④不正确； 当时，可根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可判断△ACD∽△ABC，故②正确； 当＝时，虽∠DAC=∠CAB但不是夹角，所以△ACD与△ABC不相似，故③不正确． 因此有2个正确． 故选：B． 9． 解：∵，， ∴∠B＝180°－70°－65°＝45°， ∴，， ∴， 理由是：一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，这两个三角形相似； 故答案为相似，一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，这两个三角形相似. 10．解：根据图象可知，与为对顶角， ∴， ∴根据相似三角形的判定定理：两组角分别对应相等的两个三角形是相似三角形， 得到，即可证明． 11．解：①三边分别为：， ②三边分别为：， ③三边分别为：， ④三边分别为：， ⑤三边分别为：， ， 图形中的阴影三角形相似的序号为①②． 故答案为：①②． 12．解：，， ， 时， ，， ． 故答案为：70． 13．解：在中，，， ，， 在和中，，， ； 在和中，， 又，， ， ； 在和中，，， ． 故答案是： （答案不唯一）． 14．解：∵ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD． ∴∠ABD=∠CDB． ∵∠AEB=∠FED， ∴△ABE∽△FDE． 故答案为：△ABE∽△FDE. 15．解：连接， 则， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：15． 16．解：∵是的直径， ∴， ∵， ， 图中的所有的三角形都是直角三角形 在直角和直角中， ， 同理：，，均与相似 ∴共有四个 故答案为：四． 17．证明：∵线段、是的两条高， ∴， ∴， 又∵， ∴． 18．（1）证明：∵是等边三角形， ∴，， ∴； ∵，即：， ∴，， ∴，, ∴； （2）结论：． 证明∵， ∴； ∵， ∴，， 又∵， ∴ 19．（1）解：∵， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 20．（1）解：连接， ，的度数为， 的度数为， ， ； （2）证明：是的直径， ， ； ， ； ， ， ， ； （3）证明：是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 22．（1）解：∵和均为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 故采用的相似三角形的判定定理为：两角分别相等的两个三角形相似； （2），证明如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； （3）根据题意，补画图形如下： 结论仍然成立，理由如下： 由（2）可知，， ∵， ∴， 又∵， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$