精品解析：上海市建平中学2024-2025学年高一上学期期中教学质量检测数学试卷

建平中学2024学年第一学期期中教学质量检测 高一数学试卷 说明： （1）本场考试时间为90分钟，总分100分； （2）请认真答卷，并用规范文字书写. 一、填空题（本大题共12题，满分36分） 1. 已知集合，，则__________. 2. 函数的定义域是________. 3. 不等式的解集为__________. 4. 已知幂函数的图象经过点，求__________. 5. 函数（，且）的图象过定点A，则点A的坐标是________． 6. 已知，则实数__________. 7. 已知，，则关于x的不等式的解集为__________. 8. 若区间是函数的一个单调区间，则实数a的取值范围为__________. 9. 已知函数是定义域为的奇函数，且当时，，则函数的值域为__________. 10. 已知函数（，），若对于任意的，且，均有，则实数a的取值范围为__________. 11. 对于任意的，都存在b，，使得关于x的不等式恒成立，则实数a的最大值为__________. 12. 设（），记函数在区间（）上的最大值为，若对任意，都有，则实数t的取值范围为__________. 二、选择题（本大题共4题，满分12分） 13. 用反证法证明命题“若，则a，b中至少有一个不为0”成立时，假设正确的是（ ） A. a，b中至少有一个为0 B. a，b中至多有一个不为0 C. a，b都不为0 D. a，b都为0 14. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 15. 将函数的图象向左平移1个单位长度，得到函数的图象，则函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 16. 已知是定义在上的偶函数，若对于任意的、且时，恒成立，且，则满足的实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 三、解答题（本大题共5题，满分52分） 17. 已知关于x的一元二次方程（）的两个实根为、. （1）若，求实数a的值. （2）若，求表达式的最小值 18. 已知a是实数，函数的表达式为. （1）请用单调性的定义证明函数是区间上的严格增函数； （2）若函数在其定义域上为奇函数，求实数a的值，并直接写出不等式的解集. 19. 上海市某地铁项目正在紧张建设中，通车后将给更多市民出行带来便利，已知该线路通车后，地铁的发车时间间隔t（单位：分钟）满足，，经测算，在某一时段，地铁载客量与发车时间间隔t相关，当时地铁可达到满载状态，载客量为1200人，当时，载客量会减少，减少的人数与的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时载客量为560人，记地铁载客量为. （1）求的解析式； （2）若该时段这条线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该时段这条线路每分钟的净收益最大？ 20. 已知函数． （1）直接写出函数在区间上的单调增区间和单调减区间： （2）设常数t满足，求函数在区间上的最小值： （3）设函数，对于任意的，关于x的不等式恒成立，求实数k的取值范围． 21. 已知函数的定义域为D，若存在常数k（），使得对D内的任意，且，都有成立，则称为D上的“k-严格利普希茨”函数. （1）判断函数，是否为“2-严格利普希茨”函数，并说明理由； （2）若函数（）为“k-严格利普希茨”函数，求常数k的取值范围； （3）若是上的“1-严格利普希茨”函数，且满足，判断是否存在，，使得成立，如果存在，请写出一个满足条件的函数和，的值；如果不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 建平中学2024学年第一学期期中教学质量检测 高一数学试卷 说明： （1）本场考试时间为90分钟，总分100分； （2）请认真答卷，并用规范文字书写. 一、填空题（本大题共12题，满分36分） 1. 已知集合，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据交集概念求出答案. 【详解】. 故答案为： 2. 函数的定义域是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的性质以及指数函数的单调性可解出原函数的定义域. 【详解】对于函数，由可得，解得. 因此，函数的定义域为. 故答案为：. 3. 不等式的解集为__________. 【答案】 【解析】 【分析】将分式不等式转化为一元二次不等式，运用一元二次不等式解法计算即可. 【详解】不等式的解集，等价于, 即，即,解得. 故答案为：. 【点睛】 4. 已知幂函数的图象经过点，求__________. 【答案】 【解析】 【分析】设幂函数，为常数，根据图象经过点，求出，进而求解. 【详解】设，为常数， 因为，所以，即， 所以. 故答案为：. 5. 函数（，且）的图象过定点A，则点A的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用指数函数的性质即可得解. 【详解】因为（，且）的图象过定点A， 令，则，， 所以点A的坐标为. 故答案为：. 6. 已知，则实数__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据指数式与对数式的互化得解. 【详解】因为， 所以，解得或（由底数为正数，舍去）， 故答案为： 7. 已知，，则关于x的不等式的解集为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由不等式的性质及幂函数的单调性求解. 【详解】由知， 所以，即 所以，即，解得， 所以不等式的解集为， 故答案为： 8. 若区间是函数的一个单调区间，则实数a的取值范围为__________. 【答案】或 【解析】 【分析】先得到的单调性，从而得到或. 【详解】在上单调递减，在上单调递增， 要想区间是函数的一个单调区间，则或， 故实数a的取值范围为或. 故答案为：或 9. 已知函数是定义域为的奇函数，且当时，，则函数的值域为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出时函数的取值范围，再由奇函数的对称性即可得出时函数的取值范围，即可得解. 【详解】因为函数是定义域为的奇函数， 所以， 又当时，，所以， 当时，由奇函数的对称性可知， 所以函数的值域为. 故答案为： 10. 已知函数（，），若对于任意的，且，均有，则实数a的取值范围为__________. 【答案】或. 【解析】 【分析】由题目条件得到在R上单调递增，分和两种情况，结合系数的正负得到不等式，求出答案. 【详解】对于任意的，且，均有， 故在R上单调递增， 当时，在R上单调递增，此时需，所以， 当时，在R上单调递减，此时需，所以， 综上，或. 故答案为：或. 11. 对于任意的，都存在b，，使得关于x的不等式恒成立，则实数a的最大值为__________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据，结合三角不等式的关系即可求解. 【详解】令， 由于对任意的，都有， 故， ， 因此，故， 又，，故， 当，即可取到等号，此时, 满足在上恒成立，故最大值为2， 故答案为：2 12. 设（），记函数在区间（）上的最大值为，若对任意，都有，则实数t的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据在内单调递增，分析可知或，整理得关于的不等式或，的解集为，即可根据求解． 【详解】因为，则，在内单调递增， 则在内单调递增， 又因为在区间上的最大值为， 可得或， 由题意可知：或， 则或， 整理得或， 即关于的不等式或的解集为， 可知， 整理得，则， 故， 故答案为：． 二、选择题（本大题共4题，满分12分） 13. 用反证法证明命题“若，则a，b中至少有一个不为0”成立时，假设正确的是（ ） A. a，b中至少有一个为0 B. a，b中至多有一个不为0 C. a，b都不为0 D. a，b都为0 【答案】D 【解析】 【分析】将结论a，b中至少有一个不为0否定即可 【详解】用反证法证明命题“若，则a，b中至少有一个不为0”成立时，应假设a，b都为0． 故选：D 14. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用对数函数的定义域与单调性即可求解. 【详解】当时，，没有意义，故； 在上单调递增， 时，必有； 所以，“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 15. 将函数的图象向左平移1个单位长度，得到函数的图象，则函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的平移变换求得的解析式，结合奇偶性、零点个数及特殊值可排除错误选项. 【详解】． 因为， 即，所以为奇函数，排除A； 令，解得，即有唯－的零点，排除C； 由解析式可知，排除D． 只有B符合条件． 故选：B． 【点睛】本题考查了根据函数解析式选择函数图象，结合奇偶性、单调性、特殊值等性质即可排除错误选项，属于基础题. 16. 已知是定义在上的偶函数，若对于任意的、且时，恒成立，且，则满足的实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，，推出，在上单调递增，并根据是定义在上的偶函数得到为上的偶函数，并求出，从而得到，由单调性得到不等式，求出答案. 【详解】不妨设， 则， 即，所以， 令，则， 故在上单调递增， 因为是定义在上的偶函数，所以， 的定义域为R， 且， 故为上的偶函数， 因为，所以， ， 即， 故，即，解得. 故选：A 三、解答题（本大题共5题，满分52分） 17. 已知关于x的一元二次方程（）的两个实根为、. （1）若，求实数a的值. （2）若，求表达式的最小值 【答案】（1） （2）0 【解析】 【分析】（1）由根的判别式得到或，由韦达定理得到两根之和，两根之积，从而得到方程，求出； （2）由韦达定理得到，结合，由函数单调性求出最小值. 【小问1详解】 （）有两个实根， 故，解得或， 由韦达定理得， 故，解得， 由于或，故； 【小问2详解】 由（1）知，， ， 因为，所以当时，取得最小值， 最小值为. 18. 已知a是实数，函数的表达式为. （1）请用单调性的定义证明函数是区间上的严格增函数； （2）若函数在其定义域上为奇函数，求实数a的值，并直接写出不等式的解集. 【答案】（1） ，， ， 则， 因为，所以， 所以，即， 故函数是区间上是严格增函数． （2），或， 【解析】 【分析】（1）根据单调性的定义即可求解， （2）根据奇函数的性质即可求解，结合单调性和奇偶性即可求解不等式. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 的定义域为， 故，解得， 故，由于， 结合函数的单调性以及奇偶性，故当时，或， 故的解集为或， 19. 上海市某地铁项目正在紧张建设中，通车后将给更多市民出行带来便利，已知该线路通车后，地铁的发车时间间隔t（单位：分钟）满足，，经测算，在某一时段，地铁载客量与发车时间间隔t相关，当时地铁可达到满载状态，载客量为1200人，当时，载客量会减少，减少的人数与的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时载客量为560人，记地铁载客量为. （1）求的解析式； （2）若该时段这条线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该时段这条线路每分钟的净收益最大？ 【答案】（1）；（2）分钟. 【解析】 【分析】(1)时，求出正比例系数k，写出函数式即可得解； (2)求出每一段上的最大值，再比较大小即可得解. 【详解】（1）由题意知，（k为常数）， 因，则， 所以； （2）由得， 即， ①当时，，当且仅当等号成立； ②当时，在[10，20]上递减，当时Q取最大值24， 由①②可知，当发车时间间隔为分钟时，该时段这条线路每分钟的净收益最大，最大为120元. 20. 已知函数． （1）直接写出函数在区间上的单调增区间和单调减区间： （2）设常数t满足，求函数在区间上的最小值： （3）设函数，对于任意的，关于x的不等式恒成立，求实数k的取值范围． 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为 （2）当时，最小值为，当时，最小值为1 （3） 【解析】 【分析】（1）配方后得到函数单调区间； （2）分和，得到函数单调性，得到最小值； （3），换元后得到，，从而得到，求出答案. 【小问1详解】 ， 故在区间上的单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问2详解】 ，， 若时，在上单调递减，故最小值为， 当时，在上单调递减，在上单调递增， 故最小值为， 故当时，的最小值为，当时，的最小值为1. 【小问3详解】 ， 对于任意的，关于x的不等式恒成立， 即， 令，故在上恒成立， ， 由得， 故当时，取得最小值，最小值为， ，解得， 故实数k的取值范围为. 【点睛】方法点睛：恒成立问题常常利用函数最值解决，可以直接利用函数性质求解最值，也可分离参数后利用易解决的函数性质求解最值，从而解决问题. 21. 已知函数的定义域为D，若存在常数k（），使得对D内的任意，且，都有成立，则称为D上的“k-严格利普希茨”函数. （1）判断函数，是否为“2-严格利普希茨”函数，并说明理由； （2）若函数（）为“k-严格利普希茨”函数，求常数k的取值范围； （3）若是上的“1-严格利普希茨”函数，且满足，判断是否存在，，使得成立，如果存在，请写出一个满足条件的函数和，的值；如果不存在，请说明理由. 【答案】（1） 是“2-严格利普希茨”函数， 不是“2-严格利普希茨”函数，理由如下： 定义域为R，任取， ， 故是“2-严格利普希茨”函数； 的定义域为R，任取， ， 当，此时， 故不是“2-严格利普希茨”函数； （2） （3） 不存在，，使得成立，理由如下： 是上的“1-严格利普希茨”函数， 故对任意的，，且，有， 不妨设，当时，， 当时，由于，，故， 故 ， 综上，恒成立， 不存在，，使得成立. 【解析】 【分析】（1）对于，有，满足要求，对于，举出反例； （2）任取，分子有理化，得到，求出，得到； （3）不妨设，分和两种情况，得到，从而得到结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 任取， ， 由于，故， 故，， 要想恒成立，则， 故常数k的取值范围是； 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $