精品解析：上海市同济大学第一附属中学2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题

同一附中2024学年第一学期高三年级数学月考 2024.09 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知集合，，若，则________. 【答案】0，2， 【解析】 【分析】由，依次讨论，注意集合元素的互异性. 【详解】解：， 或或， 所以，或，或，或， 根据集合元素的互异性，经验证或或， 故答案为：0，2，. 【点睛】考查两个集合关系中的子集关系的元素之间的关系；基础题. 2. 关于的一元二次不等式的解集为空集的充要条件为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次不等式与二次函数之间的关系，可列不等式. 【详解】由题意知，二次函数开口向上，且与轴最多有一个交点， 则. 故答案为：. 3. 集合，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】求出函数及的值域，根据集合交集运算即可求解. 【详解】， ， 所以. 故答案为：. 4. 周长为20的扇形的面积取到最大值时，扇形圆心角的大小是________． 【答案】 【解析】 【分析】设扇形的半径为，圆心角为，依题意可得，再由扇形的面积公式及基本不等式计算可得. 【详解】设扇形的半径为，圆心角为， 依题意可得，则， 所以， 当且仅当，即时取等号， 即扇形圆心角为时扇形的面积取得最大值. 故答案为：. 5. 若函数，则不等式的解集为___________. 【答案】 【解析】 【分析】作出函数的图像，进而可得，然后利用图像解不等式即可 【详解】函数的图像如图中的“实线”所示. 从而的图像如图中的“实线”所示，为解不等式，需观察图像，易解得与的交点为和. 故不等式的解集为，即. 故答案为： 6. 对于实数，，“”是“且”的________条件． 【答案】充分不必要 【解析】 【分析】由，可得且，可判断充分性成立，赋值法可判断必要性不成立. 【详解】由，可得且，所以且， 所以“”是“且”的充分条件， 又“满足且，但， 所以“”是“且”的不必要条件， 所以“”是“且”的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要. 7. 设为定义在上的奇函数，当时，，则时，___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用偶函数定义直接求解作答. 【详解】解：设，则， 因为当时，， 所以， 因为为定义在上的奇函数， 所以， 所以， 故答案为：. 8. 设的展开式中，各项系数之和为625，则展开式中各项系数的绝对值之和是________． 【答案】 【解析】 【分析】对于，令，根据各项系数之和求出，再根据展开式中各项系数的绝对值之和与展开式中各项系数的之和相等，利用赋值法计算可得. 【详解】对于，令，可得各项系数之和为，解得， 所以，又展开式中各项系数的绝对值之和与展开式中各项系数的之和相等， 对于，令，可得各项系数之和为， 即展开式中各项系数的绝对值之和是. 故答案为： 9. 已知等比数列满足，则________________. 【答案】 【解析】 【分析】求出数列的公比，并得出等比数列的公比与首项，然后利用等比数列求和公式求出，即可计算出所求极限值. 【详解】由已知，，，所以数列是首项为，公比为的等比数列， ， . 故答案为. 【点睛】本题考查等比数列基本量的计算，同时也考查了利用定义判定等比数列、等比数列求和以及数列极限的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 10. 对于定义在集合上的函数，若存在实数满足，则把叫做的一个不动点，已知，没有不动点，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】依题意可得在上无实数根，参变分离可得在上无实数根，令，，求出的值域，即可得到不等式，解得即可. 【详解】依题意在上无实数根，即在上无实数根， 即在上无实数根， 令，，则上单调递增， 又，，即， 所以或，解得或， 即实数的取值范围是. 故答案为： 11. 当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】由题设，讨论、结合恒成立，列不等式组求范围. 【详解】由题设， 当时，，此时只需，则有； 当时，，此时只需，则有； 综上，实数的取值范围为. 故答案为： 12. 记，若存在实数，满足，使得函数在区间上是严格增函数，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意推出在区间内有解，分离参数，构造函数，结合函数单调性，求出函数最值，即可求得答案. 【详解】由题意知在区间内有解， 即，即在区间内有解， 设，则该函数在上单调递减，在上单调递增， 且，故在上的最大值为， 故，即实数的取值范围是， 故答案为： 二、选择题（本大题满分分） 13. 某班级有50名学生，期末考试数学成绩服从正态分布，已，则的学生人数为（ ） A. 5 B. 10 C. 20 D. 30 【答案】D 【解析】 【分析】由正态分布的对称性求出，即可求出的学生人数. 【详解】因为期末考试数学成绩服从正态分布，所以期末考试数学成绩关于对称， 则，所以， 所以的学生人数为：人. 故选：D. 14. 已知偶函数在区间单调递增，则满足的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用为偶函数关于轴对称，故越靠近轴，函数值越小，从而解出不等式. 【详解】因为偶函数在区间上单调递增， 所以在区间上单调递减，故越靠近轴，函数值越小， 因为， 所以，解得：． 故选：A. 15. 若函数在上是严格减函数，则实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数型复合函数的单调性可知在上单调递增且大于恒成立，即可得到，解得即可. 【详解】因为在定义域上单调递减， 要使函数在上是严格减函数， 则在上单调递增且大于恒成立， 所以，解得， 即实数的取值范围. 故选：B 16. 已知函数，若，则下列结论正确的个数是（ ） （1）； （2） （3）； （4）当时， A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数，即可根据单调性求解（1），根据，即可求导求解（2），根据求导即可判定（3），结合（1）的结论以及的单调性即可求解（4）. 【详解】（1）正确;因为令在上是增函数， 当时，，，即. （2）错误；因为令 时，单调递增，时，单调递减与无法比较大小. （3）错误；因为， 时，单调递增，时，单调递减.所以无法确定的大小，故（3）错误， （4）正确;因为时，，单调递增， 又（1）正确， ， 故选：B. 三、解答题（本大题满分78分） 17. 如图，在棱长为2的正方体中，，分别为线段，的中点． （1）求点到平面的距离； （2）求异面直线与所成的角． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等体积法列方程，求解即可； （2）根据直线和直线平行，得为异面直线与所成的角，进而在中求解即可. 【小问1详解】 在正方体中，为线段的中点，所以平面，且， 因为是线段的中点，所以， 故三棱锥的体积； 因为，分别为线段，的中点，所以， 又因为，，所以在中满足，故为直角三角形， 则，设点到平面的距离为， 则，解得， 因此点到平面的距离为. 【小问2详解】 连接，，因为、分别为线段、的中点，所以，故异面直线与所成的角为； 又平面，平面，所以， 所以， 故异面直线与所成角为. 18. 已知中，三个内角的对边分别为，外接圆半径， （1）求的大小； （2）求面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理，进行角化边，整理等式，结合余弦定理，可得答案； （2）由（1），根据正弦定理，可得边的长，结合余弦定理以及基本不等式，可得的最值，根据三角形面积公式，可得答案. 【小问1详解】 由正弦定理，可得， 代入，可得， ，， 由余弦定理，，由，则. 【小问2详解】 由（1）可得，则， 由余弦定理，可得，则， 由基本不等式，则，当且仅当时，等号成立，即， 的面积，故的面积的最大值为. 19. 在全民抗击新冠疫情期间，某校开展了“停课不停学”活动，一个星期后，某校随机抽取了100名居家学习的高二学生进行问卷调查，得到学生每天学习时间(单位：)的频率分布直方图如下，若被抽取的这100名学生中，每天学习时间不低于8小时有30人. （1）求频率分布直方图中实数的值； （2）每天学习时间在的7名学生中，有4名男生，3名女生，现从中抽2人进行电话访谈，已知抽取的学生有男生，求抽取的2人恰好为一男一女的概率； （3）依据所抽取的样本，从每天学习时间在和的学生中按比例分层抽样抽取8人，再从这8人中选3人进行电话访谈，求抽取的3人中每天学习时间在的人数分布和数学期望. 【答案】（1）， （2） （3）分布列详见解析，数学期望为 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图的知识求得. （2）根据古典概型的知识求得所求概率. （3）根据超几何分布的知识求得分布列并求得数学期望. 小问1详解】 . ，解得. 【小问2详解】 已知抽取的学生有男生， 则抽取的2人恰好为一男一女的概率为. 【小问3详解】 每天学习时间在和的学生比例为， 所以在的学生中抽取人，在的学生中抽取人. 再从这8人中选3人进行电话访谈， 抽取的3人中每天学习时间在的人数的取值为， ， ， ， 所以的分布列如下： 数学期望. 20. 已知椭圆：的右焦点为，过的直线交于，两点. （1）若直线垂直于轴，求线段的长； （2）若直线与轴不重合，为坐标原点，求面积的最大值； （3）若椭圆上存在点使得，且的重心在轴上，求此时直线的方程. 【答案】（1）3 （2） （3）或或 【解析】 【分析】（1）令，求出即可. （2）设直线的方程为：，与椭圆方程联立，利用韦达定理和三角形面积公式表示出的面积即可. （3）分类讨论直线，与椭圆方程联立，利用中点坐标公式求出中点的坐标， 再利用重心的性质求出的坐标，代入椭圆方程即可求解. 【小问1详解】 由题意，所以， 在椭圆方程中令，得， 解得，所以. 【小问2详解】 设直线的方程为：， 将其与椭圆方程联立得， 化简并整理得， 所以，， 所以， 所以的面积为， 令，则， 又因为在上单调递增， 所以，当且仅当时取等号， 所以面积的最大值为. 【小问3详解】 当直线不与轴重合时，设直线：，的中点为点， 由（2）可知，将其与椭圆方程联立并整理得， 所以，， 因为的重心在轴上， 所以由重心坐标公式得， 所以， 所以，， 因为，所以由等腰三角形三线合一可知， 所以直线：， 所以， 所以点，将其代入椭圆方程化简并整理得， 解得或， 所以直线：或 当直线与轴重合时，点在椭圆的上、下顶点，满足题意，此时直线：. 综上所述：满足题意的直线的方程为或或. 21. 设是定义域为的函数，当时，. （1）已知在区间上严格增，且对任意，有，证明：函数在区间上是严格增函数； （2）已知，且对任意，当时，有，若当时，函数取得极值，求实数的值； （3）已知，且对任意，当时，有，证明：. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用函数单调性的定义证明即可； （2）结合（1），利用极值的定义进行求解即可； （3）利用题目条件，代入，分情况进行讨论即可证明. 【小问1详解】 不妨设，在区间上严格增， 对任意，有， 又， 函数在区间上是严格增函数； 【小问2详解】 由（1）可知：在区间上严格增时，在区间上是严格增， 当在区间上严格减时，在区间上是严格减， 又当时，函数取得极值，当时，函数也取得极值， 可得， 当时，，在左右附近两侧异号， 满足条件，所以. 【小问3详解】 当时， 由条件知， 当时，对任意，有， 即， 又的值域是，， 当时，对任意，有， ， 又的值域是，， 综上可知，任意，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 同一附中2024学年第一学期高三年级数学月考 2024.09 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知集合，，若，则________. 2. 关于的一元二次不等式的解集为空集的充要条件为________． 3. 集合，，则________． 4. 周长为20的扇形的面积取到最大值时，扇形圆心角的大小是________． 5. 若函数，则不等式的解集为___________. 6. 对于实数，，“”是“且”的________条件． 7. 设为定义在上的奇函数，当时，，则时，___________. 8. 设的展开式中，各项系数之和为625，则展开式中各项系数的绝对值之和是________． 9. 已知等比数列满足，则________________. 10. 对于定义在集合上的函数，若存在实数满足，则把叫做的一个不动点，已知，没有不动点，则实数的取值范围是________． 11. 当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为________． 12. 记，若存在实数，满足，使得函数在区间上是严格增函数，则实数的取值范围是______. 二、选择题（本大题满分分） 13. 某班级有50名学生，期末考试数学成绩服从正态分布，已，则的学生人数为（ ） A 5 B. 10 C. 20 D. 30 14. 已知偶函数在区间单调递增，则满足的取值范围是（ ） A B. C. D. 15. 若函数在上是严格减函数，则实数的取值范围（ ） A. B. C D. 16. 已知函数，若，则下列结论正确的个数是（ ） （1）； （2） （3）； （4）当时， A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 三、解答题（本大题满分78分） 17. 如图，在棱长为2的正方体中，，分别为线段，的中点． （1）求点到平面的距离； （2）求异面直线与所成的角． 18. 已知中，三个内角的对边分别为，外接圆半径， （1）求的大小； （2）求面积的最大值. 19. 在全民抗击新冠疫情期间，某校开展了“停课不停学”活动，一个星期后，某校随机抽取了100名居家学习的高二学生进行问卷调查，得到学生每天学习时间(单位：)的频率分布直方图如下，若被抽取的这100名学生中，每天学习时间不低于8小时有30人. （1）求频率分布直方图中实数的值； （2）每天学习时间在的7名学生中，有4名男生，3名女生，现从中抽2人进行电话访谈，已知抽取的学生有男生，求抽取的2人恰好为一男一女的概率； （3）依据所抽取样本，从每天学习时间在和的学生中按比例分层抽样抽取8人，再从这8人中选3人进行电话访谈，求抽取的3人中每天学习时间在的人数分布和数学期望. 20. 已知椭圆：的右焦点为，过的直线交于，两点. （1）若直线垂直于轴，求线段的长； （2）若直线与轴不重合，为坐标原点，求面积的最大值； （3）若椭圆上存在点使得，且的重心在轴上，求此时直线的方程. 21. 设是定义域为的函数，当时，. （1）已知在区间上严格增，且对任意，有，证明：函数在区间上严格增函数； （2）已知，且对任意，当时，有，若当时，函数取得极值，求实数的值； （3）已知，且对任意，当时，有，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$