精品解析：上海市青浦区2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷

青浦区实验中学2024学年第一学期期中考试 九年级数学试卷 一、选择题（本大题共6小题，每题4分，满分24分） 1. 下列函数中属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握二次函数的定义．根据形如的函数叫作二次函数可得答案． 【详解】解：A、是一次函数，不是二次函数，故此选项不符合题意； B、当时，不是二次函数，故此选项不符合题意； C、是二次函数，故此选项符合题意； D、分母含有自变量，不是二次函数，故此选项不符合题意． 故选：C． 2. 在中， ， ， ， 则的值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数的定义可知，将已知条件代入计算即可． 本题主要考查了三角函数的定义，直角三角形中，如果锐角的大小确定，则．熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：如图 ∵中， ， ， ， 则． 故选：A． 3. 已知线段a，b，c，求作线段x，使，下列作图中正确的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理．利用图形得比例线段，再与已知式作对比，可以得出结论． 【详解】解：A、由图可得，即，但x是未知线段，不能画出，故此选项不符合题意； B、由图可得，即，故此选项不符合题意； C、由图可得，即，故此选项不符合题意； D、由图可得，即，故此选项符合题意； 故选：D． 4. 已知二次函数的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的图象与系数的关系以及性质，判断即可得出结论． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴a＜0；故A正确， ∵对称轴在y轴的左边， ∴b＜0；故B错误； ∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴， ∴c＞0，故C正确； ∵x=-1时，y＞0， ∴a-b+c＞0，故D正确； 故选：B． 【点睛】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）． 5. 下列关于向量的说法中，不正确的是（　　） A. B. C. 若（k为实数），则∥ D. 若，则或 【答案】D 【解析】 【详解】根据平面向量的性质分别进行解答，即可判断出正确答案． 解：A、根据数与向量的乘积的模等于该数与向量的模的乘积，即，故本选项正确； B、根据数与向量和的乘积等于该数与各个向量乘积的和，即，故本选项正确； C、若（k为实数），可得与的方向相同或相反，均有∥，故本选项正确； D、向量既有大小又有方向，假如且，则或且，故本选项错误； 故选D． 6. 如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC，且∠DCE＝∠B．那么下列各判断中，错误的是（　　） A. △ADE∽△ABC B. △ADE∽△ACD C. △DEC∽△CDB D. △ADE∽△DCB 【答案】D 【解析】 【分析】由相似三角形的判定方法得出A、B、C正确，D不正确；即可得出结论． 【详解】∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC，∠BCD=∠CDE，∠ADE=∠B，∠AED=∠ACB， ∵∠DCE=∠B，∴∠ADE=∠DCE， 又∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ACD； ∵∠BCD=∠CDE，∠DCE=∠B，∴△DEC∽△CDB； ∵∠B=∠ADE，但是∠BCD<∠AED，且∠BCD≠∠A， ∴△ADE与△DCB不相似； 正确的判断是A、B、C，错误的判断是D； 故选D． 【点睛】考查了相似三角形的判定方法；熟练掌握相似三角形的判定方法，由两角相等得出三角形相似是解决问题的关键． 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 已知，那么__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵， ∴， 即． 8. 上海与杭州的实际距离约200千米，在比例尺为1：5000000的地图上，上海与杭州的图上距离约 ___厘米． 【答案】4 【解析】 【分析】根据题意及比例尺可直接进行求解． 【详解】解：∵200千米=20000000厘米， ∴上海与杭州的图上距离约为； 故答案为4． 【点睛】本题主要考查比例尺，熟练掌握图上距离=实际距离×比例尺是解题的关键． 9. 已知点P是线段的黄金分割点，若，则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割．熟练掌握黄金分割是解题的关键．由题意得，，即，计算求解即可． 【详解】解：∵点P是线段的黄金分割点， ∴，即， 解得，， 故答案为：． 10. 已知二次函数，若点在该函数的图象上，且，则的值为________． 【答案】2 【解析】 【分析】将点代入函数解析式求解即可． 【详解】解：点在上， ∴， ， 解得：(舍去) 故答案为：2． 【点睛】题目主要考查二次函数图象上的点的特点，理解题意正确求解是解题关键． 11. 将抛物线向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得抛物线的函数表达式为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，按照“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】解：将抛物线向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得抛物线的函数表达式为，即， 故答案为：． 12. 设， 是抛物线的两点，则_____（填，或） 【答案】 【解析】 【分析】直接根据二次函数的图像和性质判断即可． 【详解】解：由可知： 再对称轴直线右侧，y随x增大而减小， ∵， ∴， 故答案为． 【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，充分运用数形结合思想是解题的关键． 13. 如图，已知它们分别交直线于点和点，如果，，那么线段的长是_________ 【答案】8 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理即可得． 【详解】解：， ， ， ， ， 解得， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题关键． 14. 某滑雪运动员沿着坡比为1：的斜坡向下滑行了100米，则运动员下降的垂直高度为________ 米． 【答案】50 【解析】 【详解】解：设垂直高度下降了x米，则水平前进了x米． 根据勾股定理可得：x2+（x）2=1002． 解得：x=50，即它距离地面的垂直高度下降了50米． 故答案为50． 点睛：本题考查了解直角三角形的应用，此题的关键是用同一未知数表示出下降高度和水平前进距离． 15. 如图，在△ABC中，D是AB的中点，E是AC上一点，且AE=2EC，如果，，那么= ．（用、表示）． 【答案】 ; 【解析】 【分析】根据三角形法则可知：=，只要求出即可解决问题． 【详解】∵D是AB的中点， ∴==． ∵AE=2EC， ∴AE=AC， ∴= =， ∴=． 故答案为． 【点睛】本题考查了平面向量等知识，解题的关键是掌握平面向量的加法法则（三角形法则），是中考常考题型． 16. 如图，在中，有矩形DEFG，G、F在BC上，D、E分别在AB、AC上，交DE于M，DG:DE=1:2，BC=12cm，AH=8cm，则DE=____________ 【答案】cm 【解析】 【分析】设DG＝x，则DE＝2x，根据DE∥BC则△ADE∽△ABC，然后利用相似三角形对应边成比例得到比例式即可求得x的值，进而求得DE的长． 【详解】解：设DG＝x，则DE＝2x， ∵四边形DEFG是矩形， ∴DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∵AH⊥BC交DE于M， ∴四边形DGHM是矩形， ∴DG＝MH＝x， ∵AH＝8cm， ∴AM＝AH−MH＝8−x， ∵，即， 解得：x＝， ∴DE＝2x＝cm， 故答案为cm． 【点睛】此题考查了矩形的性质、相似三角形的判定和相似三角形的性质，解答过程中要解一元一次方程，有一定的综合性． 17. 如图，在中，，为的中点，点在上，，交于点，，，则的值为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识．如图，延长到，使得，连接．利用全等三角形的性质证明，，利用勾股定理求出，即可解决问题． 【详解】解：如图，延长到，使得，连接． ，，， ， ，， ∵， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 18. 在边长为的等边三角形 中，为边 上一动点，将沿过点的直线折叠，折痕与直线 交于点 ，当点落在直线上的点处，且时，折痕为，线段 的长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了三角形相似的判定与性质，等边三角形性质，折叠的性质，解题的关键是根据折叠相等及三角形内外角关系得到相似的条件．因为折叠后点落在直线上，所以点可能在线段上，也可能在线段的延长线上，无论哪种情况都有，根据相似三角形对应边成比例可求结果． 【详解】解：如下图所示，当点在线段上时，， 是等边三角形， ，， 根据折叠的性质可得：， ，， ， ， ， ，， 设， 则有，， ， 整理得：，， 根据折叠的性质可得：， ， ， 解得：； 如下图所示，当点在线段的延长线上时，， 是等边三角形， ，， 根据折叠的性质可得：， ，， ， ， ， ，， 设， 则有，， ， 整理得：，， 根据折叠的性质可得：， ， ， 解得： ． 故答案为：或 ． 三、解答题（本大题共7题， 19~22题每题10分， 23~24题每题12分， 25题14分， 满分78分） 19. 计算: 【答案】 【解析】 【分析】将特殊角的三角函数值代入原式进行计算即可． 本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解： ． 20. 已知抛物线y＝x2+mx+3的对称轴为x＝﹣2． （1）求m的值； （2）如果将此抛物线向右平移n个单位后，新的抛物线经过点（6，8），求新抛物线与y轴的交点坐标． 【答案】（1） （2）（0，8）或（0，80） 【解析】 【分析】（1）根据对称轴进行求m的值即可； （2）利用（1）的结果求得该抛物线的解析式，然后根据“左加右减”的原则求得平移后的抛物线的解析式，然后代入坐标（6，8）求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）知，m=4， ∴此抛物线的表达式为y=x2+4x+3=（x+2）2-1． ∵向右平移n个单位后，所得抛物线的表达式为y=（x+2-n）2-1， ∵新的抛物线经过点（6，8）， ∴， ∴， 解得或， ∴新的抛物线解析为或， ∴令，解得或， ∴新的抛物线与y轴的交点为（0，8）或（0，80）． 【点睛】本题主要考查了二次函数的平移，二次函数与坐标轴的交点问题，二次函数对称轴公式，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． 21. 如图，在中，是边的中点，，垂足为点E．已知． （1）求线段的长； （2）求的值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据三角函数求出的长，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出的长即可； （2）先运用勾股定理求出，再由于D为上的中点可得，推出，利用正弦函数求出，据此即可解答． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵为直角三角形，D是边的中点， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴，， ∵为直角三角形，D是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质、三角函数、勾股定理等知识点，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 22. 随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产生活，如代替人们在高空测量距离和高度．圆圆要测量教学楼的高度，借助无人机设计了如下测量方案：如图，圆圆在离教学楼底部米的C处，遥控无人机旋停在点C的正上方的点D处，测得教学楼的顶部B处的俯角为，长为米．已知目高为米． （1）求教学楼的高度． （2）若无人机保持现有高度沿平行于的方向，以米/秒的速度继续向前匀速飞行，求经过多少秒时，无人机刚好离开圆圆的视线． 【答案】（1）教学楼的高度为米 （2）无人机刚好离开视线的时间为12秒 【解析】 【分析】（1）过点B作于点G，根据题意可得：，米，，通过证明四边形为矩形，得出米，进而得出米，最后根据线段之间的和差关系可得，即可求解； （2）连接并延长，交于点H，先求出米，进而得出，则，则米，即可求解． 【小问1详解】 解：过点B作于点G， 根据题意可得：，米，， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴米， ∵，， ∴， ∴， ∴米， ∵长为米， ∴（米）， 答：教学楼的高度为米． 【小问2详解】 解：连接并延长，交于点H， ∵米，米， ∴米， ∵米， ， ∴， ∴，米， ∴（米）， ∵无人机以米/秒的速度飞行， ∴离开视线的时间为：（秒）， 答：无人机刚好离开视线的时间为12秒． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法和步骤． 23. 在中，点D、E分别在边、上，与交于点F. 若平分，． （1）求证： ； （2）若，交边的延长线于点G，求证：． 【答案】（1） 证明：∵平分， ∴， 又∵， ， ， ， 又， ， 又， ． （2） 证明：∵， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）先根据“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”可得，则可得，再根据“等角的补角相等”可得，进而可得； （2）先证，，然后根据“两角对应相等，两三角形相似”可得，则可得，进而可得，再由可得，由此可得． 本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 如图，抛物线经过点A（﹣2，0），点B（0，4）. （1）求这条抛物线的表达式； （2）P是抛物线对称轴上的点，连结AB、PB，如果∠PBO=∠BAO，求点P的坐标； （3）将抛物线沿y轴向下平移m个单位，所得新抛物线与y轴交于点D，过点D作DE∥x轴交新抛物线于点E，射线EO交新抛物线于点F，如果EO=2OF，求m的值. 【答案】（1）;（2）P（1，）; （3）3或5. 【解析】 【分析】（1）将点A、B代入抛物线，用待定系数法求出解析式. （2）对称轴为直线x=1，过点P作PG⊥y轴，垂足为G, 由∠PBO=∠BAO，得tan∠PBO=tan∠BAO，即，可求出P的坐标. （3）新抛物线的表达式为，由题意可得DE=2，过点F作FH⊥y轴，垂足为H，∵DE∥FH，EO=2OF，∴，∴FH=1.然后分情况讨论点D在y轴的正半轴上和在y轴的负半轴上，可求得m的值为3或5. 【详解】解：（1）∵抛物线经过点A（﹣2，0），点B（0，4） ∴，解得, ∴抛物线解析式为, （2）, ∴对称轴为直线x=1，过点P作PG⊥y轴，垂足为G, ∵∠PBO=∠BAO，∴tan∠PBO=tan∠BAO， ∴, ∴， ∴, ， ∴P（1，）, （3）设新抛物线的表达式为 则,，DE=2 过点F作FH⊥y轴，垂足为H，∵DE∥FH，EO=2OF ∴， ∴FH=1. 点D在y轴的正半轴上，则， ∴, ∴， ∴m=3, 点D在y轴的负半轴上，则， ∴, ∴， ∴m=5, ∴综上所述m的值为3或5. 【点睛】本题是二次函数和相似三角形的综合题目，整体难度不大，但是非常巧妙，学会灵活运用是关键. 25. 已知：在梯形中，，，，点在对角线上(不与点重合)，，的延长线与射线交于点，设的长为． （1）如图，当时，求的长； （2）设的长为，求关于的函数解析式，并直接写出定义域； （3）当是等腰三角形时，求的长． 【答案】（1） （2）（且） （3）当是等腰三角形时，的长是6或． 【解析】 【分析】（1）过作，利用求出，根据勾股定理求出，再证明四边形是矩形，得到，再根据，求出，从而求出； （2）根据题意证明，得到，故，在同理可得，则，在中，由勾股定理即可求出答案； （3）分三种情况，根据y与x的函数关系与三角函数的定义求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示，过作，垂足为， 在中，，且，， ∴． 在中，由勾股定理得， ∴在中，， ∵，且，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，，且， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 如图所示，过点C作交延长线于T， 同理可得， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴，即（且）； 【小问3详解】 解：当时，则 ∵，， ∴， ∴ ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）； 当时，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图所示，过点作于H，则， 在中，， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）； 当时，则， ∵， ∴，这与点E在上且与A、C不重合矛盾，即此种情况不存在； 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的性质与判定，勾股定理，矩形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青浦区实验中学2024学年第一学期期中考试 九年级数学试卷 一、选择题（本大题共6小题，每题4分，满分24分） 1. 下列函数中属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 在中， ， ， ， 则的值为（ ） A. B. C. D. 2 3. 已知线段a，b，c，求作线段x，使，下列作图中正确的是 （ ） A. B. C. D. 4. 已知二次函数的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列关于向量的说法中，不正确的是（　　） A. B. C. 若（k为实数），则∥ D. 若，则或 6. 如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC，且∠DCE＝∠B．那么下列各判断中，错误的是（　　） A. △ADE∽△ABC B. △ADE∽△ACD C. △DEC∽△CDB D. △ADE∽△DCB 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 已知，那么__________． 8. 上海与杭州的实际距离约200千米，在比例尺为1：5000000的地图上，上海与杭州的图上距离约 ___厘米． 9. 已知点P是线段的黄金分割点，若，则__________． 10. 已知二次函数，若点在该函数的图象上，且，则的值为________． 11. 将抛物线向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得抛物线的函数表达式为___________． 12. 设， 是抛物线的两点，则_____（填，或） 13. 如图，已知它们分别交直线于点和点，如果，，那么线段的长是_________ 14. 某滑雪运动员沿着坡比为1：的斜坡向下滑行了100米，则运动员下降的垂直高度为________ 米． 15. 如图，在△ABC中，D是AB的中点，E是AC上一点，且AE=2EC，如果，，那么= ．（用、表示）． 16. 如图，在中，有矩形DEFG，G、F在BC上，D、E分别在AB、AC上，交DE于M，DG:DE=1:2，BC=12cm，AH=8cm，则DE=____________ 17. 如图，在中，，为的中点，点在上，，交于点，，，则的值为_______． 18. 在边长为的等边三角形 中，为边 上一动点，将沿过点的直线折叠，折痕与直线 交于点 ，当点落在直线上的点处，且时，折痕为，线段 的长为______． 三、解答题（本大题共7题， 19~22题每题10分， 23~24题每题12分， 25题14分， 满分78分） 19. 计算: 20. 已知抛物线y＝x2+mx+3的对称轴为x＝﹣2． （1）求m的值； （2）如果将此抛物线向右平移n个单位后，新的抛物线经过点（6，8），求新抛物线与y轴的交点坐标． 21. 如图，在中，是边的中点，，垂足为点E．已知． （1）求线段的长； （2）求的值． 22. 随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产生活，如代替人们在高空测量距离和高度．圆圆要测量教学楼的高度，借助无人机设计了如下测量方案：如图，圆圆在离教学楼底部米的C处，遥控无人机旋停在点C的正上方的点D处，测得教学楼的顶部B处的俯角为，长为米．已知目高为米． （1）求教学楼的高度． （2）若无人机保持现有高度沿平行于的方向，以米/秒的速度继续向前匀速飞行，求经过多少秒时，无人机刚好离开圆圆的视线． 23. 在中，点D、E分别在边、上，与交于点F. 若平分，． （1）求证： ； （2）若，交边的延长线于点G，求证：． 24. 如图，抛物线经过点A（﹣2，0），点B（0，4）. （1）求这条抛物线的表达式； （2）P是抛物线对称轴上的点，连结AB、PB，如果∠PBO=∠BAO，求点P的坐标； （3）将抛物线沿y轴向下平移m个单位，所得新抛物线与y轴交于点D，过点D作DE∥x轴交新抛物线于点E，射线EO交新抛物线于点F，如果EO=2OF，求m的值. 25. 已知：在梯形中，，，，点在对角线上(不与点重合)，，的延长线与射线交于点，设的长为． （1）如图，当时，求的长； （2）设的长为，求关于的函数解析式，并直接写出定义域； （3）当是等腰三角形时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $