精品解析：福建省厦门集美中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

厦门集美中学2024-2025学年（上）高一期中考试 数 学 （试卷满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，集合，则图中阴影部分表示（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数既是奇函数又在上为增函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 设，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 6. 一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买黄金，售货员现将的砝码放在天平的左盘中，取出黄金放在天平右盘中使天平平衡；将天平左右盘清空后，再将的砝码放在天平右盘中，再取出黄金放在天平的左盘中，使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．则（ ） A. B. C. D. 以上都有可能 7. 我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合白般好，隔离分家万事休.”在数学的学习和研究中，有时可凭借函数的图象分析函数解析式的特征.已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数满足，且当时，，若存在，使得，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数图像经过点，则下列结论正确的有（ ） A. 为偶函数 B. 为增函数 C. 若，则 D. 若，则 11. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数，则下列结论正确的有（ ） A. 函数的值域为 B. 函数的图象关于点成中心对称图形 C. 的解集为 D. 若函数满足为奇函数，且其图象与函数的图象有个交点，记为，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的定义域为______． 13. 已知集合，，若，则实数的所以可能取值组成的集合是_________. 14. 若定义在的奇函数在单调递减，且，则满足的的取值范围是_____． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）计算； （2）求不等式的解集． 16. 已知是定义在上的奇函数，当时，． （1）求的解析式； （2）画出的简图；写出的单调递增区间（只需写出结果，不要解答过程） （3）若函数在是单调递减，求的取值范围 17. 函数是定义在 上的奇函数，且 （1）求函数的解析式； （2）用定义证明：在上是增函数； （3）解不等式. 18. 已知函数. （1）求的值域； （2）若对，不等式恒成立，求实数m的取值范围. 19. 设函数在区间上有定义，若对任意，都存在使得：，则称函数在区间上具有性质． （1）判断函数在上是否具有性质，并说明理由； （2）若函数在区间上具有性质，求实数的取值范围； （3）设，若存在唯一的实数，使得函数在上具有性质，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门集美中学2024-2025学年（上）高一期中考试 数 学 （试卷满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，集合，则图中阴影部分表示（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的交并补运算即可求解. 【详解】图中阴影表示,所以， 故选：C 2. 下列函数既是奇函数又在上为增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据函数解析式的形式以及函数性质判断. 【详解】A.是偶函数，故不成立； B.，所以不是奇函数，故不成立； C.的定义域是，并且，所以函数是奇函数，并且，，所以函数在并不是单调递增函数，故不成立； D. 的定义域是，并且，所以函数是奇函数， 并且函数在都是增函数，所以满足增函数+增函数=增函数，故D成立. 故选：D 3. 设，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性即可比较作答. 【详解】，，故， 由于，故 ，故， 故选：D 4. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用分式不等式以及充分不必要条件的集合表示，可得答案. 【详解】由，可得或， 又集合是集合或的真子集， 所以“”是“”的充分不必要条件． 故选：A 5. 函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出函数的定义域，利用复合函数法可求得函数的递减区间. 【详解】对于函数，有，即，解得， 所以，函数的定义域为， 因为内层函数在上单调递增，在上单调递减， 且内层函数在上为增函数， 由复合函数法可知，函数的递减区间为. 故选：A. 6. 一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买黄金，售货员现将的砝码放在天平的左盘中，取出黄金放在天平右盘中使天平平衡；将天平左右盘清空后，再将的砝码放在天平右盘中，再取出黄金放在天平的左盘中，使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．则（ ） A. B. C. D. 以上都有可能 【答案】A 【解析】 【分析】根据杠杆原理可得，，进而可根据基本不等式求解. 【详解】设天平左臂长为，右臂长为，且，则有，，即 ，， 所以，， 又因为，所以. 故选：A 7. 我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合白般好，隔离分家万事休.”在数学的学习和研究中，有时可凭借函数的图象分析函数解析式的特征.已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图象函数为奇函数，排除D；再根据函数定义域排除B；再根据时函数值为正排除A；即可得出结果. 【详解】由题干中函数图象可知其对应的函数为奇函数， 而D中的函数为偶函数，故排除D； 由题干中函数图象可知函数的定义域不是实数集，故排除B； 对于A，当时，，不满足图象；对于C，当时，，满足图象. 故排除A，选C. 故选：C 8. 已知函数满足，且当时，，若存在，使得，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，探讨函数的单调性，再结合赋值法求出，并由单调性脱去法则，转化为二次方程在上有解即得. 【详解】任取，且，则，而当时，，于是， 又，因此， 则函数是增函数，而， 于是，令，得，令，得， 令，得，令，得， 令，得，即有，因此， 原问题即在有解，令， 则在时有解，从而，， 所以a的取值范围是. 故选：D 【点睛】关键点睛：涉及由抽象的函数关系求函数值，根据给定的函数关系，在对应的区间上赋值，再不断变换求解即可. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据条件，利用不等式的性质，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】对于选项A，由，，得，所以选项A正确； 对于选项B，由，得，所以选项B正确； 对于选项C，由，得，所以选项C错误； 对于选项D，由，得，所以选项D错误. 故选：AB. 10. 已知函数图像经过点，则下列结论正确的有（ ） A. 为偶函数 B. 为增函数 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据函数图像经过点，得到，定义域为，然后逐项判断. 【详解】解：因为函数图像经过点， 所以，解得，则，定义域为， 定义域不关于原点对称，所以不是偶函数，易知为增函数，所以当时，， 作出函数的图象，如图所示： 由图象知：， 所以当时，， 故选：BCD 11. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数，则下列结论正确的有（ ） A. 函数的值域为 B. 函数的图象关于点成中心对称图形 C. 的解集为 D. 若函数满足为奇函数，且其图象与函数的图象有个交点，记为，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意，分析函数的值域可得A错误，设，分析为奇函数，可得的对称中心， 可得B正确，由的对称性可得，结合函数的单调性即可判断C正确，由、 的对称性可得两个函数的交点也关于对称，进而分析可得D正确． 【详解】对于A，函数，由于，则，则， 即函数的值域为，A错误； 对于B，设， 则， 其定义域为，有，则为奇函数， 故的对称中心为，B正确； 对于C，的对称中心为，即， 故可得， 由于函数单调递增且恒为正，故在上单调递减， 故，解得，故C正确， 对于D，函数满足为奇函数，且的对称中心为， 而的对称中心为， 则与函数的图象的个交点也关于对称， 则，， 则，D正确． 故选：BCD． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的定义域为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据求定义域的法则求解. 【详解】要使函数有意义， 需满足，即， 则函数的定义域为， 故答案为：. 13. 已知集合，，若，则实数的所以可能取值组成的集合是_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据集合的包含关系分类求解． 【详解】时，， 时，，由得，或，即或， 综上，的取值集合是． 故答案为：． 14. 若定义在的奇函数在单调递减，且，则满足的的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数奇偶性的性质，然后判断函数的单调性，利用分类讨论思想进行求解即可． 【详解】解：因为定义在的奇函数在单调递减，且， 所以在上单调递减，且，如下图为的大致图象： 所以当或时，；当或时，， 由得或，解得或， 所以的取值范围是． 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）计算； （2）求不等式的解集． 【答案】（1）； （2）当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）利用指数运算计算得解. （2）分类讨论解一元二次不等式. 【详解】（1）. （2）不等式， 当时，解得或；当时，解得或， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 16. 已知是定义在上的奇函数，当时，． （1）求的解析式； （2）画出的简图；写出的单调递增区间（只需写出结果，不要解答过程） （3）若函数在是单调递减，求的取值范围 【答案】（1） （2） 递增区间是 （3） 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的定义求出解析式. （2）利用二次函数图象及奇函数的对称性作出函数图象，再结合图象求出递增区间. （3）由（2）求出递减区间，再列出不等式求解. 【小问1详解】 函数是上的奇函数，当时，， 当时，，， 所以. 【小问2详解】 当时，的图象是二次函数在轴及右侧部分， 再作出它关于原点对称的图形，函数的图象如图， 观察图象得的单调递增区间是. 【小问3详解】 由（2）中图象得函数的单调递减区间是， 由函数在是单调递减，得，解得， 所以的取值范围是. 17. 函数是定义在 上的奇函数，且 （1）求函数的解析式； （2）用定义证明：在上是增函数； （3）解不等式. 【答案】（1）；（2）任取，且 因为，所以 所以，即， 所以在上是增函数 （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，从而可求出的值，进而可得函数的解析式； （2）任取，且，然后对作差变形，再判断符号，可证得结论； （3）由于函数为奇函数，所以不等式可化为，再利用在上是增函数，可得，解不等式组可得答案 【详解】（1）由题意得：， 解得，此时，满足题意， 所以 （2）略 （3）因为，所以， 因为是上的奇函数，所以， 由（2）知是上的增函数，所以，， 所以，不等式的解集为： 【点睛】此题考查奇函数的性质的应用，考查单调性的证明方法，考查利用函数的奇偶性和单调性解不等式，求解析式时，利用奇函数重要的性质：若奇函数在处有意义，则 18. 已知函数. （1）求的值域； （2）若对，不等式恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）换元法转化成二次函数在给定区间求值域即可解决； （2）分离参数后，再构造函数，并求其值域，即可解决. 【小问1详解】 令，当时，， 则可将原函数转化为， 当时，；当时，. 所以在上的值域为. 【小问2详解】 令，当时，， 则关于x的不等式对恒成立，可化为 对恒成立， 所以，即， 又在上为减函数，在上为增函数， 在上的最大值为. 因此实数m的取值范围为. 19. 设函数在区间上有定义，若对任意，都存在使得：，则称函数在区间上具有性质． （1）判断函数在上是否具有性质，并说明理由； （2）若函数在区间上具有性质，求实数的取值范围； （3）设，若存在唯一的实数，使得函数在上具有性质，求的值． 【答案】（1）不具有性质，理由如下： 若对任意，都存在使得， 所以，故在上的值域为在上的值域的子集. ∵的值域为，的值域为，显然不是的子集， 即函数在上不具有性质； （2） （3），． 【解析】 【分析】（1）原式可化为对任意，都存在使得，即函数的值域为值域的子集即可； （2）根据的值域为值域的子集即可列不等式求解； （3）根据的值域为值域即可分类讨论求解； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 函数在区间的值域为， 函数在上的值域为， 要使函数具有性质，只需，解得，即的取值范围为. 【小问3详解】 由题意的值域为， ∵，∴的对称轴，且开口向下， ∴的最大值为，又，， 当，即时，的值域为， 要满足题意，只需，解得，，符合题意； 当，即时，的值域为， 要满足题意，只需，解得，∴符合题意， 综上，的取值为，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $