精品解析：广东省广州市天河中学2024-2025学年高三上学期11月测试数学试题

广州市天河中学高三数学测试 一､单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法，求得，结合集合并集的概念与运算，即可求解. 【详解】由不等式，可得，解得， 所以集合， 又因为，可得. 故选：B. 2. 设复数z满足，z在复平面内对应的点为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】，根据模长公式得到，两边平方得到答案. 【详解】，则， 即，故. 故选：C 3. 以下最符合函数的图像的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的定义域，奇偶性，特殊值，排除选项. 【详解】当时，，所以函数的定义域为，故排除A； ，所以函数为奇函数，关于原点对称，故排除D； ，故排除B，满足条件的只有C. 故选：C 4. 在1和11之间插入个数，使得这个数成等差数列．若这个数中第1个为，第个为，则的最小值是（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】由等差数列的性质可得，再利用“”的妙用求最小值. 【详解】由题可知，， 所以有， 当且仅当，即时等号成立， 此时满足，，所以的最小值是3. 故选：D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用凑角法得到方程，两式相加得到. 【详解】①， ②， 由①②相加，得，所以. 故选：A. 6. 从，，，，，，这个数中任选个组成一个没有重复数字的“五位凹数”（满足），则这样的“五位凹数”的个数为（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】A 【解析】 【分析】利用分步乘法计数原理可得. 【详解】第一步，从，，，，，，这个数中任选个共有种方法， 第二步，选出的个数中，最小的为，从剩下的4个数中选出个分给，由题意可知，选出后就确定了，共有种方法， 故满足条件的“五位凹数”个， 故选：A 7. 已知点P在抛物线M：上，过点P作圆C：的切线，若切线长为，则点P到M的准线的距离为（ ） A. 5 B. C. 6 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点P的位置以及切线长可解得点横坐标为5，再由焦半径公式可得结果. 【详解】设点，由圆的方程可知圆心，半径； 又切线长为，可得， 即，解得，可得； 再由抛物线定义可得点P到M的准线的距离为. 故选：C 8. 直线：与：交于点P，圆C：上有两动点A，B，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件可知点的轨迹是以为直径的圆，其方程为，作,则为的中点，求得最小值即可. 【详解】因为直线：，：， 则， 又的方程可化为，所以过定点， 的方程可化为，所以过定点， 所以点的轨迹是以为直径的圆(去除， 其方程为， 其圆心,半径， 作,则为的中点， 根据勾股定理易求得, 如图所示，当在同一条直线上时最小， 又, ， 故的最小值为， 故选：B. 二､多选题 9. 给出下列命题，其中正确命题为（ ） A. 已知数据，满足：，若去掉后组成一组新数据，则新数据的方差为21 B. 随机变量服从正态分布，若，则 C. 一组数据的线性回归方程为，若，则 D. 对于独立性检验，随机变量的值越大，则推断“两变量有关系”犯错误的概率越小 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据方差计算判断A,应用正态分布概率计算求参判断B,根据回归直线过样本中心点求解判断C,应用独立性检验判断D. 【详解】对于A选项，去掉后的平均数为， 方差为,故A选项正确； 对于B选项，由于随机变量服从正态分布， 则，关于1对称，则,故B选项正确； 对于C选项，因为，所以，又因为回归方程为， 所以，所以，故C选项错误； 对于D选项，对于独立性检验，随机变量的值越大，则两变量有关系的程度的错误率更低，故越大，判定“两变量有关系”的错误率更低，D选项正确． 故选:ABD. 10. 设函数，则（ ） A. 是的极小值点 B. C. 不等式的解集为 D. 当时， 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A：求导，利用导数判断的单调性和极值； 对于B：根据解析式代入运算即可；对于C：取特值检验即可； 对于D：分析可得，结合的单调性分析判断. 【详解】对于选项A：因为的定义域为R， 且， 当时，；当或时，； 可知在，上单调递增，在上单调递减， 所以是函数的极大值点，故A错误； 对于选项B：因为，故B正确； 对于选项C：对于不等式， 因为，即为不等式的解，但， 所以不等式的解集不为，故C错误； 对于选项D：因为，则， 且，可得， 因为函数在上单调递增，所以，故D正确； 故选：BD. 11. 在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1，2，3，4的四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭，也就是主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开了另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率，现在已知甲选择了1号箱，在箱子打开之前，主持人先打开了3号箱．用表示主持人箱子打开之前i号箱有奖品（i＝1，2，3，4），用表示主持人打开j号箱子j＝2，3，4），下列结论正确的是（ ） A. B. C. 要使获奖概率更大，甲应该坚持选择1号箱 D. 要使获奖概率更大，甲应该改选2号或者4号箱 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据古典概型判断A选项，结合条件概率和全概率公式及贝叶斯公式分别判断B,C,D选项. 【详解】对于A选项，抽奖人在不知道奖品在哪个箱子的情况下选择了1号箱，他的选择不影响奖品在四个箱子中的概率分配， 因此，，，的概率均为，即A正确； 对于B选项，奖品在2号箱里，主持人只能打开3、4号箱，故，故B正确； 对于C、D选项， 方法一：奖品在1号箱里，主持人可打开2、3、4号箱，故， 奖品在2号箱里，主持人只能打开3、4号箱，故， 奖品在3号箱里，主持人打开3号箱的概率为0，故， 奖品在4号箱里，主持人只能打开2、3号箱，故，由全概率公式可得： ，， ，故C错误，D正确. 方法二：若继续选择1号箱，有奖品的概率为，无奖品的概率为，主持人打开了无奖品的3号箱， 若不换号，则甲在1号箱获得奖品的概率依然为，而在排除了3号箱有奖的情况下， 2号或者4号箱获奖的概率会提高，因此为了增加中奖的概率，甲应该改选2号或者4号箱． 故选：ABD． 三､填空题 12. 已知二项式的展开式中只有第4项的二项式系数最大，且展开式中各项的系数和为64，则正数的值为______. 【答案】3 【解析】 【分析】根据题意得到展开式的总项数为7项，求得，再令得展开公式中各项的系数和，解方程即可求解. 【详解】因为的展开式中只有第4项的二项式系数最大， 所以展开式一共有项，即，令，得展开式中所有项的系数和为， 所以或（舍去），所以正数的值为3. 故答案为：3. 13. 已知双曲线的左焦点为，直线过点，在第四象限与双曲线的渐近线交于点，且直线与圆切于点，若，则双曲线的离心率是______． 【答案】## 【解析】 【分析】求出，因为，所以，求出，，根据和正切和角公式得到，求出离心率. 【详解】如图，因为直线与圆切于点，所以． 因为，，所以．因为， 所以，则，． 因为，所以， 所以，即，所以，则双曲线的离心率． 故答案为： 14. 已知函数，若存在唯一的负整数，使得，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】当时，由可得出，令，其中，利用导数分析函数在上的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围. 【详解】当时，由可得，则， 令，其中，则， 当时，令，可得，列表如下： 增 极大值 减 且，，，，如图所示： 要使得存在唯一的负整数，使得，即， 只需，即， 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 四､解答题 15. 已知数列的首项，且满足，设. （1）求证：数列为等比数列； （2）若，求满足条件的最小正整数． 【答案】（1）证明：由，得， 所以， 又，所以数列为首项为，公比为等比数列. （2）2024 【解析】 【分析】（1）利用等比数列的定义证明即可； （2）利用分组求和的方法得到，然后利用的增减性解不等式即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，数列为首项为，公比为等比数列，且， 所以 ， 即， 所以， 而因为在上均单调递增， 则随着的增大而增大， 要使，即，则， 即的最小值为2024. 16. 在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，． （1）求的值； （2）若的面积为，求AB边上的高． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由二倍角的正弦公式、正弦定理和余弦定理求解即可. （2）由（1）求出，由同角三角函数的基本关系求出，最后由三角形的面积公式求解即可. 【小问1详解】 ∵， ∴， 由正余弦边角关系得，①， 又，② 由①②得，， ∴，∴ 【小问2详解】 由（1）得，， （或由余弦定理得） ∵为锐角，∴， ∴的面积， ∴， 设边上的高为， 则的面积， ∴，即边上的高为. 17. 2024年10月1日是新中国诞辰75周年，为弘扬爱国主义精神，某学校开展了爱国主义知识竞赛活动，在最后一轮晋级中，参赛选手两人为一组，要求：在规定时间内两人分别对两道不同的题作答，每题只有一次作答机会，每道题是否答对相互独立．已知甲答对每道题的概率为，乙答对每道题的概率为，答题过程中甲乙每次是否作答正确互不影响． （1）若， ①甲在两次作答中，分别求甲答对两道题和甲答对一道题的概率； ②求甲、乙各两次作答中一共答对3次题的概率； （2）若，求甲、乙各两次作答中一共答对3次题的概率的最小值． 【答案】（1）①，；② （2） 【解析】 【分析】（1）设相应事件，①根据独立事件概率乘法公式运算求解；②分析可知，结合独立事件概率乘法公式以及互斥事件概率求法运算求解； （2）分析可知，整理可得，根据题意结合基本不等式分析求解. 【小问1详解】 设甲答对一道题甲答对两道题，乙答对一道题乙答对两道题 ①由题意可得： ②同理：由题知， 设“甲、乙各两次作答中一共答对3次题”， 则，且与互斥，与与分别相互独立， 所以 ， 因此，甲、乙各两次作答中一共答对3次题的概率 【小问2详解】 由题知：， 设“甲、乙各两次作答中一共答对3次题”， 则，且与互斥，与与分别相互独立， 所以 因为，当且仅当时等号成立， 可得，即， 所以甲、乙各两次作答中一共答对3次题的概率的最小值为 18. 已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，且经过点 （1）求椭圆E的方程； （2）求的角平分线所在直线的方程； （3）在椭圆E上是否存在关于直线对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2） （3）不存在，理由如下： 思路一：假设存在关于直线对称的相异两点， 设， 联立可得， ∴线段中点为在的角平分线上， 即，解得； 因此与点A重合，舍去，故不存在满足题设条件的相异的两点． 思路二：假设存在关于直线对称的相异两点，线段中点， 由点差法可得，即； ∴， 因此， 联立可得与点A重合，舍去， 故不存在满足题设条件的相异的两点． 【解析】 【分析】（1）根据椭圆经过的点的坐标以及离心率解方程组可求得椭圆E的方程； （2）思路一：利用角平分线上的点的性质，由点到直线距离公式整理可得结论； 思路二：求得椭圆在点处的切线方程，再由椭圆的光学性质可得平分线所在直线方程； （3）思路一：假设存在关于直线对称的相异的两点，联立直线与椭圆方程可得线段中点与点A重合，假设不成立； 思路二：利用点差法求出，联立直线方程可得点与点A重合，不合题意，可得结论. 【小问1详解】 椭圆E经过点， 可得，解得， 因此可得椭圆E的方程为； 【小问2详解】 由（1）可知，， 思路一： 由题意可知，，如下图所示： 设角平分线上任意一点为，则 得或 又易知其斜率为正， ∴的角平分线所在直线为 思路二：椭圆在点处的切线方程为， 根据椭圆的光学性质，的角平分线所在直线的斜率为， 所以的角平分线所在直线， 即. 【小问3详解】 不存在，理由略. 19. 在微积分中，泰勒展开是一种常用的分析方法.若在包含的某个开区间中具有阶导数，设表示的阶导数.则对有.其中，是位于与之间的某个值，它称为阶泰勒余项.叫做在处的阶泰勒多项式. （1）求在处的1阶泰勒多项式和2阶泰勒多项式，并证明：当时，； （2）整数.定义数列.设e为自然对数的底数. （i）求证：； （ii）求证：. 【答案】（1）； 证明：令则， 故在上递减，则，即； 令，则， 故在上递增，则，即. 所以当时，. （2）（i）证明：令，则，， 所以，， 所以； 令则， 故在上递减，则，即； 令，则， 故在上递增，则，即. 所以当时，. （ii）证明：由题意可知，， 故由得， 所以， 则有，即. （ii）同（i），我们有， 则对任意的， 故，所以，即，对任意的成立. 函数的导函数为， 所以当时，；时，，1 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，即， 所以 ， 故 ， 故由得 ， 即. 【解析】 【分析】（1）令，求出和即可求出和；当时，利用导数工具求证和即可得证. （2）令，先求证为增数列且当时，；为增数列，且当时，.（i）由题意得， 接着利用放缩法得，从而利用累加法得，于是得；（ii）同（i）得，结合累加法得对任意的，，于是得即，再结合得，接着得，进而推出，从而得证. 【小问1详解】 令，则，， 所以，， 所以； 证明略； 【小问2详解】 令， 由题意可知，，故，依次类推有， 故当时，， 所以为增数列，且当时，； 同理为增数列，且当时，. （i）略 （ii）略 【点睛】方法点睛：放缩法是一种在求解数学问题时经常使用的技巧之一，尤其在导数和数列上证明不等式时，常见放缩公式（来源于麦克劳林公式）有： （1） （2） （3） （4） （5） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广州市天河中学高三数学测试 一､单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设复数z满足，z在复平面内对应的点为，则（ ） A. B. C. D. 3. 以下最符合函数的图像的是（ ） A. B. C. D. 4. 在1和11之间插入个数，使得这个数成等差数列．若这个数中第1个为，第个为，则的最小值是（ ） A. B. 2 C. D. 3 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 从，，，，，，这个数中任选个组成一个没有重复数字的“五位凹数”（满足），则这样的“五位凹数”的个数为（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 7. 已知点P在抛物线M：上，过点P作圆C：的切线，若切线长为，则点P到M的准线的距离为（ ） A. 5 B. C. 6 D. 8. 直线：与：交于点P，圆C：上有两动点A，B，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二､多选题 9. 给出下列命题，其中正确命题为（ ） A. 已知数据，满足：，若去掉后组成一组新数据，则新数据的方差为21 B. 随机变量服从正态分布，若，则 C. 一组数据的线性回归方程为，若，则 D. 对于独立性检验，随机变量的值越大，则推断“两变量有关系”犯错误的概率越小 10. 设函数，则（ ） A. 是的极小值点 B. C. 不等式的解集为 D. 当时， 11. 在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1，2，3，4的四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭，也就是主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开了另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率，现在已知甲选择了1号箱，在箱子打开之前，主持人先打开了3号箱．用表示主持人箱子打开之前i号箱有奖品（i＝1，2，3，4），用表示主持人打开j号箱子j＝2，3，4），下列结论正确的是（ ） A. B. C. 要使获奖概率更大，甲应该坚持选择1号箱 D. 要使获奖概率更大，甲应该改选2号或者4号箱 三､填空题 12. 已知二项式的展开式中只有第4项的二项式系数最大，且展开式中各项的系数和为64，则正数的值为______. 13. 已知双曲线的左焦点为，直线过点，在第四象限与双曲线的渐近线交于点，且直线与圆切于点，若，则双曲线的离心率是______． 14. 已知函数，若存在唯一的负整数，使得，则实数的取值范围是______． 四､解答题 15. 已知数列的首项，且满足，设. （1）求证：数列为等比数列； （2）若，求满足条件的最小正整数． 16. 在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，． （1）求的值； （2）若的面积为，求AB边上的高． 17. 2024年10月1日是新中国诞辰75周年，为弘扬爱国主义精神，某学校开展了爱国主义知识竞赛活动，在最后一轮晋级中，参赛选手两人为一组，要求：在规定时间内两人分别对两道不同的题作答，每题只有一次作答机会，每道题是否答对相互独立．已知甲答对每道题的概率为，乙答对每道题的概率为，答题过程中甲乙每次是否作答正确互不影响． （1）若， ①甲在两次作答中，分别求甲答对两道题和甲答对一道题的概率； ②求甲、乙各两次作答中一共答对3次题的概率； （2）若，求甲、乙各两次作答中一共答对3次题的概率的最小值． 18. 已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，且经过点 （1）求椭圆E的方程； （2）求的角平分线所在直线的方程； （3）在椭圆E上是否存在关于直线对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由． 19. 在微积分中，泰勒展开是一种常用的分析方法.若在包含的某个开区间中具有阶导数，设表示的阶导数.则对有.其中，是位于与之间的某个值，它称为阶泰勒余项.叫做在处的阶泰勒多项式. （1）求在处的1阶泰勒多项式和2阶泰勒多项式，并证明：当时，； （2）整数.定义数列.设e为自然对数的底数. （i）求证：； （ii）求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $