幂函数练习-2024-2025学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

函数(6)：幂函数练习 一、单选题 1．已知幂函数的图象经过点，则＝（     ） A． B．9 C． D． 2．若函数是上的单调函数，则的一个可能取值是（    ） A． B．2 C．3 D．5 3．“”是“幂函数在上是减函数”的一个（） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 4．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．下列与函数有关的命题中，正确的是（    ） A．若，则 B．若幂函数的图象经过点，则 C．若奇函数在有最小值，则在有最大值 D．若偶函数在是减函数，则在是增函数 6．设，表示不超过的最大整数，如，记.则下列说法正确的有（   ） A．，都有 B．，都有 C．，都有 D．若存在实数，使得同时成立，则正整数的最大值为4 三、填空题 7．已知幂函数在定义域内是单调函数，则实数 ． 8． 已知幂函数的图象过点，若，则实数的取值范围是 ． 9．已知幂函数的图象关于轴对称，且，则 . 四、解答题 10．已知幂函数在区间上单调递减． (1)求的值； (2)求不等式的解集． 11．已知幂函数满足． (1)求函数的解析式； (2)若函数，是否存在实数，（），使函数在上的值域为？若存在，求出实数的取值范围，若不存在，请说明理由． 12．定义：对于定义在区间I上的函数和正数，若存在正数M，使不等式对任意，恒成立，则称函数在区间I上满足阶李普希兹条件. (1)判断函数，在R上是否满足1阶李普希兹条件; (2)证明函数在区间上满足阶李普希兹条件，并求出M的取值范围; (3)若函数在区间上满足阶李普希兹条件，求的范围. 答案第5页，共5页 2 学科网（北京）股份有限公司 答案第10页，共11页 答案第4页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 函数(6)：幂函数练习 参考解析 题号 1 2 3 4 5 6 答案 D D B C CD ACD 1．D 【难度】0.85 【知识点】求幂函数的值、求幂函数的解析式 【分析】求出幂函数的解析式，再代入求值. 【详解】设，由的图象经过点，得，解得，即， 所以. 故选：D 2．D 【难度】0.85 【知识点】根据分段函数的单调性求参数 【分析】由题意得到求解即可. 【详解】因为函数在上单调，由在]上不可能单调递增， 则函数在上不可能单调递增，故在上单调递减， 所以，结合选项验证可得：可以取5. 故选：D. 3．B 【难度】0.85 【知识点】判断命题的充分不必要条件、根据函数是幂函数求参数值、由幂函数的单调性求参数 【分析】由幂函数在上是减函数,可得，由此求出的值，由充分、必要条件的定义判断即可. 【详解】由题意，当时，在上是减函数，故充分性成立； 若幂函数在上是减函数， 则，解得或，故必要性不成立， 因此""是"幂函数在上是减函数"的一个充分不必要条件. 故选：B 4．C 【难度】0.65 【知识点】具体函数的定义域、判断与幂函数相关的复合函数的单调性 【分析】由函数解析式求得其定义域，根据二次函数与幂函数的单调性，结合复合函数的单调性，可得答案. 【详解】由函数，则，整理可得，解得， 所以函数的定义域为， 令，，由，则， 易知函数在上单调递增，在上单调递减， 函数在上单调递减， 所以函数的单调增区间为. 故选：C. 5．CD 【难度】0.65 【知识点】已知f（g（x））求解析式、求幂函数的解析式、定义法判断或证明函数的单调性、函数奇偶性的应用 【分析】利用换元法和待定系数法分别求得AB选项函数解析式，进而可得函数值，再根据函数奇偶性可判断CD选项. 【详解】A选项：，设， 则，， 即，，A选项错误； B选项：设幂函数，过点，则， 解得，所以，则，B选项错误； C选项：由已知为奇函数，则， 在有最小值，即，， 则时，，即， 即在有最大值，C选项正确； D选项：由已知为偶函数， 又在是减函数，设，，， 则，，，故， 故 即在是增函数，D选项正确； 故选：CD. 6．ACD 【难度】0.4 【知识点】由幂函数的单调性比较大小、函数新定义 【分析】根据的定义，易判断AB；结合，可得，进而结合与均为整数，可得，进而得到，再结合题意可判断C；通过不等式不断夹逼的范围，直至求得满足题意的即可判断D. 【详解】对于A，，，故A正确； 对于B，当时，，， 此时，故B错误； 对于C，因为，所以， 又与均为整数，所以， 即，则，故C正确； 对于D，，，， ，， 当时，，， 因为，所以，即 当时，，，， 因为，所以， 当时，，，，， 因为，所以， 所以若，则，此时，即， 故不存在满足，， ，，同时成立， 所以正整数的最大值为4，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：与新定义有关的问题的求解策略： 1.通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的； 2.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决. 7． 【难度】0.65 【知识点】根据函数是幂函数求参数值、由幂函数的单调性求参数 【分析】对于函数要满足系数为。再根据幂函数的单调性与指数的关系来确定的值。 【详解】因为幂函数的系数为，所以，解得或。 当时，，此函数在定义域上单调递增。 当时，，此函数在和上单调递减。 此时定义域内不是单调函数.所以. 故答案为：. 8． 【难度】0.65 【知识点】幂函数的奇偶性的应用、由幂函数的单调性解不等式、求幂函数的解析式 【分析】先将点代入求出的值，再根据幂函数的单调性和奇偶性求解即可. 【详解】由幂函数的图象过点，得，解得， 则，定义域为． 由可得为偶函数． 由幂函数的单调性可知，函数在上单调递减． 所以等价于，等价于，解得或． 所以实数的取值范围是． 故答案为：． 9．2 【难度】0.65 【知识点】由幂函数的单调性求参数、幂函数的奇偶性的应用 【分析】根据的图象关于轴对称，则为偶数.条件，得到函数在上单调递增，则.结合分类讨论即可. 【详解】的图象关于轴对称，则为偶数时. 又因，则函数在上单调递增，则，解得. 又因为，则，，. 对于，因为函数为偶函数. 当时，为奇数，函数为奇函数，不符合题意. 当时，为偶数，函数为偶函数，符合题意. 当时，为奇数，函数为奇函数，不符合题意. 故答案为：2. 10．(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】求幂函数的解析式、根据函数的单调性解不等式、公式法解绝对值不等式 【分析】（1）根据幂函数的定义和单调性求的值，确定幂函数的解析式，再求. （2）根据幂函数的解析式，把函数不等式化成代数不等式求解. 【详解】（1）由题意： ，所以. 所以. （2） 所以且. 故所求不等式的解集为：. 11．(1) (2) 【难度】0.4 【知识点】根据函数是幂函数求参数值、求二次函数的值域或最值、求幂函数的解析式、利用函数单调性求最值或值域 【分析】（1）根据函数为幂函数求得参数p的值，结合单调性即可求得函数解析式； （2）假设存在实数，（），使函数在上的值域为，根据函数单调性可得相应关系式，推出，整理化简后可得，利用换元法结合二次函数性质即可求得n的范围，即可得出结论. 【详解】（1）由是幂函数， 可得，解得或； 当时，在上单调递减，不满足； 当时，在上单调递增，满足， 故． （2）由题意知，则在定义域上单调递减， 若实数，（），使函数在上的值域为， 则，两式相减，得， 故， 而，所以，即， 将该式代入， 得， 令，由，知，即， 故，所以， 由于在上单调递减，所以， 故存在实数，（），使函数在上的值域为， 此时实数的取值范围为. 12．(1)满足1阶李普希兹条件，不满足1阶李普希兹条件. (2)证明见解析， (3) 【难度】0.4 【知识点】函数新定义 【分析】（1）结合题意根据1阶李普希兹条件的含义即可求解； （2）结合已知条件以及题干定义即可求解. （3）分情况讨论的取值范围结合定义从而即可求解. 【详解】（1）满足1阶李普希兹条件，不满足1阶李普希兹条件. 理由：对于， ，只需， 所以存在正数，对任意，使成立， 所以满足1阶李普希兹条件； 对于， ，不妨设，则 ， 即不存在正数M，使不等式对任意，恒成立， 所以不满足1阶李普希兹条件. （2）证明：不妨设，， ， 故时，对， 均有， 故函数在区间上满足阶李普希兹条件，； （3）①首先证明时不成立，假设函数在区间上满足阶李普希兹条件， 则有，令，则有， 即 取，则，则，矛盾，所以假设不成立. ②然后证明时成立，不妨设时显然成立， 令， ，； 要证函数在区间上满足阶李普希兹条件， 只需证存在正数M使得不等式成立， 即证，又， 当时，，所以； 当时，，所以； 当时，， 故取，不等式即可成立. 综上，的取值范围为 答案第10页，共11页 答案第4页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$