精品解析：陕西省宝鸡市扶风县2024-2025学年上学期期中质量监测九年级数学试题

九年级上学期数学期中考试卷 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ） A. 0，， B. 1，，2021 C. 1，， D. 0，，2021 2. 如图，菱形的周长为16，，则的长为（　　） A. B. 4 C. D. 2 3. 设一元二次方程的两根为，，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 5 4. 如图，在中，，D，E，F分别是，，的中点，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 5. “我想把天空大海给你，把大江大河给你，没办法，好的东西就是想分享于你”这是直播带货平台“东方甄选”主播董宇辉在推销大米时的台词. 所推销大米成本为每袋40元，当售价为每袋80元时，每分钟可销售100袋.为了吸引更多顾客，“东方甄选”采取降价措施. 据市场调查反映销售单价每降2元，则每分钟可多销售10袋，设每袋大米降价x元（x为偶数），若要平均每分钟获利4180元，则x满足（ ） A. B. C. D. 6. 某事件发生的概率为，则下列说法正确的是（ ） A. 每做次实验，该事件必发生次 B. 做次实验，该事件必发生次 C. 无数次实验后，该事件发生的频率逐渐稳定在左右 D. 实验次数非常多时，该事件发生的频率就一定会等于 7. 已知C是线段AB的黄金分割点，且AC>BC，则下列结论错误的是（ ） A. AC2=BC·AB B. BC2=AC·AB C. D. 8. 如图，在中，点D在BC边上，连接AD，点C在线段AD上，，且交AD于点E，，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 已知，，则______． 10. 若m是方程的一个根，则的值为______． 11. 如图，在矩形中，平分，则的度数为______． 12. 一个袋子里有n个除颜色外完全相同的小球，其中有8个黄球，每次摸球前先将袋子里的球摇匀，任意摸出一球记下颜色后放回，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.4，那么可以推算出n大约是__________． 13. 已知菱形的边长为2，，点为的中点，点为对角线上一个动点，连接，，则的最小值为_____． 三、解答题（共10小题，计61分．解答应写出过程） 14. 解下列方程： （1）（用因式分解法） （2）（用配方法） 15. 如图，已知直线分别截直线于点A，B，C，截直线于点D，E，F，且， （1）如果，求的长； （2）如果，求的长． 16. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”学校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆200人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末进馆288人次．若进馆人次的月平均增长率相同： （1）求进馆人次的月平均增长率； （2）因学校条件限制，图书馆月接纳能力不超过400人次．在进馆人次月平均增长率不变的前提下，学校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次？请说明理由 17. 如图，在ABC中，AB＝AC，过A、C两点分别作ADBC，CDAB交于点D，延长DC至点E，使DC＝CE，连接BE． （1）求证：四边形ACEB是菱形； （2）若AB＝4，BC＝6，求四边形ACEB的面积． 18. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，． （1）求的取值范围； （2）若该方程的两个根满足，求此时的值． 19. 人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．人工智能市场分为决策类人工智能，人工智能机器人，语音类人工智能，视觉类人工智能四大类型，将四个类型的图标依次制成A，B，C，D四张卡片（卡片背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上． （1）随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为______； （2）从中随机抽取一张，记录卡片的内容后放回洗匀，再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽取到的两张卡片内容一致的概率． 20. 如图，正方形中，E是上的一点，连接，过B点作，垂足为点G，延长交于点F，连接． （1）求证：． （2）若正方形边长是5，，求的长． 21. 如图，在等边中，点E、D分别在边上，且．求证：． 22. 综合实践： 主题 “晋中市第六届运动会主题”草坪设计 情境 为了迎晋中市第六届运动会，同学们参与一块长为米，宽为米的矩形“市运主题”草坪方案设计，以下为小组对草坪设计的研究过程． 活动任务一 请设计两条相同宽度的小路连接矩形草坪两组对边．小组内同学们设计的方案主要有甲、乙、丙、丁四种典型的方案    驱动问题一 （1）小组设计出来的四种方案小路面积的大小关系？ ①直观猜想：我认为 ；（请用简洁的语言或代数式表达你的猜想） ②具体验证：选择最简单的甲、乙方案，假设小路宽为1米，则甲、乙方案中小路的面积分别为 和 ； ③一般验证：若小路宽为米，则甲、乙方案中小路所占的面积分别为 和 ． 活动任务二 为施工方便，学校选择甲方案设计，并要求除小路后草坪面积约为1064平方米． 驱动问题二 （2）请计算两条小路的宽度是多少？ 23. 问题背景：一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图①，已知是的角平分线，可证．小慧的证明思路是：如图②，过点C作，交的延长线于点E，构造相似三角形来证明尝试证明： （1）请参照小慧提供的思路，利用图②证明：． 应用拓展： （2）如图③，在中，，D是边上一点，连接，将沿所在直线折叠，点C恰好落在边上的E点处．若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级上学期数学期中考试卷 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ） A. 0，， B. 1，，2021 C. 1，， D. 0，，2021 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式为（其中a，b，c为常数，且）．根据一元二次方程的一般形式确定出所求即可． 【详解】解：方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为1，，， 故选：C． 2. 如图，菱形的周长为16，，则的长为（　　） A. B. 4 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，以及等边三角形性质和判定，解题的关键是掌握菱形的基本性质：菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．根据菱形的性质得到，，证明为等边三角形，根据等边三角形性质得到，即可解题． 【详解】解：四边形为菱形，周长为16， ， ，为对角线， ， 为等边三角形， ， 故选：B． 3. 设一元二次方程的两根为，，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，是重要考点，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的两个根，，满足，．根据一元二次方程根与系数的关系得出，然后代入求值即可． 【详解】解：， 故选：A． 4. 如图，在中，，D，E，F分别是，，的中点，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理；直角三角形斜边上的中线，熟知三角形中位线定理和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 【详解】解：∵在中，是的中点， ∴， ∴， 又∵E，F分别是，的中点， 则是的中位线， ∴． 故选：D． 5. “我想把天空大海给你，把大江大河给你，没办法，好的东西就是想分享于你”这是直播带货平台“东方甄选”主播董宇辉在推销大米时的台词. 所推销大米成本为每袋40元，当售价为每袋80元时，每分钟可销售100袋.为了吸引更多顾客，“东方甄选”采取降价措施. 据市场调查反映销售单价每降2元，则每分钟可多销售10袋，设每袋大米降价x元（x为偶数），若要平均每分钟获利4180元，则x满足（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】考查了一元二次方程的应用，根据等量关系：每分钟的获利=每分钟售出的件数×每件的盈利，列方程即可． 【详解】设每袋大米降价x元（x为偶数），则每分钟可售出件，每件盈利元， 由题意得， 故选：B． 6. 某事件发生的概率为，则下列说法正确的是（ ） A. 每做次实验，该事件必发生次 B. 做次实验，该事件必发生次 C. 无数次实验后，该事件发生的频率逐渐稳定在左右 D. 实验次数非常多时，该事件发生的频率就一定会等于 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率的知识，熟练掌握概率的意义是解题关键.，利用概率的意义分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、每做次实验，该事件必发生次，错误，故本选项不符合题意； B、做次实验，该事件必发生次，错误，故本选项不符合题意； C、无数次实验后，该事件发生的频率逐渐稳定在左右，符合概率意义，故本选项符合题意； D、实验次数非常多时，该事件发生的频率就一定会等于，错误，故本选项不符合题意； 故选C． 7. 已知C是线段AB的黄金分割点，且AC>BC，则下列结论错误的是（ ） A. AC2=BC·AB B. BC2=AC·AB C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据黄金分割的定义得出，从而判断各选项． 【详解】解：∵点C是线段AB的黄金分割点且AC＞BC， ∴，即AC2=BC•AB，故A、C选项正确，不符合题意； ∴，故选项D正确，不符合题意； 由得不到，所以，选项B错误，符合题意， 故选：B． 【点睛】本题主要考查黄金分割：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比．，掌握黄金分割的定义和性质是解题的关键． 8. 如图，在中，点D在BC边上，连接AD，点C在线段AD上，，且交AD于点E，，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理及相似三角形的性质及判定，根据，可得，根据，可得，再根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， 故选项A错误； ∵， ∴，，， ∴ 故选项B错误；C正确， ∵，， ∵，， 故选项D错误； 故选：C． 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 已知，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质． 由已知条件得到，然后根据比例的性质得到． 【详解】解：根据题意得， ∵， ∴； 故答案为： ． 10. 若m是方程的一个根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，掌握使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解是解题关键． 根据题意得到，再整体代入代数式求值即可． 【详解】解：根据题意得， ∴； 故答案为： ． 11. 如图，在矩形中，平分，则的度数为______． 【答案】##75度 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质．根据矩形的性质可得，从而得到，是等边三角形，进而得到，再根据等腰三角形的性质，即可求解． 【详解】解：在矩形中，， ∵平分， ∴，， ∴，是等边三角形， ∴， ∴，， ∴． 故答案为： 12. 一个袋子里有n个除颜色外完全相同的小球，其中有8个黄球，每次摸球前先将袋子里的球摇匀，任意摸出一球记下颜色后放回，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.4，那么可以推算出n大约是__________． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查利用频率估算概率，利用概率求数量，先根据频率估算出摸到黄球的概率为，再利用概率球数量即可． 【详解】解：∵通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.4， ∴摸到黄球的概率为， ∴； 故答案为：20 13. 已知菱形的边长为2，，点为的中点，点为对角线上一个动点，连接，，则的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，连接，由菱形的性质可得，当三点共线时，则有最小值，证明是等边三角形，由点为的中点，可得，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是菱形，点为对角线上一个动点， ∴垂直平分， ， ， 当三点共线时，则有最小值， ，， 是等边三角形， 又是的中点，菱形的边长为， ，，， ∴， 中，， 的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（共10小题，计61分．解答应写出过程） 14. 解下列方程： （1）（用因式分解法） （2）（用配方法） 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）先提公因式，再根据因式分解法解一元二次方程； （2）先移项，再根据配方法解一元二次方程； 【详解】解：（1） 即 解得 （2） 即 解得 【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握因式分解法和配方法解方程是解题的关键． 15. 如图，已知直线分别截直线于点A，B，C，截直线于点D，E，F，且， （1）如果，求的长； （2）如果，求的长． 【答案】（1）6； （2）10 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握相关知识，准确识图是解题的关键． 对于（1），由平行线分线段成比例定理得到，代入已知线段长度即可得到的长； 对于（2），由平行线分线段成比例定理得到，由得到，即，即可得到的长． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得：； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵， ∴， 解得． 16. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”学校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆200人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末进馆288人次．若进馆人次的月平均增长率相同： （1）求进馆人次的月平均增长率； （2）因学校条件限制，图书馆月接纳能力不超过400人次．在进馆人次月平均增长率不变的前提下，学校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次？请说明理由 【答案】（1） （2） 解：学校图书馆能接纳第四个月的进馆人次，理由如下： 进馆人次的月平均增长率， 第四个月的进馆人次为（人次）． ， 学校图书馆能接纳第四个月的进馆人次． 【解析】 【分析】（1）设进馆人次的月增长率为，利用第三个月进馆人次数第一个月进馆人次数月平均增长率），即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）利用第四个月进馆人次数第三个月进馆人次数月平均增长率），可求出第四个月进馆人次数，再将其与400比较后即可得出结论． 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【小问1详解】 解：设进馆人次的月增长率为， 依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：进馆人次的月平均增长率． 【小问2详解】 略 17. 如图，在ABC中，AB＝AC，过A、C两点分别作ADBC，CDAB交于点D，延长DC至点E，使DC＝CE，连接BE． （1）求证：四边形ACEB是菱形； （2）若AB＝4，BC＝6，求四边形ACEB的面积． 【答案】（1） ∵AD∥BC，CD∥AB， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝DC， ∵DC＝CE， ∴AB＝CE， ∵AB∥CD， ∴AB∥CE， ∴四边形ACEB是平行四边形， ∵AB＝AC， ∴平行四边形ACEB是菱形； （2）； 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的判定和菱形的判定解答即可； （2）连接AE，交BC于点O，根据菱形的性质和勾股定理解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，连接AE，交BC于点O， ∵四边形ACEB是菱形， ∴AE⊥BC， ∵AB＝4，BC＝6， ∴OB＝BC＝3， ∴OA＝， ∴AE＝2OA＝2， ∴S四边形ACEB． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定；熟练掌握平行四边形、菱形的判定方法是解决问题的关键． 18. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，． （1）求的取值范围； （2）若该方程的两个根满足，求此时的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）根据即可求解； （）利用根和系数的关系可得，，再代入可得关于的一元二次方程，解方程再结合的取值范围即可求解； 本题考查了一元二次方程根的判别式及根和系数的关系，解一元二次方程，掌握以上知识点是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意得，， 整理得，， 解得； 【小问2详解】 解：由根和系数的关系得，，， ∵， ∴， 整理得，， 解得或， ∵， ∴不合，舍去， ∴． 19. 人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．人工智能市场分为决策类人工智能，人工智能机器人，语音类人工智能，视觉类人工智能四大类型，将四个类型的图标依次制成A，B，C，D四张卡片（卡片背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上． （1）随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为______； （2）从中随机抽取一张，记录卡片的内容后放回洗匀，再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽取到的两张卡片内容一致的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）根据题意画出树状图得出所有等可能结果，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【小问1详解】 解：共有4张卡片， 从中随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为； 【小问2详解】 解：根据题意画图如下： 共有16种等可能的结果数，其中抽取到的两张卡片内容一致的结果数为4， 所以抽取到的两张卡片内容一致的概率为． 20. 如图，正方形中，E是上的一点，连接，过B点作，垂足为点G，延长交于点F，连接． （1）求证：． （2）若正方形边长是5，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）根据证明，可得结论； （2）根据（1）得：，则，最后利用勾股定理可得的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵正方形边长是5， ∴， ∵， ∴由（1）得， ∴， 在中，由勾股定理得：． 【点睛】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，本题证明是解本题的关键． 21. 如图，在等边中，点E、D分别在边上，且．求证：． 【答案】 证明：∵是等边三角形， ∴． ∴， ∵ ∴． ∴． ∵， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定、等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 根据等边三角形的性质得到，则，由得到，推出，再根据相似三角形的判定即可证明． 【详解】略 22. 综合实践： 主题 “晋中市第六届运动会主题”草坪设计 情境 为了迎晋中市第六届运动会，同学们参与一块长为米，宽为米的矩形“市运主题”草坪方案设计，以下为小组对草坪设计的研究过程． 活动任务一 请设计两条相同宽度的小路连接矩形草坪两组对边．小组内同学们设计的方案主要有甲、乙、丙、丁四种典型的方案    驱动问题一 （1）小组设计出来的四种方案小路面积的大小关系？ ①直观猜想：我认为 ；（请用简洁的语言或代数式表达你的猜想） ②具体验证：选择最简单的甲、乙方案，假设小路宽为1米，则甲、乙方案中小路的面积分别为 和 ； ③一般验证：若小路宽为米，则甲、乙方案中小路所占的面积分别为 和 ． 活动任务二 为施工方便，学校选择甲方案设计，并要求除小路后草坪面积约为1064平方米． 驱动问题二 （2）请计算两条小路的宽度是多少？ 【答案】（1）①直观猜想：我认为：四种方案小路面积的大小相等；②，；③，；（2）小路的宽为 【解析】 【分析】本题考查列代数式，一元二次方程的实际应用． （1）①通过平移的性质，猜想即可；②直接利用两条小路的面积之和减去重叠的小正方形的面积求出甲方案中的面积，根据平移的性质，用大长方形的面积减去平移后得到的长方形的面积计算乙方案中的面积；③同法②，列出代数式即可； （2）设小路的宽为，根据题意，列出方程进行求解即可； 正确的识图，找准等量关系，列出代数式和一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：（1）①直观猜想：我认为：四种方案小路面积的大小相等， 故答案为：四种方案小路面积的大小相等； ②甲：； 乙：， 故答案为：，； ③甲：， 乙：， 故答案为：，； （2）设小路的宽为，则， 解得：或（不合题意，舍去）， 答：小路的宽为． 23. 问题背景：一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图①，已知是的角平分线，可证．小慧的证明思路是：如图②，过点C作，交的延长线于点E，构造相似三角形来证明尝试证明： （1）请参照小慧提供的思路，利用图②证明：． 应用拓展： （2）如图③，在中，，D是边上一点，连接，将沿所在直线折叠，点C恰好落在边上的E点处．若，，求的长． 【答案】 （1）证明：∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质得，，从而证明，得，再利用等腰三角形的判定证，即可得证； （2）由折叠的性质得，，结合（1）可知，，从而由比例的性质得，利用勾股定理得，从而得即可得解． 【详解】（1）略 （2）∵将沿所在直线折叠，点C恰好落在边上的E点处， ∴，， 由（1）可知，， 又∵， ∴ ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴； ∴． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、相似三角形的判定及性质、勾股定理、比例的性质以及等腰三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定及性质以及勾股定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $