第09讲 对数运算及对数函数（十一大重难点）-2024-2025学年高一数学上学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版2019必修第一册）

2024-2025学年高一数学上学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版2019必修第一册） 第09讲 对数运算及对数函数 一、对数与对数运算 1．对数的概念 （1）对数：一般地，如果，那么数 x叫做以a为底 N的对数，记作，其中a叫做对数的底数，N叫做真数. （2）对数式与指数式的互化：. （3）两个重要对数：常用对数，以10为底的对数lgN；自然对数，以无理数e=2.71828…为底数的对数lnN. 2．对数的性质 （1）1的对数等于0，即； （2）底数的对数等于1，即； （3）对数恒等式. 3．对数的运算性质 如果，那么：（1）； （2）； （3）. 4．对数的换底公式 对数的换底公式：. 换底公式的变形及推广： （1）；（2）； 二、对数函数及其性质 1．对数函数的概念 一般地，我们把函数叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是. 2．对数函数的图象和性质 一般地，对数函数的图象与性质如下表所示： 图象 定义域 值域 性质 过定点，即时， 在上是减函数 在上是增函数 当x＞1时，y＜0； 当0＜x＜1时，y＞0 当x＞1时，y＞0； 当0＜x＜1时，y＜0 在直线的右侧，当时，底数越大，图象越靠近x轴； 当时，底数越小，图象越靠近x轴，即“底大图低”． 3．对数函数与指数函数的关系 指数函数且）与对数函数且）互为反函数，其图象关于直线对称. 重难点01对数式的化简及求值 【解题必备】1.对数的运算：根据定义进行指数与对数的互化，利用对数的性质和运算性质进行对数运算 2.应用换底公式应注意： （1）化成同底的对数时，要注意换底公式的正用、逆用以及变形应用． （2）题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式． 例1．（多选）若，则下列各式中，成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】，A错； ，B正确； 由换底公式知C正确； ，D错， 故选：BC． 例2．（1）求值：； （2）已知，，请用a，b表示. 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）原式. （2）由题意得，， 所以 . 【跟踪练习】 练习1． ． 【答案】-2 【详解】． 故答案为：-2. 练习2．已知实数满足且，则 . 【答案】 【详解】由可知， 所以，即， 所以. 故答案为： 练习3．化简求各式的值 (1) (2)已知，求. 【答案】(1) (2) 【详解】（1） . （2）， ， ， . 练习4．已知，则的值为（    ） A． B．1 C．或0 D．1或0 【答案】C 【详解】因， ， 故由，可得， 化简得，即， 解得或. 又 故当时， 当时，. 故选：C. 重难点02对数函数的定义与解析式 【解题必备】判断一个函数是对数函数必须是形如且)的形式，即必须满足以下条件： (1)系数为1；(2)底数为大于0且不等于1的常数；(3)对数的真数仅有自变量. 例3．给出下列函数： ①；②；③；④. 其中是对数函数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【详解】①②不是对数函数，因为对数的真数不是仅有自变量x； ③不是对数函数，因为对数的底数不是常数；④是对数函数． 故选:A. 例4．若函数为对数函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题可知：函数为对数函数 所以或，又且 所以 故选：B 【跟踪练习】 练习1．下列函数是对数函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数(且)为对数函数， 所以ABC均为对数型复合函数，而D是底数为自然常数的对数函数. 故选：D. 练习2．若函数是对数函数，则实数a的值为 ． 【答案】2 【详解】解：因为函数是对数函数， 所以，解得． 故答案为：2. 练习3．已知为对数函数，，则 ． 【答案】1 【详解】设（，且），则，∴，即， ∴， ∴． 故答案为：1. 练习4．已知函数，且.则 ； . 【答案】 【详解】由题意，函数，因为，即，解得， 所以， 则. 故答案为：； . 重难点03对数函数的定义域问题 【解题必备】求对数函数定义域的注意事项：（1）真数大于零；（2）对数的底数大于零且不等于1. 例5．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得：得定义域为. 故选：D. 例6．函数的定义域是 . 【答案】 【详解】由题意可得，解得. 故答案为：. 【跟踪练习】 练习1．函数的定义域为 ． 【答案】 【详解】要使函数有意义，则，解得且， 故答案为: . 练习2．函数的定义域为 . 【答案】 【详解】要使函数有意义，则即， 因为为增函数，所以即. 所以函数的定义域为. 故答案为：. 练习3．函数的定义域为 ． 【答案】 【详解】因为，所以，解得， 所以定义域为， 故答案为：. 练习4．函数的定义域为 ． 【答案】 【详解】由题设，可得，即定义域为. 故答案为： 重难点04对数函数的值域问题 【解题必备】对数型函数值域的求解技巧： （1）求对数型函数的值域，一般需根据对数函数的单调性及真数的取值范围求解． （2）形如型的函数值域求解常用换元法、配方法等解题技巧． 例7．已知函数的表达式为，则函数的值域为 . 【答案】 【详解】当，，此时单调递增，则， 当，，此时单调递增，则， 综上，函数的值域为. 故答案为：. 例8．已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，，又的值域为R， 故当时，的值域包含． 故，解得． 故选：C 【跟踪练习】 练习1．已知函数的定义域为，则函数的值域是 ． 【答案】 【详解】∵，∴，即， 即，则函数的值域为. 故答案为： 练习2．已知函数的值域是全体实数，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【详解】函数的值域是全体实数， 即能取遍所有正实数， 由于，故， 当且仅当即时等号成立， 故，即，即实数m的取值范围是. 故答案为： 练习3．已知函数． (1)若，求方程的解集； (2)若函数的最小值为，求实数a的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）， 当时，，则即，整理得， 解得或，则或. 所以方程的解集为. （2），，令，， 则，，对称轴为， 当即时，，解得，不合题意舍去； 当即时，，解得，不合题意舍去； 当即时，，解得. 所以实数的值为. 练习4．已知集合，． (1)求； (2)若是奇函数，当时，求的值域． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）不等式解得，得， 函数，当时，值域为，得， 所以； （2）由在处有定义，且是奇函数， 则有，解得，此时，函数定义域为R， ， 即，满足为奇函数. 所以. 在上单调递增，且， ∴当时，的值域为． 重难点05反函数的应用 【解题必备】反函数的性质：（1）互为反函数的两个函数的图象关于直线对称 （2）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致 （3）函数的定义域是其反函数的值域:函数的值域是其反函数的定义域 例9．函数与互为反函数，且的图像过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，于是，即反函数表达式为：， 由，解得， 于是. 故选：B 例10．函数，的反函数的定义域是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数在单调递增， 所以， 即， 因为反函数的定义域是原函数的值域， 所以反函数的定义域为， 故选：C． 【跟踪练习】 练习1．（多选）已知函数和的图象与直线交点的横坐标分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】函数和互为反函数，它们的图象关于直线对称， 作出它们的图象及直线，由直线与直线垂直， 且交点为知，， 因此，所以有： ， ， 正确的ABD，错误的是C， 故选：ABD． 练习2．已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则当时， ． 【答案】 【详解】因为函数的图象与函数的图象关于直线对称，、 所以，即， 当时，. 故答案为：. 练习3．已知函数的图象过点，其反函数的图象过点，则的表达式是 . 【答案】. 【详解】由函数的图象与其反函数的图象关于对称， 又其反函数的图象过点，则函数的图象过点. 则，解得. 又函数的图象过点， 则，解得. 故. 故答案为：. 练习4．若点既在函数的图像上，又在的反函数的图像上，则的值为 ． 【答案】 【详解】因为既在函数的图象上，又在的反函数的图象上， 所以点在函数的图象上， 所以， 即， 解得， 所以． 故答案为：． 重难点06对数函数的定点及图象问题 【解题必备】处理对数函数图象问题的3个注意点： （1）明确图象的分布区域．对数函数的图象在第一、四象限．当趋近于0时，函数图象会越来越靠近轴，但永远不会与轴相交． （2）建立分类讨论的思想．在画对数函数图象之前要先判断对数的底数的取值范围是，还是 （3）牢记特殊点．对数函数且)的图象经过点： 例11．函数的图象恒过定点，点在幂函数的图象上，则（    ） A． B． C．3 D．9 【答案】C 【详解】令，得，当时，，所以点的坐标为， 由于函数为幂函数，设， 将点的坐标代入，得，则， ，因此，. 故选：C. 例12．若函数，且的图象过点，则函数的大致图象是（    ） A．   B． C．   D．   【答案】B 【详解】由于函数，且的图象过点， 故， 则， 该函数为偶函数，图象关于y轴对称，且上单调递减，在上单调递增， 只有B中图象符合该函数图象特点， 故选：B 【跟踪练习】 练习1．函数且的图象恒过定点，若点在直线上，其中，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数且的图象恒过定点， 所以，即， 所以， 所以， 当且仅当且，即时取等号. 故选：B. 练习2．指数函数（且）过点，则经过点 . 【答案】 【详解】由（且）可知，时，，则点为， 由可得，两边取对数得，，交换可得，， 即与是一对反函数，图象关于轴对称， 故经过点. 故答案为： 练习3．在同一平面直角坐标系中，函数，（且）的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，与单调递增，A，B均不符合题意； 当时，与单调递减， 对于，当时，C不正确. 故选：D. 练习4．函数在的图象如图所示，则曲线对应的函数分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 因为， 所以曲线对应的函数分别为， 故选：B 重难点07对数函数的单调性问题 【解题必备】求对数型函数单调区间的方法： (1)求形如的函数的单调区间，一定树立定义域优先意识，即由，先求定义域． (2)求此类型函数单调区间的两种思路：①利用定义求解；②借助函数的性质，研究函数和在定义域上的单调性，利用“同增异减”的结论，从而判定的单调性． 例13．函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得，解得或， 由， 则其在上单调递减，在上单调递增， 又为单调递增函数， 故的单调递减区间. 故选：B. 例14．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】显然，又因为函数图象的对称轴方程为， 又函数在上单调递增，所以，即，解得，即实数的取值范围是. 故选：B. 【跟踪练习】 练习1．函数的单调递增区间是 ． 【答案】 【详解】令， 由，解得， 又的图象的对称轴为， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 又，则函数为减函数， 所以由复合函数单调性，的单调递增区间是. 故答案为：. 练习2．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】易知在上单调递减， 要使在上单调递减，则需满足解得， 即的取值范围是． 故选：B. 练习3．若函数在上是严格减函数，则实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为在定义域上单调递减， 要使函数在上是严格减函数， 则在上单调递增且大于恒成立， 所以，解得， 即实数的取值范围. 故选：B 练习4．已知函数，则“”是“函数在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由函数在上单调递增，得，解得， 充分性，当“”时，函数在上不一定单调递增，故充分性不成立， 必要性，函数在上单调递增，则，故必要性成立， 则“”是“函数在上单调递增”的必要不充分条件. 故选：B 重难点08指对数比较大小 【解题必备】比较对数值大小的方法： （1）同底的利用对数函数的单调性；（2）同真的利用对数函数的图象或用换底公式转化； （3）底数和真数都不同，找中间量；（4）若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论 例15．已知，，，则实数的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，， 所以，而，， 故我们构造指数函数，得到， 由指数函数性质得在上单调递减， 因为，所以，综上可得，故C正确. 故选：C 例16．已知函数，记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：因为， 所以； 又因为， 所以， 又因为在上单调递减， 所以， 故选：D． 【跟踪练习】 练习1．（多选）已知，且，则下列不等式中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】对于A，由，函数在上单调递减， ，所以，故A正确； 对于B，由A可知，，则，即，故B错误； 对于C，幂函数在上单调递增，，则，故C错误； 对于D，指数函数在上单调递减，，则，故D错误. 故选：BCD 练习2．若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，， ， 则，，下面比较与的大小， 即比较与的大小， 即比较与的大小， 即比较与的大小，而， 则，所以. 故选：B. 练习3．已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，，所以． 故选：A. 练习4．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由二次函数性质可得当时，， 由指数函数性质可得， 由对数函数性质可得， 因此可得. 故选：C 重难点09对数函数解不等式 【解题必备】常见对数不等式的2种解法 （1）形如的不等式，借助的单调性求解，如果的取值不确定，需分和两种情况讨论； （2）形如的不等式，应将化为以为底数的对数式的形式，再借助的单调性求解. 例17．已知，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，，解得， 当时，，解得， 故的解集为. 故选：A 例18．设，若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为，所以函数为减函数， 又， 所以，解得， 故答案为：. 【跟踪练习】 练习1．若，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】因为在上单调递增， 由可得，即，所以， 但无法保证，故不一定成立，充分性不满足； 由可得，所以一定成立，故必要性满足； 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 练习2．函数的定义域为，是奇函数，当时，则的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵是奇函数， ∴，即关于点对称． 又函数的定义域为，故． 当时， 令，即，解得． 根据对称性可知当时，． 综上所述，的解集是． 故选：B． 练习3．已知定义在上的函数，其中是奇函数且在上单调递减，的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】定义在上的函数， 因为是奇函数，也是奇函数，所以是奇函数. 由. 因为是增函数，所以是减函数. 又因为是减函数，所以在上单调递减. 因为，所以，解得. 故选：B. 练习4．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由题设， 当时，，此时只需，则有； 当时，，此时只需，则有； 综上，实数的取值范围为. 故答案为： 重难点10恒成立问题 例19．已知函数若对任意的都有恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，令，作出图象，如图所示， 令，由图知，要使对任意的都有恒成立，则必有， 当时，，由，消得到， 由，得到，即，由图可知， 故选：B. 例20．设是一个实数，若对于任何实数，不等式0恒成立，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由题意得，当时，得不恒成立，舍去. 所以，则 ， ， 或， 即． 故答案为：. 【跟踪练习】 练习1．设函数，若在上恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】易知，故，，在上恒成立， 等价于不等式即在上恒成立， 故，（点拨：当时，函数在上单调递增， 则，所以）， 故，即，又，故． 故实数的取值范围是． 故选：B 练习2．已知函数，若不等式在上恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以， 所以， 由，得，即， 因为不等式在上恒成立， 所以，即可. 由，得，即， 所以的取值范围为. 故选：A. 练习3．已知函数，若不等对任意实数恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为的定义域满足，由，所以在R上恒成立，所以的定义域为R. 又因为，则 所以为奇函数； 令，所以为奇函数， 当时，均为增函数，则在上单调递增，因为为奇函数，则在上单调递增，且， 所以在R上单调递增，所以在R上单调递增， 由得 所以对任意实数恒成立，即， 由，当且仅当即时等号成立， 所以. 故选：A. 练习4．已知集合. (1)求； (2)若对任意的恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 由，得，所以， 即，解得，所以， 所以. （2）当时，因为单调递减，所以， 因为对任意的恒成立， 所以当时，则恒成立，即，即， 因为，所以解得； 当时，则恒成立，即， 因为，所以解得. 综上，的取值范围是. 重难点11对数函数的分类讨论 【解题必备】如果的取值不确定，需分和两种情况讨论 例21．已知函数且，若函数的值域是，则实数的取值范围是 【答案】 【详解】当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，即； 若函数的值域是，则时，． 当时，在上单调递增， 此时，不合题意； 当时，在上单调递减， 此时，即，则， 所以，显然，解得， 又，所以． 综上所述，实数的取值范围是． 故答案为：. 例22．已知函数的定义域和值域都是，则 . 【答案】或 【详解】当时，易知函数单调递减，由定义域和值域都是， 所以解得所以. 当时，易知函数单调递增，由定义域和值域都是， 所以解得所以. 故答案为：或. 【跟踪练习】 练习1．设且，若函数的值域是，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】由于函数且的值域是， 故当时，满足. 若在它的定义域上单调递增， 当时，由，. 若在它的定义域上单调递减， ，不满足的值域是. 综上可得，. 故答案为： 练习2．若函数在区间内单调递增，则的取值范围 . 【答案】 【详解】令， 因为单调递减，所以单调递减，故, 又因为， 所以，所以. 故答案为：. 练习3．已知函数（且）在区间上的最大值是2． (1)求的值； (2)若函数的定义域为，求关于的不等式的解集． 【答案】(1)或. (2) 【详解】（1）已知函数（且）在区间上的最大值是2． 时，在区间上单调递减，时，在区间上单调递增， 则有或，解得或. （2）函数的定义域为，则恒成立， 有，由（1）可知， ，即，得， 解得，即不等式的解集为. 练习4．已知函数，且. (1)若，求函数的单调递增区间； (2)若函数的最小值为，求的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以，解得， 即函数的定义域为， ， 因为在上单调递增，在上单调递减， 又，所以在定义域上单调递增， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 即得的单调递增区间为； （2）由（1）令，则，， 当时，函数在上单调递增，函数不存在最小值，故舍去； 当时，函数在上单调递减，， 所以，解得，符合题意，故. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年高一数学上学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版2019必修第一册） 第09讲 对数运算及对数函数 一、对数与对数运算 1．对数的概念 （1）对数：一般地，如果，那么数 x叫做以a为底 N的对数，记作，其中a叫做对数的底数，N叫做真数. （2）对数式与指数式的互化：. （3）两个重要对数：常用对数，以10为底的对数lgN；自然对数，以无理数e=2.71828…为底数的对数lnN. 2．对数的性质 （1）1的对数等于0，即； （2）底数的对数等于1，即； （3）对数恒等式. 3．对数的运算性质 如果，那么：（1）； （2）； （3）. 4．对数的换底公式 对数的换底公式：. 换底公式的变形及推广： （1）；（2）； 二、对数函数及其性质 1．对数函数的概念 一般地，我们把函数叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是. 2．对数函数的图象和性质 一般地，对数函数的图象与性质如下表所示： 图象 定义域 值域 性质 过定点，即时， 在上是减函数 在上是增函数 当x＞1时，y＜0； 当0＜x＜1时，y＞0 当x＞1时，y＞0； 当0＜x＜1时，y＜0 在直线的右侧，当时，底数越大，图象越靠近x轴； 当时，底数越小，图象越靠近x轴，即“底大图低”． 3．对数函数与指数函数的关系 指数函数且）与对数函数且）互为反函数，其图象关于直线对称. 重难点01对数式的化简及求值 【解题必备】1.对数的运算：根据定义进行指数与对数的互化，利用对数的性质和运算性质进行对数运算 2.应用换底公式应注意： （1）化成同底的对数时，要注意换底公式的正用、逆用以及变形应用． （2）题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式． 例1．（多选）若，则下列各式中，成立的是（   ） A． B． C． D． 例2．（1）求值：； （2）已知，，请用a，b表示. 【跟踪练习】 练习1． ． 练习2．已知实数满足且，则 . 练习3．化简求各式的值 (1) (2)已知，求. 练习4．已知，则的值为（    ） A． B．1 C．或0 D．1或0 重难点02对数函数的定义与解析式 【解题必备】判断一个函数是对数函数必须是形如且)的形式，即必须满足以下条件： (1)系数为1；(2)底数为大于0且不等于1的常数；(3)对数的真数仅有自变量. 例3．给出下列函数： ①；②；③；④. 其中是对数函数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例4．若函数为对数函数，则（ ） A． B． C． D． 【跟踪练习】 练习1．下列函数是对数函数的是（    ） A． B． C． D． 练习2．若函数是对数函数，则实数a的值为 ． 练习3．已知为对数函数，，则 ． 练习4．已知函数，且.则 ； . 重难点03对数函数的定义域问题 【解题必备】求对数函数定义域的注意事项：（1）真数大于零；（2）对数的底数大于零且不等于1. 例5．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 例6．函数的定义域是 . 【跟踪练习】 练习1．函数的定义域为 ． 练习2．函数的定义域为 . 练习3．函数的定义域为 ． 练习4．函数的定义域为 ． 重难点04对数函数的值域问题 【解题必备】对数型函数值域的求解技巧： （1）求对数型函数的值域，一般需根据对数函数的单调性及真数的取值范围求解． （2）形如型的函数值域求解常用换元法、配方法等解题技巧． 例7．已知函数的表达式为，则函数的值域为 . 例8．已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【跟踪练习】 练习1．已知函数的定义域为，则函数的值域是 ． 练习2．已知函数的值域是全体实数，则实数m的取值范围是 . 练习3．已知函数． (1)若，求方程的解集； (2)若函数的最小值为，求实数a的值． 练习4．已知集合，． (1)求； (2)若是奇函数，当时，求的值域． 重难点05反函数的应用 【解题必备】反函数的性质：（1）互为反函数的两个函数的图象关于直线对称 （2）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致 （3）函数的定义域是其反函数的值域:函数的值域是其反函数的定义域 例9．函数与互为反函数，且的图像过点，则（    ） A． B． C． D． 例10．函数，的反函数的定义域是（    ）． A． B． C． D． 【跟踪练习】 练习1．（多选）已知函数和的图象与直线交点的横坐标分别为，则（    ） A． B． C． D． 练习2．已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则当时， ． 练习3．已知函数的图象过点，其反函数的图象过点，则的表达式是 . 练习4．若点既在函数的图像上，又在的反函数的图像上，则的值为 ． 重难点06对数函数的定点及图象问题 【解题必备】处理对数函数图象问题的3个注意点： （1）明确图象的分布区域．对数函数的图象在第一、四象限．当趋近于0时，函数图象会越来越靠近轴，但永远不会与轴相交． （2）建立分类讨论的思想．在画对数函数图象之前要先判断对数的底数的取值范围是，还是 （3）牢记特殊点．对数函数且)的图象经过点： 例11．函数的图象恒过定点，点在幂函数的图象上，则（    ） A． B． C．3 D．9 例12．若函数，且的图象过点，则函数的大致图象是（    ） A．   B． C．   D．   【跟踪练习】 练习1．函数且的图象恒过定点，若点在直线上，其中，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 练习2．指数函数（且）过点，则经过点 . 练习3．在同一平面直角坐标系中，函数，（且）的图象可能是（    ） A． B． C． D． 练习4．函数在的图象如图所示，则曲线对应的函数分别为（    ） A． B． C． D． 重难点07对数函数的单调性问题 【解题必备】求对数型函数单调区间的方法： (1)求形如的函数的单调区间，一定树立定义域优先意识，即由，先求定义域． (2)求此类型函数单调区间的两种思路：①利用定义求解；②借助函数的性质，研究函数和在定义域上的单调性，利用“同增异减”的结论，从而判定的单调性． 例13．函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 例14．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【跟踪练习】 练习1．函数的单调递增区间是 ． 练习2．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 练习3．若函数在上是严格减函数，则实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 练习4．已知函数，则“”是“函数在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 重难点08指对数比较大小 【解题必备】比较对数值大小的方法： （1）同底的利用对数函数的单调性；（2）同真的利用对数函数的图象或用换底公式转化； （3）底数和真数都不同，找中间量；（4）若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论 例15．已知，，，则实数的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 例16．已知函数，记，则（    ） A． B． C． D． 【跟踪练习】 练习1．（多选）已知，且，则下列不等式中错误的是（    ） A． B． C． D． 练习2．若，，，则（   ） A． B． C． D． 练习3．已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 练习4．已知，则（    ） A． B． C． D． 重难点09对数函数解不等式 【解题必备】常见对数不等式的2种解法 （1）形如的不等式，借助的单调性求解，如果的取值不确定，需分和两种情况讨论； （2）形如的不等式，应将化为以为底数的对数式的形式，再借助的单调性求解. 例17．已知，则的解集为（    ） A． B． C． D． 例18．设，若，则实数的取值范围是 ． 【跟踪练习】 练习1．若，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 练习2．函数的定义域为，是奇函数，当时，则的解集是（   ） A． B． C． D． 练习3．已知定义在上的函数，其中是奇函数且在上单调递减，的解集为（   ） A． B． C． D． 练习4．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为 ． 重难点10恒成立问题 例19．已知函数若对任意的都有恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例20．设是一个实数，若对于任何实数，不等式0恒成立，则的取值范围是 ． 【跟踪练习】 练习1．设函数，若在上恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 练习2．已知函数，若不等式在上恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 练习3．已知函数，若不等对任意实数恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 练习4．已知集合. (1)求； (2)若对任意的恒成立，求的取值范围. 重难点11对数函数的分类讨论 【解题必备】如果的取值不确定，需分和两种情况讨论 例21．已知函数且，若函数的值域是，则实数的取值范围是 例22．已知函数的定义域和值域都是，则 . 【跟踪练习】 练习1．设且，若函数的值域是，则的取值范围是 . 练习2．若函数在区间内单调递增，则的取值范围 . 练习3．已知函数（且）在区间上的最大值是2． (1)求的值； (2)若函数的定义域为，求关于的不等式的解集． 练习4．已知函数，且. (1)若，求函数的单调递增区间； (2)若函数的最小值为，求的值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$