专题8.6 抛物线（模拟+真题精练）-备战2025年高考数学一轮复习题型精讲与精练（新高考通用）

专题8.6 抛物线 一、选择题（每小题5分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．（2024·广东·模拟预测）已知抛物线，则抛物线的焦点到准线的距离是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·浙江金华·一模）已知点为抛物线：的焦点，点在抛物线上，且，则抛物线的方程为（   ） A． B． C． D． 3．（2024·四川南充·一模）已知抛物线的焦点为F，抛物线上一点满足，则抛物线方程为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·江西九江·二模）已知抛物线过点，为的焦点，点为上一点，为坐标原点，则（    ） A．的准线方程为 B．的面积为1 C．不存在点，使得点到的焦点的距离为2 D．存在点，使得为等边三角形 5．（24-25高三上·河南焦作·开学考试）已知点在抛物线上，则C的焦点与点之间的距离为（    ） A．4 B． C．2 D． 6．（2024·北京海淀·三模）已知抛物线的焦点为F、点M在抛物线上，MN垂直y轴于点N，若，则的面积为（    ） A．8 B． C． D． 7．（2024·北京大兴·三模）已知抛物线的焦点为F，过F且斜率为的直线与直线交于点A，点M在抛物线上，且满足，则（   ） A．1 B． C．2 D． 8．（2024·北京西城·三模）点F抛物线的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若，则（    ） A．2 B． C．3 D． 9．（2024·江西新余·二模）已知点在抛物线C：上，F为抛物线的焦点，则（O为坐标原点）的面积是（    ） A． B．1 C．2 D．4 10．（2024·山东青岛·二模）抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为（   ） A． B． C． D． 二、多选题（每小题6分，在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.） 11．（2024·广西来宾·模拟预测）已知抛物线，过的焦点作直线，若与交于两点，，则下列结论正确的有（    ） A． B． C．或 D．线段中点的横坐标为 12．（2024·陕西西安·一模）已知O为坐标原点，点在抛物线上，抛物线的焦点为F，过点的直线l交抛物线C于P，Q两点（点P在点B，Q的之间），则（    ） A．直线与抛物线C相切 B． C．若P是线段的中点，则 D．存在直线l，使得 13．（2024·江苏苏州·模拟预测）对于抛物线 F 是它的焦点，γ的准线与轴交于 T，过点 T 作斜率为的直线与γ依次交于 B、A两点，使得恰有 ，下列说法正确的是（    ） A． 是定值， 不是定值 B． 不是定值， 也不是定值 C． 两点横坐标乘积为定值 D．记 AB 中点为 M， 则 M 和A 横坐标之比为定值 14．（2024·河南周口·模拟预测）已知抛物线的焦点为，过点的动直线与交于M，N两点，则下列说法正确的是（   ） A． B．若，则 C．为定值 D．为钝角三角形 三、填空题（每小题5分，把答案填在答题卡中的横线上.） 15．（2024·北京·模拟预测）设双曲线（）的右顶点为F，且F是抛物线的焦点．过点F的直线l与抛物线交于A，B两点，满足，若点A也在双曲线C上，则双曲线C的离心率为 ． 16．（2024·江西·一模）已知点是抛物线上一点，且点P到C的焦点距离为2，则 ． 17．（2024·陕西宝鸡·三模）抛物线过点，则点到抛物线准线的距离为 ． 18．（2024·河南·二模）抛物线的焦点为为上一点，为轴正半轴上一点，若是等边三角形，则直线的斜率为 ， . 19．（2024·天津河西·二模）已知抛物线的焦点为，圆与直线相切，且与圆相切于点，则符合要求的圆的方程为 .（写出一个即可） 20．（2024·天津河北·二模）已知抛物线上有一点，且点在第一象限，以为圆心作圆，若该圆经过抛物线的顶点和焦点，那么这个圆的方程为 . 四、填空题（解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 21．（2024·河北石家庄·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，A是抛物线上横坐标为2且位于x轴上方的点，A到抛物线焦点的距离为． (1)求抛物线C的方程； (2)若过点F的直线l交抛物线C于B、D两点（异于O点），连接、，若，求的长． 22．（2024·浙江台州·一模）已知抛物线的焦点为，准线为，双曲线的左焦点为T． (1)求的方程和双曲线的渐近线方程； (2)设为抛物线和双曲线的一个公共点，求证：直线与抛物线相切； (3)设为上的动点，且直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，直线与抛物线交于不同的两点，判断是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 23．（2024·云南·模拟预测）抛物线的图象经过点，焦点为，过点且倾斜角为的直线与抛物线交于点，，如图．    (1)求抛物线的标准方程； (2)当时，求弦的长； (3)已知点，直线，分别与抛物线交于点，．证明：直线过定点． 24．（2024·山西太原·二模）已知抛物线C：（）的焦点为F，过点且斜率为1的直线经过点F． (1)求抛物线C的方程； (2)若A，B是抛物线C上两个动点，在x轴上是否存在定点M（异于坐标原点O），使得当直线AB经过点M时，满足？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 1．（2023·北京·高考真题）已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 2．（2022·全国·高考真题）设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（    ） A．2 B． C．3 D． 3．（2021·全国·高考真题）抛物线的焦点到直线的距离为，则（    ） A．1 B．2 C． D．4 4．（2021·天津·高考真题）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 5．（2020·全国·高考真题）已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（    ） A．2 B．3 C．6 D．9 6．（2020·北京·高考真题）设抛物线的顶点为，焦点为，准线为．是抛物线上异于的一点，过作于，则线段的垂直平分线（    ）． A．经过点 B．经过点 C．平行于直线 D．垂直于直线 7．（2023·全国·高考真题）（多选题）设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（    ）． A． B． C．以MN为直径的圆与l相切 D．为等腰三角形 8．（2022·全国·高考真题）（多选题）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（    ） A．直线的斜率为 B． C． D． 9．（2024·上海·高考真题）已知抛物线上有一点到准线的距离为9，那么点到轴的距离为 ． 10．（2024·天津·高考真题）已知圆的圆心与抛物线的焦点重合，且两曲线在第一象限的交点为，则原点到直线的距离为 ． 11．（2022·全国·高考真题）设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，． (1)求C的方程； (2)设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程． 12．（2021·全国·高考真题）抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l：交C于P，Q两点，且．已知点，且与l相切． （1）求C，的方程； （2）设是C上的三个点，直线，均与相切．判断直线与的位置关系，并说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题8.6 抛物线 一、选择题（每小题5分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．（2024·广东·模拟预测）已知抛物线，则抛物线的焦点到准线的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】抛物线定义的理解、根据抛物线的方程求参数 【分析】根据抛物线方程求出，由抛物线定义可得解. 【详解】由抛物线可得， 所以，， 故抛物线的焦点到准线的距离是. 故选：B 2．（2024·浙江金华·一模）已知点为抛物线：的焦点，点在抛物线上，且，则抛物线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】根据抛物线上的点求标准方程 【分析】根据抛物线的定义，结合已知条件，求得，即可求得抛物线方程. 【详解】根据题意，连接，过作垂直于抛物线的准线，垂足为，作图如下：    由抛物线定义可知，解得， 故抛物线方程为：. 故选：C. 3．（2024·四川南充·一模）已知抛物线的焦点为F，抛物线上一点满足，则抛物线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】抛物线的焦半径公式 【分析】由抛物线的焦半径公式可得，即可求得，从而求解. 【详解】由题意，得，即， 所以抛物线方程为. 故选：D. 4．（2024·江西九江·二模）已知抛物线过点，为的焦点，点为上一点，为坐标原点，则（    ） A．的准线方程为 B．的面积为1 C．不存在点，使得点到的焦点的距离为2 D．存在点，使得为等边三角形 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、根据抛物线上的点求标准方程 【分析】求解抛物线方程，得到准线方程，判断A；求解三角形的面积判断B；利用．判断C；判断的位置，推出三角形的形状，判断D． 【详解】由题意抛物线过点，可得，所以抛物线方程为，所以准线方程为，A错误； 可以计算，B正确； 当时，点到的焦点的距离为2，C错误； 为等边三角形，可知的横坐标为：，当时，纵坐标为：， 则，则为等腰三角形，不是等边三角形，故等边三角形的点不存在，所以D错误． 故选：B． 5．（24-25高三上·河南焦作·开学考试）已知点在抛物线上，则C的焦点与点之间的距离为（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】求平面两点间的距离、根据抛物线上的点求标准方程 【分析】根据在抛物线上可求的值，求出焦点坐标后结合距离公式可得正确的选项. 【详解】因为在抛物线上，故， 整理得到：即， 解得或（舍），故焦点坐标为， 故所求距离为， 故选：D. 6．（2024·北京海淀·三模）已知抛物线的焦点为F、点M在抛物线上，MN垂直y轴于点N，若，则的面积为（    ） A．8 B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】三角形面积公式及其应用、抛物线定义的理解、抛物线的焦半径公式、抛物线中的三角形或四边形面积问题 【分析】确定抛物线的焦点和准线，根据得到，计算面积得到答案. 【详解】 因为抛物线的焦点为，准线方程为， 所以，故， 不妨设在第一象限，故， 所以. 故选：C. 7．（2024·北京大兴·三模）已知抛物线的焦点为F，过F且斜率为的直线与直线交于点A，点M在抛物线上，且满足，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】抛物线定义的理解、抛物线的焦半径公式 【分析】由题意先求出过F且斜率为的直线方程，进而可求出点，接着结合点M在抛物线上且可求出，从而根据焦半径公式即可得解. 【详解】由题意可得，故过F且斜率为的直线方程为， 令，则由题， 因为，所以垂直于直线，故， 又M在抛物线上，所以由， 所以. 故选：C. 8．（2024·北京西城·三模）点F抛物线的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若，则（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】抛物线定义的理解、抛物线的焦半径公式 【分析】设，根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，再由可得为的重心，从而可求出，再根据抛物线的定义可求得结果. 【详解】设， 由，得，所以，准线方程为， 因为，所以为的重心， 所以，所以， 所以 ， 故选：C 9．（2024·江西新余·二模）已知点在抛物线C：上，F为抛物线的焦点，则（O为坐标原点）的面积是（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】根据抛物线上的点求标准方程、抛物线中的三角形或四边形面积问题 【分析】将点代入抛物线的方程，即可求解，再结合抛物线的公式，即可求解 【详解】点在抛物线上，为抛物线的焦点， ，解得， 故抛物线的方程为，,， 则的面积． 故选：A． 10．（2024·山东青岛·二模）抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求点到直线的距离、已知方程求双曲线的渐近线、根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】由已知可得，抛物线的焦点坐标为，双曲线的渐近线方程为，再由点到直线的距离公式即可求得距离. 【详解】由，得焦点坐标为，又双曲线渐近线方程为， 即，则由点到直线的距离公式得. 故选：A. 二、多选题（每小题6分，在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.） 11．（2024·广西来宾·模拟预测）已知抛物线，过的焦点作直线，若与交于两点，，则下列结论正确的有（    ） A． B． C．或 D．线段中点的横坐标为 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】根据焦点或准线写出抛物线的标准方程、与抛物线焦点弦有关的几何性质、直线与抛物线交点相关问题、根据韦达定理求参数 【分析】由直线，可知焦点，得的值和抛物线方程，可判断A选项；直线方程代入抛物线方程，由韦达定理结合，求出两点坐标和的值，结合韦达定理和弦长公式判断选项BCD. 【详解】抛物线的焦点在轴上， 过作直线，可知，则，得，A选项正确； 抛物线方程为，直线的方程代入抛物线方程，得. 设，，由韦达定理有，， ，得，解得或， ，则或，C选项错误； 则，线段中点的横坐标为，D选项正确； ，，B选项正确. 故选：ABD. 12．（2024·陕西西安·一模）已知O为坐标原点，点在抛物线上，抛物线的焦点为F，过点的直线l交抛物线C于P，Q两点（点P在点B，Q的之间），则（    ） A．直线与抛物线C相切 B． C．若P是线段的中点，则 D．存在直线l，使得 【答案】AC 【难度】0.4 【知识点】抛物线的焦半径公式、判断直线与抛物线的位置关系、求直线与抛物线的交点坐标、直线与抛物线交点相关问题 【分析】先求抛物线的方程，然后用抛物线方程与直线的方程联立方程组求出交点，可判断A；用直线l的方程与抛物线的方程联立方程组，进而结合韦达定理利用向量的数量积运算可判断B选项；结合中点坐标利用焦半径公式可判断C；由得，进而求的值，从而用来可判断D选项. 【详解】因为点在抛物线上，所以，解得， 即抛物线方程为，焦点. 对于A：直线的方程为，即， 因为，解得，所以直线与抛物线C相切点，故A正确； 对于B：设过点B的直线为l，若直线l与y轴重合，则直线l与抛物线C只有一个交点，不合题意； 所以直线l的斜率存在，设其方程为，， 由，得，则，即或， 于是， 又， 所以，故B错误； 对于C：由焦半径公式可得， 因为P是线段的中点， 所以，整理得，即，故C正确； 对于D：若，则，得 所以，即，解得， 此时，则直线l与抛物线相切，故D错误.    故选：AC. 【点睛】易错点睛：在判断D选项时，求出误以为存在满足题意的直线，事实上这时候直线与抛物线相切，故不存在满足题意的直线. 13．（2024·江苏苏州·模拟预测）对于抛物线 F 是它的焦点，γ的准线与轴交于 T，过点 T 作斜率为的直线与γ依次交于 B、A两点，使得恰有 ，下列说法正确的是（    ） A． 是定值， 不是定值 B． 不是定值， 也不是定值 C． 两点横坐标乘积为定值 D．记 AB 中点为 M， 则 M 和A 横坐标之比为定值 【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、抛物线中的定值问题、直线与抛物线交点相关问题 【分析】由题意可得点的坐标，设直线AB的方程，与抛物线的方程联立，可得两根之和及两根之积，再由，可得点B的坐标，进而可得直线AB的斜率，判断出AB的真假，由两根之积可得A，B的横坐标之积，判断出C的真假，由C选项分析，可得点A的横坐标，及A，B的中点M的横坐标，可得M和A的横坐标之比，判断出D的真假. 【详解】如图， 由题意得，设， 设直线的方程为（不等于0）， 联立，可得， 所以 对于A，由，即， 可得，即， 解得，由，则，可得， 可得的横坐标，即， 可得为定值，故A正确B错误； 对C， 两点横坐标乘积为，不是定值，故C错误； 对D，由题意，的横坐标为 ， 由C选项分析可得点A的横坐标为， 所以为定值，故D正确. 故选：AD 14．（2024·河南周口·模拟预测）已知抛物线的焦点为，过点的动直线与交于M，N两点，则下列说法正确的是（   ） A． B．若，则 C．为定值 D．为钝角三角形 【答案】BCD 【难度】0.4 【知识点】抛物线定义的理解、与抛物线焦点弦有关的几何性质、直线与抛物线交点相关问题、根据韦达定理求参数 【分析】根据题意得到抛物线方程为，对于A，设过点的动直线的方程为，联立抛物线方程，由韦达定理有，，结合弦长公式判断即可；对于BC，由已知得的值，结合抛物线定义、韦达定理即可判断；对于D，只需判断是否成立即可. 【详解】由题意可知，，所以，则，其准线方程为.    对于A，设过点的动直线的方程为，代入得，，， 设，，则，， 则 ，当且仅当时等号成立，A错误； 对于B，由得，，解得， 所以，B正确； 对于C，为定值，C正确； 对于D，，所以为钝角，D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：判断BCD选项的关键在于利用韦达定理、抛物线定义进行适当转换，从而得到想要的结果. 三、填空题（每小题5分，把答案填在答题卡中的横线上.） 15．（2024·北京·模拟预测）设双曲线（）的右顶点为F，且F是抛物线的焦点．过点F的直线l与抛物线交于A，B两点，满足，若点A也在双曲线C上，则双曲线C的离心率为 ． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、根据抛物线方程求焦点或准线、求直线与抛物线的交点坐标 【分析】求出直线的方程，与抛物线方程联立求出点坐标，再结合已知求出双曲线的离心率. 【详解】抛物线的焦点，直线不垂直于轴，设其方程为， 由消去得：，设，则， 由，得，由对称性不妨令点在第一象限，解得，， 由点在双曲线上得，，又，解得， 所以双曲线C的离心率. 故答案为：    16．（2024·江西·一模）已知点是抛物线上一点，且点P到C的焦点距离为2，则 ． 【答案】2 【难度】0.94 【知识点】抛物线定义的理解、根据抛物线方程求焦点或准线、根据抛物线上的点求标准方程 【分析】求出准线方程，由抛物线定义列方程求解即可. 【详解】抛物线准线方程为，则点P到C的焦点距离为，所以． 故答案为：2. 17．（2024·陕西宝鸡·三模）抛物线过点，则点到抛物线准线的距离为 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】抛物线定义的理解、根据抛物线方程求焦点或准线、根据抛物线上的点求标准方程 【分析】将已知点代入抛物线方程求得，结合抛物线定义求解即可. 【详解】由题意，解得，所以抛物线的准线为， 故所求为. 故答案为：. 18．（2024·河南·二模）抛物线的焦点为为上一点，为轴正半轴上一点，若是等边三角形，则直线的斜率为 ， . 【答案】 【难度】0.4 【知识点】抛物线的焦半径公式、直线与抛物线交点相关问题 【分析】设，可得,．设,，结合等边三角形的性质可得，利用，解得，即可得出结论． 【详解】抛物线的焦点为,，准线方程为， 设，则，， 当位于第一象限时，,． 是等边三角形，， 设,， 则， ， 化简得，解得， 当时，， 当时，， 此时,而为轴正半轴上一点，无法使得为等边三角形，故舍去， 当位于第四象限时，,． 是等边三角形，， 设,， 则， ， 化简得，解得， 当时，， 此时,而为轴正半轴上一点，无法使得为等边三角形，故舍去， ， 当时，，， 综上可得，直线的斜率为，或 故答案为：；． 【点睛】方法点睛：有关圆锥曲线弦长、面积问题的求解方法 涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系、设而不求计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解． 19．（2024·天津河西·二模）已知抛物线的焦点为，圆与直线相切，且与圆相切于点，则符合要求的圆的方程为 .（写出一个即可） 【答案】（或） 【难度】0.65 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、由圆的位置关系确定参数或范围、根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】利用抛物线的性质得到，利用圆和圆的位置关系确定圆心坐标，再利用直线与圆相切建立方程，求解即可. 【详解】由题意得，因为圆与直线相切， 且与圆相切于点，所以将代入中， 得到，解得，所以圆方程为， 化为标准方程得到，所以圆心为，半径为1， 所以圆的圆心在轴上，而圆与圆相切， 当圆与圆内切时，设半径为，此时圆心为， 设圆心到直线的距离为，由点到直线的距离公式得， 此时，解得(负根舍去)， 所以此时圆的方程为， 当圆与圆外切时，设半径为，此时圆心为， 设圆心到直线的距离为，由点到直线的距离公式得， 此时，解得(负根舍去)， 所以此时圆的方程为. 故答案为：（或） 20．（2024·天津河北·二模）已知抛物线上有一点，且点在第一象限，以为圆心作圆，若该圆经过抛物线的顶点和焦点，那么这个圆的方程为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】依题设点，，由求出的值，即可求得圆的方程. 【详解】设点，则，若抛物线的顶点为,焦点为， 依题意，,即，解得，， 则圆的圆心为，半径为, 故这个圆的方程为：. 故答案为：. 四、填空题（解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 21．（2024·河北石家庄·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，A是抛物线上横坐标为2且位于x轴上方的点，A到抛物线焦点的距离为． (1)求抛物线C的方程； (2)若过点F的直线l交抛物线C于B、D两点（异于O点），连接、，若，求的长． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】抛物线的焦半径公式、直线与抛物线交点相关问题 【分析】（1）由抛物线上焦半径的计算公式求解出，然后得到抛物线的方程即可； （2）联立直线与抛物线的方程，由韦达定理得到两根之和与两根之积，由，得，即，计算的长即可. 【详解】（1）由题意得，解得，故抛物线方程为． （2）由题意得直线l的斜率不为0，设直线，与 联立得，由韦达定理得，①     设，，过O点作l垂线，垂足为G． 由，得，即 由得②     由①②联立上式得，， ． 22．（2024·浙江台州·一模）已知抛物线的焦点为，准线为，双曲线的左焦点为T． (1)求的方程和双曲线的渐近线方程； (2)设为抛物线和双曲线的一个公共点，求证：直线与抛物线相切； (3)设为上的动点，且直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，直线与抛物线交于不同的两点，判断是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)准线的方程为，双曲线的渐近线方程为 (2)证明见解析 (3)是，． 【难度】0.4 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、根据抛物线方程求焦点或准线、判断直线与抛物线的位置关系、抛物线中的定值问题 【分析】（1）根据抛物线的准线方程及双曲线的渐近线方程即可求解； （2）结合题意联立方程组和，化简即可求解； （3）由题意得，设，联立方程组和，利用韦达定理表示和，化简即可证明. 【详解】（1）准线的方程为，双曲线的渐近线方程为． （2）联立方程组， 消去得，解得（舍负），由对称性，不妨取， 又由，求得直线的方程为， 联立方程组，消去得， 因为，所以直线与抛物线相切． （3）因为，得准线为线段的中垂线， 则直线与直线的倾斜角互补，即， 设，由条件知， 联立方程组，消去得， 则， 联立方程组，消去得， 则， 所以， 故为定值． 【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于或的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有，或，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可求定点、定值、最值问题. 23．（2024·云南·模拟预测）抛物线的图象经过点，焦点为，过点且倾斜角为的直线与抛物线交于点，，如图．    (1)求抛物线的标准方程； (2)当时，求弦的长； (3)已知点，直线，分别与抛物线交于点，．证明：直线过定点． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】根据抛物线上的点求标准方程、求直线与抛物线相交所得弦的弦长、抛物线中的直线过定点问题 【分析】（1）由曲线图象经过点，可得，则得抛物线的标准方程； （2）写出的方程,和抛物线方程联立，消元后，由韦达定理可得，则； （3）设直线的方程为，，，，，和抛物线方程联立，消元后，由韦达定理可得，．直线的方程为，和抛物线方程联立，消元后，由韦达定理可得，同理可得，由，可得，则直线的方程为，由对称性知，定点在轴上，令，可得，则的直线过定点． 【详解】（1）曲线图象经过点，所以，所以， 所以抛物线的标准方程为． （2）由（1）知，当时，,所以的方程为， 联立，得，则， 由，所以弦． （3）由（1）知，直线的斜率不为0，设直线的方程为， ，，，， 联立得，， 因此，． 设直线的方程为，联立得， 则，因此，，得， 同理可得， 所以． 因此直线的方程为， 由对称性知，定点在轴上， 令得， ， 所以，直线过定点． 【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下： (1)“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； (2)“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； (3)求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明. 24．（2024·山西太原·二模）已知抛物线C：（）的焦点为F，过点且斜率为1的直线经过点F． (1)求抛物线C的方程； (2)若A，B是抛物线C上两个动点，在x轴上是否存在定点M（异于坐标原点O），使得当直线AB经过点M时，满足？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在； 【难度】0.65 【知识点】根据抛物线上的点求标准方程、抛物线中存在定点满足某条件问题、直线与抛物线交点相关问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）根据点斜式求解直线方程，即可求解焦点坐标，进而可得， （2）联立直线与抛物线方程得韦达定理，结合向量垂直的坐标运算，即可求解. 【详解】（1）由题意过点且斜率为1的直线方程为，即，令，则， ∴点F的坐标为，∴， ∴．抛物线C的方程为． （2）由（1）得抛物线C：，假设存在定点， 设直线AB的方程为（），，， 由，得， ∴，，， ∵，∴， ∴ ， ∴或（舍去）， 当时，点M的坐标为，满足，， ∴存在定点． 1．（2023·北京·高考真题）已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】抛物线定义的理解 【分析】利用抛物线的定义求解即可. 【详解】因为抛物线的焦点，准线方程为，点在上， 所以到准线的距离为， 又到直线的距离为， 所以，故. 故选：D. 2．（2022·全国·高考真题）设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】抛物线定义的理解、根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点的横坐标，进而求得点坐标，即可得到答案. 【详解】由题意得，，则， 即点到准线的距离为2，所以点的横坐标为， 不妨设点在轴上方，代入得，， 所以. 故选：B 3．（2021·全国·高考真题）抛物线的焦点到直线的距离为，则（    ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】已知点到直线距离求参数、根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得的值. 【详解】抛物线的焦点坐标为， 其到直线的距离：， 解得：(舍去). 故选：B. 4．（2021·天津·高考真题）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、已知方程求双曲线的渐近线、根据抛物线方程求焦点或准线、双曲线中的通径问题 【分析】设公共焦点为，进而可得准线为，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得，再由双曲线离心率公式即可得解. 【详解】设双曲线与抛物线的公共焦点为， 则抛物线的准线为， 令，则，解得，所以, 又因为双曲线的渐近线方程为，所以， 所以，即，所以， 所以双曲线的离心率. 故选：A. 5．（2020·全国·高考真题）已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（    ） A．2 B．3 C．6 D．9 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】根据定义求抛物线的标准方程 【分析】利用抛物线的定义建立方程即可得到答案. 【详解】设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知，即，解得. 故选：C. 【点晴】本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径，考查学生转化与化归思想，是一道容易题. 6．（2020·北京·高考真题）设抛物线的顶点为，焦点为，准线为．是抛物线上异于的一点，过作于，则线段的垂直平分线（    ）． A．经过点 B．经过点 C．平行于直线 D．垂直于直线 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】抛物线定义的理解 【分析】依据题意不妨作出焦点在轴上的开口向右的抛物线，根据垂直平分线的定义和抛物线的定义可知，线段的垂直平分线经过点，即求解. 【详解】如图所示： ． 因为线段的垂直平分线上的点到的距离相等，又点在抛物线上，根据定义可知，，所以线段的垂直平分线经过点. 故选：B. 【点睛】本题主要考查抛物线的定义的应用，属于基础题. 7．（2023·全国·高考真题）（多选题）设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（    ）． A． B． C．以MN为直径的圆与l相切 D．为等腰三角形 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】求直线与抛物线的交点坐标、与抛物线焦点弦有关的几何性质、抛物线定义的理解、根据焦点或准线写出抛物线的标准方程 【分析】先求得焦点坐标，从而求得，根据弦长公式求得，根据圆与等腰三角形的知识确定正确答案. 【详解】A选项：直线过点，所以抛物线的焦点， 所以，则A选项正确，且抛物线的方程为. B选项：设， 由消去并化简得， 解得，所以，B选项错误. C选项：设的中点为，到直线的距离分别为， 因为， 即到直线的距离等于的一半，所以以为直径的圆与直线相切，C选项正确. D选项：直线，即， 到直线的距离为， 所以三角形的面积为， 由上述分析可知， 所以， 所以三角形不是等腰三角形，D选项错误. 故选：AC.    8．（2022·全国·高考真题）（多选题）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（    ） A．直线的斜率为 B． C． D． 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】抛物线定义的理解、求直线与抛物线的交点坐标、数量积的坐标表示、已知两点求斜率 【分析】由及抛物线方程求得，再由斜率公式即可判断A选项；表示出直线的方程，联立抛物线求得，即可求出判断B选项；由抛物线的定义求出即可判断C选项；由，求得，为钝角即可判断D选项. 【详解】对于A，易得，由可得点在的垂直平分线上，则点横坐标为， 代入抛物线可得，则，则直线的斜率为，A正确； 对于B，由斜率为可得直线的方程为，联立抛物线方程得， 设，则，则，代入抛物线得，解得，则， 则，B错误； 对于C，由抛物线定义知：，C正确； 对于D，，则为钝角， 又，则为钝角， 又，则，D正确. 故选：ACD. 9．（2024·上海·高考真题）已知抛物线上有一点到准线的距离为9，那么点到轴的距离为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】抛物线定义的理解、根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】根据抛物线的定义知，将其再代入抛物线方程即可. 【详解】由知抛物线的准线方程为，设点，由题意得，解得， 代入抛物线方程，得，解得， 则点到轴的距离为． 故答案为：． 10．（2024·天津·高考真题）已知圆的圆心与抛物线的焦点重合，且两曲线在第一象限的交点为，则原点到直线的距离为 ． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、求点到直线的距离、由标准方程确定圆心和半径 【分析】先求出圆心坐标，从而可求焦准距，再联立圆和抛物线方程，求及的方程，从而可求原点到直线的距离. 【详解】圆的圆心为，故即， 由可得，故或（舍）， 故，故直线即， 故原点到直线的距离为， 故答案为： 11．（2022·全国·高考真题）设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，． (1)求C的方程； (2)设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程． 【答案】(1)； (2). 【难度】0.4 【知识点】根据抛物线上的点求标准方程、抛物线中的参数范围问题、抛物线的焦半径公式、抛物线中的定值问题 【分析】（1）由抛物线的定义可得，即可得解； （2）法一：设点的坐标及直线，由韦达定理及斜率公式可得，再由差角的正切公式及基本不等式可得，设直线，结合韦达定理可解. 【详解】（1）抛物线的准线为，当与x轴垂直时，点M的横坐标为p， 此时，所以， 所以抛物线C的方程为； （2）[方法一]：【最优解】直线方程横截式 设，直线， 由可得，， 由斜率公式可得，， 直线，代入抛物线方程可得， ，所以，同理可得， 所以 又因为直线MN、AB的倾斜角分别为，所以， 若要使最大，则，设，则， 当且仅当即时，等号成立， 所以当最大时，，设直线， 代入抛物线方程可得， ，所以， 所以直线. [方法二]：直线方程点斜式 由题可知，直线MN的斜率存在. 设,直线 由 得：，,同理，. 直线MD:,代入抛物线方程可得：，同理，. 代入抛物线方程可得:,所以，同理可得， 由斜率公式可得： （下同方法一）若要使最大，则， 设，则， 当且仅当即时，等号成立， 所以当最大时，，设直线， 代入抛物线方程可得，，所以，所以直线. [方法三]：三点共线 设， 设,若 P、M、N三点共线，由 所以，化简得， 反之，若,可得MN过定点 因此，由M、N、F三点共线，得，       由M、D、A三点共线，得，       由N、D、B三点共线，得， 则，AB过定点（4,0） （下同方法一）若要使最大，则， 设，则， 当且仅当即时，等号成立， 所以当最大时，，所以直线. 【整体点评】（2）法一：利用直线方程横截式，简化了联立方程的运算，通过寻找直线的斜率关系，由基本不等式即可求出直线AB的斜率，再根据韦达定理求出直线方程，是该题的最优解，也是通性通法； 法二：常规设直线方程点斜式，解题过程同解法一； 法三：通过设点由三点共线寻找纵坐标关系，快速找到直线过定点，省去联立过程，也不失为一种简化运算的好方法． 12．（2021·全国·高考真题）抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l：交C于P，Q两点，且．已知点，且与l相切． （1）求C，的方程； （2）设是C上的三个点，直线，均与相切．判断直线与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）抛物线，方程为；（2）相切，理由见解析 【难度】0.4 【知识点】判断直线与圆的位置关系、抛物线的对称性的应用、求圆的一般方程、根据抛物线上的点求标准方程 【分析】（1）根据已知抛物线与相交，可得出抛物线开口向右，设出标准方程，再利用对称性设出坐标，由，即可求出；由圆与直线相切，求出半径，即可得出结论； （2）方法一：先考虑斜率不存在，根据对称性，即可得出结论；若斜率存在，由三点在抛物线上，将直线斜率分别用纵坐标表示，再由与圆相切，得出与的关系，最后求出点到直线的距离，即可得出结论. 【详解】（1）依题意设抛物线， ， 所以抛物线的方程为， 与相切，所以半径为， 所以的方程为； （2）[方法一]：设 若斜率不存在，则方程为或， 若方程为，根据对称性不妨设， 则过与圆相切的另一条直线方程为， 此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在，不合题意； 若方程为，根据对称性不妨设 则过与圆相切的直线为， 又， ，此时直线关于轴对称， 所以直线与圆相切； 若直线斜率均存在， 则， 所以直线方程为， 整理得， 同理直线的方程为， 直线的方程为， 与圆相切， 整理得， 与圆相切，同理 所以为方程的两根， ， 到直线的距离为： ， 所以直线与圆相切； 综上若直线与圆相切，则直线与圆相切. [方法二]【最优解】：设． 当时，同解法1． 当时，直线的方程为，即． 由直线与相切得，化简得， 同理，由直线与相切得． 因为方程同时经过点，所以的直线方程为，点M到直线距离为． 所以直线与相切． 综上所述，若直线与相切，则直线与相切． 【整体点评】第二问关键点：过抛物线上的两点直线斜率只需用其纵坐标（或横坐标）表示，将问题转化为只与纵坐标（或横坐标）有关；法一是要充分利用的对称性，抽象出与关系，把的关系转化为用表示，法二是利用相切等条件得到的直线方程为，利用点到直线距离进行证明，方法二更为简单，开拓学生思路 1 学科网（北京）股份有限公司 $$