2025年山西省九年级中考数学一轮复习课件 第一章数与式第2节 整式

第一章　数与式 第2节 整式 中考课标导航 2011年版课标 考情 考点 借助现实情境了解代数式，进一步理解用字母表示数的意义 能分析具体问题中的简单数量关系，并用代数式表示 能根据特定的问题查阅资料，找到所需要的公式，并会代入具体的值进行计算（2022年版课标删除：会求代数式的值） —— 1. 列代数式 课标 考情 考点 了解整数指数幂的意义和基本性质. 理解整式的概念，掌握合并同类项和去括号的法则，能进行简单的整式加法和减法运算；能进行简单的整式乘法运算（其中多项式相乘仅指一次式之间以及一次式与二次式相乘） 5年5考 2024年第3题：整式的运算 2023年第3题、2023年第16 （2）题、2021年第3题、2020年第3题：整式的运算 2. 整式的运算 续表 中考课标导航 课标 考情 考点 能推导乘法公式：（a + b）（a - b）= a2 - b2； （a ± b）2 = a2 ± 2ab + b2，了解公式的几何背景，并能利用公式进行简单计算（2022年版课标新增：利用公式进行推理） 能用提公因式法、公式法（直接利用公式不超过二次）进行因式分解（指数是正整数）（2022年版课标新增：了解代数推理） —— 3. 因式分解 续表 中考课标导航 必备知识梳理 一、代数式 1. 概念: 用运算符号把数和字母连接而成的式子，叫做代数式；单独一个数或一个字母也是代数式.代数式是刻画现实世界数量关系的重要模型. 2. 列代数式 实际应用：根据实际问题情境，列出代数式.关键是找出 各个量之间的数量关系.例如，长方形的长为a， 宽为b，则长方形的面积可表示为ab 探索与表达规律：见第15页 必备知识梳理 二、整式 1. 整式的相关概念 概念：表示数与字母的乘积的代 数式叫做单项式.单独的一 个数或一个字母也是单项式. 例如，,-5a3b 系数：单项式中的 叫 做这个单项式的系数 次数：一个单项式中，所有字母的 叫做这个单项式的 次数 数字因数 指数和 单项式 必备知识梳理 概念：几个单项式的和叫做多 项式. 其中，每个单项 式叫做这个多项式的项， 不含字母的项叫做常数 项 次数：多项式中，次数 的 项的次数，叫做这个多 项式的次数 最高 多项式 必备知识梳理 整式的加减法 （1）同类项：所含 相同，并且相同字母的 也相同的项，叫做同类项 例如，8n与5n，与是同类项（几个常数项也是同类项） （2）把同类项合并成一项叫做合并同类项.整式加减的本质就是先去括号，再合并同类项.例如，， 2. 整式的运算： 字母 指数 必备知识梳理 幂的运算 （1）同底数幂的乘法： .（，都是正整数） （2）幂的乘方： .（，都是正整数） （3）积的乘方： .（是正整数） （4）同底数幂的除法： .（，，都是正 整数且） （5）负指数幂： .（，） （6）零指数幂： .（） 续表 整式的乘法 （1）单项式与单项式相乘： 项 （2）单项式与多项式相乘： 项 必备知识梳理 续表 必备知识梳理 整式的乘法 （3）多项式与多项式相乘： ①乘法公式：(a + b)(m + n) 项 ②平方差公式: 项 ③完全平方公式： 项 续表 必备知识梳理 整式的除法 （1）单项式除以单项式： = （2）多项式除以单项式： = 项 整式混合运算的顺序 先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的.整式运算的结果是单项式或多项式 注意：数的运算律在整式的运算中依然成立. 续表 必备知识梳理 三、因式分解 1.概念：把一个 化成几个整式的 的形式，这种变形叫做因式分解. 多项式 积 2.因式分解 的方法 提公因式法： 法 法 法 *十字相乘法： 公式法 m（） 注意：因式分解的结果是几个单项式或多项式的乘积 考点一　列代数式 中考考点精讲 1.（2017山西第12题）某商店经销一种品牌的洗衣机，其中某一型号的洗衣机每台进价为a元，商店将进价提高20%后作为零售价进行销售，一段时间后，商店又以九折优惠价促销，这时该型号洗衣机的零售价为 元. 1.08a 中考考点精讲 2.如图1，将边长分别为2a + 3，2a的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成如图2的“赵爽弦图”，得到大小两个正方形，则图2中阴影部分小正方形的边长为 .（用含a的代数式表示） a + 3 3.（2024山西第3题）下列运算正确的是（ ） A. 2m + n = 2mn B. m6 ÷ m2 = m3 C.（-mn）2 = -m2n2 D. m2·m3 = m5 考点二　整式的运算（5年5考） 中考考点精讲 D 4.（2023山西第3题）下列运算正确的是（ ） A. a2·a3 = a6 B.（-a3b）2 = -a6b2 C. a6 ÷ a3 = a2 D.（a2）3 = a6 D 中考考点精讲 5. 计算. （1）a2·a4 = . （2）（a2b3）4 = . （3）a8 ÷ a4 = . （4）-2a2b + 6a2b = . （5）= . （6）（π - 3.14）0 = . a6 a8b12 a4 4a2b 2 1 中考考点精讲 （7）2ab·3a2 = . （8）（2a + b）（a - b）= . （9）6x3y6 ÷ 2xy2 = . （10）（a2b4 + 3a2b3）÷ ab = . 3x2y4 ab3 + 3ab2 6a3b 2a2 - ab - b2 中考考点精讲 6.计算. （1）（a + 2b）2 = . （2）（a + 2b）（a - 2b）= . （3）（-a - 2b）（a - 2b）= . （4）（-a + 2b）（a - 2b）= . a2 + 4ab + 4b2 a2 - 4b2 4b2 - a2 -a2 + 4ab - 4b2 中考考点精讲 7.（2023山西第16题）化简：x（x + 2）+（x + 1）2 - 4x. 解：原式 = x2 + 2x + x2 + 2x + 1 - 4x = 2x2 + 1. 中考考点精讲 8.阅读小明整式化简的过程，并完成任务. （a + 2b）2 -（a + b）（a - b） = （a2 + 4ab + 4b2）-（a2 - b2） ………………………….. 第一步 = a2 + 4ab + 4b2 - a2 - b2 ………………….……………….. 第二步 = 4ab + 3b2. ………………………………………………….. 第三步 （1）第一步运算所用的乘法公式是 . 完全平方公式和平方差公式 中考考点精讲 （2）小明的解答过程从第 步开始出错，错误的原因是 ；请你写出正确的解答过程. 二 去括号后，括号内的第二项没有变号 易错点拨 1. 去括号时，若括号前是“-”号，去括号后，原括号内的每一项都要变号. 2. 添括号时，若括号前是“-”号，添括号后，原括号内的每一项都要变号. 解：（2）（a + 2b）2 -（a + b）（a - b） =（a2 + 4ab + 4b2）-（a2 - b2） = a2 + 4ab + 4b2 - a2 + b2 = 4ab + 5b2. 中考考点精讲 9. 新课标—代数推理 在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是某年1月份的日历.我们任意选择图中所示的菱形框部分，最左边的数与最右边的数的积减去最大数与最小数的积，结果相等.例如：9 × 11 - 3 × 17 = 48，13 × 15 - 7 × 21 = 48. 中考考点精讲 （1）若设中间位置的数为a，请你归纳一般结论，并证明. （2）用一个如图所示菱形框再框出5个数字，其中最小数与最大数的积为435，求出这5个数中的最大数. 解：（1）一般结论：（a - 1）（a + 1）- (a - 7)(a + 7) = 48. 左边 =（a - 1）（a + 1）-（a - 7）（a + 7）= a2 - 1-（a2 - 49）= 48 = 右边.∴结论成立. （2）设这5个数中的最大数为x，则最小数为x - 14. 根据题意可得x（x - 14） = 435. 解得x1 = 29，x2 = -15（舍去）. ∴这5个数中的最大数是29. 中考考点精讲 考点三　因式分解 10.因式分解：x3 - 4x = ； 9a2 - 12ab + 4b2 = . x（x + 2）（x - 2） （3a - 2b）2 中考考点精讲 11.因式分解： （1）. （2）. 1. 因式分解是把多项式化为整式乘积的形式. 2. 多项式中各项含有公因式时，先提取公因式，再用公式法. 3. 因式分解的结果需要检查是否分解彻底. 易错点拨 解：原式 = = = . 解：原式 = = = . 1.把形如ax2 + bx + c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法.配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2 ± 2ab + b2 =（a ± b）2.例如：x2 - 2x + 4的三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项、一次项、二次项）分别为（x - 1）2 + 3， （x - 2）2 + 2x， + x2． 选用因式分解（配方、提公因式）的内容作为阅读素材考查学习能力.提供三种不同形式，更有助于对完全平方式特征的把握，拓宽思维，突出抽象能力的考查. 题目立意 核心素养提升—问题解决 请解决下列问题： （1）根据上面的例子，写出x2 - 4x + 2三种不同形式的配方. （2）将a2 + ab + b2配方（至少两种形式）. 解：（1）x2 - 4x + 2的三种配方分别如下： x2 - 4x + 2 =（x - 2）2 - 2， x2 - 4x + 2 =（x - ）x， x2 - 4x + 2 =（）2 - x2. （2）a2 + ab + b2 =（a + b）2 - ab；a2 + ab + b2 = b2. 核心素养提升—问题解决 2.阅读以下材料，并解决相应的问题. 巧设密码 　　在日常生活中，电子支付、取款、上网等都需要密码. 有一种用因式分解生成密码的程序，方便记忆.例如：对于多项式x4 - y4，因式分解的结果是，若取x = 9，y = 9，则各个因式的值分别是，，，于是就可以把“162180”作为一个六位数的密码. 核心素养提升—问题解决 问题解决： （1）按材料中的原理，若取x = 8，y = 8，生成的密码是 . （2）若将程序修改为整式因式分解的结果，取x = 90，y = 7时，用上述方法产生的密码是多少？（写出一种即可） 128160 解：（2）. 当x 90，y 7时，. ∴产生的密码是“908397”. （答案不唯一，还可以是“909783”等） 核心素养提升—问题解决 $$