精品解析：安徽省池州市贵池区池州市第一中学2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题

高一数学（B卷） 满分：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整、笔迹清晰. 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效. 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题，的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 下列函数为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 若函数的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的定义域为，是偶函数，当时，恒成立，设，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义域为的增函数满足，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设集合，.若是的充分不必要条件，则实数的值可以为（ ） A. B. C. D. 10. 由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割），并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足，，中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴德金分割.则下列结论正确的是（ ） A. 若，，则是一个戴德金分割 B. 若，，则是一个戴德金分割 C. 若中有最大元素，中没有最小元素，则可能是一个戴德金分割 D. 若中没有最大元素，中没有最小元素，则可能是一个戴德金分割 11. 已知表示不超过的最大整数，例如，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则或或 C. ，， D. 不等式的解集为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若关于的不等式的解集是，则_________. 13. 已知函数若存在最小值，则实数的最大值为__________. 14. 已知实数，命题，为真命题，则的最小值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围. 16. 为提高人们的身体素质，某工厂更新技术开发研制了一款新型智能按摩椅，通过调研知，往年每年每生产千台智能按摩椅，获利千元，且更新技术后需要另外投入费用千元，且每千台按摩椅比之前多盈利2千元，生产的按摩椅供不应求，均能售完. （1）求更新技术后的利润（千元）关于年产量（千台）的函数解析式； （2）更新技术后，当年产量为多少千台时，工厂所获利润最大？并求出最大利润. 17. 已知幂函数是非奇非偶函数. （1）求函数的解析式； （2）已知是定义在上的奇函数，当时，. （ⅰ）求函数的解析式； （ⅱ）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围. 18. 已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求，的值； （2）判断函数在上的单调性，并根据定义证明. （3）若函数满足不等式，求实数的取值范围. 19. 已知函数和的定义域分别为和，若对任意的，都存在个不同的实数，，，…，，使得（其中，），则称为的“重覆盖函数”. （1）（ⅰ）判断是否为，的“2重覆盖函数”？请说明理由； （ⅱ）设是，的“重覆盖函数”，求的值； （2）若为，的“2重覆盖函数”，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学（B卷） 满分：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整、笔迹清晰. 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效. 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合的补集与交集的概念，可得答案. 【详解】由题意可得，则. 故选：A. 2. 命题，的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，利用全称量词命题与存在量词命题的关系，准确改写，即可求解. 【详解】因为存在量词命题的否定为全称量词命题， 可得命题，的否定是：，. 故选：A 3. 下列函数为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据幂函数的性质，结合奇函数的定义，可得答案. 【详解】函数的定义域为，是非奇非偶函数，故A错误； 函数的定义域为，是奇函数，故B正确； 函数的定义域为，而当时，， 此时函数值不为零，故函数不是奇函数，故C错误； 函数的定义域为，是偶函数，故D错误. 故选：B. 4. 若函数的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知得的定义域为，结合解析式及根式性质求其定义域. 【详解】因为的定义域为，则，故， 所以的定义域为，要使函数有意义， 则，解得. 所以函数的定义域为. 故选：D. 5. 已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知条件得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式求出的最小值，根据题意可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】因为，，且，则， 则， 所以 ， 当且仅当时， 即当，时，所以的最小值为， 因为恒成立，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 6. 已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用分离变量法整理不等式，构造函数解析式，求得新函数在给定区间上的最值，可得答案. 【详解】由题，，，即，即在上有解， 设，则，， 易知函数在上单调递增，在上单调递减， ，则，所以. 故选：B. 7. 已知函数的定义域为，是偶函数，当时，恒成立，设，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】已知条件得出单调性与对称性，由对称性转化自变量值到同一个单调区间内，再由单调性比较大小． 【详解】当时，恒成立， 函数在上为单调增函数， 函数是偶函数，即， 函数的图象关于直线对称， ，， ，即，. 故选：D. 8. 已知定义域为的增函数满足，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用函数的单调性求解不等式. 【详解】因为，且， 令，得； 又因为， 所以即 因为在为增函数. 所以解得或. 即不等式的解集为， 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设集合，.若是的充分不必要条件，则实数的值可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】由题意写出集合的元素，根据充分不必要条件可得集合的包含关系，利用分情况讨论，可得答案. 【详解】由题，， 若是的充分不必要条件，则是的真子集， 因为，所以，即或. 当时，满足，所以， 当，满足，所以， 所以的值可以是，. 故选：AD. 10. 由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割），并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足，，中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴德金分割.则下列结论正确的是（ ） A. 若，，则是一个戴德金分割 B. 若，，则是一个戴德金分割 C. 若中有最大元素，中没有最小元素，则可能是一个戴德金分割 D. 若中没有最大元素，中没有最小元素，则可能是一个戴德金分割 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据戴德金分割的定义，结合选项，分别举例，判断正误. 【详解】对于A，因为，故A错误； 对于B，，，中的每一个元素都小于中的每一个元素，故B正确； 对于C，设，，此时有最大元素1，没有最小元素，满足是一个戴德金分割，故C正确； 对于D，如B选项，此时没有最大元素，没有最小元素，满足是一个戴德金分割，故D正确. 故选：BCD. 11. 已知表示不超过的最大整数，例如，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则或或 C. ，， D. 不等式的解集为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由分式函数的值域即可判断A，由条件列出不等式即可得到的范围，再结合取整函数的定义，即可判断B，由条件可得，，然后分类讨论代入计算，即可判断C，先求解一元二次不等式，然后分别由以及求解，即可判断D. 【详解】对于A，，所以，故A正确； 对于B，由，得且. 因为为整数，所以或或或，故B错误； 对于C，由于，则，设，则， 若，则， 若，则， 所以，，，故C正确； 对于D，得，解得， 由，得；由，得，所以不等式的解集为， 故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若关于的不等式的解集是，则_________. 【答案】## 【解析】 【分析】由题可知和4是方程的根，利用韦达定理可得答案. 【详解】由题可知和4是方程的根， 由根与系数关系得，即，，所以. 故答案为：. 13. 已知函数若存在最小值，则实数的最大值为__________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据题意，分，以及讨论，列出不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】当时，单调递减，当时，， 当时，由可得， 由可得，此时函数取不到最小值， 当时，由可得， 由可得，此时函数存在最小值， 当时，若存在最小值，则，解得， 综上所述，，所以的最大值为2. 故答案为： 14. 已知实数，命题，为真命题，则的最小值为__________. 【答案】6 【解析】 【分析】首先根据函数图象与不等式的关系，确定一次函数的零点也是二次函数的零点，从而得到，代入后，利用基本不等式求最小值. 【详解】当时，单调递增，且当时，，此时， 当时，，， 所以，即，则， 当且仅当，时，等号成立. 故答案为：6 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用等价于，列式求解即可； （2）利用，等价于，列式求解即可. 【小问1详解】 ，， 因为，所以， 所以解得， 故实数的取值范围为； 【小问2详解】 ，， 因为，所以， 当时，，解得，满足题意； 当时，解集为， 综上，实数的取值范围为. 16. 为提高人们的身体素质，某工厂更新技术开发研制了一款新型智能按摩椅，通过调研知，往年每年每生产千台智能按摩椅，获利千元，且更新技术后需要另外投入费用千元，且每千台按摩椅比之前多盈利2千元，生产的按摩椅供不应求，均能售完. （1）求更新技术后的利润（千元）关于年产量（千台）的函数解析式； （2）更新技术后，当年产量为多少千台时，工厂所获利润最大？并求出最大利润. 【答案】（1） （2）产量为3千台时，该工厂利润最大，最大利润是390千元. 【解析】 【分析】（1）根据题意，由条件可得，即可得到函数关系式； （2）分别求得与的利润最大值，结合基本不等式代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 由已知，， 又 所以； 【小问2详解】 当时，， 则当时，； 当时，， 当且仅当，即时，. 因为，所以的最大值为390， 故当产量为3千台时，该工厂利润最大，最大利润是390千元. 17. 已知幂函数是非奇非偶函数. （1）求函数的解析式； （2）已知是定义在上的奇函数，当时，. （ⅰ）求函数的解析式； （ⅱ）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据幂函数的定义，建立方程求得参数，结合奇偶函数的定义，分情况验根，可得答案； （2）（i）根据奇函数的性质，可得函数解析式；（ii）根据函数解析式作图，结合图象建立不等式，可得答案. 【小问1详解】 由题知，，即， 即，解得或， 当时，，是非奇非偶函数， 当时，，是偶函数， 所以的解析式是. 【小问2详解】 当时，， （ⅰ）设，则，所以， 又为奇函数，所以，所以当时，. 即. （ⅱ）作函数的图像如图所示， 要使在上单调递增，结合的图象知，所以， 所以的取值范围是. 18. 已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求，的值； （2）判断函数在上的单调性，并根据定义证明. （3）若函数满足不等式，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2）在上单调递增. 证明如下：对于任意，且， 则， 由，得，，， 又，，所以，即， 故函数在上单调递增； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用和可求得，检验可知满足题意； （2）利用函数单调性的定义判断并证明即可； （3）利用单调性及定义域列出不等式求解即可. 【小问1详解】 因为函数是定义在上的奇函数，且， 则，解得，， 所以函数， 检验：，故函数为奇函数，所以，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 不等式， 因为是增函数，且， 所以，解得， 所以的取值范围是. 19. 已知函数和的定义域分别为和，若对任意的，都存在个不同的实数，，，…，，使得（其中，），则称为的“重覆盖函数”. （1）（ⅰ）判断是否为，的“2重覆盖函数”？请说明理由； （ⅱ）设是，的“重覆盖函数”，求的值； （2）若为，的“2重覆盖函数”，求实数的取值范围. 【答案】（1）（ⅰ）不是，理由如下： 由题，，解得，不满足， 所以不是的“2重覆盖函数”； （ⅱ） （2）. 【解析】 【分析】（1）根据题目的函数新定义，利用举反例、研究函数奇偶性，结合对勾函数作出图象，可得答案； （2）根据题目的函数新定义，建立方程，结合幂函数的单调性以及一元二次方程根的判别，可得答案. 【小问1详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）单调递减，且， 函数的定义域为， ， 所以函数为偶函数， 则当时，，当且仅当时等号成立. 则当时，， 由对勾函数性质知，当时，单调递减，当时，单调递增. 所以的图象如图所示， 所以是的“4重覆盖函数”，即； 【小问2详解】 可得的定义域为，值域为， 即对任意，存在2个不同的实数，，使得（其中）， 即， 当，， 即对任意，有2个实根， 当时，已有一个根， 故只需时，仅有1个根， 当时，，符合题意， 当时，则需满足，解得， 当时，抛物线开口向下，有最大值，不能满足对任意，仅有1个根，故不成立. 综上，实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $