4.2.1指数函数概念课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

4.2.1 指数函数的概念 对于幂ax(a>0),我们已经把指数的范围拓展到了任意实数，通过函数性质的学习和对幂函数的研究，我们掌握了研究函数的一般方法： 背景 概念 图像与性质 应用 从这节课开始，我们将给大家介绍两个的基本初等函数——指数函数和对数函数。 温故知新 问题１　随着中国经济高速增长，人民生活水平不断提高，旅游成了越来越多家庭的重要生活方式．由于旅游人数不断增加，Ａ，Ｂ两地景区自2001年起采取了不同的应对措施，Ａ地提高了景区门票价格，而Ｂ地则取消了景区门票． 下表给出了Ａ，Ｂ两地景区2001年至2015年的游客人次以及逐年增加量． 新课引入 比较一下两地景区旅游人次的变化情况，你发现了怎样的规律？ 为了便于观察，可以先根据表格中数据描点，然后用光滑的曲线将离散的点连接起来. 为了有利于观察规律，根据表，分别画出Ａ，Ｂ两地景区采取不同措施后的15年游客人次的图. 分析：为了便于观察，可以先根据表格中数据描点，然后用光滑的曲线将离散的点连接起来. 观察图像和表格，可以发现： A景区的游客人次近似于直线上升(线性增长)，年增加量大致相等(约为10万人次). 分析：为了便于观察，可以先根据表格中数据描点，然后用光滑的曲线将离散的点连接起来. 观察图像和表格，可以发现： B景区的游客人次是非线性增长，年增加量越来越大，难从图像和年增加量都难看出变化规律. 【探究】我们知道，年增加量是对相邻两年的游客人次做减法得到的. 那么能否通过对B景区每年的游客人次做其他运算来发现规律呢？ 增加量=变后量-变前量 从2002年起，将B景区每年的游客人次除以上一年的游客人次，可以得到 【结论】结果表明，B景区的游客人次的年增长率都约为1.11-1=0.11，是一个常数. …… 增长率= 增加量 变前量 变后量-变前量 = 变前量 = 变前量 变后量 -1 【总结】B景区的游客人次的年增长率都约为0.11. 增长率为常数的变化方式，我们称为指数增长，因此，B景区的游客人次近似于指数增长. B景区：2001年的游客人次为278万； 1年后，游客人次是2001年的1.11倍； 2年后，游客人次是2001年的1.11²； 3年后，游客人次是2001年的1.11³； ··· ··· ··· ··· x年后，游客人次是2001年的1.11x； 如果设 x 年后的游客人次是2001年的 y 倍，那么 y=1.11x(x∈[0,+∞)) 这是一个函数，其中指数 x 是自变量. 问题２ 当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．按照上述变化规律，生物体内碳14含量与死亡年数之间有怎样的关系？ 死亡1年后，生物体内碳14含量为(1-p) ; 死亡2年后，生物体内碳14含量为(1-p)2 ; …… 设死亡生物体内碳14含量的年衰减率为p，如果把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位，那么 死亡x年后，生物体内碳14含量为(1-p)x ; 如果设 x 年后生物体内碳14含量为 y ，那么 y=(1-p)x (x∈[0,+∞)) 死亡5730年后，生物体内碳14含量为(1-p)5730; 设死亡生物体内碳14含量的年衰减率为p，如果把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位，那么 如果设 x 年后生物体内碳14含量为 y ，那么 y=(1-p)x (x∈[0,+∞))   和 y=1.11x ，x∈[0，+∞) 如果用字母a代替底数 和 1.11，则得“y=ax”形式. 一般地，函数 y = ax (a>0且a≠1) 叫做指数函数. 其中 x 是自变量,函数的定义域是 R. 观察指数函数的特点: 新课讲授 系数为1 底数a为正数且不为1 自变量x在指数 指数函数y=ax(a>0且a≠1)与幂函数 y=xa 有什么区别和联系？   0 1 a 当a<0时，a x有些会没有意义，如 当a=0时，a x有些会没有意义，如 为了便于研究，规定：a>0，且 a≠1 为什么概念中明确规定 a>0，且 a≠1 ？ 当a=1时，a x 恒等于1，没有研究的必要. 判断下列函数是否是指数函数？ 练习 例1 已知指数函数f(x)=ax (a>0，且a≠1) ，且 f(3)=π， 求f(0)，f(1)，f(-3)的值. 例题讲解   1. 已知指数函数f(x)=ax(a>0且a≠1)的图象经过 点(2，16)，求f(0)，f(2)的值. 练习 巩固训练 2. 下列图象中，有可能表示指数函数的是（　　） 巩固训练 1、指数函数概念 函数y = ax(a0，且a 1)叫做指数函数，其中x是自变量 .函数的定义域是R . 课堂小结 2、指数函数解析式特点 系数为1 底数为正数且不为1 自变量x在指数 THANKS 25 【答案】C　[由指数函数的增长速度及定义，可知C正确．] $$