3.2.2　第2课时　双曲线的标准方程及性质的应用同步检测-2024-2025学年高二上学期数学人教A版(2019）选择性必修第一册

3.2.2　第2课时　双曲线的标准方程及性质的应用（同步练习） 一、选择题 1.直线y＝x＋3与双曲线－＝1(a>0，b>0)的交点个数是(　　) A.1 B.2 C.1或2 D.0 2.直线y＝x－1被双曲线2x2－y2＝3所截得的弦的中点坐标是(　　) A.(1,2) B.(－2，－1) C.(－1，－2) D.(2,1) 3.已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两个顶点分别为A，B，点P为双曲线上除A，B外任意一点，且点P与点A，B连线的斜率分别为k1，k2，若k1k2＝3，则双曲线的渐近线方程为(　　) A.y＝±x B.y＝±x C.y＝±x D.y＝±2x 4.已知双曲线－＝1的左、右焦点分别是F1，F2，过F1的直线l与双曲线相交于A，B两点，则满足|AB|＝3的直线l有(　　) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 5.已知双曲线E的中心在原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 6.已知双曲线C：x2－y2＝2，过右焦点的直线交双曲线于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为4，则弦AB的长为(　　) A.3 B.4 C.6 D.6 7.已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，过F且斜率为的直线交C于A，B两点，若＝4，则C的离心率为(　　) A. B. C. D. 8.(多选)已知双曲线C：－＝1过点(3，)，则下列结论正确的是(　　) A.C的焦距为4 B.C的离心率为 C.C的渐近线方程为y＝±x D.直线2x－y－1＝0与C有两个公共点 9.(多选)已知双曲线C：－＝1(m∈R)的一条渐近线方程为4x－3y＝0，则(　　) A.(，0)为C的一个焦点 B.双曲线C的离心率为 C.过点(5,0)作直线与C交于A，B两点，则满足|AB|＝15的直线有且只有两条 D.设A，B，M为C上三点且A，B关于原点对称，则MA，MB斜率存在时其乘积为 二、填空题 10.双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，P为双曲线上任意一点，则点P到右焦点F2的距离与直线x＝的距离之比为________ 11.过点A(3，－1)且被A点平分的双曲线－y2＝1的弦所在的直线方程是_____________ 12.设双曲线－＝1的右顶点为A，右焦点为F，过点F作平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为________ 13.双曲线－＝1的右顶点为A，右焦点为F，过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为________ 三、解答题 14.已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝k(x－1)，直线l与双曲线有两个不同的公共点，确定满足条件的实数k的取值范围． 15.设A，B为双曲线x2－＝1上的两点，线段AB的中点为M(1,2)．求： (1)直线AB的方程；(2)△OAB的面积(O为坐标原点)． 16.设A，B分别为双曲线－＝1 (a>0，b>0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为4，焦点到渐近线的距离为. (1)求双曲线的方程； (2)已知直线y＝x－2与双曲线的右支交于M，N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使＋＝t，求t的值及点D的坐标． 参考答案及解析： 一、选择题 1.A 解析：由题意，双曲线－＝1(a>0，b>0)，可得其渐近线方程为y＝±x， 因为直线y＝x＋3与双曲线的一条渐近线y＝x平行，所以它与双曲线只有1个交点． 2.C 解析：将y＝x－1代入2x2－y2＝3，得x2＋2x－4＝0，由此可得弦的中点的横坐标为＝＝－1，纵坐标为－1－1＝－2，即中点坐标为(－1，－2)． 3.C 解析：设点P(x，y)，由题意知k1·k2＝·＝＝＝＝3， 所以其渐近线方程为y＝±x. 4.C 解析：双曲线－＝1，过F1的直线l垂直于x轴时，|AB|＝＝＝3， 双曲线两个顶点的距离为2，∴满足|AB|＝3的直线l有3条， 一条是通径所在的直线，另两条与右支相交． 5.B 解析：由已知条件易得直线l的斜率k＝＝1， 设双曲线E的方程为－＝1(a>0，b>0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则－＝1，① －＝1，② x1＋x2＝－24，y1＋y2＝－30，由①②得＝，从而＝1， 又因为a2＋b2＝c2＝9，故a2＝4，b2＝5，所以E的方程为－＝1. 6.D 解析：双曲线C：－＝1，则c2＝4，∴右焦点为F(2,0)， 根据题意易得过F的直线斜率存在，设方程为y＝k(x－2)，A(xA，yA)，B(xB，yB)， 联立化简得(1－k2)x2＋4k2x－4k2－2＝0，∴xA＋xB＝，xAxB＝. ∵线段AB中点的横坐标为4，∴xA＋xB＝＝8，解得k2＝2，∴xAxB＝＝10， 则(xA－xB)2＝(xA＋xB)2－4xAxB＝82－4×10＝24， 则|AB|＝＝＝6. 7.B 解析：由双曲线的第二定义，确定直线l：x＝，且<a， 过A，B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，BD⊥AM于D，如图所示， ∵直线AB的斜率为，∴直线AB的倾斜角为60°，∴∠BAD＝60°，|AD|＝|AB|， 由双曲线的第二定义得，|AM|－|BN|＝|AD|＝(||－||)＝|AB|＝(||＋||)， 又∵＝4，∴||＝||，∴e＝. 8.AC 解析：由双曲线C：－＝1过点(3，)，可得m＝1，则双曲线C的标准方程为－y2＝1.所以a＝，b＝1，c＝＝2，因为双曲线C的焦距为2c＝4，所以选项A正确；因为双曲线C的离心率为＝＝，所以选项B不正确；因为双曲线C的渐近线方程为y＝±x，所以选项C正确；将直线2x－y－1＝0与双曲线－y2＝1联立，消去y可得3x2－4x＋4＝0，Δ＝2－4×3×4＝－32<0，所以直线2x－y－1＝0与双曲线C没有公共点，所以选项D不正确． 9.BD　解析：因为双曲线C：－＝1(m∈R)的一条渐近线方程为4x－3y＝0，所以＝，解得m＝9，所以双曲线C：－＝1，所以a＝3，b＝4，c＝＝5，焦点坐标为(－5,0)、(5,0)，离心率e＝＝，故A错误，B正确．过点(5,0)作直线与C交于A，B两点，(5,0)为双曲线的焦点，当直线的斜率不存在时，|AB|＝＝＜15；当直线的斜率为0时，AB＝2a＝6＜15，所以由双曲线的对称性得，满足|AB|＝15的直线有4条，故C错误；对于选项D，设A(x1，y1)，B(－x1，－y1)，M(x0，y0)，所以kMA＝，kMB＝＝，因为A，B，M在双曲线上，所以－＝1，－＝1，两式相减得－＝0，所以＝＝＝kMA·kMB，故D正确．故选BD． 二、填空题 10.答案：2 解析：∵离心率e＝＝2，∴c＝2a，b2＝c2－a2＝3a2，∴b＝a，∴右焦点F2(2a,0)，直线x＝＝＝，设点P(x0，y0)，则－＝1，即－＝1，∴点P到F2的距离与点P到直线x＝的距离之比为＝＝＝＝2. 11.答案：3x＋4y－5＝0 解析：易知所求直线的斜率存在，设为k，则该直线的方程为y＋1＝k(x－3)， 代入－y2＝1，消去y得关于x的一元二次方程 (1－4k2)x2＋(24k2＋8k)x－36k2－24k－8＝0(1－4k2≠0)，∴－＝6， ∴k＝－(满足Δ>0)，∴所求直线方程为3x＋4y－5＝0. 12.答案： 解析：双曲线－＝1的右顶点A(3,0)，右焦点F(5,0)，渐近线方程为y＝±x.不妨设直线FB的方程为y＝(x－5)，代入双曲线方程整理，得x2－(x－5)2＝9，解得x＝，y＝－，∴B.∴S△AFB＝|AF||yB|＝(c－a)·|yB|＝×(5－3)×＝. 13.答案：　 解析：双曲线－＝1的右顶点A(3,0)，右焦点F(5,0)，渐近线方程为y＝±x．不妨设直线FB的方程为y＝(x－5)，代入双曲线方程整理，得x2－(x－5)2＝9，解得x＝，y＝－，所以B．所以S△AFB＝|AF||yB|＝(c－a)·|yB|＝×(5－3)×＝． 三、解答题 14.解：联立消去y，得(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0.(*) 当1－k2≠0，即k≠±1时，Δ＝(2k2)2－4(1－k2)(－k2－4)＝4(4－3k2)． 由得－<k<且k≠±1， 此时方程(*)有两个不同的实数解，即直线l与双曲线有两个不同的公共点． 15.解：(1)显然直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y－2＝k(x－1)，即y＝kx＋2－k. 由消去y，整理得(2－k2)x2－2k(2－k)x－k2＋4k－6＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则1＝＝(2－k2≠0)，解得k＝1. 当k＝1时，满足Δ>0， ∴直线AB的方程为y＝x＋1. (2)由(1)得x1＋x2＝2，x1x2＝－3， ∴|AB|＝·＝×＝4. 又点O到直线AB的距离d＝＝，∴S△OAB＝|AB|·d＝×4×＝2. 16.解：(1)由题意知a＝2. ∴一条渐近线为y＝x，即bx－2y＝0.∴＝. 又c2＝a2＋b2＝12＋b2，∴b2＝3. ∴双曲线的方程为－＝1. (2)设点M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，则x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0. 将直线方程代入双曲线方程得x2－16x＋84＝0.则x1＋x2＝16，y1＋y2＝12. ∴∴ 由＋＝t，得(16，12)＝(4t,3t)． ∴t＝4，点D的坐标为(4，3) ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$