精品解析：江西省南昌市第一中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

南昌一中2024—2025学年度上学期高一数学期中试卷 命题人：刘江华 试卷总分：150分 考试时长：120分钟 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 存在量词命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知幂函数的图像过点，则（ ） A. B. C. D. 0 4. 我国著名的数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，则函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 5. 若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 6. 若命题“对任意的，恒成立”为假命题，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数（且），若函数的值域为，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知是二次函数，且对于任意的实数、，函数满足函数方程，如果.下列选项错误的是（ ） A. B. 在上单调递增 C. 为偶函数 D. 为偶函数 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得2分或4分，有选错的得0分． 9. 已知函数在上具有单调性，下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知 ，，则下列结论正确的是（ ） A. ab的最大值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为1 D. 的最小值为4 11. 已知定义在上函数的图象连续不间断，且满足以下条件： ①，都有；②，且时，都有；③，则下列成立的是（ ） A. B. 若， C. 若，则 D. ，R，使得 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若函数是幂函数，则_____. 13. 若是奇函数，则___________. 14. 已知函数定义域为，对任意的，都有，，则的解集为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．第15题13分，16，17题每题15分，18，19题每题17分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 求值： （1）； （2）． 16. 已知函数 （1）求函数的解析式； （2）求关于x的不等式解集.（其中） 17. 已知幂函数（）为偶函数，且在区间上单调递增，函数满足. （1）求函数和的解析式； （2）对任意实数，恒成立，求的取值范围. 18. 若关于的不等式的解集为. （1）当时，求的值； （2）若，，求的值，并求的最小值. 19. 已知奇函数，且的图象过点. （1）若，恒成立，求实数的取值范围； （2）是否存在实数，使函数在区间上的最大值为1.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南昌一中2024—2025学年度上学期高一数学期中试卷 命题人：刘江华 试卷总分：150分 考试时长：120分钟 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 存在量词命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】存在量词命题的否定是全称量词命题，把存在改为任意，把结论否定. 【详解】“”的否定是. 故选：B. 2. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由得，然后可计算求值. 【详解】由题意得：，得：， 所以：.故A项正确. 故选：A. 3. 已知幂函数的图像过点，则（ ） A. B. C. D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】依题意代入得到，根据幂的运算性质计算可得. 【详解】因为幂函数的图像过点， 所以，即，所以. 故选：C 4. 我国著名的数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，则函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 确定函数的定义域，奇偶性，单调性排除法确定正确结论． 【详解】的定义域是，关于原点对称， ，是偶函数，排除BC； 又时，，是增函数，排除A． 故选：D． 【点睛】本题考查由解析式先把函数图象，解题方法是排除法． 确定函数的定义域、值域，函数的奇偶性、单调性等性质，确定特殊的函数值，函数值的正负，函数值变化趋势．排除3个选项，得出一个正确的选项． 5. 若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分与两种情况，当时，根据二次函数的性质建立不等式即可求解． 【详解】当时，不等式化为此时不等式无解，满足题意， 当时，要满足题意，只需， 解得， 综上，实数的范围为. 故选:C. 6. 若命题“对任意的，恒成立”为假命题，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意知命题：存在，成立为真命题，再结合基本不等式得：，从而求解. 【详解】由题意得：存在，成立为真命题， 又因为：，当且仅当，即：取等号， 所以：，故B项正确. 故选：B. 7. 已知函数（且），若函数的值域为，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析可知当时，，由题意可知当时，则的值域包含，分和两种情况，结合指数函数性质分析求解. 【详解】当时，则， 且，所以， 若函数的值域为，可知当时，则的值域包含， 若，则在内单调递减， 可得，不合题意； 若，则在内单调递增， 可得，则，解得； 综上所述：实数a的取值范围是. 故选：B. 8. 已知是二次函数，且对于任意的实数、，函数满足函数方程，如果.下列选项错误的是（ ） A. B. 在上单调递增 C. 为偶函数 D. 为偶函数 【答案】B 【解析】 【分析】对于A，利用特殊值法，整理题目中等式，可得答案；对于B，利用待定系数法，根据等式求得函数解析式，结合二次函数的单调性，可得答案；对于C、D，整理对应函数解析式，根据二次函数的对称性，结合偶函数的性质，可得答案. 【详解】对于A，由，令， 则，解得，故A正确； 对于B，由，令， 则，化简可得， 设二次函数，则， 化简可得，可得，所以， 由，解得，所以， 由函数，则其对称轴为直线， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，故B错误； 对于C，由B可知，则其对称轴为， 所以函数是偶函数，故C正确； 对于D，由B可知， 则其对称轴为，所以函数为偶函数，故D正确. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得2分或4分，有选错的得0分． 9. 已知函数在上具有单调性，下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据函数单调性得到或，解得答案. 【详解】函数在上具有单调性，则或， 解得或. 故选：BC 10. 已知 ，，则下列结论正确的是（ ） A. ab的最大值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为1 D. 的最小值为4 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，B，直接利用基本不等式即可求解；对于C，由题设等式可得，代入消元后根据对勾函数的性质可判断；对于D，代入消元后根据基本不等式即可判断. 【详解】对于A，由，可得， 即得，因，解得， 故，当且仅当时等号成立， 由，可得， 故当且仅当，时，ab取得最大值为，故A正确； 对于B，因 ，当且仅当时等号成立， 令，代入上式，可得，即，解得， 故当且仅当，时，取得最小值为，故B错误； 对于C，由，可得，由，可得， 故. 令，则得，函数在上单调递增， 故，即C错误； 对于D，， 当且仅当，时等号成立， 故的最小值为4，故D正确. 故选：AD. 11. 已知定义在上函数的图象连续不间断，且满足以下条件： ①，都有；②，且时，都有；③，则下列成立的是（ ） A. B. 若， C. 若，则 D. ，R，使得 【答案】BD 【解析】 【分析】根据已知三个条件，可以画出函数的简图，利用简图易于判断A项错误，B，C两项则可以 利用图像特征布列不等式（组）解决；D项中，根据图像可判断函数有最大值即可判断. 【详解】 由①知函数是偶函数；由②知函数在上是减函数； 由③知函数 经过点.综合①②③知，该函数图像关于轴对称， 且在轴右侧为减函数，又经过点和，故可作出函数简图如图. 对于选项A，显然，故A项错误； 对于选项B，由可得：或，由（Ⅰ）可得： 由（Ⅱ）可得：综合得，，故B项正确； 对于选项C，因函数是偶函数，且在上是减函数，故由 可得，故有，，解得：或， 即：，故C项错误； 对于选项D，因函数在上是增函数，在上是减函数，函数又是定义在上的， 故而图像必与轴相交，即函数有最大值，故D项正确. 故选：BD. 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若函数是幂函数，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据幂函数定义求出，可求出，代入可求解. 【详解】因为是幂函数，所以， 解得，所以，所以. 故答案为：. 13. 若是奇函数，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用给定的分段函数，结合奇函数的定义求解作答. 【详解】依题意，， 所以. 故答案为： 14. 已知函数定义域为，对任意的，都有，，则的解集为___________. 【答案】 【解析】 【分析】依题意可得，令，即可得到在上单调递减，则问题转化为即，根据函数的单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可. 【详解】解：因为函数定义域为，对任意的，都有， 即， 令，即，又因为，所以函数在上单调递减， 不等式可变为， 又因为，所以， 所以，即， 又因为函数在上单调递减，所以，解得，即不等式的解集为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．第15题13分，16，17题每题15分，18，19题每题17分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 求值： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用指数运算法则计算即得. （2）利用对数运算及换底公式计算即得. 【小问1详解】 原式 . 【小问2详解】 原式 . 16. 已知函数 （1）求函数的解析式； （2）求关于x的不等式解集.（其中） 【答案】（1） （2） 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）令，则，即可得； （2）将不等式转化为，比较和的大小解不等式即可. 【小问1详解】 由题意，函数，令，所以， 则，所以. 【小问2详解】 由（1）知，即不等式转化为，则， 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 17. 已知幂函数（）为偶函数，且在区间上单调递增，函数满足. （1）求函数和的解析式； （2）对任意实数，恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据幂函数的性质得到，求出的范围，再由确的值，再代入检验，即可求出的解析式，再利用换元法求出解析式； （2）参变分离可得，恒成立，结合二次函数的性质求出的最小值，即可得解. 【小问1详解】 依题意幂函数为偶函数，且在区间上单调递增， 可得，解得， 由于，故， 当时，，此时为奇函数，不符合题意， 当或时，，此时为偶函数，符合题意， 故； 由，可得，令， 所以， 故. 【小问2详解】 由，恒成立， 可得，恒成立. 又，所以当时，取得最小值， 故，即的取值范围为. 18. 若关于的不等式的解集为. （1）当时，求的值； （2）若，，求的值，并求的最小值. 【答案】（1） （2），的最小值为. 【解析】 【分析】（1）由方程有两个实数根即可得，再代入通分后的式子即可得解. （2）由不等式的解集为和、可得，进而可求得和求解，从而结合基本不等式即可求解的最小值. 【小问1详解】 由题意，关于的方程有两个根，， 所以，故. 【小问2详解】 由题意，关于方程有两个正根， 且由韦达定理知，解得， 所以， 所以， 又，，故、， 所以，当且仅当即时等号成立， 结合得即，时取等号. 此时实数符合条件， 故，且当时，取得最小值. 19. 已知奇函数，且的图象过点. （1）若，恒成立，求实数的取值范围； （2）是否存在实数，使函数在区间上的最大值为1.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）存在，. 【解析】 【分析】（1）利用奇函数定义及图象所过的点求出函数，再利用单调性脱去法则，分离参数求解即得. （2）求出函数，并令，转化为二次函数在闭区间上的最大值问题求解即得. 【小问1详解】 函数是奇函数，由，得， 由函数的图象过点，得，而，解得， 经检验符合题意，即，函数在R上分别是增函数和减函数， 因此函数在R上是增函数，由，得， 于是对一切恒成立，即对一切恒成立， 则对一切恒成立，而在上单调递增，即， 所以，即. 【小问2详解】 ，设，则， 由，，记，则函数在上有最大值， 当，即时，，解得，矛盾， 当，即时，，解得，符合题意， 所以存在实数，使函数在上的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $