精品解析： 山东省青岛第三十九中学2024-2025学年 八年级上学期期中数学试卷

2024-2025学年山东省青岛三十九中八年级（上）期中 数学试卷 一、选择题（本题满分27分，共9小题，每小题3分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．） 1. 下列四组数据为三角形的三边，其中能构成直角三角形的是（ ） A. 、、 B. 、、 C. 、、 D. 、、（） 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理：“如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形”判定即可． 【详解】解： A．，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； B．，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； C．，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； D．，能构成直角三角形，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而做出判断． 2. 在，，，3.14，，，0.1010010001…（每两个1之间0的个数逐渐增加1个）这7个数中，无理数有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查无理数，熟练掌握无限不循环小数叫做无理数是解题的关键． 根据无理数的定义进行判断即可． 【详解】解：是整数，属于有理数； 在，，，3.14，，，0.1010010001…（每两个1之间0的个数逐渐增加1个）这7个数中，无理数有，无理数有，，0.1010010001…（每两个1之间0的个数逐渐增加1个），共3个． 故选：C． 3. 已知点，则点P到原点的距离为（　　） A. 4 B. 5 C. 7 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系内的点到坐标原点的距离，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理列式计算即可． 【详解】解：∵点， ∴点P到原点的距离为， 故选：B． 4. 若一次函数的图象经过点，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数图象的增减性是解答此题的关键．先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据 即可得出结论． 【详解】解：∵一次函数中， ∴y 随着 x 的增大而增大 ∵点是一次函数 图象上的两个点，， ∴ 故选：A． 5. 如图，战机在空中展示的图形是轴对称队形，以飞机所在直线为轴、队形的对称轴为轴，建立平面直角坐标系．若飞机的坐标为，则飞机的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键．直接利用关于y轴对称，纵坐标相同，横坐标互为相反数，进而得出答案． 【详解】解：根据题意，点E与点D关于y轴对称， ∵飞机E的坐标为， ∴飞机D的坐标为， 故选：A． 6. 如图，长为8cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3cm至D点，则橡皮筋被拉长了（ ） A. 2cm B. 3cm C. 4cm D. 5cm 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理，可求出、的长，则即为橡皮筋拉长的距离． 【详解】解：，，； 根据勾股定理，得：； ∴； ∴橡皮筋被拉长了2. 故选：A． 【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用，理解被拉长部分并转化为几何线段计算是解题的关键． 7. 如图所示，正方形ABCD的边长为1，AB在x轴的正半轴上，以A（1，0）为圆心，AC为半径作圆交x轴负半轴于点P，则点P的横坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由正方形的性质可得AB=BC=1，由勾股定理可求AC==AP，即可求点P的横坐标． 【详解】∵四边形ABCD是边长为1的正方形， ∴AB=BC=1， ∴AC=， ∵以A为圆心，AC为半径画圆交轴负半轴于点P， ∴AP=， ∵点A（1，0）， ∴点P的横坐标为：． 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，坐标与图形性质，勾股定理，熟练运用正方形的性质是本题的关键． 8. 已知点在第二象限，则直线的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与、的关系．解答本题注意理解：直线所在的位置与、的符号有直接的关系．时，直线必经过一、三象限；时，直线必经过二、四象限；时，直线与轴正半轴相交；时，直线过原点；时，直线与轴负半轴相交．根据已知条件“点在第二象限”推知、的符号，由它们的符号可以得到一次函数的图象所经过的象限． 【详解】解：点在第二象限， ，， 一次函数的图象经过第二、四象限，且与轴交于负半轴，观察选项，A选项符合题意． 故选：A 9. 如图，直线：与x轴、y轴分别交于A、B两点，于点M，点P为直线l上不与点A、B重合的一个动点．在y轴上存在（　　）个点Q，使得以O、P、Q为顶点的三角形与全等． A. 2 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】先求得点A、B的坐标，可求得的长，利用面积法即可求得的长，分与两种情况讨论，结合图形分析即可求解． 【详解】解：对于直线， 令，则，令，则， 解得：， ∴点A、B的坐标分别是，， ∴，， ∴， ∵ ∴； ①当时，如图2和图3， 由（1）得， ∴，即P点横坐标为或， 当P点横坐标为时，纵坐标为：， ∴， 当P点横坐标为时，纵坐标为：， ∴； ②当时，如图4和图5， ∴， 此时点Q的坐标为或， 综上所述，符合条件的点Q共4个． 故选：B． 【点睛】本题是一次函数的综合题，考查了一次函数图象上的点的坐标特征，勾股定理，全等三角形的判定与性质，三角形的面积，坐标与图形的性质，正确进行分类讨论是解题的关键． 二、填空题（本题满分21分，共7小题，每小题3分．） 10. 25的立方根是__________________ 【答案】 【解析】 【分析】根据立方根的定义即可解答. 【详解】解：25的立方根是，故答案为. 【点睛】本题考查了立方根的定义，25是一个完全平方数，是对解答的一个诱导，这是本题易错的原因. 11. 如图，三角形是直角三角形，四边形是正方形，已知正方形A的面积是64，正方形B的面积是100，则半圆C的面积是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理． 在中，是斜边，．半圆C的面积等于以为直径的圆的面积的一半． 【详解】解：如图， 正方形A的面积是64，正方形B的面积是100， 则，， 由勾股定理得， 故半圆C的面积． 故答案为：． 12. 在平面直角坐标系中，若点到x轴的距离为3，则a的值是______． 【答案】0或6##6或0 【解析】 【分析】此题考查了点的坐标，关键是掌握点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值．根据点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值即可求出a的值． 【详解】解：∵点到x轴的距离为3， ∴， 解得或6． 故答案为：0或6． 13. 在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，若直线与x轴、y轴分别交于点A、B，则的面积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象与坐标轴的交点，三角形的面积，求出一次函数图象与坐标轴的交点坐标是解题的关键． 利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出点A，B的坐标，进而可得出，的长，再利用三角形的面积公式，即可求出的面积． 【详解】解：如图， 当时，， ∴点B的坐标为， ∴； 当时，， 解得：， ∴点A的坐标为， ∴． ∴． 故答案为：． 14. 如图所示，已知圆柱的底面周长为36，高，点位于圆周顶面处，小虫在圆柱侧面爬行，从点爬到点，然后再爬回点，则小虫爬行的最短路程为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了平面展开图最短路径问题，先“化曲面为平面”，把圆柱的侧面展开成矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，矩形的宽即高等于圆柱的母线长．再根据两点之间线段最短，由勾股定理可得出． 【详解】解：如图， 根据题意，，， ∵点位于圆周顶面处， ∴，， ∴小虫爬行的最短路程． 故选：． 15. 如图，长方形，，将其沿折叠，A点落在O点，C点落在D点，折痕为，则D的坐标为 _______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理，图形的折叠问题．先过D作于G，设，则，根据在中，根据勾股定理可得关于x的方程，进而得到，再根据面积法得到，根据勾股定理得到中，可得，即可得到D的坐标． 【详解】解：如图，过D作于G， ∵， ∴， 由折叠的性质得：，， 设，则， ∵， 在中，， ，解得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点D的坐标为， 故答案为：． 16. 在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，如图所示，依次作正方形，正方形，…，正方形，使得点，，…在直线l上，点，，，…，在y轴正半轴上，则点的坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与正方形综合，熟练掌握一次函数的图象和性质，正方形的性质，点坐标规律，是解题的关键． 根据一次函数图象上点的坐标特征结合正方形的性质可得出点、的坐标，同理可得出、、、、…及、、、、…的坐标，根据点的坐标的变化可找出变化规律“（n为正整数）”，依此规律即可得出结论． 【详解】当时，， 解得：， ∴点． ∵四边形为正方形， ∴点． 同理，可得出：，，，，…， ∴，，，，…， ∴（n为正整数）， ∴点． 故答案为：． 三、解答题（共72分） 17. 计算题： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）； （2）； （3）； （4）． 【解析】 【分析】本题考查二次根式混合运算，熟练掌握二次根式运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式除法法则计算即可； （2）化简各个二次根式，再合并同类二次根式即可； （3）先计算乘除，再计算加减； （4）利用完全平方公式，平方差公式计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ； 【小问3详解】 解：原式 ； 【小问4详解】 解：原式 ． 18. 的立方根是，36的平方根是6与，是的整数部分． （1）求的值； （2）求的算术平方根． 【答案】（1），，， （2） 【解析】 【分析】（1）先根据立方根、平方根的定义求出、的值，再估算出的取值范围，求出的值即可； （2）把、、的值代入进行计算即可． 本题主要考查了立方根、平方根、算术平方根的概念，无理数的估算，开方与乘方的关系，需要注意的是第二问要先求出这个代数式的值，再去求它的算术平方根． 【小问1详解】 解： 的立方根是， ， 解得； 的平方根是6与， ， 解得； ， ， 是的整数部分， ； 【小问2详解】 解：，，， ， 的算术平方根是． 19. 已知正比例函数的图象经过点． （1）求这个正比例函数的表达式； （2）若这个图象还经过点，求点A的坐标． （3）将这个正比例函数的图象向下平移5个单位，请直接写出所得的图象的函数关系式． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求正比例函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的图象平移，掌握一次函数的图象平移规律“左加右减，上加下减”是解题的关键． （1）点代入解析式即可得到k的值，从而求出函数解析式； （2）把代入（1）计算出的解析式，即可算出a的值，进而得到点A的坐标； （3）根据一次函数图象平移法则“上加下减”解得平移后的解析式即可． 【小问1详解】 解：设这个正比例函数解析式为， 将点代入，得 ， 解得， ∴这个正比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：把代入，得， 解得， 故点A的坐标是； 【小问3详解】 解：∵将函数的函数图象向下平移5个单位长度， ∴平移后得到函数解析式为：． 20. 观察下列有规律的一组等式： ，即；，即． （1）猜想：______，______． （2）你发现了什么规律？根据你发现的规律，请用一个含（为正整数）的式子表示这一规律，并验证所写式子的正确性． 【答案】（1） （2）由给定的式子可以得到：被开方数中的整数与分数的分子相同，分数的分母是分子的平方加1，用一个含（为正整数）的式子可表示为：； 理由如下：． 【解析】 【分析】（1）根据给定的等式，进行猜想即可； （2）根据给定的等式可以看出，被开方数中的整数与分数的分子相同，分数的分母是分子的平方加1，进行表示即可． 【小问1详解】 解：由给定的等式猜想得：； 故答案为：； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查算术平方根的性质和数字的规律性探究．熟练掌握算术平方根的概念，从给出的式子中正确的找出规律，是解题的关键． 21. 如图，某社区有一块四边形空地，，，．从点A修了一条垂直的小路（垂足为E），E恰好是的中点，且． （1）求边的长； （2）求这块空地的面积． 【答案】（1）； （2）这块空地的面积为． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，纯然垂直平分线的性质，掌握勾股定理及其逆定理和三角形面积公式是解题关键． （1）利用勾股定理以及中点的性质即可求解； （2）连接，把四边形的面积分割成两个三角形的面积来计算． 【小问1详解】 解：∵， ∴． 在中， ∵，， ∴， ∵E是的中点， ∴． 【小问2详解】 解：连接，如图， ∵，E是的中点， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形． ∵， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴这块空地得面积为：． 答：这块空地的面积为． 22. 如图，在平面直角坐标系内，已知点，，，点，平行于轴． （1）求出点的坐标； （2）作出关于轴对称的； （3）在轴上找一点，使得，请直接写出点的坐标_____． 【答案】（1） （2） 如图，即为所求； （3）或 【解析】 【分析】此题考查坐标系中点坐标特点，画轴对称图形，利用三角形面积求点坐标， （1）根据平行于轴，得到，求出，即可得到点的坐标； （2）根据轴对称的性质得到点，顺次连线即可得到； （3）根据得到，求出点的坐标为或． 【小问1详解】 解：∵，，平行于轴， ∴， 解得， ∴， ∴点的坐标为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ∵，点的坐标为，平行于轴，， ∴， ∴或， ∴点的坐标为或． 23. “漏壶”是一种古代计时器，在社会实践活动中，某小组同学根据“漏壶”的原理制作了如图①所示的液体漏壶，漏壶是由一个圆锥和一个圆柱组成的，中间连通，液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器中，实验开始时圆柱容器中已有一部分液体． （1）表是实验记录的圆柱体容器液面高度y（厘米）与时间x（小时）的数据： 时间x（小时） 0 1 2 3 4 圆柱体容器液面高度y（厘米） 2 6 10 14 18 在如图②所示的直角坐标系中描出如表的各点，用光滑的线连接； （2）请根据（1）中的数据确定y与x之间的函数表达式； （3）如果本次实验记录的开始时间是上午，那么当圆柱体容器液面高度达到16厘米时是几点？ 【答案】（1） 解：描点并连线如图所示： （2）； （3）上午． 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握用描点法画函数图象和用待定系数法求函数关系式是解题的关键． （1）描点并连线即可； （2）利用待定系数法解答即可； （3）将代入（2）中求得的y与x之间的函数表达式，求出对应x的值并根据本次实验记录的开始时间是上午计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设y与x之间的函数表达式为为常数，且． 将坐标和分别代入， 得， 解得． 答：y与x之间的函数表达式为． 【小问3详解】 解：当时，得， 解得：， 上午经过3.5小时是上午． 答：如果本次实验记录的开始时间是上午，那么当圆柱体容器液面高度达到16厘米时是上午． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交A、B两点，与直线相交于点． （1）求m和b的值； （2）若直线与x轴相交于点D，动点P从点D开始，以每秒1个单位的速度向x轴负方向运动，设点P的运动时间为t秒． ①若点P在线段上，且的面积为10，求t的值； ②是否存在t的值，使为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）①；②存在，t的值为8或或或12． 【解析】 【分析】（1）将点代入直线解得；即可将代入直线求得b即可； （2）①根据的面积公式列等式可得t的值； ②存在，分三种情况：当时，如图1，当时，如图2，当时，如图3，分别求t的值即可． 【小问1详解】 解：在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交A、B两点，与直线相交于点．将点代入得： ， 将点代入直线得： ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：由（1）知：， 当时，， ， ， ， ， ； ①设，则，过C作于E，如图1所示： ， ， 的面积为10， ∴， 解得：； ②存在t的值，使为等腰三角形；理由如下： 过C作于E，如图1所示： ， ，， ∴， ∴； a．当时，， ， ； b．当时，如图2所示： 则， ，， 或； c．当时，如图3所示： 设，则，， ， 解得：， ∴P与E重合， ，， ； 综上所述，存在t的值，使为等腰三角形，t的值为8或或或12． 【点睛】本题属于一次函数综合题，主要考查了待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形性质，勾股定理，等腰三角形的判定，以及一次函数与坐标轴的交点，熟练掌握性质及定理是解本题的关键，并注意运用分类讨论的思想解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年山东省青岛三十九中八年级（上）期中 数学试卷 一、选择题（本题满分27分，共9小题，每小题3分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．） 1. 下列四组数据为三角形的三边，其中能构成直角三角形的是（ ） A. 、、 B. 、、 C. 、、 D. 、、（） 2. 在，，，3.14，，，0.1010010001…（每两个1之间0的个数逐渐增加1个）这7个数中，无理数有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 已知点，则点P到原点的距离为（　　） A. 4 B. 5 C. 7 D. 3 4. 若一次函数的图象经过点，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，战机在空中展示的图形是轴对称队形，以飞机所在直线为轴、队形的对称轴为轴，建立平面直角坐标系．若飞机的坐标为，则飞机的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，长为8cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3cm至D点，则橡皮筋被拉长了（ ） A. 2cm B. 3cm C. 4cm D. 5cm 7. 如图所示，正方形ABCD的边长为1，AB在x轴的正半轴上，以A（1，0）为圆心，AC为半径作圆交x轴负半轴于点P，则点P的横坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 已知点在第二象限，则直线的图象大致是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，直线：与x轴、y轴分别交于A、B两点，于点M，点P为直线l上不与点A、B重合的一个动点．在y轴上存在（　　）个点Q，使得以O、P、Q为顶点的三角形与全等． A. 2 B. 4 C. 5 D. 6 二、填空题（本题满分21分，共7小题，每小题3分．） 10. 25的立方根是__________________ 11. 如图，三角形是直角三角形，四边形是正方形，已知正方形A的面积是64，正方形B的面积是100，则半圆C的面积是_________． 12. 在平面直角坐标系中，若点到x轴的距离为3，则a的值是______． 13. 在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，若直线与x轴、y轴分别交于点A、B，则的面积为_________． 14. 如图所示，已知圆柱的底面周长为36，高，点位于圆周顶面处，小虫在圆柱侧面爬行，从点爬到点，然后再爬回点，则小虫爬行的最短路程为_____． 15. 如图，长方形，，将其沿折叠，A点落在O点，C点落在D点，折痕为，则D的坐标为 _______________． 16. 在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，如图所示，依次作正方形，正方形，…，正方形，使得点，，…在直线l上，点，，，…，在y轴正半轴上，则点的坐标为_______． 三、解答题（共72分） 17. 计算题： （1）； （2）； （3）； （4）． 18. 的立方根是，36的平方根是6与，是的整数部分． （1）求的值； （2）求的算术平方根． 19. 已知正比例函数的图象经过点． （1）求这个正比例函数的表达式； （2）若这个图象还经过点，求点A的坐标． （3）将这个正比例函数的图象向下平移5个单位，请直接写出所得的图象的函数关系式． 20. 观察下列有规律的一组等式： ，即；，即． （1）猜想：______，______． （2）你发现了什么规律？根据你发现的规律，请用一个含（为正整数）的式子表示这一规律，并验证所写式子的正确性． 21. 如图，某社区有一块四边形空地，，，．从点A修了一条垂直的小路（垂足为E），E恰好是的中点，且． （1）求边的长； （2）求这块空地的面积． 22. 如图，在平面直角坐标系内，已知点，，，点，平行于轴． （1）求出点的坐标； （2）作出关于轴对称的； （3）在轴上找一点，使得，请直接写出点的坐标_____． 23. “漏壶”是一种古代计时器，在社会实践活动中，某小组同学根据“漏壶”的原理制作了如图①所示的液体漏壶，漏壶是由一个圆锥和一个圆柱组成的，中间连通，液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器中，实验开始时圆柱容器中已有一部分液体． （1）表是实验记录的圆柱体容器液面高度y（厘米）与时间x（小时）的数据： 时间x（小时） 0 1 2 3 4 圆柱体容器液面高度y（厘米） 2 6 10 14 18 在如图②所示的直角坐标系中描出如表的各点，用光滑的线连接； （2）请根据（1）中的数据确定y与x之间的函数表达式； （3）如果本次实验记录的开始时间是上午，那么当圆柱体容器液面高度达到16厘米时是几点？ 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交A、B两点，与直线相交于点． （1）求m和b的值； （2）若直线与x轴相交于点D，动点P从点D开始，以每秒1个单位的速度向x轴负方向运动，设点P的运动时间为t秒． ①若点P在线段上，且的面积为10，求t的值； ②是否存在t的值，使为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $