专题8.4 椭圆（模拟+真题精练）-备战2025年高考数学一轮复习题型精讲与精练（新高考通用）

专题8.4 椭圆 一、选择题（每小题5分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．（2024·浙江台州·一模）椭圆与椭圆的（   ） A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 2．（2024·浙江宁波·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过上顶点作直线交椭圆于另一点.若，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 3．（2024·辽宁·模拟预测）已知椭圆与双曲线有共同的焦点是椭圆与双曲线的一个公共点，且，其离心率分别为，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．6 D．12 4．（2024·山西太原·一模）设双曲线（、均为正值）的渐近线的倾斜角为，且该双曲线与椭圆的离心率之积为1，且有相同的焦距，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024·湖南·三模）已知是椭圆的左、右焦点，O是坐标原点，过作直线与C交于A，B两点，若，且的面积为，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·陕西铜川·三模）已知原点为，椭圆与直线交于两点，线段的中点为，若直线的斜率为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·河南濮阳·模拟预测）点是椭圆上的点，以为圆心的圆与轴相切于椭圆的焦点，圆与轴相交于两点，若是锐角三角形，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（2024·江西鹰潭·三模）已知椭圆的左、右焦点分别为，倾斜角为且过原点的直线交椭圆于两点.若，设椭圆的离心率为，则（    ） A． B． C． D． 9．（2024·浙江绍兴·三模）已知直线与椭圆C：交于，两点，以线段为直径的圆过椭圆的左焦点，若，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 10．（2024·山东青岛·三模）已知 为坐标原点，椭圆的左，右焦点分别为，左、右顶点分 别为，焦距为，以 为直径的圆与椭圆 在第一和第三象限分别交于 两点.且，则椭圆的离心率为（     ） A． B． C． D． 11．（2024·上海·三模）已知是圆柱下底面的一条半径，，，为该圆柱侧面上一动点，垂直下底面于点，若，则对于下述结论：①动点的轨迹为椭圆；②动点的轨迹长度为；以下说法正确的为（    ）． A．①②都正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①②都错误 12．（2024·四川·三模）已知椭圆 的左、右焦点分别为，点是椭圆上一点，若的内心为，连接并延长交轴于点，且，则椭圆的短轴长为（    ） A．2 B． C． D． 13．（2024·四川·模拟预测）已知，分别是椭圆C：的左、右焦点，O为坐标原点，M，N为C上两个动点，且，面积的最大值为，过O作直线MN的垂线，垂足为H，则（   ） A． B． C．1 D． 14．（2024·陕西铜川·三模）已知为椭圆的左､右焦点，点在上且位于第一象限，圆与线段的延长线､线段以及轴均相切，的内切圆的圆心为.若圆与圆外切，且圆与圆的面积之比为9，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 15．（2024·北京丰台·二模）“用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线”．利用这个原理，小明在家里用两个射灯（射出的光锥视为圆锥）在墙上投影出两个相同的椭圆（图1），光锥的一条母线恰好与墙面垂直．图2是一个射灯投影的直观图，圆锥的轴截面是等边三角形，椭圆所在平面为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（每小题6分，在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.） 16．（2024·甘肃庆阳·一模）已知椭圆：，则（    ） A．的焦点在轴上 B．的焦距为10 C．的离心率为 D．的长轴长是短轴长的5倍 17．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）已知椭圆的左右焦点分别是，以为直径的圆与在第一象限交于点，延长线段交于点.若，则（    ） A． B．的面积为 C．椭圆的离心率为 D．直线的斜率为 18．（2024·福建福州·模拟预测）已知为椭圆的左，右焦点，为平面上一点，若，则（    ） A．当为上一点时，的面积为1 B．当为上一点时，的值可以为1 C．当满足条件的点均在内部时，则的离心率小于 D．当点在的外部时，在上必存在点，使得 19．（2024·河北·三模）已知一个装有半瓶水的圆柱形玻璃杯，其底面半径为，玻璃杯高为（玻璃厚度忽略不计），其倾斜状态的正视图如图所示，表示水平桌面．当玻璃杯倾斜时，瓶内水面为椭圆形，阴影部分为瓶内水的正视图．设，则下列结论正确的是（    ） A．当时，椭圆的离心率为 B．当椭圆的离心率最大时， C．当椭圆的焦距为4时， D．当时，椭圆的焦距为6 20．（2024·山东潍坊·二模）已知椭圆：的焦点分别为，，P为上一点，则（   ） A．的焦距为 B．的离心率为 C．的周长为 D．面积的最大值为 21．（2024·河南·三模）已知曲线，曲线，下列结论正确的是（    ） A．与有4条公切线 B．若分别是上的动点，则的最小值是3 C．直线与的交点的横坐标之积为 D．若是上的动点，则的最小值为8 22．（2024·浙江绍兴·模拟预测）孔明锁是中国古代传统益智游戏.左下图即是一个孔明锁.其形状可视为右下图所示的一个几何体：如图，三个轴线相互垂直的长方体的公共部分为一个棱长为1的立方体，且，，，，为其表面上的一个动点，球为能够使该几何体在其内能够自由转动的最小球体.其中为球上的一个动点，以下说法正确的是（    ）      A．最大值为. B．若在公共正方体的外接球上，那么其轨迹长度为 C． D．若满足，则的轨迹长度为 注：表示椭圆的周长大小 三、填空题（每小题5分，把答案填在答题卡中的横线上.） 23．（2024·吉林长春·一模）已知椭圆的上、下顶点分别为A、B，右焦点为F，B关于点的对称点为.若过三点的圆的半径为，则的离心率为 . 24．（2024·福建·模拟预测）将一装有适量水的圆柱容器斜靠在墙面，已知墙面与水平地面垂直，若圆柱轴线与水平地面所成角为，则液面所呈椭圆的离心率为 ． 25．（2024·山东淄博·二模）“若点P为椭圆上的一点，为椭圆的两个焦点，则椭圆在点处的切线平分的外角”，这是椭圆的光学性质之一．已知椭圆，点P是椭圆上的点，在点处的切线为直线，过左焦点作的垂线，垂足为，设点的轨迹为曲线．若是曲线上一点，已知点，则的最小值为 ． 26．（2024·西藏·模拟预测）已知椭圆：的离心率为，F是椭圆C的右焦点，P为椭圆C上任意一点，的最大值为．设点，则的最小值为 ． 27．（23-24高二下·上海嘉定·期末）“用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线”，利用这个原理，小强在家里用两个射灯(射出的光锥视为圆锥)在墙上投影出两个相同的椭圆（图1），光锥的一条母线恰好与墙面垂直．图2是一个射灯投影的直观图，圆锥的轴截面是等边三角形，椭圆所在平面为，则椭圆的离心率为 ． 28．（2024·福建南平·模拟预测）椭球面镜具有改变光路的方向、使光束会聚的作用，它经常被用来制作精密的光学仪器的部件．椭球面镜是以椭圆的长轴为旋转轴，把椭圆转动形成的立体图形，其内表面全部做成反射面，中空，椭球面镜可以将从某个焦点发出的光线全部反射到另一个焦点处．从椭球面镜的焦点射出的两条光线，经椭球面镜上的两点反射后汇聚于焦点，若，且，则椭球面镜的轴截面椭圆的离心率为 ． 29．（2024·山东泰安·模拟预测）已知分别是椭圆的左，右焦点，是上两点，且，，则的离心率为 . 30．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，已知圆和椭圆，点，，直线交轴于，直线平行轴交于（点在轴上方），，直线交于点，直线交轴于点，则椭圆的长轴长为 ． 四、填空题（解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 31．（2024·江西景德镇·一模）已知为坐标原点，椭圆，是上一点，离心率. (1)求的方程； (2)斜率为的直线交于，两点，在以为直径的圆上，求的最大值. 32．（2024·云南大理·一模）已知椭圆的两个焦点为，且椭圆的离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知为坐标原点，斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点，且弦的中点为，直线的斜率为，求； (3)直线与椭圆有两个不同的交点，椭圆在点处的切线分别为与交于点，点在直线上.请你判断直线是否经过定点，并说明理由. 33．（2023·河北·三模）已知椭圆经过点，离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)若不过点的直线与椭圆交于两点，且满足.证明：为定值. 34．（2024·四川成都·模拟预测）已知点，，点P在以AB为直径的圆C上运动，轴，垂足为D，点M满足，点M的轨迹为W，过点的直线l交W于点E、F. (1)求W的方程； (2)若直线l的倾斜角为，求直线l被圆C截得的弦长； (3)设直线AE，BF的斜率分别为，，证明为定值，并求出该定值. 35．（2023·河北保定·三模）设椭圆的左､右顶点分别为，离心率为，且. (1)求椭圆的标准方程； (2)设点为椭圆上异于的两动点，记直线的斜率为，直线的斜率为，已知.直线与轴相交于点，求的面积的最大值. 36．（2025·安徽·一模）椭圆的上顶点为，圆在椭圆内． (1)求的取值范围； (2)过点作圆的两条切线，切点为，切线与椭圆的另一个交点为，切线与椭圆的另一个交点为．是否存在圆，使得直线与之相切，若存在求出圆的方程，若不存在，说明理由． 1．（2023·全国·高考真题）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 2．（2023·全国·高考真题）设椭圆的离心率分别为．若，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·全国·高考真题）已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 4．（2022·全国·高考真题）已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（    ） A． B． C． D． 5．（2022·全国·高考真题）已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是 ． 6．（2021·浙江·高考真题）已知椭圆，焦点，，若过的直线和圆相切，与椭圆在第一象限交于点P，且轴，则该直线的斜率是 ，椭圆的离心率是 . 7．（2019·全国·高考真题）设为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限.若为等腰三角形，则的坐标为 . 8．（2018·北京·高考真题）已知椭圆，双曲线．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为 ；双曲线N的离心率为 ． 9．（2024·全国·高考真题）已知椭圆的右焦点为，点在上，且轴． (1)求的方程； (2)过点的直线交于两点，为线段的中点，直线交直线于点，证明：轴． 10．（2024·天津·高考真题）已知椭圆的离心率为．左顶点为，下顶点为是线段的中点（O为原点），的面积为． (1)求椭圆的方程． (2)过点C的动直线与椭圆相交于两点．在轴上是否存在点，使得恒成立．若存在，求出点纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由． 11．（2024·广东江苏·高考真题）已知和为椭圆上两点. (1)求C的离心率; (2)若过P的直线交C于另一点B，且的面积为9，求的方程． 12．（2023·天津·高考真题）已知椭圆的左右顶点分别为，右焦点为，已知． (1)求椭圆的方程和离心率； (2)点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线交轴于点，若三角形的面积是三角形面积的二倍，求直线的方程． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题8.4 椭圆 一、选择题（每小题5分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．（2024·浙江台州·一模）椭圆与椭圆的（   ） A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】根据椭圆方程求a、b、c、求椭圆的焦点、焦距、求椭圆的长轴、短轴、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据椭圆的方程，得到，即可判断. 【详解】对于椭圆：， 对于椭圆：， 所以它们的长轴不相等，短轴不相等，离心率不相等，焦距相等. 故选：D. 2．（2024·浙江宁波·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过上顶点作直线交椭圆于另一点.若，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】椭圆中焦点三角形的周长问题、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】先根据椭圆的定义确定中各边的长度，再结合，用余弦定理列式，化简可求椭圆的离心率. 【详解】如图：    因为的周长为，，，所以，. 又， 所以. 所以椭圆的离心率为. 故选：C 3．（2024·辽宁·模拟预测）已知椭圆与双曲线有共同的焦点是椭圆与双曲线的一个公共点，且，其离心率分别为，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．6 D．12 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、基本不等式求和的最小值、椭圆定义及辨析 【分析】根据椭圆以及双曲线定义利用余弦定理和基本不等式计算可得当时，取得最小值为3. 【详解】设，由余弦定理得，即； 在椭圆中，等于椭圆的长轴长，因此， 在双曲线中，等于双曲线的实轴长，因此， 则． 所以， 当且仅当时等号成立 故选：A 4．（2024·山西太原·一模）设双曲线（、均为正值）的渐近线的倾斜角为，且该双曲线与椭圆的离心率之积为1，且有相同的焦距，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、求椭圆的焦点、焦距 【分析】运用共焦点条件得到双曲线中，由两曲线的离心率之积为1得，再用转化得到，进而得到. 【详解】由题意易得，在双曲线中，即， 由于椭圆离心率为，且由两曲线的离心率之积为1得. ，，，，又， 或， 故选：C. 5．（2024·湖南·三模）已知是椭圆的左、右焦点，O是坐标原点，过作直线与C交于A，B两点，若，且的面积为，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中焦点三角形的周长问题、椭圆中三角形（四边形）的面积 【分析】设，首先证明，结合题意算得解得，即可得三角形为等边三角形，进一步结合椭圆定义可得，，，即是的中点，结合勾股定理、离心率公式即可求解. 【详解】 我们首先来证明一个引理：若，则， 证明如下：设，则由余弦定理有 ，即， 所以， 所以，从而引理得证； 根据题意可得， ，解得， 因为，所以，解得， 由，，可得三角形为等边三角形， 所以，所以， 所以，所以是的中点， 所以，所以，即， 所以. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：关键在于得出三角形为等边三角形，进一步得出的齐次式关系即可求解. 6．（2024·陕西铜川·三模）已知原点为，椭圆与直线交于两点，线段的中点为，若直线的斜率为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数 【分析】设，则，由点差法求解离心率即可. 【详解】设，则， 则，两式相减可得， ，即， 即，，故. 故选：B 7．（2024·河南濮阳·模拟预测）点是椭圆上的点，以为圆心的圆与轴相切于椭圆的焦点，圆与轴相交于两点，若是锐角三角形，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围 【分析】根据轴可设，代入椭圆方程可求得圆的半径，根据为锐角三角形，可构造关于的齐次不等式，进而配凑出离心率，解不等式即可求得结果. 【详解】圆与轴相切于焦点，轴，可设， 在椭圆上，，解得：，圆的半径为； 作轴，垂足为， ，， 为锐角三角形，，， ，即，解得：， 即椭圆离心率的取值范围为. 故选：D. 8．（2024·江西鹰潭·三模）已知椭圆的左、右焦点分别为，倾斜角为且过原点的直线交椭圆于两点.若，设椭圆的离心率为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据题意，得到四边形为矩形，由直线过原点且倾斜角为，在和中，利用余弦定理计算得，结合椭圆的定义,求得离心率，进而计算出. 【详解】如图所示，    因为，且分别为和的中点，，所以四边形为矩形， 又直线过原点且倾斜角为，即，，且为等腰三角形， 所以，在中，根据余弦定理可得，即， 同时，在中，根据余弦定理可得，即， 所以，可得， . 故选：B. 9．（2024·浙江绍兴·三模）已知直线与椭圆C：交于，两点，以线段为直径的圆过椭圆的左焦点，若，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】由题意可得四边形为矩形，结合椭圆定义与勾股定理可将分别用和表示，即可得离心率. 【详解】取右焦点，连接、，由在以线段为直径的圆上， 故，结合对称性可知四边形为矩形，有， 有，又， 由，则，， 由椭圆定义可得， 故， 则. 故选：C. 10．（2024·山东青岛·三模）已知 为坐标原点，椭圆的左，右焦点分别为，左、右顶点分 别为，焦距为，以 为直径的圆与椭圆 在第一和第三象限分别交于 两点.且，则椭圆的离心率为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】求得为直径的圆的方程为，与椭圆方程联立方程组可得，根据已知可是，求解即可得椭圆的离心率. 【详解】以 为直径的圆的方程为， 联立，解得， 所以， 又， 所以，， 所以， 所以，所以， 所以，所以， 解得或（舍去）. 所以. 故椭圆的离心率为. 故选：D. 11．（2024·上海·三模）已知是圆柱下底面的一条半径，，，为该圆柱侧面上一动点，垂直下底面于点，若，则对于下述结论：①动点的轨迹为椭圆；②动点的轨迹长度为；以下说法正确的为（    ）． A．①②都正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①②都错误 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】圆柱轴截面的有关计算、轨迹问题——椭圆 【分析】把侧面展开，建立坐标系，可得的轨迹. 【详解】以A为原点将圆柱侧面和底面展开如下图， 设，所以,, 由题意，， 所以当时，同理时， 所以点的轨迹在展开图中为两条互相垂直的线段，在圆柱面上不是椭圆， 两条线段的长度均为，故轨迹长为. 故选:C. 【点睛】关键点点睛：关键是通过展开把几何体内的动点转化成平面中的动点问题，然后找动点横纵坐标的关系. 12．（2024·四川·三模）已知椭圆 的左、右焦点分别为，点是椭圆上一点，若的内心为，连接并延长交轴于点，且，则椭圆的短轴长为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】求椭圆的长轴、短轴、椭圆中焦点三角形的其他问题 【分析】合理构建图形，利用角平分线定理和等比定理得到，再求短轴长度即可. 【详解】 如图，连接在和中， 利用角平分线定理可得 由等比定理可得从而. 故椭圆的短轴长为，故B正确. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题考查解析几何，解题关键是合理构建图形，然后利用角平分线定理和等比定理得到，再求解短轴长度即可． 13．（2024·四川·模拟预测）已知，分别是椭圆C：的左、右焦点，O为坐标原点，M，N为C上两个动点，且，面积的最大值为，过O作直线MN的垂线，垂足为H，则（   ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】椭圆中向量点乘问题、椭圆中焦点三角形的面积问题、根据韦达定理求参数 【分析】依题意当在椭圆短轴的顶点时面积取得最大值，即可求出椭圆方程，当直线的斜率存在时，设其方程为，，，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，由，可得，及，从而得到，从而得到，在根据数量积的坐标表示计算可得. 【详解】依题意当在椭圆短轴的顶点时面积取得最大值，又， 所以，解得，所以，则椭圆方程为， 当直线的斜率存在时，设其方程为，，， 由，消去整理得， 在的条件下，可知，， 又，所以，即， 即，即， 所以， 所以，所以， 当直线的斜率不存在时，则为与轴的交点， 又，根据对称性可知， 设，则（或）， 所以，则，所以， 又，，所以，， 所以. 故选：D 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 14．（2024·陕西铜川·三模）已知为椭圆的左､右焦点，点在上且位于第一象限，圆与线段的延长线､线段以及轴均相切，的内切圆的圆心为.若圆与圆外切，且圆与圆的面积之比为9，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中焦点三角形的其他问题、判断圆与圆的位置关系 【分析】设圆、与轴的切点分别为，，圆心、在的角平分线上，从而切点也在的角平分线上，所以，由切线的性质求得，，由圆面积比得半径比，然后由相似形得出的关系式，从而求得离心率． 【详解】由已知及平面几何知识可得圆心在的角平分线上. 如图，设圆与轴的切点分别为，由平面几何知识可得， 直线为两圆的公切线，公切点也在的角平分线上， 则，所以，    由椭圆的定义知，则， ， ， . 又圆与圆的面积之比为圆与圆的半径之比为3， 所以，即，故椭圆的离心率. 故选：A 【点睛】方法点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： （1）求出a，c，代入公式； （2）只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)． 15．（2024·北京丰台·二模）“用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线”．利用这个原理，小明在家里用两个射灯（射出的光锥视为圆锥）在墙上投影出两个相同的椭圆（图1），光锥的一条母线恰好与墙面垂直．图2是一个射灯投影的直观图，圆锥的轴截面是等边三角形，椭圆所在平面为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、余弦定理解三角形 【分析】根据题意，由勾股定理结合余弦定理代入计算可得，再由相似三角形的相似比结合勾股定理可分别计算出椭圆的，结合椭圆的离心率即可得到结果. 【详解】设，由于，所以，在等边三角形中， 点为的中点，于是，在平面中，由椭圆的对称性可知， ，连接，延长与交于点， 由于为中点，所以在中，， 由勾股定理可得， 在中，，，，由余弦定理可得 ， 在中，由于，所以， 于是有， 设椭圆短轴的两个顶点为，连接分别交圆锥于， 由于，所以， 由于为圆锥母线，所以， 从而有， 在中，由勾股定理可得， 所以在椭圆中，，， 则， 则离心率为. 故选：D 【点睛】关键点睛：本题主要考查了椭圆定义的理解以及椭圆离心率的求解，难度较大，解答本题的关键在于结合椭圆的定义以及余弦定理代入计算，分别求得，从而得到结果. 二、多选题（每小题6分，在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.） 16．（2024·甘肃庆阳·一模）已知椭圆：，则（    ） A．的焦点在轴上 B．的焦距为10 C．的离心率为 D．的长轴长是短轴长的5倍 【答案】BC 【难度】0.85 【知识点】根据椭圆方程求a、b、c、求椭圆的焦点、焦距、求椭圆的长轴、短轴、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据椭圆的几何性质即可逐一求解. 【详解】对于椭圆：，可得， 故椭圆的焦点在轴上，焦距为，离心率为， 长轴长为，短轴长为，故AD错误，BC正确. 故选：BC 17．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）已知椭圆的左右焦点分别是，以为直径的圆与在第一象限交于点，延长线段交于点.若，则（    ） A． B．的面积为 C．椭圆的离心率为 D．直线的斜率为 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中三角形（四边形）的面积、椭圆定义及辨析 【分析】对于A，结合椭圆的定义即可得解；对于B，设，结合椭圆定义，和直角三角形中勾股定理，得出，从而得出面积；对于C，在中，利用勾股定理得出a与c的齐次方程，从而得解；对于D，在中，求得，在中，求得，结合两角差的正切公式可以求得，从而得到直线的斜率. 【详解】 对于A，由椭圆的定义可得，，，又，所以，故A正确； 对于B，如图，连接，，设（），则. 因为，， 所以，. 因为为圆的直径，所以，在中，， 即，整理得， 所以，故B错误； 对于C，在中，，. 所以，即， 解得；，即，故C正确； 对于D，在中， 在中， 所以， 所以直线的斜率为．故D正确； 故选：ACD 18．（2024·福建福州·模拟预测）已知为椭圆的左，右焦点，为平面上一点，若，则（    ） A．当为上一点时，的面积为1 B．当为上一点时，的值可以为1 C．当满足条件的点均在内部时，则的离心率小于 D．当点在的外部时，在上必存在点，使得 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中三角形（四边形）的面积、椭圆定义及辨析 【分析】根据椭圆的定义，求的面积，判断A 的真假；根据A的结论和的取值范围，判断B的真假；根据点在椭圆内部，判断，的关系，确定离心率的取值范围；根据点在椭圆内部，判断的大小. 【详解】对A：如图： 因为点在椭圆上，不妨设点在第一象限，所以， 又因为，所以. 所以，所以，故A正确； 对B：因为，，所以，而. 所以不可能为1，故B错误； 对C：如图： 当都在椭圆内部，则，故C正确； 对D：如图： 当在的外部时，因为，所以以，为直径的圆与椭圆必有交点，不妨取，则，故D正确. 故选：ACD 19．（2024·河北·三模）已知一个装有半瓶水的圆柱形玻璃杯，其底面半径为，玻璃杯高为（玻璃厚度忽略不计），其倾斜状态的正视图如图所示，表示水平桌面．当玻璃杯倾斜时，瓶内水面为椭圆形，阴影部分为瓶内水的正视图．设，则下列结论正确的是（    ） A．当时，椭圆的离心率为 B．当椭圆的离心率最大时， C．当椭圆的焦距为4时， D．当时，椭圆的焦距为6 【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的焦点、焦距、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据，椭圆长轴为，短轴长为，求离心率判断A，由离心率最大知长轴最长可得求解判断B，由离心率求出即可判断C，由求出，再得出焦距判断D. 【详解】过作于，如图， 由，当时，在中，， 所以椭圆中，，故A正确； 因为椭圆的短轴长为定值6，，所以当椭圆的长轴最长时，椭圆的离心率最大， 由图可知，椭圆长轴为时，椭圆的长轴最长，此时，故B错误； 当椭圆的焦距为4时，，即， 所以，所以，故C错误； 当时，，所以， 由勾股定理可得，即，， 所以，所以焦距，故D正确. 故选：AD 20．（2024·山东潍坊·二模）已知椭圆：的焦点分别为，，P为上一点，则（   ） A．的焦距为 B．的离心率为 C．的周长为 D．面积的最大值为 【答案】ABD 【难度】0.85 【知识点】椭圆中焦点三角形的周长问题、求椭圆的焦点、焦距、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中焦点三角形的面积问题 【分析】根据椭圆方程求出，再结合椭圆的性质逐一判断即可. 【详解】设椭圆：的长轴长为，短轴长为，焦距为， 则，故， 所以的焦距为，故A正确； 的离心率为，故B正确； 的周长为，故C错误； 对于D，当点位于椭圆的上下顶点时，的面积最大， 最大值为，故D正确. 故选：ABD. 21．（2024·河南·三模）已知曲线，曲线，下列结论正确的是（    ） A．与有4条公切线 B．若分别是上的动点，则的最小值是3 C．直线与的交点的横坐标之积为 D．若是上的动点，则的最小值为8 【答案】BCD 【难度】0.4 【知识点】基本不等式求和的最小值、利用椭圆定义求方程、轨迹问题——圆、求直线与椭圆的交点坐标 【分析】运用椭圆与圆的定义画出曲线、曲线两个图象，结合图象可判断A项、B项，分别联立直线与曲线方程、曲线方程求解可判断C项，运用基本不等式求解可判断D项. 【详解】因为表示点到点与点的距离之和为4， 所以根据椭圆的定义可得的方程可化为. 由，得， 所以表示圆的左半部分. 对于A项，如图所示， 则的公切线只有2条，故A项错误； 对于B项，如图所示， 当、分别位于如图位置时，取得最小值是，故B项正确； 对于C项，如图所示， 由得（），解得， 所以直线与的交点的横坐标为4， 由得，， 所以直线与有两个交点、，不妨设，， 则， 所以直线与的交点的横坐标之积为，故C项正确； 对于D项，由，得，则（）， 所以，当且仅当，即时，等号成立，故D项正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，利用椭圆的定义与圆的标准方程得到曲线的轨迹，从而得解. 22．（2024·浙江绍兴·模拟预测）孔明锁是中国古代传统益智游戏.左下图即是一个孔明锁.其形状可视为右下图所示的一个几何体：如图，三个轴线相互垂直的长方体的公共部分为一个棱长为1的立方体，且，，，，为其表面上的一个动点，球为能够使该几何体在其内能够自由转动的最小球体.其中为球上的一个动点，以下说法正确的是（    ）      A．最大值为. B．若在公共正方体的外接球上，那么其轨迹长度为 C． D．若满足，则的轨迹长度为 注：表示椭圆的周长大小 【答案】BD 【难度】0.4 【知识点】多面体与球体内切外接问题、利用椭圆定义求方程、立体几何中的轨迹问题 【分析】对于A，给出一个反例即可，对于B，将其轨迹的长度计算转化为圆周长的计算即可；对于C，说明不一定成立即可，对于D，讨论其轨迹形状，并组合成一个椭圆和一个圆，再求其长度. 【详解】    根据题目条件可知，球为该几何体的外接球，其半径. 对于A，由于当位于长方体的某个顶点，而位于其对径点处时， 有，故A错误； 对于B，由于公共正方体的外接球和几何体的交线是公共正方体的个面各自的外接圆， 这些圆的半径都是，所以其轨迹长度为，故B正确； 对于C，设到平面的距离为，由于点都在球上，所以， 从而到平面的距离的取值范围是，再记的面积为， 则的取值范围是，从而不等式并不一定成立，故C错误； 对于D，由，可知此时的轨迹分为以下几个部分： ①两个同时包含两点（且位于一条边上）的面和上都各有两段轨迹， 两个同时包含两点（位于一组对边上）的面和上都各有一段轨迹， 这些轨迹都是椭圆的一部分，且可以拼成一个完整的椭圆，其半长轴为，半焦距为（从而半短轴为）； ②四个恰包含两点中的一点的面上都各有一段轨迹， 每段轨迹都是一个圆的，对应圆的半径满足， 解得，从而圆弧部分的总长度为， 所以的轨迹长度为，故D正确. 故选：BD. 【点睛】关键点点睛：对于轨迹的长度问题，需要将其分为不同的面上分别讨论，再进行组合. 三、填空题（每小题5分，把答案填在答题卡中的横线上.） 23．（2024·吉林长春·一模）已知椭圆的上、下顶点分别为A、B，右焦点为F，B关于点的对称点为.若过三点的圆的半径为，则的离心率为 . 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据题设求、的中垂线方程并求交点坐标，结合已知条件列方程求椭圆参数数量关系，即可求离心率. 【详解】由题设，则的中点为，而， 所以中垂线的斜率为，故的中垂线方程为①， 由B关于点的对称点为，则，故中垂线为②， 联立①②，可得，故过三点的圆的圆心为， 由题意有，可得. 故答案为： 24．（2024·福建·模拟预测）将一装有适量水的圆柱容器斜靠在墙面，已知墙面与水平地面垂直，若圆柱轴线与水平地面所成角为，则液面所呈椭圆的离心率为 ． 【答案】/0.5 【难度】0.85 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据题意得到的值，然后利用离心率公式求出椭圆的离心率. 【详解】设圆柱的底面半径为，由题意可知， ，即， 因此，该椭圆的离心率为. 故答案为：. 25．（2024·山东淄博·二模）“若点P为椭圆上的一点，为椭圆的两个焦点，则椭圆在点处的切线平分的外角”，这是椭圆的光学性质之一．已知椭圆，点P是椭圆上的点，在点处的切线为直线，过左焦点作的垂线，垂足为，设点的轨迹为曲线．若是曲线上一点，已知点，则的最小值为 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】轨迹问题——圆、求椭圆中的最值问题、椭圆定义及辨析、椭圆中的定值问题 【分析】先由已知椭圆的性质结合椭圆定义可得轨迹，再利用圆的性质在轴上找一定点，满足，从而将转化为最值问题求解可得. 【详解】由椭圆方程，知. 如图，延长、交于点，由题意可知， 又因为，则为的中点，且， 所以，， 又因为为的中点，则. 故点的轨迹为以为原点，为半径的圆，圆的方程为. 设在轴上存在定点，使得圆上任意一点，满足， 由，则， 化简得， 又∵，代入得， 要使等式恒成立，则，即. ∴存在定点，使圆上任意一点满足， 则，当三点共线（位于两侧）时，等号成立. 由，则， 所以，当三点共线（位于两侧）时等号成立. 如图，连接，线段与圆的交点即为取最值时的点，此时取到最小值. 故答案为：5. 【点睛】方法点睛：借助阿氏圆探究最值问题：若为两定点，动点满足，则时，动点的轨迹为直线；当且时，动点的轨迹为圆，此圆称之为阿波罗尼斯圆，也称阿氏圆.借助阿波罗尼斯圆，可以转化动点到定点的距离，化系数为，从而转化为到另一定点的距离进而由几何性质等求解最值. 26．（2024·西藏·模拟预测）已知椭圆：的离心率为，F是椭圆C的右焦点，P为椭圆C上任意一点，的最大值为．设点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】椭圆上点到焦点的距离及最值、求椭圆中的最值问题 【分析】首先根据题目条件求出和，然后根据椭圆定义进行转换，求出的最小值. 【详解】设椭圆C的半焦距为c，由题意，得，，所以，． 设椭圆C的左焦点为，则， 所以． 故答案为：． 27．（23-24高二下·上海嘉定·期末）“用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线”，利用这个原理，小强在家里用两个射灯(射出的光锥视为圆锥)在墙上投影出两个相同的椭圆（图1），光锥的一条母线恰好与墙面垂直．图2是一个射灯投影的直观图，圆锥的轴截面是等边三角形，椭圆所在平面为，则椭圆的离心率为 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、圆锥中截面的有关计算 【分析】根据题意，由勾股定理结合余弦定理代入计算可得，再由相似三角形的相似比结合勾股定理可分别计算出椭圆的，结合椭圆的离心率定义即可得到结果. 【详解】设，由于，所以，在等边三角形中， 点为的中点，于是，在平面中，由椭圆的对称性可知， ，连接，延长与交于点， 由于为中点，所以在中，， 由勾股定理可得， 在中，，，，由余弦定理可得 ， 在中，由于，所以， 于是有， 设椭圆短轴的两个顶点为，连接分别交圆锥于， 由于，所以， 由于为圆锥母线，所以， 从而有， 在中，由勾股定理可得， 所以在椭圆中，，， 则， 则离心率为. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题主要考查了椭圆定义的理解以及椭圆离心率的求解，难度较大，解答本题的关键在于结合椭圆的定义以及余弦定理代入计算，分别求得，从而得到结果. 28．（2024·福建南平·模拟预测）椭球面镜具有改变光路的方向、使光束会聚的作用，它经常被用来制作精密的光学仪器的部件．椭球面镜是以椭圆的长轴为旋转轴，把椭圆转动形成的立体图形，其内表面全部做成反射面，中空，椭球面镜可以将从某个焦点发出的光线全部反射到另一个焦点处．从椭球面镜的焦点射出的两条光线，经椭球面镜上的两点反射后汇聚于焦点，若，且，则椭球面镜的轴截面椭圆的离心率为 ． 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】椭圆定义及辨析、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】利用焦半径三角形的性质，即椭圆的几何定义，结合已知的线段比，就可以得到三边关系，从而利用勾股定理得到直角三角形，再解三角形即可得离心率. 【详解】 设椭圆的长轴长为，焦距为，短轴长为， 则， 由椭圆的定义得， 所以，因为，所以， 又，所以为椭圆的短轴端点． 设为椭圆的中心，因为， 所以，又在Rt中，， 所以，所以， 故答案为：. 29．（2024·山东泰安·模拟预测）已知分别是椭圆的左，右焦点，是上两点，且，，则的离心率为 . 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】椭圆定义及辨析、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】设，利用椭圆的定义式，分别表示出，和，利用，推理得到，利用建立的齐次式，计算即得. 【详解】如图，连接，设，则，，， 在中，，即， ，，，， 在中，，即， ，，又， . 故答案为：. 30．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，已知圆和椭圆，点，，直线交轴于，直线平行轴交于（点在轴上方），，直线交于点，直线交轴于点，则椭圆的长轴长为 ． 【答案】8 【难度】0.4 【知识点】求椭圆的长轴、短轴、求椭圆上点的坐标 【分析】设出点坐标，结合题意，利用斜率相等可得点坐标，同理可逐步计算出点、点、点、点坐标，最后结合点坐标解出的值即可得解. 【详解】设，由， 解得，，即，即， 则有，即， 又，解得，即， 则，由，有， 设，，有，由可得， 故，化简得，即或（舍去）， 则，则，由，解得， 故椭圆的长轴长为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于设出点坐标，结合题意，利用斜率相等逐步计算出点、点、点、点坐标，最后结合点坐标解出的值. 四、填空题（解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 31．（2024·江西景德镇·一模）已知为坐标原点，椭圆，是上一点，离心率. (1)求的方程； (2)斜率为的直线交于，两点，在以为直径的圆上，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程 【分析】（1）由点在椭圆上及离心率列出等式求解即可； （2）设直线方程，联立椭圆方程，结合韦达定理及弦长公式，再通过三角换元即可求解. 【详解】（1）由题意，解得， ∴椭圆的方程为． （2）设直线为，设，设中点为， 联立， 根据韦达定理可知， 其中． ∴，． ∴， ∴， 令， ∴，等号当且仅当，即时取到，满足 ∴，即的最大值为． 32．（2024·云南大理·一模）已知椭圆的两个焦点为，且椭圆的离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知为坐标原点，斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点，且弦的中点为，直线的斜率为，求； (3)直线与椭圆有两个不同的交点，椭圆在点处的切线分别为与交于点，点在直线上.请你判断直线是否经过定点，并说明理由. 【答案】(1)； (2)； (3)直线恒过定点，理由见解析 【难度】0.15 【知识点】椭圆中的直线过定点问题、椭圆中的定值问题、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】（1）根据离心率和焦点坐标，列出方程组，求出，得到椭圆方程； （2）方法一：利用点差法进行求解；方法二：设，直线，表达出，结合，从而得到； 方法三：设，直线，联立直线与椭圆方程，由韦达定理得到两根之和，从而，故，求出； （3）方法一：设，联立椭圆方程，由得到，由韦达定理得到，，故，得到，同理可得，，联立，求出，结合，求出，设，则，整理得，又，则，从而求出直线恒过定点. 方法二：点在时，求导，得到切线斜率，，求出，同理可得，联立，求出，结合，求出，设，则，整理得，又，则，从而求出直线恒过定点. 【详解】（1）设椭圆的标准方程为：， ， 椭圆的标准方程为：. （2）方法一：点差法： 设，则①， 又在椭圆上，则，， 两式相减得：， 即：②， 由①②得，. 而. 方法二：椭圆方程代换： 设，直线， ①， ②， 又，即③， 由①②③得，； 方法三：联立方程： 设，直线， ①， 联立方程得，， ②， 由①②得，，则. 又， . （3）设，先求椭圆在点处的切线的方程. 方法一：根据判别式求解 椭圆在点处的切线，设， 联立方程得，， ， ， ， . ，即. 同理可得，. ，可得T点的横坐标，即， 又，可得，， 由题意可知直线的斜率不为0，设. ，整理得， ，即. 又，则. ，即直线恒过定点.    方法二：导数的几何意义： . 当点在时，. ，则切线斜率， ， 即.当点在时，同理可得. ，同理可得，. ，可得T点的横坐标，即， 又，可得，， 由题意可知直线的斜率不为0，设. ，整理得， ，即. 又，则. ，即直线恒过定点. 【点睛】知识点点睛：过圆上一点的切线方程为：， 过圆外一点的切点弦方程为：. 过椭圆上一点的切线方程为， 过双曲线上一点的切线方程为 33．（2023·河北·三模）已知椭圆经过点，离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)若不过点的直线与椭圆交于两点，且满足.证明：为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中的定值问题、根据离心率求椭圆的标准方程 【分析】（1）根据题意求得的值，即可得到椭圆的方程； （2）联立椭圆与直线方程，根据题意利用韦达定理算出即可. 【详解】（1）由题意知，离心率为，，那么， 把代入椭圆，可得：，所以，那么椭圆的标准方程：. （2）设，联立直线和椭圆的方程：, 可得：， 由题意可知：， 整理可得：， 即：， 整理可得：， 即：， 那么或， 当时，过点，所以舍去， 所以为定值. 【点睛】关键点点睛：依题设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值. 34．（2024·四川成都·模拟预测）已知点，，点P在以AB为直径的圆C上运动，轴，垂足为D，点M满足，点M的轨迹为W，过点的直线l交W于点E、F. (1)求W的方程； (2)若直线l的倾斜角为，求直线l被圆C截得的弦长； (3)设直线AE，BF的斜率分别为，，证明为定值，并求出该定值. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析，2 【难度】0.4 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、圆的弦长与中点弦、轨迹问题——椭圆、椭圆中的定值问题 【分析】（1）由已知可得圆的方程，设，，，根据，可得，，代入圆的方程即可求解； （2）由已知可得直线方程，求出圆心到直线的距离，由勾股定理即可求解； （3）根据题意可知直线斜率不为0，设直线的方程为，，，联立直线和椭圆构成方程组，根据斜率的计算公式结合韦达定理即可求解. 【详解】（1）    由题意，点在圆上运动，设，，， 由得，， 又，所以，所以的方程为； （2）直线的方程为，即， 圆心到直线的距离为， 所以直线被圆C截得的弦长为； （3）    由题意，直线斜率不为0，设直线的方程为，，， 联立得， 所以，， 故， . 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 35．（2023·河北保定·三模）设椭圆的左､右顶点分别为，离心率为，且. (1)求椭圆的标准方程； (2)设点为椭圆上异于的两动点，记直线的斜率为，直线的斜率为，已知.直线与轴相交于点，求的面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】椭圆中三角形（四边形）的面积、椭圆中的直线过定点问题、根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】（1）根据长轴长和离心率列方程组求解即可； （2）设，直线，直线，分别将直线和直线方程与椭圆联立，求得坐标，利用三点共线求得定点，再表示出的面积表达式，利用基本不等式求解最大值即可. 【详解】（1）因为， 所以解得 所以椭圆的标准方程为； （2）由可得点， 设，直线，直线， 联立消去得，解得. 联立消去得，解得. 因为，且， 此时， 设，由三点共线，所以， 则 ， 所以. 所以， 当且仅当，即时等号成立. 所以的最大值为. 36．（2025·安徽·一模）椭圆的上顶点为，圆在椭圆内． (1)求的取值范围； (2)过点作圆的两条切线，切点为，切线与椭圆的另一个交点为，切线与椭圆的另一个交点为．是否存在圆，使得直线与之相切，若存在求出圆的方程，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【难度】0.65 【知识点】求平面两点间的距离、由直线与圆的位置关系求参数、求点到直线的距离、求椭圆的顶点坐标 【分析】（1）设为椭圆上任意一点，再根据两点间距离小于半径即可得出范围； （2）设直线的方程直线,由点到直线距离等于半径得出的方程为，最后再应用圆心到直线距离等于半径求参即可求出圆的方程． 【详解】（1）设为椭圆上任意一点，，则． 则．故． （2） 由题意可知，设，因为，故切线的斜率都存在． 又直线的方程为，即为， 直线的方程为． 则，故． 而，故，又因为． 故，同理． 故直线的方程为． 若直线与圆相切，则，令． 故，即．故，或． 故存在满足条件的圆，其方程为． 1．（2023·全国·高考真题）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】椭圆中焦点三角形的面积问题 【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出的面积，即可解出； 方法二：根据椭圆的定义以及勾股定理即可解出． 【详解】方法一：因为，所以， 从而，所以． 故选：B. 方法二： 因为，所以，由椭圆方程可知，， 所以，又，平方得： ，所以． 故选：B. 2．（2023·全国·高考真题）设椭圆的离心率分别为．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】由椭圆的离心率求参数的取值范围、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据给定的椭圆方程，结合离心率的意义列式计算作答. 【详解】由，得，因此，而，所以. 故选：A 3．（2024·全国·高考真题）已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求平面轨迹方程、轨迹问题——椭圆 【分析】设点，由题意，根据中点的坐标表示可得，代入圆的方程即可求解. 【详解】设点，则， 因为为的中点，所以，即， 又在圆上， 所以，即， 即点的轨迹方程为. 故选：A 4．（2022·全国·高考真题）已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据离心率求椭圆的标准方程 【分析】根据离心率及，解得关于的等量关系式，即可得解. 【详解】解：因为离心率，解得，， 分别为C的左右顶点，则， B为上顶点，所以. 所以，因为 所以，将代入，解得， 故椭圆的方程为. 故选：B. 5．（2022·全国·高考真题）已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是 ． 【答案】13 【难度】0.65 【知识点】椭圆中焦点三角形的周长问题、根据离心率求椭圆的标准方程 【分析】利用离心率得到椭圆的方程为，根据离心率得到直线的斜率，进而利用直线的垂直关系得到直线的斜率，写出直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，利用弦长公式求得，得，根据对称性将的周长转化为的周长，利用椭圆的定义得到周长为. 【详解】∵椭圆的离心率为，∴，∴，∴椭圆的方程为，不妨设左焦点为，右焦点为，如图所示，∵，∴，∴为正三角形，∵过且垂直于的直线与C交于D，E两点，为线段的垂直平分线，∴直线的斜率为，斜率倒数为， 直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：， 判别式， ∴， ∴ ， 得， ∵为线段的垂直平分线，根据对称性，，∴的周长等于的周长，利用椭圆的定义得到周长为. 故答案为：13. 6．（2021·浙江·高考真题）已知椭圆，焦点，，若过的直线和圆相切，与椭圆在第一象限交于点P，且轴，则该直线的斜率是 ，椭圆的离心率是 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】直线斜率的定义、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】不妨假设，根据图形可知，，再根据同角三角函数基本关系即可求出；再根据椭圆的定义求出，即可求得离心率． 【详解】 如图所示：不妨假设，设切点为， ， 所以, 由，所以，， 于是，即，所以． 故答案为：；． 7．（2019·全国·高考真题）设为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限.若为等腰三角形，则的坐标为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】椭圆的定义 【分析】根据椭圆的定义分别求出，设出的坐标，结合三角形面积可求出的坐标. 【详解】由已知可得， 又为上一点且在第一象限,为等腰三角形， ．∴． 设点的坐标为，则， 又，解得， ，解得（舍去）， 的坐标为． 【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养． 8．（2018·北京·高考真题）已知椭圆，双曲线．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为 ；双曲线N的离心率为 ． 【答案】 2 【难度】0.65 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】方法一：由正六边形性质得渐近线的倾斜角，解得双曲线中关系，即得双曲线N的离心率；由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为，再根据椭圆定义得，解得椭圆M的离心率. 【详解】［方法一］：【最优解】数形结合＋定义法 由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为，再根据椭圆定义得，所以椭圆M的离心率为 双曲线N的渐近线方程为，由题意得双曲线N的一条渐近线的倾斜角为，    故答案为：；． ［方法二］： 数形结合＋齐次式求离心率 设双曲线的一条渐近线与椭圆在第一象限的交点为，椭圆的右焦点为．由题可知，为正六边形相邻的两个顶点，所以（O为坐标原点）． 所以．因此双曲线的离心率． 由与联立解得． 因为是正三角形，所以，因此，可得． 将代入上式，化简、整理得，即，解得，（舍去）． 所以，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为2． 故答案为：；． ［方法三］：数形结合＋椭圆定义＋解焦点三角形 由条件知双曲线N在第一、三象限的渐近线方程为，于是双曲线N的离心率为． 设双曲线的一条渐近线与椭圆在第一象限的交点为A，椭圆的左、右焦点分别为．在中，． 由正弦定理得． 于是． 即椭圆的离心率． 故答案为：；． 【整体点评】方法一：直接根据椭圆的定义以及正六边形性质求解，是该题的最优解； 方法二：利用正六边形性质求出双曲线的离心率，根据平面几何条件创建齐次式求出椭圆的离心率，运算较为复杂； 方法三：利用正六边形性质求出双曲线的离心率，再根据通过解焦点三角形求椭圆离心率． 9．（2024·全国·高考真题）已知椭圆的右焦点为，点在上，且轴． (1)求的方程； (2)过点的直线交于两点，为线段的中点，直线交直线于点，证明：轴． 【答案】(1) (2)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】根据椭圆过的点求标准方程、椭圆中的定值问题 【分析】（1）设，根据的坐标及轴可求基本量，故可求椭圆方程. （2）设，，，联立直线方程和椭圆方程，用的坐标表示，结合韦达定理化简前者可得，故可证轴. 【详解】（1）设，由题设有且，故，故，故， 故椭圆方程为. （2）直线的斜率必定存在，设，，， 由可得， 故，故， 又， 而，故直线，故， 所以 ， 故，即轴. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 10．（2024·天津·高考真题）已知椭圆的离心率为．左顶点为，下顶点为是线段的中点（O为原点），的面积为． (1)求椭圆的方程． (2)过点C的动直线与椭圆相交于两点．在轴上是否存在点，使得恒成立．若存在，求出点纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，使得恒成立. 【难度】0.65 【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程、求椭圆中的参数及范围、根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】（1）根据椭圆的离心率和三角形的面积可求基本量，从而可得椭圆的标准方程. （2）设该直线方程为：，， 联立直线方程和椭圆方程并消元，结合韦达定理和向量数量积的坐标运算可用表示，再根据可求的范围. 【详解】（1）因为椭圆的离心率为，故，，其中为半焦距， 所以，故， 故，所以，，故椭圆方程为：. （2） 若过点的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：， 设， 由可得， 故且 而， 故 ， 因为恒成立，故，解得. 若过点的动直线的斜率不存在，则或， 此时需，两者结合可得. 综上，存在，使得恒成立. 【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的范围问题，往往需要用合适的参数表示目标代数式，表示过程中需要借助韦达定理，此时注意直线方程的合理假设. 11．（2024·广东江苏·高考真题）已知和为椭圆上两点. (1)求C的离心率; (2)若过P的直线交C于另一点B，且的面积为9，求的方程． 【答案】(1) (2)直线的方程为或. 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、根据韦达定理求参数、根据椭圆过的点求标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积 【分析】（1）代入两点得到关于的方程，解出即可； （2）方法一：以为底，求出三角形的高，即点到直线的距离，再利用平行线距离公式得到平移后的直线方程，联立椭圆方程得到点坐标，则得到直线的方程；方法二：同法一得到点到直线的距离，再设，根据点到直线距离和点在椭圆上得到方程组，解出即可；法三：同法一得到点到直线的距离，利用椭圆的参数方程即可求解；法四：首先验证直线斜率不存在的情况，再设直线，联立椭圆方程，得到点坐标，再利用点到直线距离公式即可；法五：首先考虑直线斜率不存在的情况，再设，利用弦长公式和点到直线的距离公式即可得到答案；法六：设线法与法五一致，利用水平宽乘铅锤高乘表达面积即可. 【详解】（1）由题意得，解得， 所以. （2）法一：，则直线的方程为，即， ，由（1）知， 设点到直线的距离为，则， 则将直线沿着与垂直的方向平移单位即可， 此时该平行线与椭圆的交点即为点， 设该平行线的方程为：， 则，解得或， 当时，联立，解得或， 即或， 当时，此时，直线的方程为，即， 当时，此时，直线的方程为，即， 当时，联立得， ，此时该直线与椭圆无交点. 综上直线的方程为或. 法二：同法一得到直线的方程为， 点到直线的距离， 设，则，解得或， 即或，以下同法一. 法三：同法一得到直线的方程为， 点到直线的距离， 设，其中，则有， 联立，解得或， 即或，以下同法一； 法四：当直线的斜率不存在时，此时， ，符合题意，此时，直线的方程为，即， 当线的斜率存在时，设直线的方程为， 联立椭圆方程有，则，其中，即， 解得或，，， 令，则，则 同法一得到直线的方程为， 点到直线的距离， 则，解得， 此时，则得到此时，直线的方程为，即， 综上直线的方程为或. 法五：当的斜率不存在时，到距离， 此时不满足条件. 当的斜率存在时，设，令， ，消可得， ，且，即， ， 到直线距离， 或，均满足题意，或，即或. 法六：当的斜率不存在时，到距离， 此时不满足条件. 当直线斜率存在时，设， 设与轴的交点为，令，则， 联立，则有， ， 其中，且， 则， 则，解的或，经代入判别式验证均满足题意. 则直线为或，即或. 12．（2023·天津·高考真题）已知椭圆的左右顶点分别为，右焦点为，已知． (1)求椭圆的方程和离心率； (2)点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线交轴于点，若三角形的面积是三角形面积的二倍，求直线的方程． 【答案】(1)椭圆的方程为，离心率为. (2). 【难度】0.65 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中三角形（四边形）的面积、根据韦达定理求参数 【分析】（1）由解得，从而求出，代入椭圆方程即可求方程，再代入离心率公式即求离心率. （2）先设直线的方程，与椭圆方程联立，消去，再由韦达定理可得，从而得到点和点坐标.由得，即可得到关于的方程，解出，代入直线的方程即可得到答案. 【详解】（1）如图，    由题意得，解得，所以， 所以椭圆的方程为，离心率为. （2）由题意得，直线斜率存在，由椭圆的方程为可得， 设直线的方程为， 联立方程组，消去整理得：， 由韦达定理得，所以， 所以，. 所以,,， 所以， 所以，即， 解得，所以直线的方程为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$