精品解析：广东省东莞市翰林实验学校2024～2025学年八年级上学期期中考试数学试卷

2024—2025学年第一学期期中教学评估监测卷 八年级数学 本试卷共4页，23小题，满分120分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自已的准考证号、姓名、试室号和座位号．用2B铅笔把对应号码的标号涂黑． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 习近平总书记：“文化是一个国家、一个民族的灵魂．文化兴国运兴，文化强民族强．没有高度的文化自信，没有文化的繁荣兴盛，就没有中华民族伟大复兴．”下列甲骨文中，可看作轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形的定义．根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选A． 2. 埃菲尔铁塔是巴黎城市地标之一，也是巴黎最高的建筑物，总高324米，如图所示，在埃菲尔铁塔的设计中运用了大量的三角形的结构，你能从中推断出其运用的数学原理是（ ） A. 三角形的不稳定性 B. 三角形的稳定性 C. 三角形两边之和大于第三边 D. 两点之间线段最短 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形具有稳定性，解题的关键是熟练的掌握三角形形状对结构的影响．根据三角形结构具有稳定性作答即可． 【详解】解：其数学道理是三角形结构具有稳定性． 故选：B． 3. 根据图中的数据，可得的值为（ ） A. 180 B. 110 C. 100 D. 70 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的内角和定理即可求得． 【详解】 即 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，比较简单． 4. 如图，△AOC≌△DOB，AO＝3，则下列线段长度正确的是（　　） A. AB＝3 B. BO＝3 C. DB＝3 D. DO＝3 【答案】D 【解析】 【分析】根据全等三角形的对应边相等，即可求解． 【详解】解：∵△AOC≌△DOB，AO＝3， ∴DO=AO=3． 故选：D 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应边相等，对应角相等是解题的关键． 5. 点关于轴对称的点的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化－轴对称．根据关于y轴对称的点的纵坐标相等，横坐标互为相反数求解即可． 【详解】解：点关于轴对称的点的坐标为， 故选：B． 6. 如阁，、分别是的高，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查利用面积法求三角形的高．利用三角形的面积公式，表示出的面积，即，便可求出的长． 【详解】解：、分别是的高，， ∴， ∴． 故选：C． 7. 如图，已知平分，是上一点，于，若，则点与射线上某一点连线的长度可以是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质，垂线段最短，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 过点作于点，设点为上某一点，连接，由角平分线的性质推出，由垂线段最短得到，即可得到答案． 【详解】解：过点作于点，设点为上某一点，连接， ∵平分，于， ∴， ∵， ∴点与射线上某一点连线的长度可以是． 故选：B． 8. 有一个教具是由两根细小的直木棒和一根橡皮筋制作而成，都可绕点A在同一个平面内旋转，端点由橡皮筋连接，如果，那么的长度的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，是基础题，熟记三边关系是解题的关键．根据三角形三边关系求解即可． 【详解】解：在点A的同一侧且在同一条直线上时最短，为， 分别在点A的两侧且在同一条直线上时最长，为． 故的长度的取值范围是， 故选：B 9. 如图， 已知在和中，，．则添加下列条件不能使和全等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，通过已知条件和添加的条件逐一判断每个选项能否证明两个三角形全等，再选出正确答案即可． 【详解】解：∵， ∴，即， A项：添加，可利用证明和全等，不符合题意； B项：添加，不能证明和全等，符合题意； C项：添加，可利用证明和全等，不符合题意； D项：添加，可利用证明和全等，不符合题意． 故选：B． 10. 如图，起重机在工作时，起吊物体前机械臂与操作台的夹角，支撑臂为的平分线．物体被吊起后，机械臂的位置不变，支撑臂绕点旋转一定的角度并缩短，此时，增大了，则的变化情况为（ ）    A. 增大 B. 减小 C. 增大 D. 减小 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形三角形外角的性质及角平分线的定义，起吊物体前，设，根据题意可得，则，物体被吊起后，可得，增大了，由即可解答． 【详解】解：起吊物体前，设， ，支撑臂为的平分线， ， ； 物体被吊起后， 机械臂的位置不变，，， ， 增大了， ， ， ， 的变化情况为增大． 故选：C． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 如图，是的中线，，则的长为__________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中线的定义，熟练掌握三角形中线定义，是解题的关键．根据三角形中线的定义得出． 【详解】解：∵是的中线，， ∴． 故答案为：3． 12. 的发现使人类了解到一个全新的碳世界．如图是的分子结构图，包括个正六边形和个正五边形，其中正五边形的一个外角的大小是______． 【答案】##72度 【解析】 【分析】本题考查了正多边形内角和外角的关系，先求出正五边形的内角和，再根据正五边形的每个内角都相等求解即可，熟练掌握多边形的内角和计算公式是解题的关键． 【详解】解：∵正五边形的内角和为：， ∴每一内角的度数为：， ∴正五边形的一个外角的大小是， 故答案为：． 13. 如图，在中，是的垂直平分线.若，，则的周长是______. 【答案】13 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，即可求解． 【详解】解：是的垂直平分线． ， ， 的周长， 故答案为：13． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 14. 脊柱侧弯是指脊柱的一个或数个节段向侧方弯曲或伴有椎体旋转的脊柱畸形，医学上常用角来评估脊柱侧弯的程度，当角为脊柱侧弯．如图是脊柱侧弯角的检测示意图，于点，于点，已知角为，则的大小是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，垂直的定义，对顶角相等，由得，则根据直角三角形的性质可求出，同理，最后由对顶角相等即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在中，，，的平分线与的外角平分线交于点D，连接，则的度数为______． 【答案】##52度 【解析】 【分析】此题综合考查了角平分线的性质以及三角形内角和定理，解此题的关键是求出平分，难度适中．由角平分线的性质可得，，从而得出， 从而证得平分，再求得，，最后根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：作，垂足分别为点， 平分，， ， 平分，， ， ， 平分， ，， ，， ，， ， 故答案为： 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 如图，，、分别为和上的点．求证：． 【答案】 证明：， ， ∵、分别为和上的点， ， ． 【解析】 【分析】本题主要考查的是全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的性质． 先由得出，即可得到． 【详解】略 17. 如图，在中，的平分线交于点E，，．求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查垂直的定义，角平分线的定义，三角形内角和定理等知识点，先根据角平分线的定义求出，然后根据垂直的定义和三角形内角和定理即可求解即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）作关于x轴对称的，点A，B，C的对应点分别为，，； （2）直接写出点，的坐标（______，______），（______，______）． 【答案】（1）即为所求 （2），；，． 【解析】 【分析】本题主要考查在平面直角坐标系中，点关于坐标轴对称的问题，熟练掌握点关于坐标轴对称点的特征是解答本题的关键． （1）根据已知点关于x轴对称的点，找到、、，依次连接即可得到； （2）由（1）分析可得． 【小问1详解】 解：∵点关于轴对称的点的坐标特征为， ∴，，，关于轴对称的点分别为 ，，． 在平面直角坐标系中描出、、依次连接，如图． 【小问2详解】 ，． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，，线段经过线段的中点E，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∵为的中点， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定和性质，证明出垂直平分，即可得解，熟练掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解此题的关键． 【详解】略 20. 已知：，． （1）作图：作射线，使射线与交于点，且．（请用直尺、圆规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）请根据你的作图，说明的道理． （3）若在中，，，则的面积为_________． 【答案】（1） 如图，射线即为所求． （2） 如图，连接， （3）． 【解析】 【分析】（）根据角平分线的基本作法作图； （）连接，通过证明即可； （）过作于点，则，然后由面积公式即可求解； 本题考查了尺规作图——作角平分线，全等三角形的判定及性质，角平分线的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由作图可知：，， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，过作于点， 由作图可知平分， ∵，即， ∴， ∴的面积为， 故答案为：． 21. 如图，中，为上一点，为延长线上一点，且，过点作于点，过点作交的延长线于点，且，连交边于．求证： （1）； （2）． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴在与中， ， ； （2） 证明：由（1）知， ， ∵，， ， 在与中， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质．熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题的关键． （1）由“”可证； （2）先由（1）可知，证，从而由三角形全等的性质可得，然后由线段的和差即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 问题背景：“半角模型”问题．如图1，在四边形中，，，，点E，F分别是上的点，且，连接，探究线段之间的数量关系． （1）探究发现：小明同学的方法是延长到点G．使．连结，先证明，再证明，从而得出结论：_____________； （2）拓展延伸：如图2，在四边形中，，，E、F分别是边上的点，且，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由． （3）尝试应用：如图3，在四边形中，，，E、F分别是边延长线上的点，且，请探究线段具有怎样的数量关系，并证明． 【答案】（1） （2） 解：（1）中的结论仍然成立． 理由是：如图2，延长到，使，连接． ，， ， 在与中， ， ， ，， ． ． 又， ， ． ． ， （3） 解：结论：． 证明：如图③中，在上截取，使，连接． ∵， ∴． 在与中， ， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】（1）延长到点G．使．连接，利用全等三角形的性质解决问题即可； （2）延长到，使，连接．证明，由全等三角形的性质得出，，再得到，再利用全等三角形的性质则可得出结论； （3）在上截取，使，连接．证明．由全等三角形的性质得出．证明，由全等三角形的性质得出结论． 【小问1详解】 解：． 延长到点G．使．连接， ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵． ∴． 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形全等的判定和性质等知识，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形解决问题． 23. 【阅读理解】 中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线” 等条件时，可以考虑做辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求 的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法” 【初步感知】 （1）如图1，在中 ，，，D是 的中点，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到 点E，使 ，连 接．可以判定， 从而得到．这样就能把线段、、 集中在中，利用三角形三边的关系，即可求出中线的取值范围是______ (请直接写出答案) 【实践应用】 （2）为了测量学校旗杆和教学楼顶端之间的距离，学习小组设计了如图2所示的测量方案，他们首先取地面的中点D，用测角仪测得此时，测得旗杆高度， 教学楼高度，求 的长 ． 【拓展探究】 ( 3 ) 如 图 3 ， 和 均为等腰直角三角形，连接，，点 F 是 的中点，连接并延长，与 相交于点G．试探究： 和 的数量关系和位置关系并说明理由． 【答案】（1）；（2）； （3），，理由如下： 如图，延长，使，连接， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）延长到点，使，根据定理证明，可得结论； （2）如图，延长交于点．证明，得出，，再进一步结合线段的垂直平分线的性质，即可证明结论． （3）如图，延长，使，连接，证明，可得，，，再证明，可得，，在进一步可得结论． 【详解】解：（1）如图，延长到点，使， ∵是的中点， ， ， ， ， 在中，， ， ； （2）如图，延长交于点， ∵的中点为D， ∴， ∵由题意可得：， 而， ∴， ∴，， ∵，， ∴，是的垂直平分线， ∴； （3）略 【点睛】本题考查的是三角形的三边关系的应用，全等三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的定义与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年第一学期期中教学评估监测卷 八年级数学 本试卷共4页，23小题，满分120分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自已的准考证号、姓名、试室号和座位号．用2B铅笔把对应号码的标号涂黑． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 习近平总书记：“文化是一个国家、一个民族的灵魂．文化兴国运兴，文化强民族强．没有高度的文化自信，没有文化的繁荣兴盛，就没有中华民族伟大复兴．”下列甲骨文中，可看作轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 埃菲尔铁塔是巴黎城市地标之一，也是巴黎最高的建筑物，总高324米，如图所示，在埃菲尔铁塔的设计中运用了大量的三角形的结构，你能从中推断出其运用的数学原理是（ ） A. 三角形的不稳定性 B. 三角形的稳定性 C. 三角形两边之和大于第三边 D. 两点之间线段最短 3. 根据图中的数据，可得的值为（ ） A. 180 B. 110 C. 100 D. 70 4. 如图，△AOC≌△DOB，AO＝3，则下列线段长度正确的是（　　） A. AB＝3 B. BO＝3 C. DB＝3 D. DO＝3 5. 点关于轴对称的点的坐标为（　　） A. B. C. D. 6. 如阁，、分别是的高，，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知平分，是上一点，于，若，则点与射线上某一点连线的长度可以是（　　） A. B. C. D. 8. 有一个教具是由两根细小的直木棒和一根橡皮筋制作而成，都可绕点A在同一个平面内旋转，端点由橡皮筋连接，如果，那么的长度的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 如图， 已知在和中，，．则添加下列条件不能使和全等的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，起重机在工作时，起吊物体前机械臂与操作台的夹角，支撑臂为的平分线．物体被吊起后，机械臂的位置不变，支撑臂绕点旋转一定的角度并缩短，此时，增大了，则的变化情况为（ ）    A. 增大 B. 减小 C. 增大 D. 减小 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 如图，是的中线，，则的长为__________． 12. 的发现使人类了解到一个全新的碳世界．如图是的分子结构图，包括个正六边形和个正五边形，其中正五边形的一个外角的大小是______． 13. 如图，在中，是的垂直平分线.若，，则的周长是______. 14. 脊柱侧弯是指脊柱的一个或数个节段向侧方弯曲或伴有椎体旋转的脊柱畸形，医学上常用角来评估脊柱侧弯的程度，当角为脊柱侧弯．如图是脊柱侧弯角的检测示意图，于点，于点，已知角为，则的大小是______． 15. 如图，在中，，，的平分线与的外角平分线交于点D，连接，则的度数为______． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 如图，，、分别为和上的点．求证：． 17. 如图，在中，的平分线交于点E，，．求的度数． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）作关于x轴对称的，点A，B，C的对应点分别为，，； （2）直接写出点，的坐标（______，______），（______，______）． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，，线段经过线段的中点E，求证：． 20. 已知：，． （1）作图：作射线，使射线与交于点，且．（请用直尺、圆规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）请根据你的作图，说明的道理． （3）若在中，，，则的面积为_________． 21. 如图，中，为上一点，为延长线上一点，且，过点作于点，过点作交的延长线于点，且，连交边于．求证： （1）； （2）． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 问题背景：“半角模型”问题．如图1，在四边形中，，，，点E，F分别是上的点，且，连接，探究线段之间的数量关系． （1）探究发现：小明同学的方法是延长到点G．使．连结，先证明，再证明，从而得出结论：_____________； （2）拓展延伸：如图2，在四边形中，，，E、F分别是边上的点，且，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由． （3）尝试应用：如图3，在四边形中，，，E、F分别是边延长线上的点，且，请探究线段具有怎样的数量关系，并证明． 23. 【阅读理解】 中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线” 等条件时，可以考虑做辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求 的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法” 【初步感知】 （1）如图1，在中 ，，，D是 的中点，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到 点E，使 ，连 接．可以判定， 从而得到．这样就能把线段、、 集中在中，利用三角形三边的关系，即可求出中线的取值范围是______ (请直接写出答案) 【实践应用】 （2）为了测量学校旗杆和教学楼顶端之间的距离，学习小组设计了如图2所示的测量方案，他们首先取地面的中点D，用测角仪测得此时，测得旗杆高度， 教学楼高度，求 的长 ． 【拓展探究】 ( 3 ) 如 图 3 ， 和 均为等腰直角三角形，连接，，点 F 是 的中点，连接并延长，与 相交于点G．试探究： 和 的数量关系和位置关系并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $