22.4.2图形的位似变换课件 2024—2025学年沪科版数学九年级上册

第22章 相似形 22.4.2 图形的位似变换（2） 复习回顾 1：什么叫位似图形？ 两个相似图形同时满足下面两个条件： 第一，每组对应点所在的直线都经过同一点； 第二，每组对应点到对应点连线交点的距离之比都相等. 那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫位似中心. 2：位似图形的性质 位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比（相似比）. 复习回顾 3.利用位似可以把一个图形放大或缩小. 4. 对应点在位似中心同侧的位似图形叫做同侧位似图形； 对应点在位似中心异侧的位似图形叫做异侧位似图形. 点 的 平 移 P(x，y) b 个 单位 向 下 平 移 P(x,y-b) b 个 单位 向 上平 移 P(x,y+b) 向左平移 a个单位 向右平移 a个单位 P(x-a,y) P(x+a,y) 设a>0，b>0 平面直角坐标系中，点的平移规律：“向正方向即加” 点 的 对 称 （1）点（a，b）关于x轴的对称点是 ； （2）点（a，b）关于y轴的对称点是 ； （3）点（a，b）关于原点的对称点是 ； （4）点（a，b）关于直线y=x的对称点是 ； （5）点（a，b）关于直线y=-x的对称点是 ； （a，-b） （-a，b） （-a，-b） （b，a） （-b，-a） 新知引入 我们知道，在平面直角坐标系中，可以利用变化前后两个图形对应顶点的坐标之间的关系表示平移、轴对称. 那么，位似是否也可以用两个图形坐标之间的关系来表示呢？ 合作探究 在平面直角坐标系中，有两点A（6，3），B（6，0）.以原点O为位似中心，相似比为 ，把线段AB缩小.观察对应点之间坐标的变化，你有什么发现？ A' B' A（6，3） A'(2,1) B（6，0） B'(2,0) 如图，在平面直角坐标系中，∆ABC的顶点坐标分别为A(1,1),B(3,2), C(4,1).以原点O为位似中心，相似比为3，作∆ABC的位似图形.观察对应点之间坐标的变化，你有什么发现？ A' B' C' A(1,1) B(3,2) C(4,1) A'(3,3) B'(9,6) C'(12,3) 探究一 观察上面的作图结果，思考当以原点为位似中心的两个位似图形，位于原点同侧时，观察对应顶点的坐标变化 ，你有什么发现？ ①在平面直角坐标系中，如果以原点O为位似中心，相似比为k (k>0)，原图形上的点的坐标为(x,y)，那么对应点的坐标是(kx,ky)，此时称为同向位似变换. (x,y) (kx,ky) 位似中心为原点，称为同向位似变换. ②当k>1时，图形放大；0<k<1时，图形缩小. 合作探究 在平面直角坐标系中，有两点A（6，3），B（6，0）.以原点O为位似中心，相似比为 ，把线段AB缩小.观察对应点之间坐标的变化，你有什么发现？ A' B' A（6，3） A'(-2,-1) B（6，0） B'(-2,0) 如图，在平面直角坐标系中，∆ABC的顶点坐标分别为A(1,1),B(3,2), C(4,1).以原点O为位似中心，相似比为3，作∆ABC的位似图形.观察对应点之间坐标的变化，你有什么发现？ A(1,1) B(3,2) C(4,1) A'(-3,-3) B'(-9,-6) C'(-12,-3) A' B' C' 探究二 观察上面的作图结果，思考当以原点为位似中心的两个位似图形，位于原点两侧时，观察对应顶点的坐标变化 ，你有什么发现？ ①在平面直角坐标系中，如果以原点O为位似中心，相似比为k (k>0)，原图形上的点的坐标为(x,y)，那么对应点的坐标是(-kx,-ky)，此时称为反向位似变换. (x,y) (-kx,-ky) 位似中心为原点，称为反向位似变换. ②当k>1时，图形放大；0<k<1时，图形缩小. 归纳总结 位似图形的坐标规律： 原图形上的点的坐标为(x,y) 当相似比k>0时，同向位似图形对应点的坐标为(kx,ky)； 反向位似图形对应点的坐标为(-kx,-ky) 【注意】： 上面的坐标的变化规律是以原点为位似中心的位似变换中图形上对应点的坐标的变化规律. 【问题1】： 将图中的图形横向伸长到原来的2倍，那么它的坐标将会发生什么变化？变化前后两个图形相似吗？ 纵坐标不变， 横坐标分别变成原来的2倍 不相似 【问题2】： 将图中的图形纵向伸长到原来的2倍，那么它的坐标将会发生什么变化？变化前后两个图形相似吗？ 横坐标不变， 纵坐标分别变成原来的2倍 不相似 【问题3】： 把下图中的∆ABC，按(x,y) (3x,y)或(x,y) (2x,3y)的方式变换，画出变换后的图形，它们与原图形相似吗？ A' B' C' 归纳总结 在平面直角坐标系中，在作(x,y) (ax,by)变换时，当a=b≠0时为相似变换. 名称 规律 变换方式 平移 对应点的横坐标或纵坐标加上（减去）平移的单位长度 全等变换 轴对称 x轴为对称轴，则对应点的横坐标相等，纵坐标互为相反数；y轴为对称轴，则对应点的纵坐标相等，横坐标互为相反数. 位似 若以原点为位似中心，则变换前后两个图形对应点的横坐标或纵坐标之比的绝对值等于相似比. 相似变换（放大、缩小或不变） 典例练习 如图所示，正方形OEFG和正方形ABCD是位似图形，点F的坐标为（-1，1），点C的坐标为（-4，2），则这两个正方形位似中心的坐标是 . 变式练习1： 已知P是x轴的正半轴上的点，∆ADC是由等腰直角三角形EOG以P为位似中心变换得到的， 如图，已知EO=1，OD=DC=2，则位似中心P点的坐标是 . 如图，正方形ABCD和正方形OEFG中，点A和点F的坐标分别为(3，2)，(-1，-1)，则两个正方形的位似中心的坐标是 ． 变式练习2： $$