精品解析：内蒙古自治区呼和浩特市赛罕区2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷

赛罕区2024-2025学年度第一学期期中九年级学业质量监测 数 学 注意事项： 1．考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡的规定位置． 2．考生要将答案写在答题卡上，在试卷上答题一律无效．考试结束后，将答题卡交回． 3．本试卷满分 100分．考试时间90分钟． 一、单选题（每题3分，共24分） 1. 如图，是的外接圆，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求解． 【详解】解：∵ 是的外接圆，， ∴． 故选：B 2. 下列方程中，不是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，正确理解一元二次方程的定义是解题的关键．方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数都是2次，这样的方程叫做一元二次方程．根据一元二次方程的定义即可判断答案． 【详解】A、是二元一次方程，所以选项A符合题意； B、可化简为，是一元二次方程，所以选项B不符合题意； C、是一元二次方程，所以选项C不符合题意； D、是一元二次方程，所以选项D不符合题意． 故选：A． 3. 下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式的值的符号就可以了．有两个相等实数根的一元二次方程就是判别式的值是0的一元二次方程． 【详解】解：A、，该方程有两个不相等的实数根．故本选项不符合题意； B、，该方程有两个相等的实数根．故本选项符合题意； C、，该方程无实数根．故本选项不符合题意； D、，该方程有两个不相等的实数根．故本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】此题主要考查了根的判别式．总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（3）方程没有实数根． 4. 下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形，轴对称图形是把一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分可以完全重合；中心对称图形是把一个图形绕着某一个点旋转后可以与原图形重合．解决本题的关键是根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行判断． 【详解】解：A选项：是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不符合题意义； B选项：既是轴对称图形，又是中心对称图形，故B选项符合题意义； C选项：是轴对称图形，不是中心对称图形，故C选项不符合题意义； D选项：不是轴对称图形，是中心对称图形，故D选项不符合题意义； 故选：B． 5. 如图，将绕顶点B顺时针旋转得到，且点C刚好落在线段上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由旋转的性质可得CB=AB，∠ABC=40°，∠D=∠E，由等腰三角形的性质及三角形内角和定理可求出答案． 【详解】解：∵将△ABD绕点B顺时针旋转40°得到△CBE， ∴CB=AB，∠ABC=40°，∠D=∠E， ∴， ∵∠CBD=32°， ∴∠ABD=∠ABC+∠CBD=40°+32°=72°， ∴∠D=∠E=180°-∠A-∠ABD=180°-70°-72°=38°． 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握旋转的性质是解题的关键． 6. 如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，连接BC、BD，下列结论中不一定正确的是（　　） A. AE=BE B. C. OE=DE D. ∠DBC=90° 【答案】C 【解析】 【详解】∵CD⊥AB， ∴AE=BE，， ∵CD是⊙O的直径， ∴∠DBC=90°， 不能得出OE=DE． 故选C． 7. 二次函数的图象如图所示，现有下列结论：①；②；③；④其中m是不等于1的实数．则其中结论正确的个数是多少个（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线开口向下得到，由抛物线的对称轴为直线得到，由抛物线与y轴的交点在x轴的上方得到，则，①错误；观察图象得到当时，，即，代入可得，②正确；当时，，即，③正确；求出时，y有最大值，可得，变形后得到，④正确． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方， ∴， ∴，故①错误； 当时，，即， ∵， ∴，故②正确； 当时，，即，故③正确； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时，y有最大值， ∴， ∴，故④正确． 综上，结论正确的个数是3个， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左侧；当a与b异号时，对称轴在y轴右侧；常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于；抛物线与x轴交点个数：时，抛物线与x轴有2个交点；时，抛物线与x轴有1个交点；时，抛物线与x轴没有交点． 8. 已知二次函数，当时，的取值范围是，且该二次函数图象经过点，两点，则的值不可能是（　　） A. 0 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据时， x的取值范围是，可得抛物线图象开口方向及对称轴直线方程，再由得点P到对称轴距离小于点Q到对称轴距离．即可判断的范围，进而求解． 【详解】解：如下图， ∵二次函数，当时，的取值范围是， ∴，二次函数开口向下 解得，对称轴为， ∵ ∴， ∴， ∴或 d不可能是-2 故选∶B． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是熟练掌握二次函数的性质，结合图象求解． 二、填空题（每题3分，共24分） 9. 将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到新抛物线的解析式是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可． 【详解】函数向右平移2个单位，得：； 再向上平移1个单位，得：； 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减． 10. 抛物线的顶点坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，依据题意，根据二次函数的顶点式的特点进行判断可以得解． 【详解】解：由题意，∵抛物线为， ∴抛物线的顶点坐标为． 故答案为：． 11. 矩形的周长为，设其一边长为，面积为，则与的函数关系式为____，自变量的取值范围是______． 【答案】 ①. ②. ． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数、矩形的周长和面积，因为矩形的周长为，一边长为，则另一边可以表示为，根据矩形的面积公式可以得到与的函数关系式；根据矩形的周长公式可以得到自变量的取值范围． 【详解】解：矩形的周长为，设其一边长为， 则矩形的另一边长为， ， 整理得：； 矩形的周长为， 矩形的长与宽的和为， ． 故答案为：； ． 12. 若点P的坐标为，其关于原点对称的点的坐标为，则为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的两点的坐标特征：横坐标与纵坐标都互为相反数，据此即可求出x与y的值，从而求解． 【详解】解：∵点P关于原点对称的点的坐标为， ∴， 解得：， 则为， 故答案为：． 13. 方程x2+2x＝0的解为_____． 【答案】0，﹣2． 【解析】 【分析】本题应对方程进行变形，提取公因式x，将原式化为两式相乘的形式，再根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0”来解题． 【详解】x2+2x＝0, x（x+2）＝0, ∴x＝0或x+2＝0, ∴x＝0或﹣2,故本题的答案是0，﹣2． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．本题运用的是因式分解法． 14. 已知点A（4，y1），B（2，y2），C（-2，y3）都在二次函数y=(x-2)2-1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是____. 【答案】y3＞y1＞y2 【解析】 【分析】分别计算自变量为4、2、-2对应的函数值，然后比较函数值的大小即可． 【详解】当x=4，y1=（x-2）2-1=（4-2）2-1=3； 当x=2，y2=（x-2）2-1=（2-2）2-1=-1； 当x=-2，y3=（x-2）2-1=（-2-2）2-1=15， 所以y2＜y1＜y3． 故答案为y2＜y1＜y3． 15. 某县政府2012年投资0.5亿元用于保障性房建设，计划到2014年投资保障性房建设的资金为0.98亿元．如果从2012年到2014年投资此项目资金的年增长率相同，那么年增长率是____． 【答案】40%. 【解析】 【详解】解：设这两年中投入资金的平均年增长率是，由题意得： 解得：（不合题意） 答：这两年中投入资金的平均年增长率约是40%． 故答案为：40% 16. 如图，我们把抛物线y=﹣x（x﹣3）（0≤x≤3）记为C1，它与x轴交于点O，A1将C1绕点A1旋转180°得C2，交x 轴于另一点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x 轴于另一点A3；…；如此进行下去，直至得C2016．①C1的对称轴方程是_____；②若点P（6047，m）在抛物线C2016上，则m=_____． 【答案】 ①. ， ②. -2 【解析】 【分析】根据对称轴公式即可求得对称轴方程，观察图形可知第偶数号抛物线都在x轴下方，然后求出到抛物线C2016平移的距离，再根据向右平移横坐标加表示出抛物线C2016的解析式，然后把点P的坐标代入计算即可得解. 【详解】解：∵，∴对称轴，由图可知，抛物线C2016在x轴下方，相当于抛物线C1向右平移3×2015 ＝ 6045个单位得到，∴抛物线C13的解析式为，∵点P（6047，m）在抛物线C2016上，∴，故答案是①，②－2. 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用点的变化确定函数图象的变化更简便，掌握平移的规律：左加右减，上加下减是解决本题的关键. 三、解答题（共52分） 17. 解方程： （1） （2） （3） 【答案】（1）， （2）， （3）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程， （1）利用因式分解法解方程即可； （2）用直接开平方法解方程即可； （3）先移项，再利用因式分解法解方程即可； 熟练掌握解方程的方法和步骤是解题的关键． 【小问1详解】 解： ∴或 ∴， 【小问2详解】 ∴， 【小问3详解】 ∴或 ∴， 18. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点都在格点上，点的坐标为． （1）把向上平移5个单位后得到对应的，画出，并写出的坐标.（不要求写作法） （2）以原点为对称中心，再画出关于原点对称的，并写出的坐标．（不要求写作法） （3）画出△ABC绕原点O顺时针旋转90°得到的△A3B3C3，并写出的C3坐标.（不要求写作法） 【答案】 （1）如图所示，的坐标为； （2）如图所示，的坐标； （3）如图所示，的坐标； 【解析】 【分析】（1）将A，B，C按平移条件找到它的对应点。顺次连接，即可得到图形； （2）利用关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分，分别找出A，B，C的对应点，顺次连接即可； （3）利用对应点到旋转中心的距离相等，以及对应点与旋转中心所连接线段夹角等于旋转角，即可做出图形； 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【点睛】本题主要考查了旋转变换与平移变换，准确作图是解题的关键． 19. 特产店销售一种水果，其进价每千克40元，按60元出售，平均每天可售100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天可增加20千克销量． （1）若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，每千克水果应降多少元？ （2）若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利最大，每千克水果应降多少元？ 【答案】（1）每千克核桃应降价4元或6元；（2）若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利最大，每千克水果应降价5元． 【解析】 【分析】(1)设每千克核桃降价x元,利用销售量每件利润=2240元列出方程求解即可; (2)根据已知得出销量乘以每千克利润=总利润进而得出函数关系式,再利用配方法求出即可 解答 【详解】解：（1）设每千克核桃应降价元． 根据题意，得． 化简，得， 解得． 答：每千克核桃应降价4元或6元． （2）每天总利润与降价元的函数关系式为： ， ， ， ， 当时，最大， 答：若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利最大，每千克水果应降价5元． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用和二次函数的应用，解题关键在于列出方程 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两实根为、，且，求的值． 【答案】（1） 证明：关于的一元二次方程， ， ， ， ， ， 则方程有两个不相等的实数根； （2）或 【解析】 【分析】（1）表示出根的判别式，判断其正负即可作出判断； （2）利用根与系数的关系表示出两根之积与两根之和，已知等式变形代入计算即可求出的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由根与系数的关系可得：，， ， ，即， 整理得：，即， 或， 解得：或． 【点睛】此题考查了根与系数的关系，根的判别式，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键． 21. 已知一抛物线与x轴的交点是A（－2，0）、B（1，0），且经过点C（2，8），求该抛物线的解析式. 【答案】y＝2x2＋2x－4 【解析】 【分析】由抛物线与x轴的交点是A（-2，0），B（1，0），且经过点C（2，8），设解析式为一般式或交点式用待定系数法求得二次函数的解析式． 【详解】设这个抛物线的解析式为y=ax2+bx+c. 由已知,抛物线过A(−2,0),B(1,0),C(2,8)三点， 得， ①+③得，8a+2c=8，即4a+c=4④， ①+②×2得6a+3c=0⑤， ④×3−⑤得，6a=12，即a=2，把a=2代入④得，c=−4， 把a=6,c=−4代入②得,b=2, 故 ∴所求抛物线的解析式为y=2x2+2x−4. 【点睛】本题考查求二次函数的解析式.根据题意列方程组，求出二次函数的系数是解题的关键. 22. 如图，是的直径，于点，连接交于点． （1）求证：． （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：是的直径， ， ． ， ， ， ． 又， ， ， ， ； （2）16 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理、直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理．注意数形结合思想与方程思想的应用． （1）要证明，可以证明；是的直径，则，又知，则，则，，则； （2）连接，交于点，先求出圆的半径，再利用勾股定理列方程求出的长，进而求得的长和的长． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：连接，交于点， ， ，， ，，， ， 的半径为10， 设，则， 由勾股定理，得， 即， 解得， ， ． 23. 如图所示，二次函数y=－mx2＋4m的顶点坐标为(0，2)，矩形ABCD的顶点B，C在x轴上，A、D在抛物线上，矩形ABCD在抛物线与x轴所围成的图形内，且点A在点D的左侧． （1）求二次函数的解析式； （2）设点A的坐标为(x，y)，试求矩形ABCD的周长p关于自变量x的函数解析式，并求出自变量x的取值范围； （3）是否存在这样的矩形ABCD，使它的周长为9？试证明你的结论． 【答案】（1）； （2）p=－x2－4x+4，其中－2＜x＜2； （3）不存在， 证明：假设存在这样的p，即： 9=﹣（x+2）2+8， 此方程无解，所以不存在这样的p． 【解析】 【分析】（1）由顶点坐标（0，2）可直接代入y=﹣mx2+4m，求得m=，即可求得抛物线的解析式；（2）由图及四边形ABCD为矩形可知AD∥x轴，长为2x的据对值，AB的长为A点的总坐标，由x与y的关系，可求得p关于自变量x的解析式，因为矩形ABCD在抛物线里面，所以x小于0，大于抛物线与x负半轴的交点；（3）由（2）得到的p关于x的解析式，可令p=9，求x的方程，看x是否有解，有解则存在，无解则不存在，显然不存在这样的p． 【详解】解：（1）∵二次函数y=﹣mx2+4m的顶点坐标为（0，2）， ∴4m=2， 即m=， ∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+2； （2）∵A点在x轴的负方向上坐标为（x，y），四边形ABCD为矩形，BC在x轴上， ∴AD∥x轴， 又∵抛物线关于y轴对称， ∴D、C点关于y轴分别与A、B对称． ∴AD的长为2x，AB长为y， ∴周长p=2y+4x=2（﹣x2+2）﹣4x=﹣（x+2）2+8． ∵A在抛物线上，且ABCD组成矩形， ∴x＜2， ∵四边形ABCD为矩形， ∴y＞0， 即x＞﹣2． ∴p=﹣（x+2）2+8，其中﹣2＜x＜2． （3）略 【点睛】本题考查的二次函数与几何矩形相结合的应用，比较综合，只要熟练二次函数的性质，数形结合，此题算是中档题，考点还是比较基础的，数形结合得出是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 赛罕区2024-2025学年度第一学期期中九年级学业质量监测 数 学 注意事项： 1．考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡的规定位置． 2．考生要将答案写在答题卡上，在试卷上答题一律无效．考试结束后，将答题卡交回． 3．本试卷满分 100分．考试时间90分钟． 一、单选题（每题3分，共24分） 1. 如图，是的外接圆，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程中，不是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的方程是（ ） A. B. C. D. 4. 下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，将绕顶点B顺时针旋转得到，且点C刚好落在线段上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，连接BC、BD，下列结论中不一定正确的是（　　） A. AE=BE B. C. OE=DE D. ∠DBC=90° 7. 二次函数的图象如图所示，现有下列结论：①；②；③；④其中m是不等于1的实数．则其中结论正确的个数是多少个（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 已知二次函数，当时，的取值范围是，且该二次函数图象经过点，两点，则的值不可能是（　　） A. 0 B. C. D. 二、填空题（每题3分，共24分） 9. 将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到新抛物线的解析式是_______． 10. 抛物线的顶点坐标是______． 11. 矩形的周长为，设其一边长为，面积为，则与的函数关系式为____，自变量的取值范围是______． 12. 若点P的坐标为，其关于原点对称的点的坐标为，则为______． 13. 方程x2+2x＝0的解为_____． 14. 已知点A（4，y1），B（2，y2），C（-2，y3）都在二次函数y=(x-2)2-1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是____. 15. 某县政府2012年投资0.5亿元用于保障性房建设，计划到2014年投资保障性房建设的资金为0.98亿元．如果从2012年到2014年投资此项目资金的年增长率相同，那么年增长率是____． 16. 如图，我们把抛物线y=﹣x（x﹣3）（0≤x≤3）记为C1，它与x轴交于点O，A1将C1绕点A1旋转180°得C2，交x 轴于另一点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x 轴于另一点A3；…；如此进行下去，直至得C2016．①C1的对称轴方程是_____；②若点P（6047，m）在抛物线C2016上，则m=_____． 三、解答题（共52分） 17. 解方程： （1） （2） （3） 18. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点都在格点上，点的坐标为． （1）把向上平移5个单位后得到对应的，画出，并写出的坐标.（不要求写作法） （2）以原点为对称中心，再画出关于原点对称的，并写出的坐标．（不要求写作法） （3）画出△ABC绕原点O顺时针旋转90°得到的△A3B3C3，并写出的C3坐标.（不要求写作法） 19. 特产店销售一种水果，其进价每千克40元，按60元出售，平均每天可售100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天可增加20千克销量． （1）若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，每千克水果应降多少元？ （2）若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利最大，每千克水果应降多少元？ 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两实根为、，且，求的值． 21. 已知一抛物线与x轴的交点是A（－2，0）、B（1，0），且经过点C（2，8），求该抛物线的解析式. 22. 如图，是的直径，于点，连接交于点． （1）求证：． （2）若，求的长． 23. 如图所示，二次函数y=－mx2＋4m的顶点坐标为(0，2)，矩形ABCD的顶点B，C在x轴上，A、D在抛物线上，矩形ABCD在抛物线与x轴所围成的图形内，且点A在点D的左侧． （1）求二次函数的解析式； （2）设点A的坐标为(x，y)，试求矩形ABCD的周长p关于自变量x的函数解析式，并求出自变量x的取值范围； （3）是否存在这样的矩形ABCD，使它的周长为9？试证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $