精品解析： 广东省广州大学附属中学2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷

2024-2025学年广东省广州大学附中八年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下面的图形中，不是轴对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 2. 已知一个三角形的两条边长分别为4和6，则第三条边的长度不能是（ ） A. 4 B. 7 C. 11 D. 3 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知，且，则的度数是（ ） A. 80° B. 70° C. 60° D. 50° 5. 如图，已知，，要使，则不符合条件的是（ ） A. B. C. D. 6. 一种滑翔伞的形状是左右对称的四边形，如图，其中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，将沿直线折叠后，使得点与点重合，若，的长为12，则的周长为（ ） A. 17 B. 10 C. 12 D. 22 8. 如图，以∠AOB的顶点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D．再分别以点C、D为圆心，大于CD的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点E，过点E作射线OE，连接CD.则下列说法错误的是 A. 射线OE是∠AOB的平分线 B. △COD是等腰三角形 C. C、D两点关于OE所在直线对称 D. O、E两点关于CD所在直线对称 9. 如图，的面积为，垂直的平分线于，则的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，点A，B，C的坐标分别为，和，则当的周长最小时，m的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为______． 12. 若一个多边形的内角和为，则这个多边形的边数是______． 13. 是等边三角形，点是边的中点，点在边上，且，连接，则_______． 14. 若，那么多项式的值是______． 15. 如图，在中，，，平分交于点，于，若cm，则______． 16. 如图，在等腰中，，，，是底边上的高．在的延长线上有一个动点，连接，作，交的延长线于点，的角平分线交边于点，则在点运动的过程中，线段的最小值为______． 三、解答题：本题共8小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 如图，，，求证：． 19. 如图，在中，D是的中点，，垂足分别为E，F，．求证：是的角平分线． 20. 如图，已知等腰三角形ABC的顶角∠A＝108°． （1）在BC上作一点D，使AD＝CD（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）． （2）求证：△ABD是等腰三角形． 21. 在中，，，，垂足为G，且，，其两边分别交边于点E，F． （1）求证：是等边三角形； （2）求证：． 22. 现有长与宽分别为、的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图的图形，用四个相同的小长方形拼成图的图形，请认真观察图形，解答下列问题： （1）根据图，教材已给出关于、的关系式：；根据图，关于、的关系式可表示为：______； 根据上面的思路与方法，解决下列问题： （2）①若，，则______； ②若，则______． （3）如图，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 23. 如图，在中，，点D在边上，，于点E，于点F，交于点G． （1）若，则； （2）求证：； （3）若，求证：． 24. 如图，点，，且，满足． （1）如图，求，的值； （2）如图，点在线段上不与、重合移动，，且，猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的结论； （3）若点为轴正半轴上异于原点、点的一个动点，连接，作于点，点在第一象限，且，直线交轴于点，当点在轴正半轴上移动时，线段和线段中哪一条线段长为定值，并求出该定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年广东省广州大学附中八年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下面的图形中，不是轴对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念，逐项分析即可．轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形． 【详解】A.是轴对称图形，不符合题意； B. 不是轴对称图形，符合题意； C. 是轴对称图形，不符合题意； D. 是轴对称图形，不符合题意． 故选B． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，掌握轴对称图形的概念是解题的关键． 2. 已知一个三角形的两条边长分别为4和6，则第三条边的长度不能是（ ） A. 4 B. 7 C. 11 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的构成条件，任意两边之和大于第三边或两边之差小于第三边，即可得出答案． 【详解】A、，满足任意两边之和大于第三边； B、，满足任意两边之和大于第三边； C、，不满足任意两边之和大于第三边； D、，满足任意两边之和大于第三边； 故答案为：C． 【点睛】本题考查三角形的构成条件，任意两边之和大于第三边或任意两边之差小于第三边． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了幂的运算，根据同底数幂的乘除法，积的乘方与幂的乘方进行计算即可求解． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：B． 4. 如图，已知，且，则的度数是（ ） A. 80° B. 70° C. 60° D. 50° 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形的内角和定理．根据三角形的内角和定理求出的度数，再根据全等三角形的对应角相等，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴； 故选A． 5. 如图，已知，，要使，则不符合条件的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定解决此题． 【详解】解：A、∵，∴，即，又由，，根据可判定，故此选项不符合题意； B、由，，，根据可判定，故此选项不符合题意； C、由， ，，这是两边及一边的对角，不能判定，故此选项符合题意； D、由，，，根据可判定，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理：、、、、是解决本题的关键． 6. 一种滑翔伞的形状是左右对称的四边形，如图，其中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了轴对称的性质以及多边形的内角和定理．根据题意滑翔伞的形状是左右成轴对称的四边形，得出，再利用四边形内角和定理求出，进一步计算即可求解． 【详解】解：∵一种滑翔伞的形状是左右成轴对称的四边形，其中，， ∴． ∴． 故选：B． 7. 如图，将沿直线折叠后，使得点与点重合，若，的长为12，则的周长为（ ） A. 17 B. 10 C. 12 D. 22 【答案】A 【解析】 【分析】由折叠的性质可得，再根据三角形周长公式即可求解． 【详解】解：∵将沿直线折叠，使得点与点重合， ∴， ∵，的长为12， ∴的周长， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，熟知折叠前后对应线段相等是解题的关键． 8. 如图，以∠AOB的顶点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D．再分别以点C、D为圆心，大于CD的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点E，过点E作射线OE，连接CD.则下列说法错误的是 A. 射线OE是∠AOB的平分线 B. △COD是等腰三角形 C. C、D两点关于OE所在直线对称 D. O、E两点关于CD所在直线对称 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、连接CE、DE，根据作图得到OC=OD，CE=DE． ∵在△EOC与△EOD中，OC=OD，CE=DE，OE=OE， ∴△EOC≌△EOD（SSS）． ∴∠AOE=∠BOE，即射线OE是∠AOB的平分线，正确，不符合题意． B、根据作图得到OC=OD， ∴△COD是等腰三角形，正确，不符合题意． C、根据作图得到OC=OD， 又∵射线OE平分∠AOB，∴OE是CD的垂直平分线． ∴C、D两点关于OE所在直线对称，正确，不符合题意． D、根据作图不能得出CD垂直平分OE，∴CD不是OE的垂直平分线， ∴O、E两点关于CD所在直线不对称，错误，符合题意． 故选：D． 9. 如图，的面积为，垂直的平分线于，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】延长交于，根据垂直的平分线于，即可求出，又知和等底同高，可以证明两三角形面积相等，即可证明三角形的面积． 【详解】解：延长交于， ∵垂直的平分线于， ， 又知， ∴， ∴， ∴和等底同高， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形中线的性质．证明出三角形PBC的面积和原三角形的面积之间的数量关系是解题的关键． 10. 如图，在中，点A，B，C的坐标分别为，和，则当的周长最小时，m的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了轴对称—最短路径问题，考查了轴对称的性质，等腰直角三角形的性质等知识，根据已知得出A点位置是解题关键． 作B关于x轴对称点为，连接，交x轴于点，此时周长最小，由等腰直角三角形的性质可求，可求，即可求解． 【详解】解：如图所示，作B关于x轴对称点为，连接，交x轴于点，此时周长最小， 过点C作轴，过点作轴，交于， ， ， ， ， ， ， ， ， 则此时坐标为． 的值为2． 故选：C． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的轴对称变换，掌握好点的坐标的变换规律是解题关键． 关于轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数，据此即可求解． 【详解】解：点关于轴对称时，横坐标保持不变，纵坐标变为其相反数， ∴对称点的坐标为 ． 故答案为：． 12. 若一个多边形的内角和为，则这个多边形的边数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和公式，这个多边形的边数为，根据多边形的内角和公式计算即可，熟记多边形的内角和公式是解题的关键． 【详解】解：这个多边形的边数为， 由题意得，， 解得， ∴这个多边形的边数是， 故答案为：． 13. 是等边三角形，点是边的中点，点在边上，且，连接，则_______． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等边三角形的性质和直角三角形的性质是解题的关键．先根据等边三角形的性质得出平分，，从而得，．由，得到，继而可求． 【详解】解：平分，，是等边三角形， ， ，． ， ， ， 故答案为：15． 14. 若，那么多项式的值是______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查的是整式的混合运算，化简求值，先计算整式的乘法运算，再合并同类项得到化简的结果，再把代入计算即可． 【详解】解：， ． 故答案为：． 15. 如图，在中，，，平分交于点，于，若cm，则______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握相关知识是解题关键．首先根据“角平分线上的点到角的两边的距离相等”可得，再根据“直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半”可得，然后根据求解即可． 【详解】解：∵平分交于点，，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴． 故答案为：． 16. 如图，在等腰中，，，，是底边上的高．在的延长线上有一个动点，连接，作，交的延长线于点，的角平分线交边于点，则在点运动的过程中，线段的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，作于，作于，连接，由角平分线得到，再证明得到，接着证明，得到，当时有最小值，即有最小值， 最后根据直角三角形得到． 【详解】解：作于，作于，连接， ，， 平分， 即平分， ，， ，， ，， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， 当时有最小值，即有最小值， 此时，， ∴， 故答案为： 三、解答题：本题共8小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算，先算多项式乘多项式和单项式除单项式，再合并同类项即可． 【详解】解：原式 ． 18. 如图，，，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、平行线的性质，证明是解题关键．首先根据“两直线平行，内错角相等”可得，再根据“”证明，由全等三角形的性质即可获得答案． 【详解】略 19. 如图，在中，D是的中点，，垂足分别为E，F，．求证：是的角平分线． 【答案】 证明：，， 在和中 ， ∴， ， ，， ， 是的角平分线． 【解析】 【分析】此题主要考查了角平分线定理的逆定理，直角三角形全等的判定，掌握相关知识是解决本题的关键．首先可证明，可得，又因为，根据角平分线定理的逆定理即可证明是角平分线． 【详解】略 20. 如图，已知等腰三角形ABC的顶角∠A＝108°． （1）在BC上作一点D，使AD＝CD（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）． （2）求证：△ABD是等腰三角形． 【答案】 （1）如图，点D即为所求； （2）连接AD， ∵AB＝AC，∠A＝108°， ∴∠B＝∠C＝36°， 由（1）得：AD＝CD， ∴∠DAC＝∠C＝36°， ∴∠ADB＝∠DAC+∠C＝72°，∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝108°﹣36°＝72°， ∴∠BAD＝∠BDA， ∴AB＝BD， ∴△ABD是等腰三角形． 【解析】 【分析】（1）根据线段垂直平分线的尺规作图直接进行求解即可； （2）由题意易得∠B＝∠C＝36°，然后根据三角形内角和与外角的性质及等腰三角形的判定可进行求解． 【详解】略 【点睛】本题主要考查线段垂直平分线及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握各个知识点是解题的关键． 21. 在中，，，，垂足为G，且，，其两边分别交边于点E，F． （1）求证：是等边三角形； （2）求证：． 【答案】（1） 证明：， ， ， ， ， 是等边三角形； （2） 证明：是等边三角形， ， ， ， ， 在与中， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． （1）由等腰三角形的性质和已知条件得出，再由，即可得出是等边三角形； （2）由是等边三角形，得出，证出，由证明可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 现有长与宽分别为、的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图的图形，用四个相同的小长方形拼成图的图形，请认真观察图形，解答下列问题： （1）根据图，教材已给出关于、的关系式：；根据图，关于、的关系式可表示为：______； 根据上面的思路与方法，解决下列问题： （2）①若，，则______； ②若，则______． （3）如图，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 【答案】（1）；（2）①6；②13；（3） 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，完全平方公式的变形应用，整式化简求值，解题的关键是掌握完全平方公式的应用． （1）两种方法计算大正方形的面积可得答案； （2）①由，可得，而，故； ②由，知，又，故； （3）由，得，又，故；即图中阴影部分面积为16.5． 【详解】解：（1）大正方形的面积用面积公式计算为，用小正方形面积加上4个长方形面积为， ∴关于、的关系式可表示为：； 故答案为：； （2）①， ， ， ， ， ； 故答案为：6； ②， ， ， ， ， 故答案为：13； （3）根据题意得：， ， ， ， ； ； 图中阴影部分面积为16.5． 23. 如图，在中，，点D在边上，，于点E，于点F，交于点G． （1）若，则； （2）求证：； （3）若，求证：． 【答案】（1）22.5 （2） 证明：如图2所示： ∵，， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3） 证明：过点C作于H，如图3所示： ∵，， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即是的平分线， 又∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，理解等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． （1）先证明是等腰直角三角形，则，进而得，再根据得，据此可得的度数； （2）证明和全等即可得出结论； （3）过点C作于H，则，证明是的平分线得，则，再证明即可得出结论． 【小问1详解】 解：如图1所示： ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 24. 如图，点，，且，满足． （1）如图，求，的值； （2）如图，点在线段上不与、重合移动，，且，猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的结论； （3）若点为轴正半轴上异于原点、点的一个动点，连接，作于点，点在第一象限，且，直线交轴于点，当点在轴正半轴上移动时，线段和线段中哪一条线段长为定值，并求出该定值． 【答案】（1），； （2） 解：，理由如下： 如图，过作，交延长线于点，连接， ∴， ∴， ∴， ∵点，，，， ∴点，， ， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）是定值，该定值是． 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形综合，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，旋转的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）将原式化成，则，，求出，的值即可； （）过作，交延长线于点，连接，证明，得，然后再证明，得，进而可以解决问题； （）根据题意画出图形，分当点在点左侧和右侧两种情况讨论即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：是定值， 如图，当点在点右侧时，作于，在上截取， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是定值，该定值是； 如图，当点在点左侧时，作轴于， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是定值，该定值是． 综上，是定值，该定值是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $