精品解析：安徽省马鞍山市第二中学2024-2025学年高一上学期期中素质测试数学试题

马鞍山市第二中学2024－2025学年度第一学期 期中素质测试 高一 数学试题 命题人钱进 审题人卢建军 一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 子曰：“工欲善其事，必先利其器.”这句名言最早出自于《论语･卫灵公》.此名言中的“利其器”是“善其事”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 5. 已知幂函数的图象过点，下列说法中正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 的定义域是 C. 在定义域上单调递减 D. 的值域是 6. 已知函数在区间上的值域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 若关于的不等式的解集为，则一元二次不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数中是偶函数，且在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 10. 设非负实数，满足，则（ ） A. 的最小值为0 B. 的最大值是 C. 的最小值为9 D. 最小值为5 11. 已知符号函数，下列说法中正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 对任意的实数， C. 函数的值域为 D. 直线和函数的图象至多有3个公共点 三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. ________. 13. 若关于的不等式对任意的均成立，则实数的取值范围是________. 14. 已知函数的值域为，则实数的取值范围是________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，集合. （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围. 16. 已知函数满足：. （1）求的解析式； （2）判断函数在区间上的单调性，并证明. 17. 某手作特产店拟举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量万份与年促销投入费用万元满足（为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件.已知店内生产该产品的固定投入（设备等）为8万元，每生产一万件该产品需要再投入4万元，店家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（每件产品年平均成本按元来计算），按需生产，生产出的产品恰好被全部售出. （1）将该产品的年利润万元表示为年促销费用万元的函数； （2）该店家的促销投入费用为多少万元时，利润最大？最大利润是多少？ 18. 已知函数. （1）求不等式的解集； （2）设，若时，对任意，都存在唯一的，使得，求实数的取值范围. 19. 设，函数的定义域为.若对满足的任意，，均有，则称函数具有“性质”. （1）判断以下函数是否具有性质，并说明理由： ①；②； （2）是否存在实数，使得函数具有性质？给出结论并说明理由； （3）证明：“函数不存在单调递减区间”是“对任意，函数均具有性质”的充要条件. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 马鞍山市第二中学2024－2025学年度第一学期 期中素质测试 高一 数学试题 命题人钱进 审题人卢建军 一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的定义域求出，根据指数函数的性质求出，再根据交集运算求解即可. 【详解】集合，， 则. 故选：C. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】由全称命题的否定为特称命题即可判断. 【详解】命题“，”的否定是“，”． 故选：D． 3. 子曰：“工欲善其事，必先利其器.”这句名言最早出自于《论语･卫灵公》.此名言中的“利其器”是“善其事”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意结合充分、必要条件分析判断. 【详解】由题意“工欲善其事，必先利其器.”指工匠要想要做好活儿，一定先要把工具整治得锐利精良. 从逻辑角度理解，如果工匠做好活了，说明肯定是有锐利精良的工具，即必要性成立； 反过来如果有锐利精良的工具，不能得出一定能做好活儿，即充分性不成立； 所以“利其器”是“善其事”的必要不充分条件. 故选：B. 4. 函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据抽象函数定义域之间的关系即可得到结论. 【详解】∵函数的定义域为， ∴要使函数有意义，需满足，解得， ∴函数的定义域为． 故选：A. 5. 已知幂函数的图象过点，下列说法中正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 的定义域是 C. 在定义域上单调递减 D. 的值域是 【答案】C 【解析】 【分析】由条件求出幂函数的解析式，根据幂函数的性质判断即可. 【详解】∵幂函数的图象过点，设， ∴，即，得， ∴，其定义域为，故B错误； ∵定义域关于原点不对称，∴为非奇非偶函数，故A错误； ∵定义域为，，∴的值域是，故D错误； ∵，∴在定义域上单调递减，故C正确. 故选：C. 6. 已知函数在区间上的值域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知条件结合二次函数的图象性质，求解实数的取值范围． 【详解】的图象开口向下，对称轴为，且， ∵函数在区间上的值域为， ∴由图可知，，即实数的取值范围是. 故选：A． 7. 若关于的不等式的解集为，则一元二次不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解集，结合根与系数关系，求得的关系式，由此化简不等式，求得不等式的解集. 【详解】由于关于的一元二次不等式的解集为， 所以，即， 所以不等式等价于， 即，解得. 故选：A. 8. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据可判断，根据，即可求解. 【详解】由于，， 故， 又，故， 故选：B 二、多项选择题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数中是偶函数，且在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用常见函数的奇偶性与单调性，结合奇偶性与单调性定义判断即可. 【详解】是偶函数，且在上单调递增，故A正确； 为非奇非偶函数，且在上单调递增，故B错误； 是偶函数，且在上单调递增，故C正确； 对于D，设，定义域为， ∵，∴是偶函数. 令，且， 则， ∵，且，∴，， 从而，，得， ∴在上单调递增，故D正确. 故选：ACD. 10. 设非负实数，满足，则（ ） A. 的最小值为0 B. 的最大值是 C. 的最小值为9 D. 最小值为5 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，利用二次函数的性质判断；对于B，利用基本不等式判断；对于C，D，利用基本不等式中1的妙用求解判断． 【详解】对于A，因为非负实数，满足，可得且， 则，∴当时，取最小值，故A错误； 对于B，当中有为0的值时，的值为0； 当均为正数时，由，得， 当且仅当时，等号成立， ∴的最大值是，故B正确； 对于C，由题意，， ∴， 当且仅当时，等号成立，所以的最小值为9，故C正确； 对于D，由题意，，∴， ， 当且仅当时，等号成立，所以的最小值为4， 所以的最小值为3，故D错误． 故选：BC． 11. 已知符号函数，下列说法中正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 对任意的实数， C. 函数的值域为 D. 直线和函数的图象至多有3个公共点 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A项，运用奇偶性定义判断即可；对于B项，分别两个函数的分段形式的解析式判断即可；对于C项，写出分段函数求其值域判断即可；对于D项，画出图象分析即可. 【详解】对于A项，当时，，则， 当时，，则， 当时，， 所以，为奇函数，故A项正确. 对于B项，因为，，故B项不成立. 对于C项，令， 当时，，当时，，当时，， 所以的值域为，故C项不成立. 对于D项，因为，解得或，，解得或，，解得， 则，所以， 则的图象如图所示， 当或时，与图象无交点， 当或时，与图象有2个交点， 当时，与图象有3个交点， 所以与图象至多有3个公共点，故D项正确. 故选：AD. 三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. ________. 【答案】 【解析】 【分析】利用分数指数幂和根式运算法则得到答案. 【详解】. 故答案为： 13. 若关于的不等式对任意的均成立，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】分离参数转化为求的最小值即可得解. 【详解】由关于的不等式对任意的均成立， 所以对任意的均成立， 即， 因为在上单调递增， 所以， 故， 故答案为： 14. 已知函数的值域为，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】分和两种情况分别求出分段函数每段上的值域，再由的值域为，可求出实数的取值范围． 【详解】①当时， 当时，在上递增，则， 当时，， ∵时，； 时，，即， ∴当时，， 因为的值域为， 所以，得，所以． ②当时， 当时，在上递增，则， 当时，，则，在上递增， 所以， 因为的值域为， 所以，得， 在同一直角坐标系中作出和的图象，如图所示， 由图可知，当时，， 所以当时，不等式成立， 综上，，即实数的取值范围. 故答案为：． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，集合. （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）解不等式，再根据集合并运算即可求解； （2）由题意得，分和讨论即可求解. 【小问1详解】 ，即且， 解得，所以， 当时，， 所以. 【小问2详解】 由题意得， 当时，符合题意，此时，解得； 当时，应满足，解得； 故的取值范围是. 16. 已知函数满足：. （1）求的解析式； （2）判断函数在区间上的单调性，并证明. 【答案】（1） （2） 在上单调递减. 证明：，， 对任意的，， 因为，故，，， 所以，即， 故在上单调递减. 【解析】 【分析】（1）利用换元法求解析式即可； （2）利用函数的单调性的定义判断并证明即可. 【小问1详解】 令，则，且， 所以； 即； 【小问2详解】 略 17. 某手作特产店拟举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量万份与年促销投入费用万元满足（为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件.已知店内生产该产品的固定投入（设备等）为8万元，每生产一万件该产品需要再投入4万元，店家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（每件产品年平均成本按元来计算），按需生产，生产出的产品恰好被全部售出. （1）将该产品的年利润万元表示为年促销费用万元的函数； （2）该店家的促销投入费用为多少万元时，利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）促销投入费用为1万元时，店家获得最大利润9万元. 【解析】 【分析】（1）由已知求得，结合每件产品的销售价格，可得出利润； （2）利用基本不等式求解最大利润即可． 【小问1详解】 由已知得，当时，，则，得，故. 故每件产品的销售价格为， 故利润. 【小问2详解】 因为当时，， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 即促销投入费用为1万元时，店家获得最大利润9万元. 18. 已知函数. （1）求不等式的解集； （2）设，若时，对任意，都存在唯一的，使得，求实数的取值范围. 【答案】（1） 时，解集为；时，解集为；时，解集为. （2）. 【解析】 【分析】（1）分解因式后分类讨论求解二次不等式的解集； （2）由题意转化为在所给区间上的值域为在所给区间上值域的子集，分类讨论求的值域，由包含关系列出不等式组求解即可. 【小问1详解】 由， 则（i）时，解得或，解集为； （ii）时，由解得，解集为； （iii）时，解得或，解集为. 综上，时，解集为，时，解集为， 时，解集为. 【小问2详解】 由题意：，在上的值域， 设在上的值域，则， 对称轴为， （i）若，即，则在上单调递增， 所以， 所以，解得； （ii）若，即，则在上单调递减， 所以， 所以，解得； （iii）若，即， 则在上单调递减，在上单调递增， 因为，， 所以在上的最大值， 所以当，即时，不存在，使得， 故此情形不成立. 综上，的取值范围是. 19. 设，函数的定义域为.若对满足的任意，，均有，则称函数具有“性质”. （1）判断以下函数是否具有性质，并说明理由： ①；②； （2）是否存在实数，使得函数具有性质？给出结论并说明理由； （3）证明：“函数不存在单调递减区间”是“对任意，函数均具有性质”的充要条件. 【答案】（1） 具有性质. 理由：当时，恒成立， 故具有性质. 不具有性质. 理由：取，，则， 但，故不具有性质. （2） 不存在实数. 理由：若，取，，则，但， 所以时，不具有性质. 若，，，则，但， 所以时，不具有性质. 综述：不具有性质. （3） 证明：（充分性） 如果函数不存在单调递减区间，则对任意的，， 即， 因此，对任意，若，则， 故对任意，函数具有性质，充分性得证； （必要性） 假设函数存在单调递减区间，则存在，满足， 即， 由于，所以故存在实数，使得， 即存在，使得，但， 与“对任意，函数均具有性质”矛盾，因此假设不成立，必要性得证. 【解析】 【分析】（1）通过代入解析式证明，通过举反例说明即可. （2）当时，取，，当时，取，，分别说明即可. （3）由“函数存在单调递减区间”的否定写出“不存在单调递减区间”的符号形式，进而证明充分性，运用反证法先假设函数存在单调递减区间，进而找出存在，使得，但，即可证明必要性. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $