精品解析：浙江省温州新力量联盟2024-2025学年高一上学期期中联考数学试题

2024学年第一学期温州新力量联盟期中联考 高一年级数学学科试题 考生须知： 1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字. 3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效. 4．考试结束后，只需上交答题纸. 选择题部分 一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知，则有（ ） A. B. C. D. 2. 设函数，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 5 3. 下列函数中，在定义域上既是奇函数又是增函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次命题正确的是使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学届接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．已知a，b，c满足，且，那么下列选项中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 若，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 或 6. 已知函数的图象如图所示，则可以为（ ） A. B. C. D. 7. 已知x，y均为正实数，且.则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若，，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9. 下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（ ） A. ， B. ，2x为偶数 C. 所有菱形的四条边都相等 D. 每个二次函数的图像都是轴对称图形 10. 若的充分不必要条件是，则实数m的值可以是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 11. 已知函数是定义域为的偶函数，且为奇函数，则（ ） A. B. C. D. 非选择题部分 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. __________（填“＞”或“＝”或“＜”） 13. 已知函数，若在上有解，则m的取值范围是_________． 14. 已知函数（）在和上单调递增，在和上单调递减．若函数（）在正整数集合内单调递增，则实数t的取值范围为__________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 化简： （1） （2）（） 16. 已知集合，，全集 （1）求：； （2）若，且，求m的取值范围. （3）若，且，求a的值. 17. 已知函数（）， （1）若函数在上不单调，求的取值范围. （2）若函数在上的最小值为，求函数的最大值. 18. 洞头一中的校课外兴趣小组的学生为了给学校边的一口被污染的池塘治污，他们通过实验后决定在池塘中投放一种能与水中的污染物质发生化学反应的药剂．已知每投放m（，且）个单位的药剂，它在水中释放的浓度y（克/升）随着时间x（天）变化的函数关系式近似为，其中，若多次投放，则某一时刻水中的药剂浓度为各次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当水中药剂的浓度不低于4（克/升）时，它才能起到有效治污的作用． （1）若一次投放4个单位的药剂，则有效治污时间可达几天？ （2）若第一次投放2个单位的药剂，6天后再投放m个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效治污，试求m的最小值． 19. 已知函数. （1）若，求函数的值域； （2）若该函数图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交，求函数的解析式并写出其单调性（写出即可，不用证明）； （3）若，且对于任意的恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第一学期温州新力量联盟期中联考 高一年级数学学科试题 考生须知： 1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字. 3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效. 4．考试结束后，只需上交答题纸. 选择题部分 一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化简不等式，逐一判断即可. 【详解】依题意，，，A错误； 由元素与集合、集合与集合的关系知BC错误； ，D正确. 故选：D 2. 设函数，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】由分段函数的定义计算，先计算，再计算． 【详解】由已知， ， 故选：C． 3. 下列函数中，在定义域上既是奇函数又是增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据奇函数、单调性的定义判断． 【详解】奇函数是C和D，ABD都是增函数， 因此只有D中函数既是奇函数又是增函数， 故选：D． 4. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次命题正确的是使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学届接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．已知a，b，c满足，且，那么下列选项中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的性质，结合举反例的方法，逐项检验，可得答案. 【详解】对于A，当时，由，则，故A错误； 对于B，由，，则，由，则，所以，故B正确； 对于C，由B可知，由，则，所以，故C错误； 对于D，由，则，当时，，故D错误. 故选：B. 5. 若，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】由不等式的性质化简，然后由相应二次方程根的大小得出不等式的解． 【详解】因为，， 所以， 又不等式对应方程的根为：，且， 所以不等式的解为或， 故选：C． 6. 已知函数的图象如图所示，则可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合图象分析函数的定义域、奇偶性以及在上的单调性，然后逐项分析函数的定义域、奇偶性以及在上的单调性，即可得出合适的选项. 【详解】由图可知，函数的定义域为，该函数为奇函数，且函数在上不单调， 对于A选项，函数的定义域为， ，则函数为奇函数， 因为，，， 所以，，，则函数在上不单调，合乎要求； 对于B选项，对于函数，有，即，即， 解得，即函数的定义域为，不合乎要求； 对于C选项，函数的定义域为， ，即函数不是奇函数，不合乎题意； 对于D选项，函数的定义域为， ，则函数为奇函数， 任取、，且，则， 所以，，即，则函数在上为增函数， 不合乎要求. 故选：A. 7. 已知x，y均为正实数，且.则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】利用换元法化简题目中的代数式，结合基本不等式“1”的妙用，可得答案. 【详解】令，可得，由，，则，， ， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：A. 8. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若，，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的解析式，分、和三种情况分类讨论，得出函数的解析式，结合函数的图象，即可求解. 【详解】由题意，当时，， 所以当时，； 当时，； 当时，. 综上，函数， 在时的解析式等价于. 根据奇函数的图像关于原点对称作出函数在上的大致图像如图所示， 观察图像可知，要使，，则需满足， 解得. 故选：B. 二、多项选择题（每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9. 下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（ ） A. ， B. ，2x为偶数 C. 所有菱形的四条边都相等 D. 每个二次函数的图像都是轴对称图形 【答案】ACD 【解析】 【分析】由全称命题的概念判断． 【详解】选项ACD是全称命题，选项B是特称命题， A中，由，正确； CD均正确． 故选：ACD． 10. 若的充分不必要条件是，则实数m的值可以是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据充分不必要条件，可得集合的包含关系，建立不等式，可得答案. 【详解】由题意可得，则，解得， 易知. 故选：ABC. 11. 已知函数是定义域为的偶函数，且为奇函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性推得，然后采用赋值法可判断BD；取特例函数可判断AC. 【详解】因为函数是偶函数，所以， 因为为奇函数，所以， 令，则，则，，故B正确， 令，则，故D正确， 取函数，则，， 故满足是定义域为的偶函数，且为奇函数， 而，，故AC错误. 故选：BD. 非选择题部分 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. __________（填“＞”或“＝”或“＜”） 【答案】＞ 【解析】 【分析】根据幂函数的单调性比较． 【详解】因为函数是增函数，， 所以， 故答案为：． 13. 已知函数，若在上有解，则m的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】由可得． 【详解】由题意，解得， 故答案为：． 14. 已知函数（）在和上单调递增，在和上单调递减．若函数（）在正整数集合内单调递增，则实数t的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由对勾函数的单调性结合题意可得； 【详解】由对勾函数的性质可得，要使函数（）在正整数集合内单调递增， 则，即， 解得， 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 化简： （1） （2）（） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由分数指数幂的运算法则计算； （2）把根式化为分数指数幂后再运算． 【小问1详解】 原式 【小问2详解】 原式 16. 已知集合，，全集 （1）求：； （2）若，且，求m的取值范围. （3）若，且，求a的值. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由一元二次不等式和分式不等式的解法求出集合，再由集合的运算求出即可； （2）讨论是否为空集时，列不等式求解即可； （3）由二次函数的性质和一元二次方程的关系求解即可； 【小问1详解】 ，或，， ，， 【小问2详解】 ∵，∴. （ⅰ）当时，，得. （ⅱ）当时，，解得. 综上所述，. 【小问3详解】 ∵，∴， 又∵，∴方程的两个根都在内. ∴令，则， 解得. 17. 已知函数（）， （1）若函数在上不单调，求的取值范围. （2）若函数在上的最小值为，求函数的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由二次函数的对称轴在区间内可得； （2）根据对称轴与区间的关系分类讨论求得最小值，然后再分类求得最大值后比较可得． 【小问1详解】 函数的对称轴为. ∵函数在上不单调，∴ 解得； 【小问2详解】 （ⅰ）当，即时，函数在上单调递增， ∴ （ⅱ）当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，∴ （ⅲ）当，即时，函数在上单调递减， ∴ 综上所述 ∵当时，； 当时，； 当时， ∴当时， 18. 洞头一中的校课外兴趣小组的学生为了给学校边的一口被污染的池塘治污，他们通过实验后决定在池塘中投放一种能与水中的污染物质发生化学反应的药剂．已知每投放m（，且）个单位的药剂，它在水中释放的浓度y（克/升）随着时间x（天）变化的函数关系式近似为，其中，若多次投放，则某一时刻水中的药剂浓度为各次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当水中药剂的浓度不低于4（克/升）时，它才能起到有效治污的作用． （1）若一次投放4个单位的药剂，则有效治污时间可达几天？ （2）若第一次投放2个单位的药剂，6天后再投放m个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效治污，试求m的最小值． 【答案】（1）8天 （2）1 【解析】 【分析】（1）直接解不等式（用分类讨论法）可得； （2）当时，，化简后，利用基本不等式求得最小值，由这个最小值不小于4可得． 【小问1详解】 ∵ ∴. 当时，由，解得，此时； 当时，由，解得，此时． 综上，得．故若一次投放4个单位的药剂，则有效治污的时间可达8天． 【小问2详解】 当时， ， 又，，则． 当且仅当，即时取等号. 令，解得，故所求m的最小值为1． 19. 已知函数. （1）若，求函数的值域； （2）若该函数图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交，求函数的解析式并写出其单调性（写出即可，不用证明）； （3）若，且对于任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2），在上单调递减，在上单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）结合指数函数的单调性不解； （2）由函数图象性质求得函数解析式，然后由复合函数单调性得结论． （3）利用函数式化简不等式，结合，可对不等式进行分离参数，转化为求新函数的最大值得参数范围． 【小问1详解】 若，，则， ∵，单调递减，可得， ∴的值域为. 【小问2详解】 ∵该函数图像过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交. ∴且.所以 ∴， 是减函数，在上递减，在上递增，， ∴在上单调递减，在上单调递增. 【小问3详解】 若，，， ∴ 当时，即为，即. ∵， ∴对于恒成立． ∵，∴， 故m的取值范围是． 【点睛】方法点睛：对于恒（能）成立问题，常常采用参变分离的方法，再结合最值分析求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $