2025年山西省九年级中考数学一轮复习课件 第一章数与式第1节 实数

第一章　数与式 核心素养主要表现：运算能力、抽象能力、推理能力 1. 理解有理数、实数的概念与性质；掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算并能运用运算律简化运算. 2. 会用代数式表示数量关系和变化规律；能进行整式、分式的加、 减、乘、除运算. 3. 会论证结论的正确性，在逻辑论证的过程中体会代数推理. 4. 通过数与式的复习，发展运算能力、推理能力、抽象能力，体会数式通性. 素养目标 山西中考近五年考查情况 年份及分值 2024（22分） 2023（22分） 2022（17分） 2021（17分） 2020（22分） 实数 第1题：负数的意义 第 11 题：实数大小的比较 第 16（1）题：实数的计算 第1题：有理数的乘法 第 11 题：二次根式的计算 第16（1）题：实数的 计算 第1题：相反数 第3题：科学记数法 第11 题：二次根式的计算 第 16（1）题：实数的计算 第1题：有理数的加法 第4题：科学记数法 第 11 题：二次根式 的计算 第 16（1）题：实数的计算 第1题：有理数的除法 第 11 题：二次根式的计算 第 16（1）题：实数的计算 考情导览 山西中考近五年考查情况 整式 第3题：整式的运算 第3题：整式的运算 第 16（2）题：整式的化简 第3题：整式的运算 第3题：整式的运算 分式 第 16（2）题：分式的化简 第 7题：分式的化简 第 16（2）题：分式化 简的算理算法 代数推理 第 12 题：图形规律探索 第 12 题：图形规律 探索 续表 考情导览 备考策略 1. 明思路，建体系（大单元架构，有重点、有层次地复习备考） 备考策略 2. 晰方向，通方法 数与式是初中数学的基础，突出对基础运算能力的考查.历年初中学业水平考试的分值较大.复习定位于查缺补漏，应注重算理算法的讲解，避免机械训练 .数式规律探索是本章难点之一，也是高频考点之一，观察、归纳、抽象是关键.代数推理是2022年版课标的新增内容，本章设置代数推理小专题，明确解决问题的思路，需要多加关注（参考2022年版课标例66）. 第1节 实数 请同学们打开《滚动迁移》第1页，开始今天的学习吧！ 目 录 中考课标导航 1 必备知识梳理 2 中考考点精讲 3 核心素养提升 4 中考课标导航 2011年版课标 考情 考点 理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，能比较有理数的大小（2022 年版课标新增：理解负数的意义） 借助数轴理解相反数和绝对值的意义，了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，能求实数的相反数与绝对值（2022年版课标新增：能用数轴上的点表示实数，能比较实数的大小） 5年2考 2024年第1题：具有相反意义的量 2022年第1题：相反数 1. 实数的相关概念 课标 考情 考点 了解平方根、算术平方根、立方根、二次根式、最简二次根式的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根.会用平方运算求百以内整数的平方根，会用立方运算求百以内整数（对应的负整数）的立方根 5年3考 2023年第4题 、2022年第3题、2021年第4题：大数的科学记数法 2. 科学记数法 续表 中考课标导航 续表 中考课标导航 2011年版课标 考情 考点 考情 理解乘方的意义，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算（以三步以内为主）.了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关的简单四则运算.能运用有理数的运算解决简单的问题 —— 3. 数的开方与二次根式 5年1考 2024年第11题：无理数的估算 4. 实数的大小比较 续表 中考课标导航 2011年版课标 考情 考点 能用有理数估计一个无理数的大致范围 会用科学记数法表示数（包括在计算器上表示） 5年5考 2023年第1题：有理数的乘法 2021年第1题：有理数的加法 2020年第1题：有理数的除法 2024年、2023年、2022年、2021年、2020 年 第 16（1）题：实 数 的混合运算 5. 实数的运算 必备知识梳理 1. 实数的分类: 实数 有理数 无理数：无限不循环小数 整数 分数：有限小数或无限循环小数 正实数 0（注意：0既不是正数也不是负数） 负实数 按定义分 按大小分 必备知识梳理 概念 定义 性质 数轴 数轴的三要素：原点、单位长度、正方向 ⁠ ⁠ 实数与数轴上的点 　一一对应　⁠ 绝对值 代数意义： 几何意义：一般地，数轴上表示数a的点与　原点　的距离叫做数a的绝对值 非负性：（1） （2）若，则 注：绝对值最小的数是0 一一对应　 原点　 必备知识梳理 概念 定义 性质 相反数 只有　符号　不同的两个数叫做互为相反数.特别地，0的相反数是　0　⁠ （1）在数轴上，表示互为相反数的两个点位于原点的两侧，且与原点的距离　相等，即　 绝对相等 （2）若a，b互为相反数，则 倒数 乘积是　1　的两个数互为倒数. 0 没有倒数 实数a，b互为倒数（a ≠ 0，b ≠ 0）　⁠ 符号 0　 相等 绝对值 1　 （a ≠ 0，b ≠ 0）　 续表 必备知识梳理 二、科学记数法 概念：把一个数表示成的形式（，n为整数），这种记数方法叫做科学记数法.（例如，26 000 = 2.6 104，0.000 002 6 = 2.6 10-6） 必备知识梳理 三、数的开方与二次根式 1. 平方根、算术平方根、立方根： 运算 a（a ≥ 0） a（a ＜ 0） 特殊情况 平方根 ± 无 平方根是它本身的是0 算术平方根 无 算术平方根是它本身的是 0和1 立方根 立方根是它本身的是 0和1 必备知识梳理 2. 二次根式的概念与性质： （1）概念：一般地，形如（）的式子叫做二次根式，叫做被开方数. （2）二次根式有意义的条件：被开方数都是 　非负数　⁠. （3）最简二次根式：一般地，被开方数不含 　分母，也不含能开得尽方的因数或因式　⁠，这样的二次根式，叫做最简二次根式. 非负数　 分母，也不含能开得尽方 的因数或因式　 必备知识梳理 （4）性质：①非负性， 0（）； ②＝ 　 （）；③ =  　 ⁠； ④ ＝ 　 ⁠（，）；⑤ =　 ⁠（，）（5）运算 　 　 　 　 必备知识梳理 四、实数的大小比较 1. 实数比较大小：（1）在数轴上，右边的点表示的数比左边的点表示的数 　大　⁠.（2）正数 ＞ 0 ＞ 负数.（3）两个正数比较大小，绝对值大的就大；两个负数比较大小， 　绝对值大的反而小　⁠. 2. 无理数的估值： 大　 绝对值大的反而小　 确定（a ≥ 0）在哪两个相邻整数之间的步骤， 第一步：先对进行平方，得到； 第二步：找到与a相邻的两个开得尽方的整数； 第三步：对所得两个整数开方得结果. 必备知识梳理 五、实数的运算 1. 实数的运算： 加法法则 （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值　相加　⁠ （2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较　大　的加数的符号，并用较　大　的绝对值减去较小的绝对值，互为相反数的两个数相加得0 （3）一个数同0相加，仍得　这个数　⁠ 减法法则 减去一个数，等于加这个数的　相反数 乘法法则 两数相乘，同号得　正　，异号得　负　，并把绝对值相乘.任何数与0相乘，都得0 相加　 大　 大 这个数　 相反数　 正　 负　 必备知识梳理 除法法则 两数相除，同号得　正　，异号得　负　，并把绝对值相除.除以一个不等于0的数等于乘这个数的　倒数.0 除以任何非0的数都得　0　（注：0不能作除数） 乘方 求n个相同因数a的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂，a叫做 　底数　，n叫做　指数，读作“a的n次幂”（或“a的n次方”） 负　 倒数　 0　 底数　 指数 正　 续表 必备知识梳理 2. 实数混合运算的顺序：先算 　乘方　⁠，再算 　乘除　⁠，最后算 加减　⁠；如果有括号，先算 　括号里面的　⁠. 乘方　 乘除　 加减 括号里面的　 （1）负指数幂： 　⁠​ 　⁠.（，） （2）零指数幂： = 　1　⁠.（） ⁠​ 1 知识链接 考点一　实数的相关概念（5年2考） 中考考点精讲 1. （2022山西第1题）-6的相反数是 （　A　） A. 6 B. C.- D. - A 中考考点精讲 2. （2024山西第1题）中国空间站位于距离地面约400 km的太空环境中.由于没有大气层保护，在太阳光线直射下，空间站表面温度可高于零上 150℃，其背阳面温度可低于零下 100℃.若零上150℃记作+150℃，则零下100℃记作 （ ） A. +100℃ B. -100℃ C. +50℃ D. -50℃ B 中考考点精讲 3. 如图，数轴上点A表示实数a，点B表示实数b. 请解答下列问题. （1）请直接写出a，0，b之间的大小关系. 解：（1）a ＜ 0 ＜ b. （2）①a的绝对值为2，b的相反数为. ②AB ＝ ＝ ＝ . （2）若a ＝ -2，b ＝ . ①请直接写出a的绝对值和b的相反数. ②求AB的长度. 考点二　科学记数法（5年3考） 中考考点精讲 C 4. （2023山西第4题）山西是全国电力外送基地，2022年山西省全年外送电量达到 1 464 亿千瓦时，同比增长18.55％.数据1 464 亿千瓦时用科学记数法表示为（　C　） A. 1.464 × 108 千瓦时 B. 1 464 × 108 千瓦时 C. 1.464 × 1011 千瓦时 D. 1.464 × 1012 千瓦时 　常见的单位换算： （1）1千 ＝ 103，1万 ＝ 104，1亿 ＝ 108. （2）1 mm ＝ 10-3 m，1 m ＝ 10-6 m， 1 nm ＝ 10-9 m，1 km ＝ 103 m， 1 h ＝ 3 600 s， 思路分析 1 t ＝ 1 000 kg， 1 m/s ＝ 3.6 km/h ，1 g/cm3 ＝ 103 kg/m3. 中考考点精讲 5. 被称为“新材料之王”的石墨烯，是目前已知强度最高的材料之一，单层石墨烯的厚度约为0.35 纳米.0.35纳米相当于0.000 000 000 35米，数据0.000 000 000 35米用科学记数法表示为 （ ） A. 3.5 × 10-9 米 B. 0.35 × 10-9 米 C. 35 × 10-10 米 D. 3.5 × 10-10米 D 中考考点精讲 6. （2018山西第6题）黄河是中华民族的象征，被誉为母亲河.黄河壶口瀑布位于我省临汾市吉县城西45千米处，是黄河最具气势的自然景观，其落差约30米，年平均流量1 010立方米/秒.若以时作时间单位，则其年平均流量可用科学记数法表示为（　C　） A. 6.06 ×立方米/时 B. 3.136 ×立方米/时 C. 3.636 ×立方米/时 D. 36.36 ×立方米/时 C 中考考点精讲 考点三　数的开方与二次根式 7. 下列说法正确的是（　C　） A. 81的平方根是9 B. 64的算术平方根是±8 C. -27的立方根是-3 D. 0既没有立方根也没有平方根 C 8. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　B　） A. x ≠ 2 B. x ≥ 2 C. x ≤ 2 D. x ≠ -2 B 中考考点精讲 9. （2019山西第4题）下列二次根式是最简二次根式的是（　D　） D A. B. C. D. 10. 下列等式不正确的是（　D　） A. ＝ × B. ＝ C. ＝ D. ＝ -2 D 中考考点精讲 考点四　实数的大小比较 （5年1考） 11.（2024山西第11题）比较大小： 6 2. （填“>”“<”或“=”） > A. 2 < m < 3 B. 3 < m < 4 C. 4 < m < 5 D. 5 < m < 6 B 12. 已知m = - ，则实数m的取值范围是 （ ） 中考考点精讲 13. 实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是 （　A　） A. b + c > 3 B. a - c < 0 C. | a | > |c| D. -2a < -2b B 中考考点精讲 考点五　实数的运算（5年5考） 类型一 有理数的运算 14. （2021山西第1题）计算-2 + 8的结果是（　B　） A. -6 B. 6 C. -10 D. 10 B 15. （2023山西第1题）计算（-1） × （-3）的结果是（　A　） A. 3 B. C. -3 D. -4 A 中考考点精讲 16. （2020山西第1题）计算（-6）÷ 的结果是（　C　） A. -18 B. 2 C. 18 D. -2 C 中考考点精讲 类型二 二次根式的运算 17. （2023山西第11题）计算： = 　3　⁠. 19. （2020山西第11题）计算： ＝ 　5　⁠. 20. （2018山西第11题）计算： ＝ 　17　⁠. 3　 5　 17　 18. （2022山西第11题）计算： × = 　3　⁠. 3　 中考考点精讲 类型三 实数的混合运算 21. 计算： （1）（-6） × - +[ （-3）+（-1）] . 解：原式 = -2 - 4 +（-4） = - 10. 中考考点精讲 （2）（-1）4 ××. 解：原式 = × = 8 ＋ （-2） = 6. 中考考点精讲 （3） + - . 解：原式 = -3 = 2. 中考考点精讲 （4）（-2） × 3 + 解：原式 = -6 + 2 -1 = -5. 1. 中国人很早就开始使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出，可将算筹（小棍形状的记数工具）正放着表示正数，斜放着表示负数.如图1表示（+2） + （-2）.按照这种表示法，图2表示的是（　D　） A. （+3） + （+6） B. （-3） + （-6） C. （-3） + （+6） D. （+3） + （-6） D 核心素养提升—问题解决 2. 如图，有甲、乙两条数轴.甲数轴上的三点A，B，C对应的数依次为-4，2，32，乙数轴上的三点D，E，F对应的数依次为0，x，12． （1）计算A，B，C三点对应的数的和，并求 的值. 解：（1）∵点A，B，C对应的数依次是-4，2，32， ∴A，B，C三点对应的数的和为 -4 + 2 + 32 = 30. ∵AB = 2 - （-4） = 6， AC = 32 - （-4） = 36， ∴ = . 核心素养提升—问题解决 （2）当点A与点D上下对齐时，点B，C恰好分别与点E，F上下对齐，求x的值． 解：（2）由数轴得 DE = x - 0 = x， DF = 12 - 0 = 12， 由题意得 = = ∴x = 2. 核心素养提升—问题解决 $$