山东省济南市钢城区2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

答案第 1 页，共 4 页 初四数学期中考试参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C B D A D A B A C 11．x≥-3 且 x≠0 12． 1 2 13．（6,0） 14．5 15．-3 16、（1）原式=3-1- 4×√ 3 2 -4+√3 ……5′（每个考点得 1 分） =-2-√3 ……7′ 17. 对称轴：直线 x=2 ……3′ 顶点坐标为（2，-3） ……7′ 18．（1） k=1，m=-3，n=-3；……3′ （2） x＜ -3 或 -1＜x＜0 ……7′ 19、解： (1) 过点 D 作 DF⊥AB 于点 F，DG⊥BC，交 BC 的延长线于点 G， 由题意得，BC=30m,CD=20m,∠ADF=30°，DG=BF，DF=BG，……1′ ∵斜坡的斜面坡度 i=1：√3=tan∠DCG ∴∠DCG=30° ∴DG= 1 2 CD=10 米 答：D 到 BC 的距离为 10米. ……3′ (2) 在 Rt△DCG 中 :CG =20·cos30°=20× √3 2 =10√3米 ……4′ ∴BG=（10√3+30）米=DF ……5′ 在 Rt△ADF 中：∠ADF=30° AF= DF·tan30°=（10√3+30）× √3 3 =（10+10√3）米. ……7′ ∴AB=10+10√3+10=(20+10√3)米 答案第 2 页，共 4 页 答：古塔 AB 高(20+10√3)米 ……8′ 20．（1）解方程组{ 𝑦 = −8 𝑥 𝑦 = −𝑥 + 2 得{ 𝑥 = −2 𝑦 = 4 或 { 𝑥 = 4 𝑦 = −2 ∴A（ -2，4），B（4， -2） （2）把 x=0 代入 y=-x+2 得 y=2， 则 D（0，2） ……5′ ∴S△ A OB=S△ A OD+S△ B OD= 1 2 × 2 × 2 + 1 2 × 2 × 4 = 6 ……8′ 21、（1）将 A（1，0）代入抛物线 cxxy ++= 2 3 2 1 2 2 得： 1 2 + 3 2 + 𝑐 = 0 ∴ c=-2 ……1′ 令 y=0.则 𝟏 𝟐 𝒙𝟐 + 𝟑 𝟐 x-2=0 解得𝑥1 = −4，𝑥2 = 1 ∴B（ -4，0）， ∴t=-4 ……4′ （2）令 x=0，则 y=-2， ∴C（0， -2）， ∴OC=2， ……5′ ∵𝑆𝛥𝐴𝐵𝑃 = 3 2 𝑆𝛥𝐴𝐵𝐶 ∴ 1 2 AB·𝑦𝑝=∴ 1 2 AB×2× 3 2 ∴ 𝑦𝑝=3 当 𝟏 𝟐 𝒙𝟐 + 𝟑 𝟐 x-2=3 时 ……7′ 得𝑥1 = 2，𝑥2 = −5（舍） ∴P（2,3） ……9′ 22、（1）由题意可知：AB=6.8×5=34（m），……1′ 在 Rt△ABC 中，∠ABC=90°，∠ACB=45°， 则 BC=AB=34m, 答：无人机从点 B 到点 C 处的飞行距离为 34m. ……3′ （2）如图②，延长 ED 交 BC 的延长线于点 F， 则四边形 ABFE 为矩形， ∴EF=AB=34m, 设 DE=x m,则 DF=（34-x）m, 答案第 3 页，共 4 页 在 Rt△DFC 中，∠DFC=45°， 则 FC=DF=（34-x）m, ……5′ ∴BF=CF+BC=（68-x）m, ……6′ 在 Rt△BFD 中，∠FBD=20° ∵tan∠FBD= 𝐹𝐷 𝐵𝐹 ……7′ ∴DF=BF•tan∠FBD，即 34-x=（68-x）×0.36， 解得：x≈15， 答：四门塔 DE 的高度约为 15m. ……10′ 23、（1）销售量 y=75+5（125-x）=-5x+700（80≤ x≤120） ……4′ （2）每天的利润 w=（x-80）（ -5x+700）……6′ =-5x2+1100x-56000 =-5（ x-110） 2+4500． ∴当 x=110 时，每天的最大利润为 4500．……8′ ∴每个应降价（125-110）=15 元． 答：每个应降价 15 元，才能使每天利润达到最大，最大利润为 4500 元……10′ 24、（1）∵点 A（1,6）在反比例函数𝑦2 = 𝑘 𝑥 图象上， ∴k=1×6=6 ∴ 反比例函数表达式为𝑦 = 6 𝑥 ……1′ ∴n×1=6，得 n=6 ∴B（6,1）……2′ 将点 A（1,6）和点 B（6,1）代入𝑦1 = 𝑎𝑥 + 𝑏得{ 𝑘 + 𝑏 = 6 6𝑘 + 𝑏 = 1 解得{ 𝑘 = −1 𝑏 = 7 ∴一次函数表达式为 y=-x+7 ……4′ （2）作点 B 关于 x 轴的对称点 B´（6，-1），连接 AB´交 x 轴于 点 P，此时 PA+PB 的值最小 ……5′ 设𝑦𝐴𝐵´ = 𝑘𝑥 + 𝑏，代入得{ 𝑘 + 𝑏 = 6 6𝑘 + 𝑏 = −1 解得{ 𝑘 = − 7 5 𝑏 = 37 5 ∴𝑦𝐴𝐵´ = − 7 5 𝑥 + 37 5 令− 7 5 𝑥 + 37 5 =0，得 x= 37 7 ∴P（ 37 7 , 0）……8′ （3）求得点 D 坐标（2,3）或（3,2）……12′ 25、（1）当 x=0 时，y=√3，得 C（0，√3） 又∵抛物线过点𝐴(−1,0)，𝐵(3,0) 设抛物线表达式 y=a（x+1）（x-3）……1′ ∴-3a=√3 a=− √3 3 ……2′ 答案第 4 页，共 4 页 得 y=− √3 3 （x+1）（x-3） 抛物线的解析式为 y=− √3 3 𝑥2 + 2√3 3 𝑥 + √3 ………3′ （2）在 Rt△AOC 中 ,tan∠ACO= 𝑂𝐴 𝑂𝐶 = 1 √3 ∴∠ACO=30° 在 Rt△BOC 中 ,tan∠BCO= 𝑂𝐵 𝑂𝐶 = 3 √3 = √3 ∴∴∠BCO=60° ∴∠BCA=60°+30°=90° △ABC 为直角三角形. ……6′ （3）设直线 BC 的解析式为 y=kx+b， { 3𝑘 + 𝑏 = 0 𝑏 = √3 ，解得 { 𝑘 = − √3 3 𝑏 = √3 ， ∴直线 BC 的解析式为 y=- √3 3 𝑥 + √3 ……7′ ∵∠OBC=90°-60°=30° ∵PM∥AB，PN∥AC， ∴∠PMN=∠OBC=30°，∠PNM=∠ACB=90°， ∴PN= 1 2 PM， PM+PN== 3 2 PM 设 P（m, − √3 3 𝑚2 + 2√3 3 𝑚 + √3） , 则 M（m2-2m, − √3 3 𝑚2 + 2√3 3 𝑚 + √3） ∴PM=m-m2+2m=-m2+3m , ……9′ ∴PM+PN= 3 2 （ -m2+3m）=- 3 2 （m- 3 2 ） 2+ 27 8 ， ∵ - 3 2 ＜0 ∴当 m= 3 2 时，PM+PN 有最大值为 27 8 ，此时点 P 坐标为（ 3 2 ， 5√3 4 ） .……12′ 2024-2025学年度上学期期中考试 初四数学试题 注意事项： 1.答题前请考生务必在试卷的规定位置将自己的姓名等内容填写准确。 2.本试题分第I卷 (选择题) 和第Ⅱ卷 (非选择题) 两部分，共150分，考试时间为120分钟。 3.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑； 非选择题用0.5mm黑色签字笔直接答在答题卡相应区域，不能答在试卷上； 解答题作图需用黑色签字笔，不能用铅笔。 4.考试结束后，将答题卡收回。 第I卷 (选择题40分) 一、选择题(本题共10小题，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分，共40分) 1.已知是锐角， 则等于 A.30° B.45° C.60° D.90° 2.已知反比例函数 则它的图象经过点 A.(2,8) B. (-1, 4) C. (4, 1) D.(2,-2) 3.将二次函数 的图象向左平移2个单位，向上平移3个单位，则平移后的二次函数表达式为 4.已知在Rt△中, , , , 则等于 A.6 B.16 C.3 D.12 5. 若点.() , () , ( )在反比例函数 的图象上，则的大小关系是 6.关于二次函数 下列说法正确的是 A.其图象的开口向下 B.图象的顶点坐标为 C.图象的对称轴是直线 D.当时, 随的增大而减小 7.如图, ⊙的直径AB 与弦 CD 的延长线交于点 E.若 则∠E 等于 A.20° B.10° C.30° D.40° 8. 二次函数 和反比例函数 在同一坐标系中的图象大致是 9. 如图为北京冬奥会“雪飞天”滑雪大跳台赛道.若点 D 与点A 的水平距离米，水平赛道 米, 赛道AB, CD 的坡角均为, 则点 的高AE为 A. 米 米 C. 米 D. 米 10.已知二次函数 在-2≤x≤2时有最小值, 则 A. 5 B. 5 或 C. 5或 D. 或 第Ⅱ卷(非选择题110分) 二、填空题(本大题共5小题，只要求填写最后结果，每小题填对得4分，共20分) 11.在函数 中，自变量的取值范围是 . 12.如图,在网格中,点A, B, C都在格点上,则的值是 . 13、抛物线 与轴的一个交点的坐标为(2，0) ，则与轴的另一个交点坐标是 . 14、如图，一个底部呈球形的烧瓶，瓶内液体的最大深度，截面圆中弦AB 长为8cm，那么球的半径OB长为 cm. 15.如图，在平面直角坐标系中，点A 和点 C是反比例函数. 图象上的两点，以AC为边作等边△ABC, 反比例函数. 恰好过点 B，则k值为 . 三、解答题(本大题共10小题，共90分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤) 16.(本题满分7分) 计算： 17.(本题满分7分) 求：二次函数 的顶点坐标和对称轴. 18、(本题满分7分) 如图，一次函数的图象与反比例函数 的图象交于A、B两点，与y轴交于点C、 已知点 (1) 求的值; (2) 观察函数图象，直接写出不等式 的解集； 19.(本题满分8分) 如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔AB的高度，他从古塔底部点B 处前行30米到达斜坡CE的底部点C处，然后沿斜坡 CE 前行20米到达最佳测量点 D处，在点D 处测得塔顶A 的仰角为 已知斜坡的坡度 且点A, B, C, D, E在同一平面内. (1) 求D到BC的距离; (2) 求古塔AB的高度.(结果保留根号) 20.(本题满分8分) 如图，反比例函数 与一次函数的图象交于A、B两点. (1) 求A、B两点的坐标; (2) 求△AOB 的面积. 21.(本题满分9分) 如图，已知抛物线 与x轴交于, 与y轴交于点 C. (1) 求c、t的值; (2) 若点 P 是抛物线第一象限内的一个动点，且满足 求点 P 坐标. 22.(本题满分10分) 2024年，中国国产游戏3A大作《黑神话：悟空》一经上线，即火爆全球，反映了中国文化的对全世界的吸引力. 作为重要取景地的济南四门塔是中国现存唯一的隋代石塔，也是中国现存最早、保存最完整的单层亭阁式佛塔. 某兴趣小组利用所学知识开展以“测量四门塔的高度”为主题的活动，并写出如下报告： 课题 测量四门塔的高度 测量工具 测角仪、无人机等 测量 示意图 测量过程 如图②，测量小组使无人机在点A 处以6.8m/s的速度竖直上升5s后，飞行至点B处，在点B处测得塔顶D的俯角为20°，然后沿水平方向向左飞行至点C处， 在点C处测得塔顶D和点 A的俯角均为45° 说明 点A, B, C, D, E均在同一竖直平面内, 且点 A, E在同一水平线上, . 结果精确到1m. (参考数据: , , ) (1) 求无人机从点 到点 处的飞行距离； (2) 求四门塔的高度. 23.(本题满分10分) 2024年是农历甲辰龙年，含有“龙”元素的饰品深受大众喜爱. 商场购进一批单价为80元的“吉祥龙”公仔，由于销售火爆，公仔的销售单价一直上涨到每个125元，此时每天可售出75个. 物价部门规定，商品利润不得超过进价的50%，同时市场调查发现：销售单价每降低1元，其销售量相应增加5个. (1) 设这种“吉祥龙”公仔的销售单价为x元，销售量为个，求y关于x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围. (2) 那么销售单价应降低多少元，才能使每天所获销售利润最大? 最大利润是多少元? 24.(本题满分12分) 如图, 点A (1, 6) 和点 B (n, 1) 是一次函数 与反比例函数 的图象的两个交点. (1) 求反比例函数表达式和一次函数表达式； (2) 若点 是轴上一动点, 当的值最小时, 求点 的坐标; (3) 若点为轴上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转 点 的对应点 恰好也落在这个反比例函数图象上，请求出点的坐标. 25.(本题满分12分) 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与轴交于两点, 与轴交于点 , 连接. (1) 求抛物线的解析式； (2) 判定 的形状； (3) 点是直线上方抛物线上一动点，过点 作 轴交于点 , 作 交于点, 求. 的最大值及此时点 P的坐标； 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年度上学期期中考试 初四数学试题 注意事项： 1,答题前请考生务必在试卷的规定位置将自己的姓名等内容填写准确。 2.本试题分第1卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题)两部分，共150分，考试时间为120分钟。 3,选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题用 0.Smm黑色签字笔直接答在答题卡相应区域，不能答在试卷上：解答题作图需用黑色签字笔，不 能用铅笔。 4,考试结束后，将答题卡收回。 第I卷（选择题40分） 一、选择题（本题共10小题，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分， 共40分) L.己知a是锐角，sina= 则a等于 v3 A.30° B.45 C.60° D.90° 4 2.己知反比例函数y=二，则它的图象经过点 X A.(2,8) B.(-1,4) C.(4,1) D.(2.-2) 3.将二次函数y=x的图象向左平移2个单位，向上平移3个单位，则平移后的二次函数表达式为 A.y=(x+2)2-3 B.y=(x+2)2+3 C.y=(x-2)2+3 D.y=(x-2)2+2 4.已知在Rt△ABC中，∠C-90°，tan4=2,AC-6,则BC等于 A.6 B.16 C.3 D.12 5.若点A(-2,为)，B(-1,y2),C(分，y归)在反比例函数y=(k<0)的图象上， 则y1,y2,y3的大小关系是 A.y3<y1<y2 B.y1<y2<y3 C.y3<y2<y1 D.y1<y3<y2 初四数学试题（共8页第1页） 6关于二次函数y=2(x-3)2+1,下列说法正确的是 A.其图象的开口向下 B.图象的顶点坐标为(-3,1) C.图象的对称轴是直线x=-3 D.当x<3时，y随x的增大而减小 7.如图，OO的直径AB与弦CD的延长线交于点E.若DE=OB,∠C=40°， 则∠E等丁 A.20 B.10 0 C.30° D.40 8.二次函数y=a2+bx和反比例函数在同一坐标系中的图象大致是 A. B. C D. 9.如图为北京冬奥会“雪飞天”滑雪大跳台赛道若点D与点A的水平距离DE=Q米，水平赛道 BC=b米，赛道AB,CD的坡角均为B,则点A 的高AE为 A.(a-b)tan8米 Ba-米 tan C.(a-b)sin8米 D (a-b)cos0米 10.已知二次函数y=mx242x+1(m≠0)在-2≤x≤2时有最小值-4，则m= A.5 B.5或号 C.5或- D.5或- 初四数学试题（共8页第2页） 第Ⅱ卷（非选择题110分） 二、填空题（本大题共5小题，只要求填写最后结果，每小题填对得4分，共20分） 1在函数y=甲中，自变量x的取值范围是 12如图，在网格中，点A,B,C都在格点上， 则tan∠ABC的正切值是 第12题图 13.抛物线y=ax2-8ax+c与x轴的一个交点的坐标为(2,0)，则与x轴的另一个交点坐标是 14、如图，一个底部呈球形的烧瓶，瓶内液体的最大深度CD=2cm,截面圆中弦AB长为8cm, 那么球的半径OB长为 cm. 第14题图 第15题图 15.如图，在平面直角坐标系中，点A和点C是反比例函数)一图象上的两点，以AC为边作等边 △MBC,反比例函数y一拾好过点B,则k值为— 三、解答题（本大题共10小题，共90分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤） 16.(本题满分7分) 计算：V9-(r-3.14)°-4c0s30°-()1+] 初四数学试题（供8页第3页） 17.(本题满分7分) 求：二次函数y=22-8x+5的顶点坐标和对称轴 18.(木题满分7分) 如图，一次函数一+4的图象与反比例函数y=m(m<0)的图象交于人、B两点，与y轴交于 点C.己知点A(n,1)B(-1,3) (1)求k、m,m的值： (2)观察函数图象，直接写出不等式k+4<俨的解集： ◇ 0 第18题图 19.(本题满分8分) 如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔AB的高度，他从古塔底 部点B处前行30米到达斜坡CE的底部点C处，然后沿斜坡CE前行20米到达最住测量点D处， 在点D处测得塔顶A的仰角为30°，已知斜坡的坡度i=1:V3,且点A,B,C,D,E在同一平 面内 (1)求D到BC的距离：(2)求古塔AB的高度.（结果保留根号） E 0… C B 初四数学试题（共8页第4页） 20.(本题满分8分) ·如图，反比例函数y=8与一次函数一+2的图象交于A、B两点 (1)求A、B两点的坐标： (2)求△4OB的面积. 第20题图 21.(本题满分9分) 3 如图，己知抛物线y= x+c与x轴交于A(1,0),B(t,0),与y轴交于点C. 2 (1)求c、t的值： (2)若点P是抛物线第一象限内的一个动点，且满足SAP=SaBc,求点P坐标。 B 0 第21题图 22.（本题满分10分) 2024年，中国国产游戏3A大作《黑神话：悟空》一经上线，即火爆全球，反映了中国文化的对 全世界的吸引力.作为重要取景地的济南四门塔是中国现存唯一的隋代石塔，也是中国现存最早、 保存最完整的单层亭阁式佛塔.某兴趣小组利用所学知识开展以“测量四门塔的高度”为主题的 活动，并写出如下报告： 课题 测量四门塔的高度 测量工具 测角仪、无人机等 2023 测量 示意图 图① 图② 如图②，测量小组使无人机在点A处以6.8ms的速度竖直上升5s后，飞行 测量过程 至点B处，在点B处测得塔顶D的俯角为20°，然后沿水平方向向左飞行 至点C处，在点C处测得塔顶D和点A的俯角均为45° 点A,B,C,D,E均在同一竖直平面内，且点A,E在同一水平线上，DE 说明 ⊥AE.结果精确到1m.(参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20° ≈0.36) (1)求无人机从点B到点C处的飞行距离： (2)求四门塔DE的高度. 初四数学试题（共8页第6页） 23.(本题满分10分) 2024年是农历甲辰龙年，含有“龙"元素的饰品深受大众喜爱.商场购进一批单价为80元的“吉祥 龙"公仔，由于销售火操，公仔的销售单价一直上涨到每个125元，此时每天可售出75个，物价 部门规定，商品利润不得超过进价的50%，同时市场调查发现：销售单价每降低1元，其销售量 相应增加5个. (1)设这种“吉样龙”公仔的销售单价为x元，销售量为y个，求y关于x的函数关系式，并直 接写出自变量x的取值范围 (2)那么销售单价应降低多少元，才能使每天所获销售利润最大？最大利润是多少元？ 24.(本题满分12分)》 如图，点A(L,6)和点B(,1)是一次函数y1=ax+b与反比例函数y2=华(k>0)的图象的 两个交点。 (1)求反比例函数表达式和一次函数表达式： (2)若点P是x轴上一动点，当PA+PB的值最小时，求点P的坐标： (3)若点M为x轴上一动点，连接BM,将线段BM绕点M逆时针旋转90°，点B的对应点D 恰好也落在这个反比例函数图象上，请求出点D的坐标 B B 0 0 第24题图 备用图 初四数学试题（共8页第7页） 25.(本题满分12分) 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+√3(a≠0)与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两 点，与y轴交于点C,连接AC,BC. (1)求抛物线的解析式： (2)判定△ABC的形状： (3)点P是直线BC上方抛物线上一动点，过点P作PM∥x轴交BC于点M,作PN∥AC交BC 于点N,求PM+PN的最大值及此时点P的坐标： M 备用图 初四数学试题（共8页第8页）