精品解析：上海市上海交通大学附属中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题

交大附中2024学年第一学期高三年级数学月考 2024.10 一、填空题（本大题共有18题，题每题3分，题每题4分，满分60分） 1. 函数的最小正周期是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】首先利用降幂公式化简函数，再求函数的最小正周期. 【详解】，所以函数的最小正周期. 故答案为： 2. 已知复数是方程的一个根，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意是方程的一个根，结合韦达定理即可列方程求解. 【详解】由求根公式可知，方程的复数根与其共轭复数是成对出现在该方程的根中的， 所以方程的另外一个复数根为， 由韦达定理有，解得. 故答案为：. 3. 若幂函数在单调递减，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据幂函数的定义和性质即可求解. 【详解】根据幂函数的定义和性质，得 ，解得. 经检验，符合题意. 所以. 故答案为：-2. 4. 已知集合，，若，则实数______． 【答案】 【解析】 【分析】根据子集关系求出可能解，再利用集合中元素的互异性求出不能取的值即可得出m的值. 【详解】因为，所以或，或， 又由集合中元素的互异性可知且且，且， 综上. 故答案为：. 5. 已知函数为偶函数，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由进行求解． 【详解】因为函数为偶函数，所以， 即， 即， 两边平方，化简可得． 要使上式恒成立，则，即． 故答案为： 6. 要考查某种品牌的颗种子的发芽率，从中抽取颗种子进行实验，利用随机数表法抽取种子，先将颗种子按、、、进行编号，如果从随机数表第行第列的数开始并向右读，则抽到的第颗种子的编号是______.（下面抽取了随机数表第行至第行） 03 47 43 73 86 36 96 47 36 61 46 98 63 71 62 33 26 16 80 45 60 11 14 10 95 97 74 94 67 74 42 81 14 57 20 42 53 32 37 32 27 07 36 07 51 24 51 79 89 73 16 76 62 27 66 56 50 26 71 07 32 90 79 78 53 13 55 38 58 59 88 97 54 14 10 【答案】 【解析】 【分析】根据随机数表法可得结果. 【详解】由随机数表法可知，抽取的前颗种子的编号依次为：、、、， 故抽到的第颗种子的编号是. 故答案为：. 7. 中，，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理角化边，再结合勾股定理即可求得答案. 【详解】因为，所以， 设,则, 又，所以该三角形为直角三角形， 所以， 所以， 故答案为：. 8. 设图像的一条对称轴是直线，则直线的倾斜角为_________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据函数的对称轴是直线，推断出，求得a和b的关系，进而求得直线的斜率，则直线的倾斜角可求得． 【详解】因为函数图像的一条对称轴是直线， 所以，即，所以， 所以直线的斜率为， 由于，所以直线的倾斜角为， 故答案为：. 9. 二项式的展开式中仅有第5项系数最大，则它的展开式中常数项为______（用数字作答） 【答案】28 【解析】 【分析】由二项式展开式结合二项式系数的性质，得到，再利用展开式求常数项即可. 【详解】因为二项式第项二项式通项为，且展开式中仅有第5项系数最大， 所以由二项式系数的性质可得展开式共有项，， 所以在展开式中常数项中，解得， 所以常数项为， 故答案为： 10. 正实数、满足：，则的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】令，可得到，即得，即可求得答案. 【详解】由题意知正实数、满足：， 令，则，所以， 即，则，故， 则的取值范围为， 故答案为： 11. 已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为________________． 【答案】2或 【解析】 【分析】本题根据渐近线的夹角求出渐近线的斜率，再根据渐近线的斜率与双曲线方程中参数以及离心率的关系即可求得结果. 【详解】双曲线的两条渐近线的夹角为，且渐近线关于x、y轴对称， 若双曲线的焦点在x轴上，设双曲线的标准方程为， 则，或， 此时， 或， 若双曲线的焦点在y轴上，同理可得离心率为或. 综上，离心率为或. 故答案为：或. 12. 若函数的部分图象如图所示，则的值是_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据对称关系可推导得到最小正周期，进而得到；根据和的范围可求得结果. 【详解】由图象可知：，图象关于点中心对称， 最小正周期，，， ，结合图象可知：， ，又，. 故答案为：. 13. 直线与椭圆交于A、B两点，F为椭圆左焦点.则周长最大值是_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆定义即可结合三点共线求解. 【详解】由题意可得， 记椭圆右焦点为，则周长 当且仅当直线经过右焦点（不经过左焦点）时取得等号.， 故答案为： 14. 定义在上的函数满足且对于任意，均有，若对于所有满足上述条件的函数，均存在实数，使得对于任意，总有，则实数的最小值为_________. 【答案】1012 【解析】 【分析】根据的范围进行分类讨论，结合绝对值三角不等式求得m的取值范围，进而求得m的最小值. 【详解】若，则， 若，不妨设， 则 综上所述，， 下证是最小的: 设函数，则函数满足. 对于任意不等的实数，不妨假设， 则 因此是满足已知条件的函数. 取，则. 综上可得，的最小值为1012. 故答案为：1012. 15. 已知点在所在平面内，满足，且，，则边BC的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】取的中点，先证明点为的重心，易得点为的外心，将用表示，再根据数量积的几何意义结合求出，再根据求出，进而可得出答案. 【详解】取的中点，则， 因为，所以， 所以，又为公共端点，所以三点共线， 所以点在边的中线上，且， 同理点在边的中线上，即点为的重心， 故， 因为， 所以点为的外心，即为为中垂线的交点， 故， 则， 所以， 而，所以， 即， 所以，所以， 所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：根据数量积的几何意义结合求出，是解决本题的关键. 16. 设一个几何体的表面积为，体积为，定义其体积系数.将两个完全相同的正棱锥底面完全贴合在一起构成一个新的多面体，其体积系数与原正棱锥体积系数相同，则该正棱锥侧面与底面所成的角为_________.（弧度数，精确到0.1弧度) 【答案】1.3弧度 【解析】 【分析】设正棱锥底面积为，侧面积为，体积为，由题意可得，进而化简求解即可. 【详解】设正棱锥底面积为，侧面积为，体积为， 则，故， 解得，设该正棱锥侧面与底面所成的角为， 则，即. 故答案为：1.3弧度. 17. 对于平面中的点集，定义直线相对的"拟合误差"为.已知点集，直线相对的"拟合误差"的最小值为_________. 【答案】##0.5 【解析】 【分析】方法一：结合“拟合误差”公式进行化简，利用二次函数的性质即可求得最小值；方法二：最小值的几何意义为点到组成的平面的距离，求得平面法向量，由即可求得最小值. 【详解】方法一： ； 方法二：记， 则最小值的几何意义为点到组成的平面的距离. 易求得平面法向量为， 故. 故答案为：. 18. 已知一个正方形的四个顶点都在函数的图象上，则此正方形的面积为__． 【答案】10或17 【解析】 【分析】先判断的对称性，设出直线、直线的方程并与函数联立，根据列方程，由此化简求得正方形的面积. 【详解】由得函数关于点中心对称， 显然该正方形的中心为， 由正方形性质得于，且， 设直线的方程为，则直线的方程为， 设，，则，， 联立直线方程与函数得，即， 所以，同理， 又， 所以，即， 化简得， 所以或， 所以或， 所以 或17． 故答案为：10或17 【点睛】求解函数对称中心，可利用来进行求解，求解曲线和直线交点有关问题，可利用设而不求的方法，用整体代换法来进行求解. 二、选择题（本大题共有4题，每题4分，满分16分） 19. 设,则“”是“且”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的性质，利用充分条件与必要条件的定义判断即可. 【详解】因为，且能推出 ； 不能推出且，（如）， 所以，“”是“且”的必要不充分条件， 故选B． 【点睛】判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理． 20. 在统计某学校所有选择理科和文科的学生数据中，发现理科生多于文科生，女生多于男生，则关于本次学生样本的数据中，结论一定成立的是（ ） A. 理科男生多于文科女生 B. 文科女生多于文科男生 C. 理科女生多于文科男生 D. 理科女生多于理科男生 【答案】C 【解析】 【分析】分别设出理科男女生，文科男女生的人数，根据题意列出不等式即可求解. 【详解】根据已知条件设理科女生有人，理科男生有人；文科女生有人，文科男生有人； 根据题意可知：， 根据同向不等式可加的性质有：， 即，所以理科女生多于文科男生， 故C正确，其他选项没有足够证据论证. 故选：C. 21. 已知与是直线（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组的解的情况是（ ） A. 无论k、、如何，总是无解 B. 无论k、、如何，总有唯一解； C. 存在k、、，使之恰有两解 D. 存在k、、，使之有无穷多解 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，可得与不共线，得到，进而得到一定有唯一解，即可得到答案. 【详解】因为与是直线（为常数）上两个不同的点， 且直线斜率存在，且不过原点，所以与不共线，可得， 所以关于和的方程组，一定有唯一解. 故选：B. 22. 某班同学身高的平均数为，方差为，其中女生身高的平均数为，方差为，男生身高的平均数为，方差为，下列说法错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】利用均值公式、方差公式逐项判断正误即可 【详解】选项A：，所以，若，则， 故选项A正确. 选项B： ， 所以 ,不妨令则 ， 故选项B错误. 选项C：若，则故选项C正确. 选项D:若， 因为，所以， 则． 又， 所 故选项D正确. 故选：B. 三、解答题（本大题共有2题，满分24分） 23. 已知椭圆的右顶点为，离心率为，过点的直线与交于两点. （1）求椭圆的方程; （2）若的上顶点为，直线的斜率分别为，求证:为定值. 【答案】（1） （2） 证明：显然直线的斜率存在，设直线的方程为：， 由，得， 由判别式，可得， 所以，易得， 所以， 所以 【解析】 【分析】（1）根据顶点和离心率，列方程即可求解， （2）联立直线与椭圆方程，即可根据两点斜率公式，结合韦达定理，代入化简即可求解. 【小问1详解】 由题意知，解得， 所以的方程为 【小问2详解】 略 24. 已知函数是定义在上的增函数. （1）若，求的取值范围； （2）若为周期函数，证明：是常值函数； （3）设恒大于零，是定义在上、恒大于零的周期函数，是的最大值.函数.证明：“是周期函数”的充要条件是“是常值函数”. 【答案】（1） （2） 证明：反证：假设周期为的函数不是常值函数， 注意到是定义在上的增函数， 则存在，满足.取， 则，由是增函数， 则，矛盾. 故是常值函数； （3）证明： 充分性）是常值函数，则显然是周期函数. （必要性）是周期函数，设其周期为周期为， 在处取得最大值. （方法一）反证法：假设函数不是常值函数. 注意到是定义在上的增函数，则存在，满足.若， 用代替，则我们总可以假设. 取，有，所以 ， 这与矛盾，所以假设不成立. 故函数是常值函数. （方法二）对任意正整数， ， 所以，函数是增函数， 所以在上为常值函数， 注意到为任意正整数，所以上为常值函数. 对于任意固定的正整数， 对重复一样的推理可知， 上为常值函数.正整数是任意的， 所以上为常值函数. 【解析】 【分析】（1）利用可得答案； （2）利用反证法，假设周期为的函数不是常值函数，根据是定义在上的增函数，推出，矛盾，可得答案； （3）先证分充分性，再必要性，设周期为周期为，在处取得最大值，（方法一）反证法：假设函数不是常值函数，利用是定义在上的增函数，存在，推出与矛盾，所以假设不成立.（方法二）对任意正整数，利用周期性、单调性得在上为常值函数，对于任意固定的正整数，对重复一样的推理可知，上为常值函数可得答案. 【小问1详解】 因为是定义在上的增函数， 所以恒成立，故； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：在本题反证法中主要是利用周期性、单调性推出矛盾. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 交大附中2024学年第一学期高三年级数学月考 2024.10 一、填空题（本大题共有18题，题每题3分，题每题4分，满分60分） 1. 函数的最小正周期是_____________． 2. 已知复数是方程的一个根，则______． 3. 若幂函数在单调递减，则________. 4. 已知集合，，若，则实数______． 5. 已知函数为偶函数，则______． 6. 要考查某种品牌的颗种子的发芽率，从中抽取颗种子进行实验，利用随机数表法抽取种子，先将颗种子按、、、进行编号，如果从随机数表第行第列的数开始并向右读，则抽到的第颗种子的编号是______.（下面抽取了随机数表第行至第行） 03 47 43 73 86 36 96 47 36 61 46 98 63 71 62 33 26 16 80 45 60 11 14 10 95 97 74 94 67 74 42 81 14 57 20 42 53 32 37 32 27 07 36 07 51 24 51 79 89 73 16 76 62 27 66 56 50 26 71 07 32 90 79 78 53 13 55 38 58 59 88 97 54 14 10 7. 中，，则_________. 8. 设图像的一条对称轴是直线，则直线的倾斜角为_________. 9. 二项式的展开式中仅有第5项系数最大，则它的展开式中常数项为______（用数字作答） 10. 正实数、满足：，则的取值范围为________. 11. 已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为________________． 12. 若函数的部分图象如图所示，则的值是_________. 13. 直线与椭圆交于A、B两点，F为椭圆左焦点.则周长最大值是_____. 14. 定义在上的函数满足且对于任意，均有，若对于所有满足上述条件的函数，均存在实数，使得对于任意，总有，则实数的最小值为_________. 15. 已知点在所在平面内，满足，且，，则边BC的长为___________． 16. 设一个几何体的表面积为，体积为，定义其体积系数.将两个完全相同的正棱锥底面完全贴合在一起构成一个新的多面体，其体积系数与原正棱锥体积系数相同，则该正棱锥侧面与底面所成的角为_________.（弧度数，精确到0.1弧度) 17. 对于平面中的点集，定义直线相对的"拟合误差"为.已知点集，直线相对的"拟合误差"的最小值为_________. 18. 已知一个正方形的四个顶点都在函数的图象上，则此正方形的面积为__． 二、选择题（本大题共有4题，每题4分，满分16分） 19. 设,则“”是“且”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分又非必要条件 20. 在统计某学校所有选择理科和文科的学生数据中，发现理科生多于文科生，女生多于男生，则关于本次学生样本的数据中，结论一定成立的是（ ） A. 理科男生多于文科女生 B. 文科女生多于文科男生 C. 理科女生多于文科男生 D. 理科女生多于理科男生 21. 已知与是直线（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组的解的情况是（ ） A. 无论k、、如何，总是无解 B. 无论k、、如何，总有唯一解； C. 存在k、、，使之恰有两解 D. 存在k、、，使之有无穷多解 22. 某班同学身高的平均数为，方差为，其中女生身高的平均数为，方差为，男生身高的平均数为，方差为，下列说法错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 三、解答题（本大题共有2题，满分24分） 23. 已知椭圆的右顶点为，离心率为，过点的直线与交于两点. （1）求椭圆的方程; （2）若的上顶点为，直线的斜率分别为，求证:为定值. 24. 已知函数是定义在上的增函数. （1）若，求的取值范围； （2）若为周期函数，证明：是常值函数； （3）设恒大于零，是定义在上、恒大于零的周期函数，是的最大值.函数.证明：“是周期函数”的充要条件是“是常值函数”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $