专题8.3 直线与圆、圆与圆的位置关系（模拟+真题精练）-备战2025年高考数学一轮复习题型精讲与精练（新高考通用）

专题8.3 直线与圆、圆与圆的位置关系 一、选择题（每小题5分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．（2024·广西来宾·模拟预测）一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、利用椭圆定义求方程 【分析】计算两个已知圆的圆心和半径，根据圆的位置关系得到动圆圆心到两已知圆圆心距离和为定值，结合椭圆的定义即可得到结果. 【详解】圆可化为，圆心，半径为. 圆可化为，圆心，半径为. 设动圆圆心为点，半径为，圆与圆外切于点，圆与圆内切于点，如图所示： 由题意得，三点共线，三点共线，，， ∴， ∴点的轨迹为以为焦点的椭圆，且，， ∴， ∴点的轨迹方程为. 故选：C. 2．（2024·江西新余·模拟预测）已知为直线上一点，为圆的直径，则对于的说法正确的是：（     ）. A．对于任意固定的点，为定值 B．对于任意固定的，存在点使取最大值 C．对于任意固定的点，存在使取最小值 D．对于任意固定的，当最小时，的坐标固定 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】数量积的运算律、由两条直线垂直求方程、求直线交点坐标、由标准方程确定圆心和半径 【分析】先利用向量的运算化简得，通过和的变化，讨论的最值. 【详解】为圆的直径，，， 由题可得，， 对于任意固定的点，为定值，而， 不是定值，也没有最小值，AC选项错误； 对于任意固定的，为定值，没有最大值，则没有最大值，B选项错误； 的最小值即圆心到直线距离，此时最小， 从往直线作垂线，垂足即为点， 直线斜率为，过与直线垂直的直线方程为， 由解得，即，其坐标固定，D选项正确. 故选：D. 3．（2024·湖北·模拟预测）已知抛物线C：和圆，点是抛物线的焦点，圆上的两点满足，其中是坐标原点，动点在圆上运动，则到直线的最大距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）、根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】由条件化简可知点在圆N:上，所以是圆与圆的公共弦，再求出的方程，数形结合可求到直线的最大距离. 【详解】抛物线的焦点，圆，其圆心，半径． 设点是满足的任意一点，则， 化简得，结合，所以是圆与圆的公共弦， 将圆与圆的方程相减得，直线的方程为， 取线段的中点，连接，则， 则， 故选：A． 4．（24-25高三上·贵州·开学考试）已知圆关于直线对称，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．6 D．4 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】转化为直线过圆心即，再利用基本不等式可得答案. 【详解】因为圆关于直线对称， 所以直线过圆心，即， 则 因为，且，所以， 所以， 当且仅当即等号成立， 则的最小值是4. 故选：D. 5．（2024·河北·模拟预测）过原点且倾斜角为的直线与圆相切，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、求点到直线的距离、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】由题意写出直线方程，再由直线与圆相切，可得圆心到直线的距离等于半径，建立关系式，再化简即可求得． 【详解】解：过原点且倾斜角为的直线的方程为， 又直线与圆相切， 圆心，半径， 可得圆心到直线的距离， 即， 即， 即， 即， 解得： ． 故选：B． 6．（2024·四川达州·二模）如图，与轴交于点、，是上第一象限内的点，、分别在射线、上，交轴于点．若直线的方程为，是线段中点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】直线平行、垂直的判定在几何中的应用、直线的点斜式方程及辨析、求直线交点坐标、由标准方程确定圆心和半径 【分析】设出直线的方程，结合题意计算可得直线的斜率，由直径所对的圆周角是直角可得，即可解出直线的方程，从而可表示出直线的方程，联立即可得其交点的坐标，结合点坐标即可得解. 【详解】令，即有，可得、， 由是上第一象限内的点，故可设， 又，故，则，则有， 由为直径，则，即，又，解得， 即，则，即， 联立两直线，解得，即，又， 则直线的方程为， 整理得. 故选：D. 7．（2024·四川雅安·三模）已知过圆锥曲线的焦点且与焦点所在的对称轴垂直的弦被称为该圆锥曲线的通径，清代数学家明安图在《割圆密率捷法》中，也称圆的直径为通径.已知圆的一条直径与拋物线的通径恰好构成一个正方形的一组邻边，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】抛物线的通径问题、根据抛物线上的点求标准方程、由标准方程确定圆心和半径 【分析】根据圆的通径的上端点就是抛物线通径的上右端点，可得抛物线经过点，从而可得答案. 【详解】因为圆的一条直径与抛物线的通径恰好构成一个正方形的一组邻边， 而抛物线的通径与轴垂直， 所以圆的这条直径与轴垂直， 且圆的直径的上端点就是抛物线通径的右端点， 因为圆的圆心为，半径为， 所以该圆与轴垂直的直径的上端点为， 即抛物线经过点，则，即. 故选：C 8．（2024·陕西铜川·模拟预测）已知，，若圆上存在点P满足，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】设点，由，得P的轨迹方程为，再由两圆相交求解． 【详解】设点，则，， 所以， 所以P的轨迹方程为，圆心为，半径为3． 由此可知圆与有公共点， 又圆的圆心为，半径为2， 所以，解得， 即的取值范围是． 故选：A． 9．（2024·陕西西安·模拟预测）设，直线与直线相交于点，点是圆上的一个动点，则的最小值为（   ）. A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】轨迹问题——圆、直线过定点问题 【分析】由直线方程可得，两条直线相互垂直，通过求出直线恒过的定点，可发现点的轨迹，是在以两个定点作为直径的圆上，从而可得到轨迹方程，可得到圆心距，得到的范围，得到最小值. 【详解】由题意得：， 恒过定点恒过定点，又， 点轨迹是以MN为直径的圆，即以为圆心，为半径的圆，其方程为， 又圆与圆的圆心距， 两圆相离，的最小值是两圆圆心距减去两圆半径之和， 即． 故选： 10．（2024·河北·模拟预测）已知直线：与圆：有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、求点到直线的距离、斜率与倾斜角的变化关系 【分析】直线与圆有公共点可以转化为圆心到直线的距离小于等于半径,然后利用点到直线的距离公式即可. 【详解】圆的圆心为,半径为，直线：， 直线与圆有公共点可以转化为圆心到直线的距离小于等于半径, 即，即， 故，即,解得. 设直线倾斜角为,则,所以. 因为，所以, 所以直线的倾斜角的取值范围是. 故选:C. 二、多选题（每小题6分，在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.） 11．（2024·云南大理·模拟预测）设，过定点A的动直线：，和过定点的动直线：交于点，圆：，则下列说法正确的有（    ） A．直线过定点 B．直线与圆相交最短弦长为2 C．动点的曲线与圆相交 D．最大值为5 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、轨迹问题——圆、过圆内定点的弦长最值（范围）、判断圆与圆的位置关系 【分析】对于A：根据直线过定点分析整理即可；对于B：可知点在圆内部，结合圆的性质分析判断；对于C：分析可知动点的曲线是以为直径的圆，进而判断两圆的位置关系；对于D：根据题意结合基本不等式分析判断. 【详解】由题意可知：圆：的圆心为，半径， 对于选项A：因为动直线：过原点，所以， 由，得，则，故A错误； 对于选项B：因为，可知点在圆内部， 当时，圆心到直线：的最大值为， 所以直线与圆相交最短弦长为，故B正确； 对于选项C：因为：，：， 且，则， 可知动点的曲线是以为直径的圆，且该圆的圆心坐标为，半径为， 因为两圆圆心距为， 可得两圆半径之和为，两圆半径之差为， 因为，所以动点的曲线与圆相交，故C正确； 对于选项D：因为， 当且仅当时，等号成立， 所以最大值为5，故D正确； 故选：BCD. 12．（2024·江西南昌·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知圆的动弦，圆，则下列选项正确的是（   ） A．当圆和圆存在公共点时，则实数的取值范围为 B．的面积最大值为1 C．若原点始终在动弦上，则不是定值 D．若动点满足四边形为矩形，则点的轨迹长度为 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】数量积的坐标表示、轨迹问题——圆、圆内接三角形的面积、由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】根据两圆位置关系列不等式求解实数的范围判断A，根据三角形面积结合正弦函数可求出面积最大值判断B，分类讨论，设直线方程，利用韦达定理结合数量积数量积坐标运算求解判断C，先根据矩形性质结合垂径定理得到点的轨迹，然后利用圆的周长公式求解判断D. 【详解】对于A，圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 当圆和圆存在公共点时，， 所以，解得，所以实数的取值范围为，正确； 对于B，的面积为， 当时，的面积有最大值为1，正确； 对于C，当弦垂直x轴时，，所以， 当弦不垂直x轴时，设弦所在直线为， 与圆联立得，， 设， 则，， 综上，恒为定值，错误； 对于D，设，OP中点，该点也是AB中点，且， 又，所以， 化简得，所以点的轨迹为以为圆心，半径为的圆， 其周长为长度为，正确. 故选：ABD 13．（2024·福建泉州·模拟预测）已知直线与圆相交于两点，下列说法正确的是（    ） A．若圆关于直线对称，则 B．的最小值为 C．当时，对任意，曲线恒过直线与圆的交点 D．若（为坐标原点）四点共圆，则 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】直线交点系方程及应用、圆的弦长与中点弦、相交圆的公共弦方程 【分析】根据对称性判断直线过圆心，即可判断A，将直线的方程整理为，即可说明直线所故定点，当定点为弦的中点时，此时弦长最短，根据弦长公式判断B，根据圆系方程，可判断C，根据几何关系，设出过四点的圆的方程，再求过圆和圆的交点的直线的方程，代入定点，即可判断D. 【详解】A.若圆关于直线对称，则直线过圆的圆心，即，得，故A错误； B. ，整理为，不管为何值，直线始终过点，当是线段的中点时，此时弦长最短， 圆，圆心是，半径， 圆心和点的距离是，所以最短弦长，故B正确； C. 当时，直线， 曲线，即， 所以曲线为过直线与圆交点的曲线方程，故C正确； D.若四点共圆，设此圆为圆，圆的圆心， 的中点为，所以的垂直平分线方程为，所以， 圆的方程为，整理为， 直线是圆与圆的交线，圆与圆的方程相减得 所以直线的方程是， 将直线所过的定点坐标代入上式得，得， 所以直线，即直线的斜率为，即，则，故D正确. 故选：BCD 14．（2024·湖南长沙·模拟预测）若圆与圆交于A，B两点，则下列选项中正确的是（    ） A．点在圆内 B．直线的方程为 C．圆上的点到直线距离的最大值为 D．圆上存在两点P，Q，使得 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、相交圆的公共弦方程 【分析】对于A，将点带入圆即可；对于B，圆与圆方程相减即可；对于C，由圆心到直线的距离再加半径2即可；对于D，直线经过圆的圆心，圆中不存在比长的弦. 【详解】对于A，因为，所以点在圆外，故A错误； 对于B，圆与圆交于两点， 因为圆和圆相交，将两圆相减可得：， 即公共弦所在直线的方程为，故B正确； 对于C，圆的圆心坐标为，半径为2， 圆心到直线的距离， 所以圆上的点到直线距离的最大值为，故C正确； 对于D，直线经过圆的圆心， 所以线段是圆的直径，故圆中不存在比长的弦，D错误. 故选：BC. 三、填空题（每小题5分，把答案填在答题卡中的横线上.） 15．（2024·江西景德镇·一模）已知与，若存在实数的值使得两圆仅有一条公切线，则的最小值为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围、圆的公切线条数 【分析】先确定两圆的圆心和半径，然后根据条件分析出两圆的位置关系，再由圆心距和半径的数量关系求解出结果. 【详解】因为， ∴，半径为， 因为， ∴，半径为， 若两圆仅有一条公切线，即两圆相内切， ∴， 由于，故， 解得，即的最小值为， 故答案为：. 16．（2024·天津河西·模拟预测）已知点为圆上一点，点，当变化时线段AB长度的最小值为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】定点到圆上点的最值（范围） 【分析】根据圆的方程得到圆心的轨迹，然后根据几何知识得到当时线段的长度最小， 然后求线段的长度即可. 【详解】 圆的圆心坐标为，半径，所以圆心在直线：上， 当时线段的长度最小， 点到直线的距离， 所以. 故答案为：. 17．（2024·北京西城·三模）若直线与交于，两点，则面积的最大值为 ，写出满足“面积最大”的的一个值 . 【答案】 2 1（均可） 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求积的最大值、圆的弦长与中点弦、圆内接三角形的面积 【分析】求出圆心到直线的距离，则，再由基本不等式求出面积最大值，以及此时的值. 【详解】直线，则，令，解得， 所以直线恒过点， 的圆心为，半径， 显然点在上， 圆心到直线的距离，， 则， 当且仅当，即时取等号， 即，解得或. 故答案为：；（均可） 18．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）已知圆，直线，为直线上的动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则直线过定点 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、相交圆的公共弦方程 【分析】设出点坐标，可得以为直径的圆的方程，与圆方程作差即可得公共弦方程，即可得定点坐标. 【详解】根据题意，为直线：上的动点，设的坐标为， 过点作圆的两条切线，切点分别为，，则，， 则点、在以为直径的圆上， 又由，，则以为直径的圆的方程为， 变形可得：， 则有，可得：， 变形可得：，即直线的方程为， 则有，解可得，故直线过定点. 故答案为：. 19．（2024·上海·三模）已知圆，圆，点M，N分别是圆、圆上的动点，点为上的动点，则的最小值是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求点关于直线的对称点、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围） 【分析】作出示意图，分别为的半径，圆可得，求得圆关于直线的对称圆的方程为，数形结合可求. 【详解】作出示意图如图所示： 由，可得圆心，半径， 由，可得圆心，半径， 由题意可得， 易得圆关于直线的对称圆的方程为， ， 当且仅当三点共线时等号成立， 所以. 故答案为：. 20．（2024·浙江·三模）已知圆：和圆：，过圆上一动点作圆的切线，交圆于，两点，当（点为坐标原点）面积最大时，满足条件的切线方程为 .（写出一条即可） 【答案】或或（写出一条即可） 【难度】0.65 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】由圆的弦长公式求出，再利用三角形面积公式求出面积最大时的，然后由圆心到直线的距离分别等于半径列方程组，解出即可. 【详解】 设圆的圆心，半径；圆的圆心，半径； 设到直线的距离为，则，， 则， 所以当时，的面积最大， 当直线的斜率不存在时，满足题意， 当直线的斜率存在时，设：， 则由题意可得，① 化简可得， 即或， 代入①可解得或， 所以满足条件的切线方程为或或， 故答案为：或或.（写出一条即可） 21．（2024·四川绵阳·模拟预测）加斯帕尔·蒙日是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”.已知椭圆，若直线上存在点，过可作的两条互相垂直的切线，则椭圆离心率的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】首先通过椭圆的四条特殊切线可知道蒙日圆的半径，问题转化为直线与蒙日圆有交点问题，根据直线与圆的位置关系列式即可求解。 【详解】由题可知，点在椭圆的蒙日圆上，又因为点在直线上，所以，问题转化为直线和蒙日圆有公共点. 由椭圆方程可知：，如图当长方形的边与椭圆的轴平行时，长方形的边长分别为和， 其对角线长为，因此蒙日圆半径为，所以蒙日圆方程为，因此，需满足圆心到直线的距离不大于半径， 即，所以，所以椭圆离心率，所以. 故答案为： 22．（2024·山东·模拟预测）已知圆：，圆：，直线与圆分别相交于四点，若，则直线的方程可以为 .（写出一条满足条件的即可）． 【答案】，，，，，，，，，，，，，，，（答案不唯一） 【难度】0.65 【知识点】圆的公切线方程、由直线与圆的位置关系求参数、求点到直线的距离 【分析】由已知直线与平行或直线过的中点，设出直线方程，根据结合圆心到直线的距离即可求解. 【详解】对于一个半径为的圆，若一条直线被该圆截得的弦与圆心构成面积为的三角形，则这意味着弦对应的圆心角满足，即或. 由于弦到圆心的距离，故或. 这就将命题转化为：直线到的距离是或，到的距离也是或. 分别以和为圆心，以为半径作圆和，以为半径作圆和. 则直线需要满足：与或相切，与或相切. 首先，由于，故不可能同时和一条竖直直线相切，从而的斜率一定存在. ①若直线与和相切，则直线经过两圆的内位似中心，或与两圆圆心连线平行，即斜率为（此种情况亦可视为直线经过两圆的外位似中心：方向的无穷远点）. 对于前一种情况，即直线到原点的距离为，使用距离公式得到，解得； 对于后一种情况，即直线到原点的距离为，使用距离公式得到，解得. 所以我们得到此时满足条件的直线可能是：，，，； ②若直线与和相切，则直线经过两圆的内位似中心，或与两圆圆心连线平行，即斜率为（此种情况亦可视为直线经过两圆的外位似中心：方向的无穷远点）. 对于前一种情况，即直线到原点的距离为，使用距离公式得到，解得； 对于后一种情况，即直线到原点的距离为，使用距离公式得到，解得. 所以我们得到此时满足条件的直线可能是：，，，； ③若直线与和相切，则直线经过两圆的内位似中心，或经过两圆的外位似中心. 对于前一种情况，即直线到原点的距离为，使用距离公式得到，解得； 对于后一种情况，即直线到原点的距离为，使用距离公式得到，解得. 所以我们得到此时满足条件的直线可能是：，，，； ④若直线与和相切，则直线经过两圆的内位似中心，或经过两圆的外位似中心. 对于前一种情况，即直线到原点的距离为，使用距离公式得到，解得； 对于后一种情况，即直线到原点的距离为，使用距离公式得到，解得. 所以我们得到此时满足条件的直线可能是：，，，. 综上，满足条件的直线一共有16种可能：，，，，，，，，，，，，，，，. 故答案为：，，，，，，，，，，，，，，，.（答案不唯一） 【点睛】关键点点睛：本题总共有16种可能的答案，但只需答出其中1个即可.在时间宝贵的考场上，全部将16条直线的方程求出显然是不明智的做法. 23．（2024·海南海口·二模）已知圆：，点P在直线：上，过点P作的两条切线，切点分别为.当最大时， . 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、求点到直线的距离 【分析】利用直线与圆的位置关系及点到直线的距离公式结合二倍角公式计算即可. 【详解】 如图所示，易知，若最大时，则最大， 在直角中，，则当最大时，取得最小值， 显然由点到直线的距离公式可知， 则此时，则. 故答案为：. 24．（2024·重庆·模拟预测）设A，B是：上两个动点，且，若在直线上存在点M，使得（O为坐标原点），则a的取值范围为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】圆的弦长与中点弦、由直线与圆的位置关系求参数、用基底表示向量 【分析】设弦AB的中点为P，，根据条件得，由与相似，可得，根据点到直线距离列不等式，求解即可 【详解】设弦AB的中点为P，则，又， 即，设CP的延长线交于点T， 由与相似，可得：， 于是直线上存在点T使得， 从而圆心C到的距离， 解得：． 故答案为： 一、选择题：（每小题5分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．（2004·湖北·高考真题）圆：与圆：的公切线有且仅有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】圆的公切线条数、判断圆与圆的位置关系 【分析】将两圆方程化为标准方程，通过两圆的圆心距及半径关系，判断两圆的位置关系即可求解． 【详解】解：圆，则圆心，半径， 圆，则圆心，半径， 得两圆的圆心距为：， 则， 得两圆相交，得两圆的公切线有且仅有2条． 故选：B 2．（2024·全国·高考真题）已知直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、圆的弦长与中点弦 【分析】根据题意，由条件可得直线过定点，从而可得当时，的最小，结合勾股定理代入计算，即可求解. 【详解】因为直线，即，令， 则，所以直线过定点，设， 将圆化为标准式为， 所以圆心，半径， 当时，的最小， 此时. 故选：C 3．（2024·全国·高考真题）已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】等差中项的应用、直线过定点问题、圆的弦长与中点弦 【分析】结合等差数列性质将代换，求出直线恒过的定点，采用数形结合法即可求解. 【详解】因为成等差数列，所以，，代入直线方程得 ，即，令得， 故直线恒过，设，圆化为标准方程得：， 设圆心为，画出直线与圆的图形，由图可知，当时，最小， ，此时.    故选：C 4．（2006·重庆·高考真题）过坐标原点且与圆相切的直线方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】过圆外一点的圆的切线方程、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】求出圆心及半径，分直线斜率不存在和存在两种情况，当斜率存在时，可设切线方程为，由直线与圆相切可得圆心到直线的距离等于半径，列出方程，解得即可得出答案. 【详解】解：化为标准方程，即得圆心和半径， 当切线斜率不存在时，切线方程为，此时，圆心到切线的距离为，不符题意，故舍去； 当斜率存在时，设过坐标原点的切线方程为，即， ∴线心距，平方去分母得，解得或，∴所求的切线方程为或， 故选：A. 5．（2005·北京·高考真题）从原点向圆作两条切线，则两条切线的夹角为（    ） A．30° B．60° C．90° D．120° 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】已知切线求参数、过圆外一点的圆的切线方程 【分析】由圆的方程确定半径、圆心，若一个切点为则有，可求出，进而可得两条切线的夹角. 【详解】将圆的方程化为标准方程为，则圆心为，半径. 设一个切点为，则，， 在中，， ∴，故两切线的夹角为. 故选：B 6．（2020·全国·高考真题）已知圆，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】过圆内定点的弦长最值（范围） 【分析】当直线和圆心与点的连线垂直时，所求的弦长最短，即可得出结论. 【详解】圆化为，所以圆心坐标为，半径为， 设，当过点的直线和直线垂直时，圆心到过点的直线的距离最大，所求的弦长最短，此时 根据弦长公式得最小值为. 故选：B. 【点睛】本题考查圆的简单几何性质，以及几何法求弦长，属于基础题. 7．（2020·全国·高考真题）已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】切点弦及其方程 【分析】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点共圆，且，根据 可知，当直线时，最小，求出以 为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线的方程． 【详解】圆的方程可化为，点 到直线的距离为，所以直线 与圆相离． 依圆的知识可知，四点四点共圆，且，所以，而 ， 当直线时，， ，此时最小． ∴即 ，由解得， ． 所以以为直径的圆的方程为，即 ， 两圆的方程相减可得：，即为直线的方程． 故选：D. 【点睛】本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题． 8．（2007·上海·高考真题）圆关于直线对称的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】由圆与圆的位置关系确定圆的方程 【分析】根据圆的方程可得已知圆的圆心坐标和半径；求得圆心关于直线的对称点坐标，即为所求圆的圆心，又半径不变，从而可得圆的方程. 【详解】由圆的方程可知圆心坐标为：，半径为： 设圆心关于直线的对称点为 则：，解得：，即所求圆圆心为： 所求圆的方程为： 本题正确选项： 【点睛】本题考查求解圆关于直线对称的圆的方程的求解，关键是明确两圆半径相同，且圆心关于直线对称. 2、 多选题：（每小题6分，在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.） 9．（2021·全国·高考真题）已知点在圆上，点、，则（    ） A．点到直线的距离小于 B．点到直线的距离大于 C．当最小时， D．当最大时， 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】切线长、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】计算出圆心到直线的距离，可得出点到直线的距离的取值范围，可判断AB选项的正误；分析可知，当最大或最小时，与圆相切，利用勾股定理可判断CD选项的正误. 【详解】圆的圆心为，半径为， 直线的方程为，即， 圆心到直线的距离为， 所以，点到直线的距离的最小值为，最大值为，A选项正确，B选项错误； 如下图所示： 当最大或最小时，与圆相切，连接、，可知， ，，由勾股定理可得，CD选项正确. 故选：ACD. 【点睛】结论点睛：若直线与半径为的圆相离，圆心到直线的距离为，则圆上一点到直线的距离的取值范围是. 三、填空题：（每小题5分，把答案填在答题卡中的横线上.） 10．（2004·辽宁·高考真题）若经过点的直线与圆相切，则此直线在y轴上的截距是 ． 【答案】1. 【难度】0.65 【知识点】过圆上一点的圆的切线方程 【分析】先判断出点P在圆上，求出切线斜率，进而求出切线方程，即可求出纵截距. 【详解】把代入圆成立，所以点P在圆上. 设圆的圆心为C，由可得. 所以. 所以经过点的切线的斜率为1，所以切线方程为：. 当时，. 即切线在y轴上的截距是1. 故答案为：1. 11．（2002·上海·高考真题）已知圆和圆外一点，过点P作圆的切线，则两条切线夹角的正切值是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】过圆外一点的圆的切线方程、由标准方程确定圆心和半径、二倍角的正切公式 【分析】根据题意作出示意图，易知圆和轴相切于原点，利用平面几何知识和直角三角形、二倍角公式进行求解. 【详解】易知圆的圆心为，半径， 且该圆和轴相切，切点为原点，连接，设， 则两条切线的夹角为，，， 即两条切线夹角的正切值是. 故答案为：. 12．（2022·全国·高考真题）写出与圆和都相切的一条直线的方程 ． 【答案】或或 【难度】0.65 【知识点】判断圆与圆的位置关系、圆的公切线方程 【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可. 【详解】[方法一]： 显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为， 于是， 故①，于是或， 再结合①解得或或， 所以直线方程有三条，分别为，， 填一条即可 [方法二]： 设圆的圆心，半径为， 圆的圆心，半径， 则，因此两圆外切， 由图像可知，共有三条直线符合条件，显然符合题意； 又由方程和相减可得方程， 即为过两圆公共切点的切线方程， 又易知两圆圆心所在直线OC的方程为， 直线OC与直线的交点为， 设过该点的直线为，则，解得， 从而该切线的方程为填一条即可 [方法三]： 圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 两圆圆心距为，等于两圆半径之和，故两圆外切， 如图， 当切线为l时，因为，所以，设方程为 O到l的距离，解得，所以l的方程为， 当切线为m时，设直线方程为，其中，， 由题意，解得， 当切线为n时，易知切线方程为， 故答案为：或或. 13．（2020·浙江·高考真题）设直线与圆和圆均相切，则 ；b= ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数 【分析】由直线与两圆相切建立关于k，b的方程组，解方程组即可. 【详解】设，，由题意，到直线的距离等于半径，即，， 所以，所以（舍）或者， 解得. 故答案为： 【点晴】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查学生的数学运算能力，是一道基础题. 14．（2010·四川·高考真题）直线与圆相交于A、B两点，则 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】圆的弦长与中点弦 【详解】试题分析：圆的圆心为，半径，圆心到直线的距离为 所以弦长 考点：直线与圆相交的相关问题 15．（2007·山东·高考真题）与直线和曲线都相切的半径最小的圆的标准方程是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围、由直线与圆的位置关系求参数 【详解】曲线化为， 其圆心到直线的距离为 所求的最小圆的圆心在直线上，其到直线的距离为，圆心坐标为 标准方程为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题8.3 直线与圆、圆与圆的位置关系 一、选择题（每小题5分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．（2024·广西来宾·模拟预测）一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·江西新余·模拟预测）已知为直线上一点，为圆的直径，则对于的说法正确的是：（     ）. A．对于任意固定的点，为定值 B．对于任意固定的，存在点使取最大值 C．对于任意固定的点，存在使取最小值 D．对于任意固定的，当最小时，的坐标固定 3．（2024·湖北·模拟预测）已知抛物线C：和圆，点是抛物线的焦点，圆上的两点满足，其中是坐标原点，动点在圆上运动，则到直线的最大距离为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·贵州·开学考试）已知圆关于直线对称，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．6 D．4 5．（2024·河北·模拟预测）过原点且倾斜角为的直线与圆相切，则（   ） A． B． C． D． 6．（2024·四川达州·二模）如图，与轴交于点、，是上第一象限内的点，、分别在射线、上，交轴于点．若直线的方程为，是线段中点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·四川雅安·三模）已知过圆锥曲线的焦点且与焦点所在的对称轴垂直的弦被称为该圆锥曲线的通径，清代数学家明安图在《割圆密率捷法》中，也称圆的直径为通径.已知圆的一条直径与拋物线的通径恰好构成一个正方形的一组邻边，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 8．（2024·陕西铜川·模拟预测）已知，，若圆上存在点P满足，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（2024·陕西西安·模拟预测）设，直线与直线相交于点，点是圆上的一个动点，则的最小值为（   ）. A． B． C． D． 10．（2024·河北·模拟预测）已知直线：与圆：有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题（每小题6分，在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.） 11．（2024·云南大理·模拟预测）设，过定点A的动直线：，和过定点的动直线：交于点，圆：，则下列说法正确的有（    ） A．直线过定点 B．直线与圆相交最短弦长为2 C．动点的曲线与圆相交 D．最大值为5 12．（2024·江西南昌·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知圆的动弦，圆，则下列选项正确的是（   ） A．当圆和圆存在公共点时，则实数的取值范围为 B．的面积最大值为1 C．若原点始终在动弦上，则不是定值 D．若动点满足四边形为矩形，则点的轨迹长度为 13．（2024·福建泉州·模拟预测）已知直线与圆相交于两点，下列说法正确的是（    ） A．若圆关于直线对称，则 B．的最小值为 C．当时，对任意，曲线恒过直线与圆的交点 D．若（为坐标原点）四点共圆，则 14．（2024·湖南长沙·模拟预测）若圆与圆交于A，B两点，则下列选项中正确的是（    ） A．点在圆内 B．直线的方程为 C．圆上的点到直线距离的最大值为 D．圆上存在两点P，Q，使得 三、填空题（每小题5分，把答案填在答题卡中的横线上.） 15．（2024·江西景德镇·一模）已知与，若存在实数的值使得两圆仅有一条公切线，则的最小值为 . 16．（2024·天津河西·模拟预测）已知点为圆上一点，点，当变化时线段AB长度的最小值为 . 17．（2024·北京西城·三模）若直线与交于，两点，则面积的最大值为 ，写出满足“面积最大”的的一个值 . 18．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）已知圆，直线，为直线上的动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则直线过定点 . 19．（2024·上海·三模）已知圆，圆，点M，N分别是圆、圆上的动点，点为上的动点，则的最小值是 . 20．（2024·浙江·三模）已知圆：和圆：，过圆上一动点作圆的切线，交圆于，两点，当（点为坐标原点）面积最大时，满足条件的切线方程为 .（写出一条即可） 21．（2024·四川绵阳·模拟预测）加斯帕尔·蒙日是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”.已知椭圆，若直线上存在点，过可作的两条互相垂直的切线，则椭圆离心率的取值范围是 . 22．（2024·山东·模拟预测）已知圆：，圆：，直线与圆分别相交于四点，若，则直线的方程可以为 .（写出一条满足条件的即可）． 23．（2024·海南海口·二模）已知圆：，点P在直线：上，过点P作的两条切线，切点分别为.当最大时， . 24．（2024·重庆·模拟预测）设A，B是：上两个动点，且，若在直线上存在点M，使得（O为坐标原点），则a的取值范围为 ． 一、选择题：（每小题5分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．（2004·湖北·高考真题）圆：与圆：的公切线有且仅有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 2．（2024·全国·高考真题）已知直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 3．（2024·全国·高考真题）已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 4．（2006·重庆·高考真题）过坐标原点且与圆相切的直线方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 5．（2005·北京·高考真题）从原点向圆作两条切线，则两条切线的夹角为（    ） A．30° B．60° C．90° D．120° 6．（2020·全国·高考真题）已知圆，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（2020·全国·高考真题）已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（    ） A． B． C． D． 8．（2007·上海·高考真题）圆关于直线对称的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 2、 多选题：（每小题6分，在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.） 9．（2021·全国·高考真题）已知点在圆上，点、，则（    ） A．点到直线的距离小于 B．点到直线的距离大于 C．当最小时， D．当最大时， 三、填空题：（每小题5分，把答案填在答题卡中的横线上.） 10．（2004·辽宁·高考真题）若经过点的直线与圆相切，则此直线在y轴上的截距是 ． 11．（2002·上海·高考真题）已知圆和圆外一点，过点P作圆的切线，则两条切线夹角的正切值是 ． 12．（2022·全国·高考真题）写出与圆和都相切的一条直线的方程 ． 13．（2020·浙江·高考真题）设直线与圆和圆均相切，则 ；b= ． 14．（2010·四川·高考真题）直线与圆相交于A、B两点，则 . 15．（2007·山东·高考真题）与直线和曲线都相切的半径最小的圆的标准方程是 . 1 学科网（北京）股份有限公司 $$