精品解析：重庆杨家坪中学2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试题

重庆杨家坪中学2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试题 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．各题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色签字笔完成； 4．考试结束，由监考人员将答题卡收回，试题卷学生保管好，以备老师评讲试卷时用． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 已知三角形的两边长分别为和，则第三边长不可能是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了三角形的三边关系，关键是正确确定第三边的取值范围．根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围． 【详解】解：根据三角形的三边关系，设第三边的长为， ∵三角形的两边长分别为和， ∴，即． ∴第三边可能为，，，不可能为 故选：D． 2. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形：如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够重合，则称这个图形是轴对称图形，这条直线叫做对称轴；根据这个概念判断即可． 【详解】解：选项A、C、D中的图形，找不到一条直线，对折后直线两旁的部分能够重合，故它们都不是轴对称图形，而选项B中的图形，则可以找到一条直线，对折后直线两旁的部分能够重合，故是轴对称图形； 故选：B． 3. 已知点与点关于y轴对称，那么的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查关于y轴对称点的性质，解题的关键是根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”求出x、y的值，然后相加计算即可得解． 【详解】解：∵点与点关于y轴对称， ∴， ∴， 故选A． 4. 如图，中，，点在线段上，且满足．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和，掌握等腰三角形性质是关键；由及，得；由可求得，再由即可求解． 【详解】解：∵，， ∴； ∵， ∴， ∴； 故选：B． 5. 如图是一组有规律的图案，第①个图案中有4个三角形，第②个图案中有7个三角形，第③个图案中有10个三角形……，依此规律，第⑧个图案中有（ ）个三角形． A. 23 B. 24 C. 25 D. 26 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查图形的变化规律．由题意可知：第①个图案有个三角形，第②个图案有个三角形，第③个图案有个三角形，…依此规律，第n个图案有个三角形，即可求得答案． 【详解】解：根据题意得： 第①图案有个三角形， 第②个图案有个三角形， 第③个图案有个三角形， ……， 由此发现，第n个图案有个三角形． 当时，， 故选：C． 6. 如图，在中，是高，，则和的面积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了含30度直角三角形的性质，掌握此性质是解题的关键；由可求得，则得，，则，由三角形面积即可求解． 【详解】解：∵是高，且， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； 故选：C． 7. 《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就．其中记载：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛．问大、小器各容几何？”译文：今有5个大容器和1个小容器可以装3斛（斛，音hú，是古代的一种容量单位），1个大容器、5个小容器可以装2斛．问：大容器、小容器分别可以装多少斛？设1个大容器装x斛，1个小容器装y斛，根据题意，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用．根据题意，利用不同数量的大容器和小容器的总容量，分别列出两个方程，从而得到方程组． 【详解】解：设1个大容器的容积为x斛，1个小容器的容积为y斛，则根据题意可列方程组为： ． 故选：C． 8. 如图，在中，点D在上，平分，延长到点E，使得，连结．若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 证明，得到，则，即可求解． 【详解】解：在中，点D在上，平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 由平角的定义得：， ∴， ∴， 故选：A． 9. 如图，在中，，平分交于，，，于，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，外角的性质． 延长交于点，由平分和，可以证明，由全等三角形的性质和可以证明，且，即可求出的长． 【详解】解：延长交于点， 平分， ， ， ， 在与中， ， ， ，，， ， ， 是的一个外角， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 10. 在5个字母（均不为零）中，不改变字母的顺序，在每相邻两个子母之间都添加一个“”或者一个“”组成一个多项式，且从字母之间开始从左至右所添加的“”或“”交替依次出现，再在这个多项式中，任意添加两个括号（括号内至少有两个字母，且括号中不再含有括号），添加括号后仍只含有加减运算，然后再进行去括号运算，我们称为“对括操作”． 例如：． 下列说法： ①存在“对括操作”，使其运算结果与其未加括号之前的多项式相等； ②不存在两种“对括操作”，使它们的运算结果求和后为0； ③所有的“对括操作”共有6种不同运算结果． 其中正确的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了去括号，整式的加减计算，由于，据此可判断①；任意两种“对括操作”，使它们的运算结果求和后字母的系数始终是2，据此可判断②；分当添加符号为时，当添加符号为时，两种情况分别求出添加括号并去括号后的结果即可得到答案． 【详解】解：当添加符号为时，则添加括号后可以为 ， ∵， ∴存在“对括操作”，使其运算结果与其未加括号之前的多项式相等，故①正确； ∵不管怎么添加符号和添加括号，字母的系数始终是1， ∴任意两种“对括操作”，使它们的运算结果求和后字母的系数始终是2， ∴不存在两种“对括操作”，使它们的运算结果求和后为0，故②正确； 当添加符号为时， ， ， ， ， 当添加符号为时， ， ， ， ， 综上所述，所有的“对括操作”共有6种不同运算结果，故③正确， 故选：D． 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 不等式的解集是__________ 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了解一元一次不等式，根据移项、合并同类项、系数化为1的步骤解答即可. 【详解】解： 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得， 故答案为： 12. 已知一个多边形的每一个外角都等于，则这个多边形的边数是_________． 【答案】5 【解析】 【详解】∵多边形的每个外角都等于72°， ∵多边形的外角和为360°， ∴360°÷72°=5， ∴这个多边形的边数为5. 故答案为5. 13. 某班学生每周参加体育锻炼时间的频数分布直方图（每组含前一个边界值，不含后一个边界值）如图所示．其中锻炼时间在6小时以下的学生有____________名． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查频数分布直方图，根据题意和直方图中的数据可以求得锻炼时间在小时及以上的学生人数，本题得以解决，解答本题的关键是明确题意． 【详解】解：锻炼时间在6小时以下的学生有名， 故答案为：． 14. 如图，D为内一点，平分，垂足为D，交于点E，若，则的长为_______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定及性质，熟悉相关性质是解题的关键． 先证明，得到，由等角对等边判定，则易求，即可解答． 【详解】解：如图， ∵平分， ∴， 在和中， ， ， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵， ∴， 故答案是：2． 15. 如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，∠CPE的度数是________°． 【答案】60 【解析】 【分析】连接，先根据等边三角形的性质可得，从而可得，再根据等边三角形的性质、线段垂直平分线的性质可得，从而可得，然后根据两点之间线段最短可得当点共线时，最小，最后根据等腰三角形的性质可得，利用三角形的外角性质即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， 是等边三角形，是的中点， ，， ， 是等边的边上的高， 垂直平分， ， ， 由两点之间线段最短得：如图，当点共线时，最小，最小值为， 此时有， 则， 故答案为：60． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、两点之间线段最短等知识点，利用两点之间线段最短找出最小时，点的位置是解题关键． 16. 若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于x，y的二元一次方程组的解满足，则所有满足条件的整数的值之和为______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式及不等式组，解二元一次方程组，正确求解方程与不等式是关键；解不等式组，再根据解集为，可求得a的范围；解二元一次方程组，根据也可以求出a的范围，最后确定a的范围，则可求得此范围内的整数值，从而求得这些数的和． 【详解】解：解不等式组中的两个不等式得：； 由于不等式组的解集为， 所以， 解得； 对于二元一次方程组，两个方程相加得：， 所以； 由于，即， 所以； 所以， 满足条件的整数为，0，1，2，3，其和为； 故答案为：5． 17. 如图，点D是外一点，，连接，过点D作于E，，则________________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，过点作，证明，得到，，再证明，推出，即可得出结果． 【详解】解：过点作于点，则， ∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：3． 18. 如图，在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，点在轴正半轴上，设．且，点与点关于轴对称，点为的中点，连接，过点作，且，连接交于点，则的值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】过点作轴交的延长线于点，如图所示，则，证明，得，根据对称性及，求得，得，再证，得，根据线段和差得，从而即可得解． 【详解】解：过点作轴交的延长线于点，如图所示： ∴， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， 点与点关于轴对称， ，， ∴， ， 又是的中点， ， ， ， 在和中， ， ， ， 又， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，轴对称的性质，平行线的性质，中点定义，等角的补角相等，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每小题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. （1）解方程组：； （2）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来. 【答案】（1）； （2）， 把不等式组的解集在数轴上表示为： 【解析】 【分析】此题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的解法，熟练掌握解题步骤是解题的关键. （1）利用加减消元法解方程组即可； （2）求出每个不等式的解集，找到公共部分即是不等式组的解集，并把解集表示在数轴上即可. 【详解】（1）解：， ②×3－①得：， 把代入②得， 所以原方程组的解为； （2）解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以原不等式组的解集为. 20. 学校随机抽取本校部分同学对最喜爱的课外延时服务课程进行了调查，调查课程分别是科学、体育、名著、艺术及其他课程，并制成以下两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题： （1）本次一共抽取了_________名学生进行调查，其中“名著”所占圆心角的度数是________度． （2）请把条形统计图补全； （3）若该校一共有2000名学生，请估算出全校最喜爱的课程是“艺术”的人数？ 【答案】（1）20，54 （2） 补全条形图如图： （3）400人 【解析】 【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，从统计图中有效的获取信息，是解题得的关键： （1）其他的人数除以所占的百分比求出调查的人数，用360度乘以名著人数所占的比例求出圆心角的度数； （2）根据（1）中求出的名著的人数，补全条形图即可； （3）利用样本估计总体的思想，进行求解即可． 【小问1详解】 解：， 名著的人数为：， ， 故答案为：20，54； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 （人）． 21. 如图，在中，，为延长线上一点． （1）用直尺和圆规完成以下基本作图：作线段的垂直平分线，与边，分别交于点，，在线段上截取，使得，连接；（保留作图痕迹，不写作法和结论） （2）在（1）所作图形中，连接，，求证：．（请补全下面的证明过程） 证明：∵，， ∴， ∴． ∵是的垂直平分线， ∴， ∴． ∵， ∴． 在中，，， ∴． 在和中， ∴． ∴． 【答案】（1） 如图所示． （2）；；； 【解析】 【分析】（1）根据线段垂直平分线的作图方法可得直线，再以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接即可； （2）根据线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质填空即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查作图—复杂作图，考查了作线段的垂直平分线，作一条线段等于已知线段，线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质．解题的关键是掌握尺规作图，等边对等角，全等三角形的判定与性质． 22. 在中，，过点A作于点D，延长至点E，使得，过点E作，交的延长线于点F，连接． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定，平行线的性质，三角形内角和定理的应用，解题的关键是数形结合，熟练掌握三角形全等的判定方法． （1）根据“”证明即可； （2）根据三角形内角和定理得出，根据，求出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴． 23. 重庆被称为“三大火炉”城市之一，夏天尤其炎热，空调成为了重庆人民必不可少的电器．某电器超市销售每台进价分别为2800元、2000元的A、B两种型号的空调，该超市近两周的销售情况如下表： 销售时段 销售数量 销售收入/元 A 种型号/台 B 种型号/台 第 1 周 4 3 25000 第 2周 5 5 35000 （进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本） （1）求 A、B两种型号的空调的销售单价； （2）若超市准备用不超过13万元的金额再采购这两种型号的空调共50台，求A种型号的空调最多能采购多少台？ （3）在（2）的条件下，超市销售完这50台空调能否实现利润不低于元的目标？若能，请给出相应的采购方案：若不能，请说明理由． 【答案】（1）A、B两种型号的空调的销售单价分别为元和元； （2）A种型号的空调最多能采购37台 （3）能实现利润超过2850元的目标，相应方案有两种：方案一：购买A种型号的空调36台，购买B种型号的空调14台；方案二：购买A种型号的空调37台，购买B种型号的空调13台 【解析】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式，一元一次不等式组的应用的方案问题．解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解． （1）设A、B两种型号空调的销售单价分别为x元、y元，列二元一次方程组，解方程组即可得到答案； （2）设采购A种型号空调a台，则采购B种型号空调台，利用超市准备用不超过13万元再采购这两种型号的空调共50台，列不等式，解不等式可得答案； （3）由超市销售完这50台空调能否实现利润不低于元的目标列不等式，结合（2）问，得到a的范围，由a为非负整数，从而可得答案． 【小问1详解】 设A、B两种型号的空调的销售单价分别为x元、y元． 根据题意有：， 解得：， 答：A、B两种型号的空调的销售单价分别为元和元； 【小问2详解】 设购买A种型号的空调a台，则购买B种型号的空调台， 根据题意有：， 解得：， ∵a为整数， ∴A种型号的空调最多能采购37台； 【小问3详解】 根据题意有， 解得：． ∵，且为整数， ∴a可取36和37， ∴能实现利润不低于元的目标，且方案如下： 方案一：购买A种型号的空调36台，购买B种型号的空调14台； 方案二：购买A种型号的空调37台，购买B种型号的空调13台． 24. 如图，小明坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住他后用力一推，爸爸在C处接住他，若妈妈与爸爸到的水平距离分别为和，． （1）与全等吗？请说明理由； （2）爸爸是在距离地面多高的地方接住小明的？ 【答案】（1） 解：与全等，理由如下： 由题意知，，， ∵， ∴，即， ∵，，， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由题意知，，，由，可得，证明即可； （2）由（1）知，则，由题意知，，根据，计算求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知， ∴， 由题意知，， ∴， ∴爸爸是在距离地面的地方接住小明的． 25. 如图，等腰中，，点A、B分别在坐标轴上. （1）如图①，若，，求C点的坐标； （2）如图②，若点A的坐标为，点B在y轴的正半轴上运动时，分别以OB，AB为边在第一，第二象限作等腰，等腰，连接EF交y轴于P点，当点B在y轴上移动时，PB的长度是否变化？如果不变求出PB值，如果变化求PB的取值范围. 【答案】（1）C点坐标（1，-2）； （2）不变化，PB＝2 【解析】 【分析】（1）作CD⊥BO，易证△ABO≌△BCD，根据全等三角形对应边相等的性质即可解题； （2）作EG⊥y轴，易证△BAO≌△EBG和△EGP≌△FBP，可得BG=AO和PB=PG，即可求得PB=AO，即可解题． 【详解】（1） 如图，作CD⊥BO，∵∠CBD+∠ABO=90°，∠ABO+∠BAO=90° ∴∠CBD=∠BAO 在和中， ∴ ∴BD=AO=3，CD=BO=1 ∴C点坐标（1，-2） （2） 如图，作EG⊥y轴， ∵∠BAO+∠OBA=90°，∠OBA+∠EBG=90° ∴∠BAO=∠EBG 在和中， ∴ ∴BG=AO,EG=OB ∵OB=BF ∴BF=EG 在和中， ∴ ∴PB=PG ∴PB=BG=AO=2 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了勾股定理、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的证明是解本题的关键． 26. 如图，等腰直角中，，，．点在的延长线上，连接；过点作，使，连接， （1）求证：． （2）如图，若点为的中点，连接、；求证：． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2） 证明：延长到点，使得，连接， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据，，根据等量代换，得；根据，，得，得，根据三角形的外角，得，即证明； （2）延长到点，使得，连接；根据，，，得，得，则，得，；等量代换，根据，，等量代换，根据全等三角形的判定和性质，等量代换，即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查三角形，平行线的知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，平行线的判定和性质，三角形的外角． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆杨家坪中学2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试题 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．各题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色签字笔完成； 4．考试结束，由监考人员将答题卡收回，试题卷学生保管好，以备老师评讲试卷时用． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 已知三角形的两边长分别为和，则第三边长不可能是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 2. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知点与点关于y轴对称，那么的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4. 如图，中，，点在线段上，且满足．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 如图是一组有规律的图案，第①个图案中有4个三角形，第②个图案中有7个三角形，第③个图案中有10个三角形……，依此规律，第⑧个图案中有（ ）个三角形． A. 23 B. 24 C. 25 D. 26 6. 如图，在中，是高，，则和的面积之比为（ ） A. B. C. D. 7. 《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就．其中记载：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛．问大、小器各容几何？”译文：今有5个大容器和1个小容器可以装3斛（斛，音hú，是古代的一种容量单位），1个大容器、5个小容器可以装2斛．问：大容器、小容器分别可以装多少斛？设1个大容器装x斛，1个小容器装y斛，根据题意，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，点D在上，平分，延长到点E，使得，连结．若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，平分交于，，，于，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 在5个字母（均不为零）中，不改变字母的顺序，在每相邻两个子母之间都添加一个“”或者一个“”组成一个多项式，且从字母之间开始从左至右所添加的“”或“”交替依次出现，再在这个多项式中，任意添加两个括号（括号内至少有两个字母，且括号中不再含有括号），添加括号后仍只含有加减运算，然后再进行去括号运算，我们称为“对括操作”． 例如：． 下列说法： ①存在“对括操作”，使其运算结果与其未加括号之前的多项式相等； ②不存在两种“对括操作”，使它们的运算结果求和后为0； ③所有的“对括操作”共有6种不同运算结果． 其中正确的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 不等式的解集是__________ 12. 已知一个多边形的每一个外角都等于，则这个多边形的边数是_________． 13. 某班学生每周参加体育锻炼时间的频数分布直方图（每组含前一个边界值，不含后一个边界值）如图所示．其中锻炼时间在6小时以下的学生有____________名． 14. 如图，D为内一点，平分，垂足为D，交于点E，若，则的长为_______． 15. 如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，∠CPE的度数是________°． 16. 若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于x，y的二元一次方程组的解满足，则所有满足条件的整数的值之和为______． 17. 如图，点D是外一点，，连接，过点D作于E，，则________________． 18. 如图，在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，点在轴正半轴上，设．且，点与点关于轴对称，点为的中点，连接，过点作，且，连接交于点，则的值为______． 三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每小题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. （1）解方程组：； （2）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来. 20. 学校随机抽取本校部分同学对最喜爱的课外延时服务课程进行了调查，调查课程分别是科学、体育、名著、艺术及其他课程，并制成以下两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题： （1）本次一共抽取了_________名学生进行调查，其中“名著”所占圆心角的度数是________度． （2）请把条形统计图补全； （3）若该校一共有2000名学生，请估算出全校最喜爱的课程是“艺术”的人数？ 21. 如图，在中，，为延长线上一点． （1）用直尺和圆规完成以下基本作图：作线段的垂直平分线，与边，分别交于点，，在线段上截取，使得，连接；（保留作图痕迹，不写作法和结论） （2）在（1）所作图形中，连接，，求证：．（请补全下面的证明过程） 证明：∵，， ∴， ∴． ∵是的垂直平分线， ∴， ∴． ∵， ∴． 在中，，， ∴． 在和中， ∴． ∴． 22. 在中，，过点A作于点D，延长至点E，使得，过点E作，交的延长线于点F，连接． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 23. 重庆被称为“三大火炉”城市之一，夏天尤其炎热，空调成为了重庆人民必不可少的电器．某电器超市销售每台进价分别为2800元、2000元的A、B两种型号的空调，该超市近两周的销售情况如下表： 销售时段 销售数量 销售收入/元 A 种型号/台 B 种型号/台 第 1 周 4 3 25000 第 2周 5 5 35000 （进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本） （1）求 A、B两种型号的空调的销售单价； （2）若超市准备用不超过13万元的金额再采购这两种型号的空调共50台，求A种型号的空调最多能采购多少台？ （3）在（2）的条件下，超市销售完这50台空调能否实现利润不低于元的目标？若能，请给出相应的采购方案：若不能，请说明理由． 24. 如图，小明坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住他后用力一推，爸爸在C处接住他，若妈妈与爸爸到的水平距离分别为和，． （1）与全等吗？请说明理由； （2）爸爸是在距离地面多高的地方接住小明的？ 25. 如图，等腰中，，点A、B分别在坐标轴上. （1）如图①，若，，求C点的坐标； （2）如图②，若点A的坐标为，点B在y轴的正半轴上运动时，分别以OB，AB为边在第一，第二象限作等腰，等腰，连接EF交y轴于P点，当点B在y轴上移动时，PB的长度是否变化？如果不变求出PB值，如果变化求PB的取值范围. 26. 如图，等腰直角中，，，．点在的延长线上，连接；过点作，使，连接， （1）求证：． （2）如图，若点为的中点，连接、；求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $