专题8.5 双曲线（模拟+真题精练）-备战2025年高考数学一轮复习题型精讲与精练（新高考通用）

专题8.5 双曲线 一、选择题（每小题5分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．（2024·浙江杭州·一模）已知直线是双曲线的一条渐近线，则的离心率等于（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据渐近线方程可得，故，即可由离心率公式求解. 【详解】的渐近线方程为， 因此，故， 故离心率为， 故选：A 2．（2024·四川成都·模拟预测）双曲线的一条渐近线为，则其离心率为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】根据双曲线的渐近线求标准方程、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据渐近线方程解得，再由离心率公式求解即可. 【详解】解：因为双曲线的一条渐近线为( )， 即， 所以渐近线的斜率为， 即， 解得， 所以双曲线的离心率. 故选：A. 3．（24-25高三上·河北邯郸·开学考试）设双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，点P在双曲线C上，过点P作两条渐近线的垂线，垂足分别为D，E，若，且，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、双曲线定义的理解、已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】由双曲线的渐近线方程和点到直线的距离公式得到，再由双曲线的定义和向量的数量积为零得到，最后结合三角形的面积公式求出离心率即可. 【详解】设，则，即， 双曲线C的渐近线方程为， 所以， 又，平方后得， 又在中，由可得， 所以， 两式相减，整理得， 所以， 因为， 所以，解得． 故选：C. 4．（2022·陕西榆林·模拟预测）已知双曲线的左，右焦点分别为，，点P在双曲线C的右支上，直线与双曲线C的一条渐近线垂直，垂足为H，若，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】取的中点，连接，由条件可证明，则，利用点到直线的距离求，在中，根据勾股定理可得，可得，即可求得双曲线的离心率. 【详解】     取的中点，连接，由条件可知， 是的中点， ， 又， ，， 根据双曲线的定义可知， ， 直线的方程是： ，即 ， 原点到直线的距离， 在中，根据勾股定理得，， 整理得 ，即 ， 解得 ，或（舍） 故选：B. 5．（2024·江西新余·模拟预测）双曲线的左、右焦点分别为，过作斜率为正且与的某条渐近线垂直的直线与双曲线在第一象限交于，，则的离心率为（     ）. A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、双曲线定义的理解、已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据给定条件，过作，结合点到直线的距离公式及双曲线定义求出的关系，即可求出双曲线的离心率. 【详解】令双曲线的半焦距为，则， 令直线与双曲线的渐近线垂直的垂足为， 于是，， 过作于，则，而为线段中点， 于是，， 由，得，，， 由双曲线定义得，即，解得， 所以双曲线的离心率. 故选：B 6．（2024·湖南邵阳·三模）已知双曲线：（，）的右焦点为，左、右顶点分别为，，点在上且轴，直线，与轴分别交于点，，若（为坐标原点），则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据a,b,c齐次式关系求渐近线方程 【分析】由题意求出直线和直线的方程，分别令，可求出，结合代入化简即可得出答案. 【详解】由题意知，因为轴， 所以令，可得，解得：，设， 直线的斜率为：， 所以直线的方程为：， 令可得，所以， 直线的斜率为： 所以直线的方程为：， 令可得，所以， 由可得，解得：, 所以，解得：，即 所以的渐近线方程为， 故选：C. 7．（2023·广东·模拟预测）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，直线l经过，且与C交于两点，若，，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】垂直关系的向量表示、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】设，则，利用双曲线的定义表示，，由勾股定理可得关系进而可得离心率． 【详解】由题意知，，且A，B都在双曲线的右支上． 设，则，，． 在中，，得， 则，. 在中，， 即，得． 所以双曲线C的离心率为. 故选：D. 8．（2024·湖南益阳·一模）已知椭圆与双曲线的焦点重合，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】根据椭圆方程求a、b、c、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据椭圆方程求得，进而求得，从而求得双曲线的离心率. 【详解】椭圆对应的， 所以对于双曲线，有， 所以双曲线的离心率为. 故选：A 9．（2024·山西太原·一模）设双曲线（、均为正值）的渐近线的倾斜角为，且该双曲线与椭圆的离心率之积为1，且有相同的焦距，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的焦点、焦距、已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】运用共焦点条件得到双曲线中，由两曲线的离心率之积为1得，再用转化得到，进而得到. 【详解】由题意易得，在双曲线中，即， 由于椭圆离心率为，且由两曲线的离心率之积为1得. ，，，，又， 或， 故选：C. 10．（2024·陕西宝鸡·三模）已知双曲线的左、右顶点分别为A、B，点在上，是等腰三角形，且外接圆面积为，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】正弦定理求外接圆半径、双曲线定义的理解、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】不妨设点在第一象限，作出图形，分析可知，利用正弦定理求出的值，进而可得出直线的斜率，求出直线的方程，结合二倍角的正切公式以及点斜式可得出直线的方程，可求出点的坐标，将点的坐标代入双曲线的方程，求出的值，即可求出双曲线的离心率的值. 【详解】不妨设点在第一象限，如下图所示： 由图可知，，且， 因为为等腰三角形，则， 设的外接圆半径为，则，可得， 由正弦定理可得，则，即， 易知，为锐角，则， 所以，， ， 所以，直线的方程为，直线的方程为， 联立，解得，即点， 将点的坐标代入双曲线的方程可得，可得， 因此，双曲线的离心率为. 故选：A. 11．（2024·河南周口·模拟预测）已知双曲线的焦距与其虚轴长之比为3：2，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】设，由已知可得，进而可求离心率. 【详解】由题意可知，，则，设，则， 所以，故的离心率为. 故选：C. 12．（2024·四川乐山·三模）设双曲线，椭圆的离心率分别为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】先求得椭圆的离心率，进而可求得双曲线的离心率，可求的值. 【详解】由椭圆，可得， 所以，所以椭圆的离心率， 又，所以双曲线的离心率为， 又双曲线，所以， 所以，解得. 故选：B. 二、多选题（每小题6分，在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.） 13．（2023·山东日照·三模）已知分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于两点，记的内切圆的面积为，的内切圆的面积为，则（    ） A．圆和圆外切 B．圆心在直线上 C． D．的取值范围是 【答案】AC 【难度】0.4 【知识点】双曲线定义的理解、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、求双曲线中的最值问题 【分析】根据双曲线定义和圆的切线长定理可知的横坐标均为，可判断A正确；由三角形性质可知只能是的中线，不能成为的角平分线，则圆心一定不在直线上，B错误；利用直角三角形的射影定理可知，可得，即，选项C判断正确，求出的表达式并利用函数单调性即可得出其取值范围，可判断D错误. 【详解】易知双曲线的渐近线方程为；两渐近线倾斜角分别为和， 对于A，设圆与轴切点为，过的直线与双曲线的右支交于两点，可知直线的倾斜角取值范围为； 由双曲线定义和圆的切线长定理可知的横坐标均为，即与轴垂直， 故圆和圆均与轴相切于，圆和圆两圆外切.选项A判断正确； 对于B，由双曲线定义知，中，则只能是的中线，不能成为的角平分线，则圆心一定不在直线上，选项B判断错误； 对于C，在中，,， 设圆的半径分别为， 则由直角三角形的射影定理可知，即，则， 故，选项C判断正确； 对于D,由直线AB的倾斜角取值范围为可知的取值范围为, 则的取值范围为, 故 则， 令则在上单调递减，在上单调递增； 易知，所以的值域为； 故的值域为，选项D判断错误. 故选：AC 【点睛】方法点睛：在求解双曲线中焦点三角形内切圆问题时，往往利用双曲线定义和圆的切线长定理可知圆心的横（纵）坐标与双曲线顶点的横（纵）坐标相同. 14．（2024·黑龙江大庆·三模）已知点是双曲线上一点，过向双曲线的两条渐近线作垂线，垂足分别为，则下列说法正确的是（    ） A．双曲线的浙近线方程为 B．双曲线的焦点到渐近线的距离为1 C． D．的面积为 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题 【分析】首先根据双曲线方程求渐近线方程，判断A，再根据点到直线的距离判断BC，最后根据几何关系，求，再代入面积公式，即可求解. 【详解】因为双曲线的方程为，所以，所以双曲线的渐近线方程为.故A正确； 双曲线的右焦点到渐近线的距离为，故B正确； 由点到直线的距离公式可得.故错误. 如图，因为，所以.在和中，， ，所以，所以 ，故D正确. 故选：ABD. 15．（2024·福建泉州·模拟预测）已知双曲线C：的一条渐近线方程为，上、下焦点分别为，，则（    ） A．C的方程为 B．C的离心率为2 C．若点为双曲线C上支上的任意一点，，则的最小值为 D．若点为双曲线C上支上的一点，则的内切圆面积为 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、根据双曲线的渐近线求标准方程、利用定义求双曲线中线段和、差的最值、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】根据已知条件，结合双曲线的性质，以及内切圆的定义，即可依次计算判断. 【详解】对于A，双曲线C：的渐近线方程，则， 于是双曲线C的方程为，A错误； 对于B，双曲线C的离心率，B正确； 对于C，， ，当且仅当点为线段与双曲线上支的交点时取等号，C正确； 对于D，由点 在双曲线上支上，得，， 的周长， 设的内切圆半径为r，则，解得， 因此的内切圆面积为，D错误. 故选：BC 16．（2024·江苏常州·二模）双曲线具有光学性质：从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．如图，双曲线的左、右焦点分别为，从发出的两条光线经过的右支上的两点反射后，分别经过点和，其中共线，则（    ） A．若直线的斜率存在，则的取值范围为 B．当点的坐标为时，光线由经过点到达点所经过的路程为6 C．当时，的面积为12 D．当时， 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、已知方程求双曲线的渐近线、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题 【分析】根据双曲线的渐近线的斜率，可得判定A正确；根据双曲线的定义，求得由经过点到达点所经过的路程，可判定B正确；根据向量的数量积的运算，得到，得到，设，列出方程，求得，进而可判定C错误；在直角中，结合，可判定D正确． 【详解】如图所示，过点分别作的两条渐近线的平行线，则的斜率分别为和， 对于A中，由图可知，当点均在的右支时，或，所以A正确； 对于B中，光线由经过点到达点所经过的路程为 ，所以B正确； 对于C中，由，得，即，所以， 设，则， 因为，所以，整理得， 解得或（舍去），所以，， 所以的面积，所以C错误； 对于D项，在直角中，， 所以，所以D正确． 故选：ABD． 三、填空题（每小题5分，把答案填在答题卡中的横线上.） 17．（2024·浙江杭州·一模）已知双曲线都经过点，离心率分别记为，设双曲线的渐近线分别为和.若，则 . 【答案】 【难度】0.4 【知识点】根据双曲线的渐近线求标准方程、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】分和两种情况讨论，当时，不妨设，分别将双曲线的方程用表示，再结合和离心率公式分类求出两双曲线的离心率即可得解. 【详解】当时，，则， 当时，不妨设， 则， 因为双曲线经过点， 所以， 所以， 因为，所以，则双曲线的焦点在轴上， 所以， 同理， 因为，所以，则双曲线的焦点在轴上， 所以， 所以，即， 综上所述，. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下： （1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值； （2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率. 18．（2024·湖北·模拟预测）设为双曲线的两个焦点，点是双曲线上的一点，且，则的面积为 . 【答案】3 【难度】0.85 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】设，利用双曲线定义，可得又由勾股定理得，联立求得，即得三角形的面积. 【详解】 如图，由可知， 设，由定义 ， 的面积为. 故答案为：3 19．（24-25高三上·云南大理·开学考试）如图，已知分别是双曲线的左、右焦点，分别为双曲线的左支、右支上异于顶点的点，且.若，则双曲线的离心率为    【答案】 【难度】0.65 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】延长与双曲线交于另一点，连接.因为，所以根据对称性可得四边形是平行四边形，则，根据双曲线的定义及余弦定理建立等量关系求解即可. 【详解】延长与双曲线交于另一点，连接.    因为，所以根据对称性可得四边形是平行四边形， 则. 设，则. 根据双曲线的定义可得，则， 所以. 在中，根据余弦定理可得，得. 在中，由，得， 则双曲线的离心率为. 故答案为： 20．（2024·湖北·模拟预测）已知双曲线的左焦点为，过坐标原点作直线与双曲线的左右两支分别交于两点，且，则双曲线的渐近线方程为 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】余弦定理解三角形、双曲线定义的理解、根据a,b,c齐次式关系求渐近线方程 【分析】双曲线的右焦点为，四边形是平行四边形，有，，又，解得，中由余弦定理得，可求出得双曲线的渐近线方程. 【详解】双曲线的右焦点为，连接， 由关于原点对称，也关于原点对称，可知四边形是平行四边形， 又，，则有，， 又由双曲线的定义得，解得， 再由余弦定理：， 即，得， 再由， 故渐近线方程为：，    故答案为：. 【点睛】方法点睛： 双曲线与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、，得到a，c的关系．双曲线的渐近线是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的渐近线，常见有两种方法：①求出a，b，代入渐近线方程；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合转化为a，b的齐次式，代入渐近线方程即可． 21．（2024·河南郑州·模拟预测）已知正方形PQRS的边长为，两个不同的点A，B都在直线QS的同侧（但A，B与P在直线QS的异侧），A，B关于直线PR对称，若，则面积的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求双曲线的轨迹方程、双曲线中的参数及范围 【分析】建立平面直角坐标系，由求出点的轨迹，由轨迹特征求点的直线的距离的取值范围，可求面积的取值范围. 【详解】以PR为x轴，QS为y轴建系，则，， 设，，且，，所以，， 因为，所以， 即A位于双曲线的右支上，渐近线方程为或， 设点A到直线PS的距离为h，又直线与直线PS的距离为，点到直线PS的距离为， 则，又， 所以面积的取值范围是． 故答案为： 22．（2024·贵州·模拟预测）我们把离心率为的双曲线称为“黄金双曲线”．已知“黄金双曲线”，则的虚轴长为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求双曲线的实轴、虚轴、圆锥曲线新定义 【分析】根据条件及离心率的定义，得到，即可求解. 【详解】因为，即，解得，所以的虚轴长为， 故答案为：. 四、填空题（解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 23．（2024·浙江宁波·一模）已知是双曲线：上一点，的渐近线方程为. (1)求的方程； (2)直线过点，且与的两支分别交于，两点.若，求直线的斜率. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】根据双曲线过的点求标准方程、根据双曲线的渐近线求标准方程、求双曲线中的弦长、根据韦达定理求参数 【分析】（1）根据双曲线经过的点以及渐近线方程即可联立方程求解， （2）联立直线与双曲线方程可得韦达定理，根据两点距离公式以及弦长公式可求解，即可代入化简求解. 【详解】（1）由题意可得，解得， 故双曲线方程为 （2）由题意可知：直线的斜率存在，设直线方程为， 联立可得， 由韦达定理可得， 由于，化简得， 故， , 故， 故，平方可得， 解得或， 由于与的两支分别交于，两点，故， 当时，代入不符合，故舍去， 将其代入，经检验符合， 综上可得 【点睛】关键点点睛：利用两点斜率公式以及弦长公式求解. 24．（2024·江西·一模）已知双曲线（，）的一条渐近线的倾斜角为，C的右焦点F到该渐近线的距离为. (1)求C的方程； (2)若过F的直线与C的左、右支分别交于点A，B，与圆交于与A，B不重合的M，N两点. （ⅰ）求直线AB斜率的取值范围； （ⅱ）求的取值范围. 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【难度】0.15 【知识点】根据双曲线的渐近线求标准方程、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、求双曲线中的弦长、双曲线中的参数及范围 【分析】（1）根据渐近线的倾斜角得到，由焦点到渐近线方程的距离得到，，得到双曲线方程； （2）（ⅰ）直线AB的斜率存在且不为零，设直线AB的方程为，与双曲线方程联立，得到两根之和，两根之积，由根的判别式及得到不等式，求出，再利用直线与圆相交得到不等式，求出，直线AB的斜率，从而得到直线AB斜率的取值范围； （ⅱ）由弦长公式和垂径定理得到，其中，设，，从而得到. 【详解】（1）因为C的一条渐近线的倾斜角为，所以，， 则C的一条渐近线的方程为， 因为， 所以右焦点到渐近线的距离为， 所以，，所以C的方程为. （2）（ⅰ）由（1）知，，设，， 由题意可得直线AB的斜率存在且不为零，设直线AB的方程为， 与联立得， 所以，，，， 又A，B两点在x轴同一侧，所以.此时，即. 又圆O的方程为，点O到直线AB的距离， 由得，由得，所以或， 因为直线AB的斜率，所以直线AB斜率的取值范围是.    （ⅱ）由弦长公式得 ， 由垂径定理得， 所以， 其中，设，， 则， 所以的取值范围是. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： （1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围. 25．（2024·河南驻马店·二模）已知双曲线的左顶点为，直线与的一条渐近线平行，且与交于点，直线的斜率为． (1)求的方程； (2)已知直线与交于两点，问：是否存在满足的点？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，16 【难度】0.4 【知识点】根据双曲线的渐近线求标准方程、求直线与双曲线的交点坐标、双曲线中向量点乘问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）由已知得出，结合直线的斜率为及点在双曲线上即可求解； （2）由题得出，，设，过点与垂直的直线的方程为，设该直线与的右支交于另一点，计算出，同理可得，又，所以与重合，即可得出结论． 【详解】（1）由题可知，的一条渐近线方程为，则， 设，又，直线的斜率为， 所以， 解得，则， 代入中，解得， 故的方程为． （2）因为， 所以，即，所以， 同理可得， 设， 联立，整理得， 由题意知，且， 解得或，且， 所以， 过点与垂直的直线的方程为，设该直线与的右支交于另一点， 联立，整理得， 解得或（舍去），所以， 因为 ， 所以，同理可证， 又，所以与重合， 所以在上，则， 故存在点满足，且的值为16． 【点睛】关键点睛：由“”分析出点为的垂心，作过点与垂直的直线交的右支交于另一点，证明及，即可证明与重合，进而得解． 26．（2024·内蒙古赤峰·三模）已知点为圆上任意一点，，线段的垂直平分线交直线于点 ，设点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)若过点的直线与曲线的两条渐近线交于，两点，且为线段ST的中点. （i）证明：直线与曲线有且仅有一个交点； （ii） 求证：是定值. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【难度】0.4 【知识点】求双曲线的轨迹方程、已知方程求双曲线的渐近线、讨论双曲线与直线的位置关系、双曲线中的定值问题 【分析】（1）根据垂直平分线的性质得到，即可得到，结合双曲线的定义计算可得； （2）（i）设 ，，，不妨令，，即可得到，从而表示出直线的方程，再联立直线与双曲线方程，消元、由，即可证明；（ii）由 （i ）求出，，再由计算可得. 【详解】（1）圆的圆心为，半径， 因为线段的垂直平分线交直线于点， 则， ， ∴点的轨迹为以、为焦点的双曲线， 设双曲线方程为，则，，所以，     所以点的轨迹方程为        （2）（ i ） 设 ，，， 若，则，即直线的方程为，显然满足直线与曲线有且仅有一个交点； 若，显然，由题可知，则，， 因为双曲线的渐近线方程为，不妨令，， 所以，， ，即， 即， ∴直线的方程为，即， 又∵点在上，，则， 即直线的方程为， 将方程联立，得， ，由，可知方程有且仅有一个解， ∴与有且仅有一个交点；    （ii）由 （i ）联立 ，可得， 同理可得， ， 所以是定值. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 27．（2024·浙江·三模）已知双曲线的实轴长为4，左、右焦点分别为、，其中到其渐近线的距离为1． (1)求双曲线的标准方程： (2)若点P是双曲线在第一象限的动点，双曲线在点P处的切线与x轴相交于点T． （i）证明：射线是的角平分线； （ii）过坐标原点O的直线与垂直，与直线相交于点Q，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）． 【难度】0.4 【知识点】求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、根据a、b、c求双曲线的标准方程 【分析】（1）由题意可直接求出，从而可求出双曲线的方程； （2）（i）设，切线，代入双曲线方程化简，由判别式等于零可表示出，从而可表示出切线方程，表示出点的坐标，然后通过计算的值可得结论；（ii）过作，设，根据角平分线的性质和三角形中位线定理求出，再表示出面积可求出其范围. 【详解】（1）因为实轴长为4  所以，即， 因为右焦点到渐近线距离为1， 所以， 故双曲线的标准方程为． （2）（i）设，切线，则， 联立 化简得． 由，解得：， 所以直线，令，得， 故，． 因为， 所以， 所以，即， 故射线PT是的角平分线． （ii）过作，设． 因为为的角平分线，所以 所以． 因为，，所以， 又因为O为中点． 则是的中位线，故Q是的中点． 所以，记， 因为，所以为锐角，所以为钝角， 所以，所以，所以， 由正弦定理得， 所以， 则． 【点睛】关键点点睛：此题考查双曲线方程的求法，考查直线与双曲线的位置关系，考查双曲线中的面积问题，第（2）问解题的关键是根据双曲线的性质结合角平分线的性质求解，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题. 28．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点，的焦距为． (1)分别求和的方程； (2)如图，过点的直线（斜率大于0）与双曲线和的左、右两支依次相交于点、、、，证明． 【答案】(1)：，， (2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】根据韦达定理求参数、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、求共渐近线的双曲线的标准方程、已知方程求双曲线的渐近线 【分析】（1）由题意，列出等式求出的值，得到双曲线的方程，根据双曲线与双曲线渐近线相同，设出双曲线的方程，将点代入即可求出双曲线的方程； （2）设出直线的方程，将直线的方程与双曲线方程联立，利用韦达定理得到与中点的横坐标为，结合在同一直线上，推出与中点重合，即可求解. 【详解】（1）由题意可知双曲线N的焦距为， 解得，即双曲线， 因为双曲线与双曲线渐近线相同， 不妨设双曲线的方程为， 因为双曲线经过点，所以， 解得， 则双曲线的方程为； （2）证明：不妨设直线的方程为 联立消去y并整理得， 此时， 当时，由韦达定理得， 当时，由韦达定理得， 所以与中点的横坐标为， 因为在同一直线上，所以与中点重合， 不妨设该点为， 此时， 则， 故 【点睛】方法点睛：解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去 (或)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情况，强化有关直线与双曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、中点、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 1．（2004·北京·高考真题）双曲线的渐近线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线 【分析】直接利用双曲线方程求解渐近线方程即可. 【详解】双曲线的渐近线方程是： 故选：A 2．（2024·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为点在双曲线右支上，直线的斜率为2．若是直角三角形，且面积为8，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程 【分析】可利用三边斜率问题与正弦定理，转化出三边比例，设，由面积公式求出，由勾股定理得出，结合第一定义再求出. 【详解】如下图：由题可知，点必落在第四象限，，设， ，由，求得， 因为，所以，求得，即， ，由正弦定理可得：， 则由得， 由得， 则， 由双曲线第一定义可得：，， 所以双曲线的方程为. 故选：A 3．（2023·全国·高考真题）已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】圆的弦长与中点弦、根据a,b,c齐次式关系求渐近线方程 【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长. 【详解】由，则， 解得， 所以双曲线的渐近线为， 当渐近线为时，圆心到该渐近线的距离，不合题意； 当渐近线为时，则圆心到渐近线的距离， 所以弦长. 故选：D 4．（2023·天津·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．过向一条渐近线作垂线，垂足为．若，直线的斜率为，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、根据a、b、c求双曲线的标准方程、根据双曲线的渐近线求标准方程 【分析】先由点到直线的距离公式求出，设，由得到，.再由三角形的面积公式得到，从而得到，则可得到，解出，代入双曲线的方程即可得到答案. 【详解】如图，    因为，不妨设渐近线方程为，即， 所以， 所以. 设,则，所以，所以. 因为,所以，所以，所以， 所以， 因为， 所以， 所以，解得， 所以双曲线的方程为 故选：D 5．（2007·辽宁·高考真题）双曲线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】求双曲线的焦点坐标 【分析】将双曲线的方程化为标准方程判断焦点位置，写出焦点坐标即可. 【详解】因为双曲线方程为， 化为标准方程为：，所以， 由于焦点在轴上，所以焦点坐标为：. 故选：C. 6．（2022·全国·高考真题）（多选题）双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理解三角形、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，利用正弦定理结合三角变换、双曲线的定义得到或，即可得解，注意就在双支上还是在单支上分类讨论. 【详解】[方法一]：几何法，双曲线定义的应用 情况一   M、N在双曲线的同一支，依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为B， 所以，因为，所以在双曲线的左支， ，， ，设，由即，则， 选A 情况二 若M、N在双曲线的两支，因为，所以在双曲线的右支， 所以，， ，设， 由，即，则， 所以，即， 所以双曲线的离心率 选C [方法二]：答案回代法 特值双曲线 ， 过且与圆相切的一条直线为， 两交点都在左支,， ， 则， 特值双曲线， 过且与圆相切的一条直线为， 两交点在左右两支，在右支，， ， 则， [方法三]： 依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为， 若分别在左右支， 因为，且，所以在双曲线的右支， 又，，， 设，， 在中，有， 故即， 所以， 而，，，故， 代入整理得到，即， 所以双曲线的离心率 若均在左支上， 同理有，其中为钝角，故， 故即， 代入，，，整理得到：， 故，故， 故选：AC. 7．（2024·上海·高考真题）三角形三边长为，则以边长为6的两个顶点为焦点，过另外一个顶点的双曲线的离心率为 . 【答案】3 【难度】0.94 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】利用双曲线的定义求解即可. 【详解】由双曲线的定义， 则. 故答案为：3 8．（2024·广东江苏·高考真题）设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】由题意画出双曲线大致图象，求出，结合双曲线第一定义求出，即可得到的值，从而求出离心率. 【详解】由题可知三点横坐标相等，设在第一象限，将代入 得，即，故，， 又，得，解得，代入得， 故，即，所以. 故答案为： 9．（2022·浙江·高考真题）已知双曲线的左焦点为F，过F且斜率为的直线交双曲线于点，交双曲线的渐近线于点且．若，则双曲线的离心率是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】联立直线和渐近线方程，可求出点，再根据可求得点，最后根据点在双曲线上，即可解出离心率． 【详解】过且斜率为的直线，渐近线， 联立，得，由，得 而点在双曲线上，于是，解得：，所以离心率. 故答案为：． 10．（2021·全国·高考真题）双曲线的右焦点到直线的距离为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求双曲线的焦点坐标、求点到直线的距离 【分析】先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解. 【详解】由已知，，所以双曲线的右焦点为， 所以右焦点到直线的距离为. 故答案为： 11．（2023·全国·高考真题）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为． (1)求C的方程； (2)记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上. 【答案】(1) (2)证明见解析. 【难度】0.4 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、根据a、b、c求双曲线的标准方程、双曲线中的动点在定直线上问题 【分析】（1）由题意求得的值即可确定双曲线方程； （2）设出直线方程，与双曲线方程联立，然后由点的坐标分别写出直线与的方程，联立直线方程，消去，结合韦达定理计算可得，即交点的横坐标为定值，据此可证得点在定直线上. 【详解】（1）设双曲线方程为，由焦点坐标可知， 则由可得，， 双曲线方程为. （2）由(1)可得，设， 显然直线的斜率不为0，所以设直线的方程为，且， 与联立可得，且， 则，    直线的方程为，直线的方程为， 联立直线与直线的方程可得： ， 由可得，即， 据此可得点在定直线上运动. 【点睛】关键点点睛:求双曲线方程的定直线问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中根据设而不求的思想，利用韦达定理得到根与系数的关系可以简化运算，是解题的关键. 12．（2022·全国·高考真题）已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为． (1)求C的方程； (2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点在C上，且．过P且斜率为的直线与过Q且斜率为的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立： ①M在上；②；③． 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分. 【答案】(1) (2)见解析 【难度】0.4 【知识点】根据双曲线的渐近线求标准方程、求双曲线中的弦长、由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数、根据韦达定理求参数 【分析】（1）利用焦点坐标求得的值，利用渐近线方程求得的关系，进而利用的平方关系求得的值，得到双曲线的方程； （2）先分析得到直线的斜率存在且不为零，设直线AB的斜率为k, M(x0,y0),由③|AM|=|BM|等价分析得到；由直线和的斜率得到直线方程，结合双曲线的方程，两点间距离公式得到直线PQ的斜率，由②等价转化为，由①在直线上等价于，然后选择两个作为已知条件一个作为结论，进行证明即可. 【详解】（1）右焦点为，∴,∵渐近线方程为，∴，∴，∴，∴，∴． ∴C的方程为：； （2）由已知得直线的斜率存在且不为零，直线的斜率不为零， 若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线的斜率存在且不为零； 若选①③推②，则为线段的中点，假若直线的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知在轴上，即为焦点,此时由对称性可知、关于轴对称，与从而，已知不符； 总之，直线的斜率存在且不为零. 设直线的斜率为,直线方程为, 则条件①在上，等价于； 两渐近线的方程合并为, 联立消去y并化简整理得： 设,线段中点为,则, 设, 则条件③等价于, 移项并利用平方差公式整理得： ， ,即, 即； 由题意知直线的斜率为, 直线的斜率为, ∴由, ∴, 所以直线的斜率, 直线,即, 代入双曲线的方程,即中， 得：, 解得的横坐标：, 同理：， ∴ ∴, ∴条件②等价于， 综上所述： 条件①在上，等价于； 条件②等价于； 条件③等价于； 选①②推③: 由①②解得：,∴③成立； 选①③推②： 由①③解得：，， ∴，∴②成立； 选②③推①： 由②③解得：，，∴， ∴，∴①成立. 13．（2021·全国·高考真题）在平面直角坐标系中，已知点、，点的轨迹为. （1）求的方程； （2）设点在直线上，过的两条直线分别交于、两点和，两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和. 【答案】（1）；（2）. 【难度】0.4 【知识点】求双曲线的轨迹方程、双曲线中的定值问题 【分析】(1) 利用双曲线的定义可知轨迹是以点、为左、右焦点双曲线的右支，求出、的值，即可得出轨迹的方程； (2)方法一：设出点的坐标和直线方程，联立直线方程与曲线C的方程，结合韦达定理求得直线的斜率，最后化简计算可得的值. 【详解】(1) 因为， 所以，轨迹是以点、为左、右焦点的双曲线的右支， 设轨迹的方程为，则，可得，， 所以，轨迹的方程为. （2）[方法一] 【最优解】：直线方程与双曲线方程联立 如图所示，设, 设直线的方程为．    联立, 化简得，， 则． 故． 则． 设的方程为，同理． 因为，所以， 化简得， 所以，即． 因为，所以． [方法二] ：参数方程法 设．设直线的倾斜角为， 则其参数方程为， 联立直线方程与曲线C的方程， 可得， 整理得． 设， 由根与系数的关系得． 设直线的倾斜角为，， 同理可得 由，得． 因为，所以． 由题意分析知．所以， 故直线的斜率与直线的斜率之和为0． [方法三]：利用圆幂定理 因为，由圆幂定理知A，B，P，Q四点共圆． 设,直线的方程为， 直线的方程为, 则二次曲线． 又由，得过A，B，P，Q四点的二次曲线系方程为： ， 整理可得： ， 其中． 由于A，B，P，Q四点共圆，则xy项的系数为0，即. 【整体点评】(2)方法一：直线方程与二次曲线的方程联立，结合韦达定理处理圆锥曲线问题是最经典的方法，它体现了解析几何的特征，是该题的通性通法，也是最优解； 方法二：参数方程的使用充分利用了参数的几何意义，要求解题过程中对参数有深刻的理解，并能够灵活的应用到题目中. 方法三：圆幂定理的应用更多的提现了几何的思想，二次曲线系的应用使得计算更为简单. 14．（2024·上海·高考真题）已知双曲线左右顶点分别为，过点的直线交双曲线于两点. (1)若离心率时，求的值． (2)若为等腰三角形时，且点在第一象限，求点的坐标． (3)连接并延长，交双曲线于点，若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.4 【知识点】判断点和双曲线的位置关系、由双曲线的离心率求参数的取值范围、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、双曲线中向量点乘问题 【分析】（1）根据离心率公式计算即可； （2）分三角形三边分别为底讨论即可； （3）设直线，联立双曲线方程得到韦达定理式，再代入计算向量数量积的等式计算即可. 【详解】（1）由题意得，则，． （2）当时，双曲线，其中，， 因为为等腰三角形，则 ①当以为底时，显然点在直线上，这与点在第一象限矛盾，故舍去； ②当以为底时，， 设，则 , 联立解得或或， 因为点在第一象限，显然以上均不合题意，舍去； （或者由双曲线性质知，矛盾，舍去）； ③当以为底时，，设，其中， 则有，解得，即． 综上所述：. （3）由题知， 当直线的斜率为0时，此时，不合题意，则， 则设直线， 设点，根据延长线交双曲线于点， 根据双曲线对称性知， 联立有， 显然二次项系数， 其中， ①，②，   ， 则，因为在直线上， 则，， 即，即， 将①②代入有， 即 化简得， 所以 , 代入到 , 得 , 所以 , 且，解得，又因为，则， 综上知，，． 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是采用设线法，为了方便运算可设，将其与双曲线方程联立得到韦达定理式，再写出相关向量，代入计算，要注意排除联立后的方程得二次项系数不为0. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题8.5 双曲线 一、选择题（每小题5分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．（2024·浙江杭州·一模）已知直线是双曲线的一条渐近线，则的离心率等于（    ） A． B． C． D．或 2．（2024·四川成都·模拟预测）双曲线的一条渐近线为，则其离心率为（    ）． A． B． C． D． 3．（24-25高三上·河北邯郸·开学考试）设双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，点P在双曲线C上，过点P作两条渐近线的垂线，垂足分别为D，E，若，且，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D．2 4．（2022·陕西榆林·模拟预测）已知双曲线的左，右焦点分别为，，点P在双曲线C的右支上，直线与双曲线C的一条渐近线垂直，垂足为H，若，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·江西新余·模拟预测）双曲线的左、右焦点分别为，过作斜率为正且与的某条渐近线垂直的直线与双曲线在第一象限交于，，则的离心率为（     ）. A． B． C． D． 6．（2024·湖南邵阳·三模）已知双曲线：（，）的右焦点为，左、右顶点分别为，，点在上且轴，直线，与轴分别交于点，，若（为坐标原点），则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 7．（2023·广东·模拟预测）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，直线l经过，且与C交于两点，若，，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．（2024·湖南益阳·一模）已知椭圆与双曲线的焦点重合，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 9．（2024·山西太原·一模）设双曲线（、均为正值）的渐近线的倾斜角为，且该双曲线与椭圆的离心率之积为1，且有相同的焦距，则（    ） A． B． C． D． 10．（2024·陕西宝鸡·三模）已知双曲线的左、右顶点分别为A、B，点在上，是等腰三角形，且外接圆面积为，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 11．（2024·河南周口·模拟预测）已知双曲线的焦距与其虚轴长之比为3：2，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 12．（2024·四川乐山·三模）设双曲线，椭圆的离心率分别为，若，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题（每小题6分，在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.） 13．（2023·山东日照·三模）已知分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于两点，记的内切圆的面积为，的内切圆的面积为，则（    ） A．圆和圆外切 B．圆心在直线上 C． D．的取值范围是 14．（2024·黑龙江大庆·三模）已知点是双曲线上一点，过向双曲线的两条渐近线作垂线，垂足分别为，则下列说法正确的是（    ） A．双曲线的浙近线方程为 B．双曲线的焦点到渐近线的距离为1 C． D．的面积为 15．（2024·福建泉州·模拟预测）已知双曲线C：的一条渐近线方程为，上、下焦点分别为，，则（    ） A．C的方程为 B．C的离心率为2 C．若点为双曲线C上支上的任意一点，，则的最小值为 D．若点为双曲线C上支上的一点，则的内切圆面积为 16．（2024·江苏常州·二模）双曲线具有光学性质：从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．如图，双曲线的左、右焦点分别为，从发出的两条光线经过的右支上的两点反射后，分别经过点和，其中共线，则（    ） A．若直线的斜率存在，则的取值范围为 B．当点的坐标为时，光线由经过点到达点所经过的路程为6 C．当时，的面积为12 D．当时， 三、填空题（每小题5分，把答案填在答题卡中的横线上.） 17．（2024·浙江杭州·一模）已知双曲线都经过点，离心率分别记为，设双曲线的渐近线分别为和.若，则 . 18．（2024·湖北·模拟预测）设为双曲线的两个焦点，点是双曲线上的一点，且，则的面积为 . 19．（24-25高三上·云南大理·开学考试）如图，已知分别是双曲线的左、右焦点，分别为双曲线的左支、右支上异于顶点的点，且.若，则双曲线的离心率为    20．（2024·湖北·模拟预测）已知双曲线的左焦点为，过坐标原点作直线与双曲线的左右两支分别交于两点，且，则双曲线的渐近线方程为 ． 21．（2024·河南郑州·模拟预测）已知正方形PQRS的边长为，两个不同的点A，B都在直线QS的同侧（但A，B与P在直线QS的异侧），A，B关于直线PR对称，若，则面积的取值范围是 ． 22．（2024·贵州·模拟预测）我们把离心率为的双曲线称为“黄金双曲线”．已知“黄金双曲线”，则的虚轴长为 ． 四、填空题（解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 23．（2024·浙江宁波·一模）已知是双曲线：上一点，的渐近线方程为. (1)求的方程； (2)直线过点，且与的两支分别交于，两点.若，求直线的斜率.. 24．（2024·江西·一模）已知双曲线（，）的一条渐近线的倾斜角为，C的右焦点F到该渐近线的距离为. (1)求C的方程； (2)若过F的直线与C的左、右支分别交于点A，B，与圆交于与A，B不重合的M，N两点. （ⅰ）求直线AB斜率的取值范围； （ⅱ）求的取值范围. 25．（2024·河南驻马店·二模）已知双曲线的左顶点为，直线与的一条渐近线平行，且与交于点，直线的斜率为． (1)求的方程； (2)已知直线与交于两点，问：是否存在满足的点？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 26．（2024·内蒙古赤峰·三模）已知点为圆上任意一点，，线段的垂直平分线交直线于点 ，设点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)若过点的直线与曲线的两条渐近线交于，两点，且为线段ST的中点. （i）证明：直线与曲线有且仅有一个交点； （ii） 求证：是定值. 27．（2024·浙江·三模）已知双曲线的实轴长为4，左、右焦点分别为、，其中到其渐近线的距离为1． (1)求双曲线的标准方程： (2)若点P是双曲线在第一象限的动点，双曲线在点P处的切线与x轴相交于点T． （i）证明：射线是的角平分线； （ii）过坐标原点O的直线与垂直，与直线相交于点Q，求面积的取值范围． 28．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点，的焦距为． (1)分别求和的方程； (2)如图，过点的直线（斜率大于0）与双曲线和的左、右两支依次相交于点、、、，证明． 1．（2004·北京·高考真题）双曲线的渐近线方程是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为点在双曲线右支上，直线的斜率为2．若是直角三角形，且面积为8，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 3．（2023·全国·高考真题）已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（    ） A． B． C． D． 4．（2023·天津·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．过向一条渐近线作垂线，垂足为．若，直线的斜率为，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 5．（2007·辽宁·高考真题）双曲线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 6．（2022·全国·高考真题）（多选题）双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·上海·高考真题）三角形三边长为，则以边长为6的两个顶点为焦点，过另外一个顶点的双曲线的离心率为 . 8．（2024·广东江苏·高考真题）设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为 ． 9．（2022·浙江·高考真题）已知双曲线的左焦点为F，过F且斜率为的直线交双曲线于点，交双曲线的渐近线于点且．若，则双曲线的离心率是 ． 10．（2021·全国·高考真题）双曲线的右焦点到直线的距离为 ． 11．（2023·全国·高考真题）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为． (1)求C的方程； (2)记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上. 12．（2022·全国·高考真题）已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为． (1)求C的方程； (2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点在C上，且．过P且斜率为的直线与过Q且斜率为的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立： ①M在上；②；③． 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分. 13．（2021·全国·高考真题）在平面直角坐标系中，已知点、，点的轨迹为. （1）求的方程； （2）设点在直线上，过的两条直线分别交于、两点和，两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和. 14．（2024·上海·高考真题）已知双曲线左右顶点分别为，过点的直线交双曲线于两点. (1)若离心率时，求的值． (2)若为等腰三角形时，且点在第一象限，求点的坐标． (3)连接并延长，交双曲线于点，若，求的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$