上海交通大学附属中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

参考答案 一，填空题 1.(0,3) 2.{3} 3.( 4.arctan- 5.±10 65-1 2 2v2 5 ,5 8.a<-3 2 3 9.（-0, 2 10.4-√5 11.6017 12.②③④ 【第10题】 解：由于直线xcos0+ysin0=4+sin0+2cos0到点(2,1)的距离等于4，所以集 合2中所有的点都在以点(2,1)为圆心，4为半径的圆上或圆外，所以集合2中任意一点 到坐标原点距离的最小值为4-√5. 【第12题】 解：②③④ d=2π，则对任意a,sin(an)=sin(a)恒成立，故@错②对. 取b,=π，任取g∈Z.则bn=g"-，sin(bn)=0恒成立. 故④正确. (更强的命愿·6=二元x则均存在无数个g≠1，使得si动6，)为常数，取g=2s+h,keZ 即可) 只证明③.取b=l,假设sin(bn》}为常数列，则 bn=q"=1+2k或π-1+2k元 取n=2,则q=1+2kπ或π-1+2kπ=-1+(2k-1)m n=3,则g2=1+2k2或π-1+2k2元 情况一9=1+2k,π(k1≠0以g2=1+2k2π 则(1+2kπ}=1+2k,π，这是一个关于π的一元二次方程，但这是不可能的（π是超 越数) 其他情况同理。所以这样的等比数列不存在 二.选择题 13.B 14.C 15.B 16.C 三.解答题 17. 解：(1)由题意得 a(a-1)+b=0 a=2a=-2 解得 -a+b+4=0 b=-2b=-6 a=1 a=b(a-1) a=0 (2)由题意得 解得 a+2b=0 1或 (b=0 (舍)： b= 2 [a=1 所以实数a,b的值 ,1 b-2 18. 解：(1)由于a,+1≠0，所以an+1≠0， 而a,+1=4a+),所以8，+=4为常数， an1+1 因此数列{an+1}是等比数列： (2)由1)，a.+1=4”,所以n22时，b,=” 1+1 n-1n-1 所以b2>b3>…,且bn>1(n≥2)， 所以数列{b}中的最大项是b2=2,最小项是b=1. 19. 解：(1)在△PAO中，由正弦定理，得 OA OPL=PAL=1055. sin 4π-0 sin0 sin 4 于是104=10w5sim(}x-0小1o-10w2sin0, swo=2o4 i-s02sn0sn(2-0小， 所以四边形04P8的面积为S=10v反sn0s(任-09e气仔子 2)s=lo05sm9sn[2-0） =100(sin0cos0+sin20) =10∞5n20+1上g2） =50w5sm(20-500e4rr月 所以，当6=3r时，四边形0APB的面积S取得最大值S=50(√2+1)： 8 20. 解：①椭圆工子+大 =1的长轴长为4， 3 由椭圆定义知，△FPQ的周长为8； (2)由椭圆方程得A0,V3),F(-1,0),E(O,),设P(:,y)M(x,) 由丽-号和，得x+1-+川为-子：@ 点M线段AE上，所以x2,y2满足方程为y2=-V5(x2-1) 将①式代入，得y=-V3(x-2), 代入椭圆方程，得5x2-16x+12=0, 因为>0，所以写号 (3)设P(x,),Q(x3,y3),N(n,0),直线1的方程为y=k(x-1) 则点R的坐标为（飞，一），直线QR的方程为y=上+当(x-x)+, X3一 n=5-色-_5+x丛-25-压+ 片3+为 为+为 x1+x3-2 将直线方程代入椭圆方程得： 8k2 (3+42)x2-8k2x+42-12=0,则x+无= 4k2-12 3+4k2’5= 3+4k2 2(4k2-12)8k2 所以n= 3+4k2 3+4k2=4, 8k2 3+42~2 5.onw -x(4-1)xs35 1 所以△0RN面积的最大值为35 21. 解：（1)(2,1)、(-2,1)(-2,1)(2，-1)： (2)设A(a,a2)、B(b,b2),(a,b∈Z且a≠b), 则|AB=√(a-b)2+(a2-b2)2a-b1V1+(a+b)2为正整数，记为t, 所以1+(a+b)2=, (a-b)2 由于a,b,t都是整数，所以(a+b)2与(a+b)2+1都是完全平方数，故只能有(a+b)2=0, 因t太-4-公_a十白=0，直线AB的斜率的所有可能值组成的集合是0. a-b 2 (3)存在正实数b,使得数列{an}为等差数列，记公差为d b 则a=a,+d（n=12,,m-1)且a-3匠-4， 所以a,a,,0n是方程名√-4=x+d的实数解. @d=0时，则白P-4=x有正整数解， 所以必有x2=4+ 16是整数，所以正整数b只可能使得b2-4=124,816,逐一 b2-4 验证发现都不符合题意，所以d=0时不存在正整数b,使得数列{an}为等差数列. ®d≠0时，则-4=x+d有至少两个不相等的整数解， 2 而方程V一4=x+d至多有两个不相等的实数解，所以只能m=3, 2 √：-4=x+d恰有两个不相等的整数解， 且 2 则直线y=x+d与双曲线父-少 =1的上半部分必有两个公共点， 4b2 得0<b<2且-2<d<-√4-b2,而b是正整数，d是整数，所以只可能b=1,d=-1, 代回验证发现不符题意，所以也不存在正整数b，使得数列{an}为等差数列. 综上，不存在正整数b,使得数列{an}为等差数列. 四.附加题 解： (1)25周， 2+V2 2 ； (2)总路径1=2匹(2sin+2sim2红++2sin-☑ n n 又有： 2sin sinπ+2sin -sin- +…+2sin πsin（n-l)π -sin 2n n 2n n 2n n 3元、 =(cos- 元-cos35+(cos 2n 2n 3π-cos5++eos22元cos2n-)5 2n 2n 2n -co (2n-1)π =COS 2n 2n 2π(c0s π。(2n-1)π、 -Cos 所以1= 2n 2n nsin 2n 2(cos -cos 2n-)匹 (3)1=lim 2n 2n -=8 H→+0 nsin 2n 2024—2025学年第一学期 高二数学期中试卷 （本试卷共6页，满分160分，120分钟完成.答案一律写在答题纸上） 命题：侯磊 审核：杨逸峰 考试说明：试卷最后的附加题为非必答题，分值10分 一、填空题.（本题共12小题，前6题每小题4分；后6题每小题5分，共54分.请在横线上方填写最终的、最简的、完整的结果） 1.设集合，，则______. 2.不等式的解集为______. 3.函数的定义域是______. 4.直线的倾斜角的大小是______（用表示）. 5.若直线与圆相切.则实数______. 6.*设椭圆的焦距为.若，，依次成等比数列，则该椭圆的离心率______. 7.已知单位向量与的夹角为，向量与的夹角为，则______. 8.若关于的方程有负实数根，则实数的取值范围是______. 9.设，对任意，恒成立，则实数的取值范围是______. 10.平面直角坐标系中的点集，则集合中任意一点到坐标原点距离的最小值为______. 11.*某房地产公司要在荒地（如图）上划出一块矩形地块（不改变方位）建造一幢公寓（、、分别在线段、、上），若米，米，米，米，且，则该矩形地块的面积最大值为______平方米.（结果精确到1平方米） 12.若是以为首项，为公差的等差数列；是以为首项，为公比的等比数列.则下列说法正确的是______ ①存在实数，使得不存在实数，满足数列是常数列； ②存在实数，使得对任意实数，满足数列都是常数列： ③存在实数，使得不存在实数，满足数列是常数列： ④存在实数，使得有无穷多个实数，满足数列是常数列； 二、选择题（本题共4小题，前2题每小题4分；后2题每小题5分，共18分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请填写符合要求的选项前的代号） 13.*在复平面内，复数对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 14.*若：（），：，则是的（ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 15.下列命题 （1）若空间四点共面，则其中必有三点共线； （2）若空间四点中有三点共线，则此四点必共面； （3）若空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面； （4）若空间四点不共面，则其中任意三点不共线； 其中真命题的个数是（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 16.若动点以等角速度在单位圆上逆时针运动，则点的运动力式是（ ） A.以角速度在单位圆上顺时针运动 B.以角速度在单位圆上逆时针运动 C.以角速度在单位圆上顺时针运动 D.以角速度在单位圆上逆时针运动 三、解答题.（本大题共5小题，满分78分.请写出必要的证明过程或演算步骤） 17.*（本题满分14分，第（1）题满分6分，第（2）题满分8分）已知、为实数，平面直角坐标系内三条直线，直线，，：，：. （1）若，且经过点，求实数，的值； （2）若且，求实数，的值. 18.（本题满分14分，第（1）题满分6分，第（2）题满分8分）已知数列的各项均为正实数，，且（）. （1）求证：数列是等比数列； （2）若数列满足，求数列中的最大项与最小项. 19.（本题满分14分，第（1）题满分8分，第（2）题满分6分）某菜农有两段总长度为20米的篱笆及，现打算用它们和两面成直角的墙、围成一个如图所示的凸四边形菜园（假设、这两面墙都足够长）.已知（米），，.设，四边形的面积为. （1）将表示为的函数，并写出自变量的取值范围； （2）求出的最大值，并指出此时所对应的值. 20.（本题满分18分，第（1）题满分4分，第（2）题满分6分，第（3）题满分8分）已知椭圆：的左、右焦点分别为、，过的直线与椭圆交于、两点. （1）求的周长； （2）设点为椭圆的上顶点，点在第一象限，点在线段上.若，求点的横坐标； （3）设直线不垂直于坐标轴，点为点关于轴的对称点，直线与轴交于点.求面积的最大值. 21.（本题满分18分，第（1）题满分4分，第（2）题满分6分，第（3）题满分8分）在平面直角坐标系中，若点满足，都是整数，则称点为格点. （1）指出椭圆上的所有格点； （2）设、是抛物线上的两个不同的格点，且线段的长度是正整数.求直线的斜率的所有可能值组成的集合； （3）设（且）项的数列满足：点是函数的图像上的格点（）.则是否存在正整数，使得数列为等差数列；若存在，请求出正整数的取值范围；若不存在，请说明理由. 【附加题】（共10分） 世界上除了圆形的轮子之外，还有一些好事之徒制作了不少形状的多边形轮子. （1）如图，平面直角坐标系内有一个边长为1的正方形，其初始位置为，，，. ①将整个正方形绕点顺时针旋转，使点首次旋转到轴正半轴上停止： ②再将整个正方形绕点顺时针旋转，使点首次选择到轴正半轴上停止； ③再将整个正方形绕点顺时针旋转，使点首次选择到轴正半轴上停止； ④再将整个正方形绕点顺时针旋转，使点首次选择到轴正半轴上停止. 我们将上述四个步骤依次操作一遍，称为将正方形“滚动”一周. 为使点向轴正方向移动100个单位长度，需要将正方形“滚动”______周，在这个过程中，点经过的路径总长度为______个单位长度； （2）如果制造一个正边形的“轮子”，该正边形的中心到任意一个顶点的距离为1，并将该正边形的“轮子”滚动一周，求点经过的路径总长度； （3）根据（2）中结果猜想：半径为1的圆形轮子在平地上滚动一周，则圆周上任意一点经过的路径总长度是多少？（不必说明理由） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$