北京汇文中学2024-2025学年九年级上学期期中数学试题

北京汇文中学教育集团2024−2025学年度第一学期 期中考试 初三年级数学 本试卷共8页，试卷总分100．考试时长120分钟．请考生务必答案答在答题卡上，在试卷上作答无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列四个品牌图标中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 3. 的半径为3，点P到圆心O的距离为2，点P与的位置关系是（ ） A. 无法确定 B. 点P在外 C. 点P在上 D. 点P在内 4. 对于二次函数，下列说法错误的是（ ） A. 它的图象的开口向下 B. 它的图象的对称轴是直线 C. 当时，y取最大值 D. 当时，y随x的增大而减小 5. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 无法确定 6. 如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过，，O三点，那么这条圆弧所在圆的圆心为图中的（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 7. 如图，在长为，宽为的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路（其中有两条纵向和一条横向，横向与纵向道路互相垂直），把耕地分成六块作为试验田，要使试验田总面积为，问道路应为多宽？若设道路宽为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 嘉淇借助数学软件探究函数的图象，输入了一组a，b的值，得到了它的函数图象如图所示．借助学习函数的经验，可以推断输入的a，b的值满足（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分． 9. 点关于轴对称的点的坐标是______． 10. 若关于x的一元二次方程有一个根为1，则t的值为______． 11. 若扇形的圆心角为，半径为2，则该扇形的弧长是______（结果保留）． 12. 如图，已知圆心角的度数为，则圆周角的度数是_______． 13. 已知二次函数图像上部分点横坐标、纵坐标的对应值如下表： x … 0 1 2 3 4 … y … −3 −4 −3 0 5 … 直接写出该二次函数的图像与x轴的交点坐标______． 14. 已知二次函数，当时，y随x的增大而增大，则m的值可以是______（写出一个即可）． 15. 如图，AB为⊙O的直径，点P在AB的延长线上，PC，PD分别与⊙O相切于点C，D，若∠CPA=40°，则∠CAD的度数为______°． 16. 如图，在8个格子中依次放着分别写有字母a～h的小球． 甲、乙两人轮流从中取走小球，规则如下： ①每人首次取球时，只能取走2个或3个球：后续每次可取走1个，2个或3个球； ②取走2个或3个球时，必须从相邻的格子中取走； ③最后一个将球取完的人获胜． （1）若甲首次取走写有b，c的两个球，乙又取走g，h两个球，接着甲又取走两个球，则______（填“甲”或“乙”）一定获胜； （2）若甲首次取走写有g，h的两个球，乙想要一定获胜，则乙首次取球的方案是______． 三、解答题：本题共12小题，共68分． 17. 解方程：． 18. 在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理．如图，已知，C是弦上一点 （1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）； ①作线段的垂直平分线，交于点D，垂足为E； ②以点D为圆心，长为半径作弧，交于点F（F，A两点不重合），连接． （2）引理的结论为：． 证明：连接 ∵为的垂直平分线 ∴ ∴ 又∵四边形内接于圆 ∴（______）①（填推理的依据） 又∵ ∴____________…② 又∵ ∴____________…③ ∴ ∴ ∴． 19. 如图，在平面直角坐标系中，． （1）将点B向上平移4个单位长度，得到点C，则点C的坐标是___________． （2）将绕点B顺时针旋转得到，其中点A与点D对应，点D在线段上，请在图中画出； （3）经过A，B，E三点___________确定一个圆．（填写“能”或“不能”） 20. 已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，求： （1）点A、B、C的坐标； （2）的面积． 21. 如图，内接于，高经过圆心O．若，的半径为5，求的面积． 22. 已知关于x的一元二次方程有实数根． （1）求m的取值范围； （2）若m为符合条件的最大整数，求方程的解． 23. 已知抛物线， （1）画出它的图象； （2）求该抛物线的顶点坐标； （3）当时，直接写出y的取值范围． 24. 如图，是的外接圆，为直径，弦，过B做的切线，交的延长线于点E． （1）求证：； （2）求证：． 25. 如图1是某条公路的一个具有两条车道的隧道的横断面．经测量，两侧墙和与路面垂直，隧道内侧宽米，为了确保隧道的安全通行，工程人员在路面上取点E，测量点E到墙面的距离，点E到隧道顶面的距离．设米，米．通过取点、测量，工程人员得到了x与y的几组值，如下表： x（米） 0 2 4 6 8 y（米） 4.0 5.5 6.0 5.5 4.0 （1）根据上述数据，直接写出隧道顶面到路面AB的最大距离为___________米，并求出满足的函数关系式； （2）请你帮助工程人员建立平面直角坐标系．描出上表中各对对应值为坐标的点，画出可以表示隧道顶面的函数的图像． （3）若如图2的汽车在隧道内正常通过时，汽车的任何部位需到左侧墙及右侧墙的距离不小于1米且到隧道顶面的距离不小于0.35米．按照这个要求，隧道需标注的限高应为多少米（精确到0.1米）？ 26. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过点， （1）求a的值； （2）求抛物线的对称轴（用含m的式子表示）； （3）点，在抛物线上，若，求m的取值范围． 27. 如图，等腰直角中，将边绕点A逆时针旋转，得到线段，连接，过点C作交于E，连接． （1）依题意补全图1； （2）求的度数； （3）作点A关于直线的对称点M，连接，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，的半径为1，点A在上，点P在内，给出如下定义：过点P作x轴的垂线交与点B（点B位于x轴上方），交x轴于点D，D，B的距离记为，A，D的距离为，若，则点P与点A关于的“特征距离”为，若，则点P与点A关于的“特征距离”为． （1）点A的坐标为． ①若点P的坐标为，则点P与点A关于的“特征距离”为______； ②若点Q与点A关于的“特征距离”为1，求点Q纵坐标的取值范围______； ③点Q在直线上，点Q与点A关于的“特征距离”为，求点Q的坐标； （2）若当d取某个值时，对于函数的图象上任意一点M，在上都存在点N，使得点M与点N关于的特征距离为d，直接写出d的取值范围． 北京汇文中学教育集团2024−2025学年度第一学期 期中考试 初三年级数学 本试卷共8页，试卷总分100．考试时长120分钟．请考生务必答案答在答题卡上，在试卷上作答无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】A 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分． 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】3 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】， 【14题答案】 【答案】（答案不唯一） 【15题答案】 【答案】50 【16题答案】 【答案】 ①. 甲 ②. c，d 三、解答题：本题共12小题，共68分． 【17题答案】 【答案】 【18题答案】 【答案】（1） ①如图即为所求． ②如图，则即为所求．      （2） 圆的内接四边形，对角互补；；；；． 【19题答案】 【答案】（1）； （2） 如图，即为所求； （3）不能． 【20题答案】 【答案】（1）；； （2）6 【21题答案】 【答案】 【22题答案】 【答案】（1） （2） 【23题答案】 【答案】（1） 描点并画图如下： （2） （3） 【24题答案】 【答案】（1） 证明：， ， ∵ ， ． （2） 证明：连接，，在和中， ，，， （）， ， ∵， ∴，， ∵， ∴ ， ， 是的切线， ， ． 【25题答案】 【答案】（1）6，． （2） 解：根据题意，以点A为原点，为x轴，为y轴建立平面直角坐标,画出图像如图所示： （3）隧道需标注的限高应为4.5米 【26题答案】 【答案】（1） （2） （3）或 【27题答案】 【答案】（1） 如图， （2） （3） ，理由： 过M作交的延长线于N， ∵A、M关于对称， ∴，，， 又， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴，， ∴， 由（2）知：， ∴， ∴，即， ∴． 【28题答案】 【答案】（1）①；②；③ （2） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $