专题8.2 圆的方程（模拟+真题精练）-备战2025年高考数学一轮复习题型精讲与精练（新高考通用）

专题8.2 圆的方程 一、选择题：（每小题5分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．（2024·广西来宾·模拟预测）一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、利用椭圆定义求方程 【分析】计算两个已知圆的圆心和半径，根据圆的位置关系得到动圆圆心到两已知圆圆心距离和为定值，结合椭圆的定义即可得到结果. 【详解】圆可化为，圆心，半径为. 圆可化为，圆心，半径为. 设动圆圆心为点，半径为，圆与圆外切于点，圆与圆内切于点，如图所示： 由题意得，三点共线，三点共线，，， ∴， ∴点的轨迹为以为焦点的椭圆，且，， ∴， ∴点的轨迹方程为. 故选：C. 2．（2024·江西新余·模拟预测）已知为直线上一点，为圆的直径，则对于的说法正确的是：（     ）. A．对于任意固定的点，为定值 B．对于任意固定的，存在点使取最大值 C．对于任意固定的点，存在使取最小值 D．对于任意固定的，当最小时，的坐标固定 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】数量积的运算律、由两条直线垂直求方程、求直线交点坐标、由标准方程确定圆心和半径 【分析】先利用向量的运算化简得，通过和的变化，讨论的最值. 【详解】为圆的直径，，， 由题可得，， 对于任意固定的点，为定值，而， 不是定值，也没有最小值，AC选项错误； 对于任意固定的，为定值，没有最大值，则没有最大值，B选项错误； 的最小值即圆心到直线距离，此时最小， 从往直线作垂线，垂足即为点， 直线斜率为，过与直线垂直的直线方程为， 由解得，即，其坐标固定，D选项正确. 故选：D. 3．（2024·广东珠海·一模）已知点，，点是圆上任意一点，则面积的最小值为（    ） A．6 B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围） 【分析】求出直线的方程，利用点到直线的距离，结合圆的性质求出点到直线距离的最小值即可求得最小值. 【详解】两点，，则，直线方程为， 圆的圆心，半径， 点到直线的距离， 因此点到直线距离的最小值为， 所以面积的最小值是. 故选：D 4．（2024·海南·模拟预测）已知点，在圆上，点，，则使得是面积为的等边三角形的点的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】轨迹问题——圆、圆的弦长与中点弦、由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】由面积公式先得长，根据正三角形与圆的对称性判定三点共线，再根据两圆的位置关系判定即可. 【详解】设中点为E，由正三角形面积公式可知， 由正三角形及圆的对称性可知，则三点共线， 而， 因为，所以P在以为圆心，2为半径的圆上， 由圆的位置关系可知，当且仅当时取得，此时， 即满足条件的点P只有一个. 故选：A 5．（2024·广西南宁·三模）已知圆，点在线段（）上，过点作圆的两条切线，切点分别为，，以为直径作圆，则圆的面积的最大值为（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、切点弦及其方程、已知切线求参数 【分析】由题意得，进而分析得当最大时，圆的面积的最大，求出最大值，即可求解． 【详解】由题可知，，，，，为锐角， 当圆的面积取最大值时最大， 而， 所以， 因为点在线段（）上， 所以， 故，即圆半径的最大值为， 所以圆的面积的最大值为， 故选：D． 6．（2024·四川乐山·三模）已知圆，点是上的动点，过作圆的切线，切点分别为，直线与交于点，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】轨迹问题——圆、定点到圆上点的最值（范围） 【分析】根据已知条件及三角形相似，利用向量的关系及点在直线上，结合圆上的点到定点的距离的最值即可求解. 【详解】由题意作出图形如图所示 设，，由∽,可得， 所以，即，即， 所以， 所以， 所以点， 将点的坐标代入直线中， 化简可得（不同时为）， 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 所以的最大值为 故选：B. 7．（2024·黑龙江牡丹江·一模）已知为虚数单位，复数，，且满足，求点到直线距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、由标准方程确定圆心和半径、求复数的模 【分析】根据模长求出轨迹方程再求出圆心和半径，最后应用圆心到直线距离求出距离的最大值. 【详解】，， 则，即，圆心为，半径为， 圆心到直线的距离， 故点到直线距离的最大值为． 故选：． 8．（2024·西藏拉萨·二模）已知点，动点在圆上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求平面两点间的距离、用两点间的距离公式求函数最值、轨迹问题——圆 【分析】先设点的坐标，结合轨迹方程求参，再根据距离和最小值为两点间距离求解即可. 【详解】令，即求的最小值. 设，则， 整理，得点的轨迹方程为. 又点在圆上， 所以，解得，所以， 所以， 即的最小值为. 故选：. 9．（2024·陕西商洛·三模）已知是圆上任意一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、定点到圆上点的最值（范围）、由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】的几何意义为直线的斜率，再根据直线与圆得交点即可得出答案. 【详解】设，变形可得， 则的几何意义为直线的斜率， 圆化为， 所以圆的圆心为，半径为. 因为是圆上任意一点， 所以圆与直线有公共点，即圆的圆心到直线的距离不大于圆的半径， 所以，解得， 即的最大为. 故选:D. 10．（2024·山西晋中·模拟预测）已知直线l：与圆：，下列说法正确的是（    ） A．所有圆均不经过点 B．若关于l对称，则 C．若l与相交于AB且，则 D．存在与x轴和y轴均相切的圆 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、判断点与圆的位置关系、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】对于A，将代入圆方程进行验证即可，对于B，若关于l对称，则直线过圆心，从而可求出，对于C，由题意可知圆心到直线的距离为，列方程求解即可，对于D，由题意可得求解判断. 【详解】对于A，若圆经过点，则，化简整理得， 因为，所以方程无解， 所以所有圆均不经过点，所以A正确， 对于B，圆：的圆心为， 若关于l对称，则直线过圆心，所以，得，所以B错误， 对于C，因为l与相交于AB且，所以圆心到直线的距离为， 所以，解得或，所以C错误， 对于D，若存在与x轴和y轴均相切的圆，则，此方程组无解， 所以不存在与x轴和y轴均相切的圆，所以D错误， 故选：A 11．（2024·江西鹰潭·三模）已知，直线与的交点在圆：上，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、轨迹问题——圆、由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】根据两直线方程可知两直线分别过定点且垂直，可求得点轨迹方程，再由圆与圆的位置关系找出圆心距与两圆半径之间的关系可得结果. 【详解】易知直线恒过定点， 直线恒过定点， 且，易知直线与互相垂直，即可得， 所以点轨迹是以为直径的圆，圆心为的中点，半径为； 可得点轨迹方程为； 又因为点在圆上，所以可得圆与圆有公共点， 当两圆内切（圆在外）时，取得最大值； 此时满足，解得. 故选：D 12．（2024·广西贵港·模拟预测）已知圆C：，直线l：，若l与圆C交于A，B两点，设坐标原点为O，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】辅助角公式、数量积的运算律、直线过定点问题、由标准方程确定圆心和半径 【分析】求出圆的圆心及半径，直线所过定点，借助向量运算得，利用三角代换结合辅助角公式及三角函数性求出最大值. 【详解】圆C：的圆心为，半径为2， 直线l的方程可化为，于是l过定点，且， 显然，即， 又，因此， 设，，显然， 则，其中，当时等号成立，此时， ，符合条件， 所以的最大值为． 故选：D    【点睛】思路点睛：涉及并求关于的二元函数的最值，可以令，借助三角变换及三角函数性质求解. 13．（2024·辽宁·模拟预测）已知点在圆上，点在直线上，点为中点，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围） 【分析】根据垂径定理可得点在以为圆心，为半径的圆上，再利用点到直线的距离公式即可求解. 【详解】由题意可得圆的标准方程为， 设圆心为，半径为，则，， 所以由垂径定理可得，故点在以为圆心，为半径的圆上， 因为点到直线的距离， 所以的最小值为， 故选：A 14．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知两个不同的圆，均过定点，且圆，均与轴、轴相切，则圆与圆的半径之积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】由标准方程确定圆心和半径 【分析】按点的位置分不在坐标轴与在坐标轴上两种情况讨论，结合圆的标准方程，点在圆上，以及方程根的情况综合分析的值即可. 【详解】当点在第一象限时，圆，的方程为的形式， 代入点的坐标，可得关于的方程， 圆，的半径，是该方程的两个不同实根， 所以，同理，当点在第二、三、四象限时也可得． 当点在轴上时，， 此时圆，的圆心分别位于第一、二象限（或第三、四象限），两圆在点处相切， 且，满足． 同理，当点在轴上时，，同样满足． 故选：C. 【点睛】结论点睛：圆的标准方程为，其中圆心为，半径为. 15．（2024·河南·模拟预测）已知点在以原点为圆心，半径的圆上，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】基本不等式求和的最小值、由圆心（或半径）求圆的方程、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】由题可得点满足的圆方程，进而，然后利用基本不等式结合条件即得. 【详解】由题意可得点的坐标满足，所以，． 因此， . 当且仅当时，即时取等号． 故选: D． 16．（2024·浙江杭州·三模）在平面直角坐标系xOy中，直线与圆C：相交于点A，B，若，则（    ） A．或 B．－1或－6 C．或 D．－2或－7 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求点到直线的距离、由直线与圆的位置关系求参数、由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】先将圆的一般方程化为标准方程，根据，得到圆心C到直线l的距离， 再利用点到直线的距离公式求得t的值即可. 【详解】由题意可知，圆C：，标准化后可得圆C： 因为，，过点C作AB的垂线CD，.如图所示， ，在中，. 所以，圆心C到直线 l的距离: 因此，，解得， 故选：C . 二、多选题：（每小题6分，在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.） 17．（2024·河北·模拟预测）已知平面内点，，点为该平面内一动点，则（    ） A．，点的轨迹为椭圆 B．，点的轨迹为双曲线 C．，点的轨迹为抛物线 D．，点的轨迹为圆 【答案】AD 【难度】0.85 【知识点】轨迹问题——圆、求平面轨迹方程、椭圆定义及辨析 【分析】利用椭圆的定义判断A；利用双曲线的定义判断B；求得轨迹与轴的交点判断C；求得轨迹方程判断D. 【详解】因为平面内点，，所以， 又，所以由椭圆的定义知点的轨迹为椭圆，故A正确； 线段的长度与线段的长度的差为，则点的轨迹应为双曲线靠近点的一支，故B错误； 设点，由得， 整理得，即， 当时，，得或， 故曲线与轴有三个交点，轨迹不为抛物线，故C错误； 由，得， 整理得 ， 即轨迹是以为圆心，为半径的圆，故D正确. 故选：AD. 18．（2024·云南大理·模拟预测）设，过定点A的动直线：，和过定点的动直线：交于点，圆：，则下列说法正确的有（    ） A．直线过定点 B．直线与圆相交最短弦长为2 C．动点的曲线与圆相交 D．最大值为5 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、轨迹问题——圆、过圆内定点的弦长最值（范围）、判断圆与圆的位置关系 【分析】对于A：根据直线过定点分析整理即可；对于B：可知点在圆内部，结合圆的性质分析判断；对于C：分析可知动点的曲线是以为直径的圆，进而判断两圆的位置关系；对于D：根据题意结合基本不等式分析判断. 【详解】由题意可知：圆：的圆心为，半径， 对于选项A：因为动直线：过原点，所以， 由，得，则，故A错误； 对于选项B：因为，可知点在圆内部， 当时，圆心到直线：的最大值为， 所以直线与圆相交最短弦长为，故B正确； 对于选项C：因为：，：， 且，则， 可知动点的曲线是以为直径的圆，且该圆的圆心坐标为，半径为， 因为两圆圆心距为， 可得两圆半径之和为，两圆半径之差为， 因为，所以动点的曲线与圆相交，故C正确； 对于选项D：因为， 当且仅当时，等号成立， 所以最大值为5，故D正确； 故选：BCD. 19．（2024·江西南昌·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知圆的动弦，圆，则下列选项正确的是（   ） A．当圆和圆存在公共点时，则实数的取值范围为 B．的面积最大值为1 C．若原点始终在动弦上，则不是定值 D．若动点满足四边形为矩形，则点的轨迹长度为 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】数量积的坐标表示、轨迹问题——圆、圆内接三角形的面积、由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】根据两圆位置关系列不等式求解实数的范围判断A，根据三角形面积结合正弦函数可求出面积最大值判断B，分类讨论，设直线方程，利用韦达定理结合数量积数量积坐标运算求解判断C，先根据矩形性质结合垂径定理得到点的轨迹，然后利用圆的周长公式求解判断D. 【详解】对于A，圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 当圆和圆存在公共点时，， 所以，解得，所以实数的取值范围为，正确； 对于B，的面积为， 当时，的面积有最大值为1，正确； 对于C，当弦垂直x轴时，，所以， 当弦不垂直x轴时，设弦所在直线为， 与圆联立得，， 设， 则，， 综上，恒为定值，错误； 对于D，设，OP中点，该点也是AB中点，且， 又，所以， 化简得，所以点的轨迹为以为圆心，半径为的圆， 其周长为长度为，正确. 故选：ABD 20．（2024·山西太原·二模）已知两定点，，动点M满足条件，其轨迹是曲线C，过B作直线l交曲线C于P，Q两点，则下列结论正确的是（    ） A．取值范围是 B．当点A，B，P，Q不共线时，面积的最大值为6 C．当直线l斜率时，AB平分 D．最大值为 【答案】ACD 【难度】0.4 【知识点】轨迹问题——圆、直线与圆相交的性质——韦达定理及应用、圆内接三角形的面积、直线与圆中的定点定值问题 【分析】分析可知曲线C是以为圆心，半径的圆.对于A：根据圆的性质分析求解；对于B：设，联立方程，利用韦达定理可得，即可得面积最大值；对于C：利用韦达定理可得，进而分析角度关系即可；对于D：根据AB平分，结合切线分析求解即可. 【详解】设， 因为，即，整理可得， 可知曲线C是以为圆心，半径的圆. 对于选项A：因为，可知点B在曲线C内，且直线l与曲线C必相交， 且，则的最大值为，最小值为， 所以取值范围是，故A正确； 设， 联立方程，消去x可得， 则. 对于选项B：可得， 令，则， 可得， 因为在内单调递增，则的最小值为， 即，则， 可得的面积， 所以面积的最大值为，故B错误； 对于选项C：因为， 又因为， 则， 即，可知，所以AB平分，故C正确； 对于选项D：因为AB平分，则， 可知当与曲线C相切时，取到最大值， 此时，且为锐角，则， 即的最大值为，则的最大值为， 所以最大值为，故D正确； 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：根据题意结合两点间距离公式分析可知曲线C是以为圆心，半径的圆，结合圆的性质逐项分析判断. 21．（2024·浙江绍兴·三模）已知，为圆上的两个动点，点，且，则（    ） A． B． C．外接圆圆心的轨迹方程为 D．重心的轨迹方程为 【答案】ABC 【难度】0.4 【知识点】轨迹问题——圆、由圆心（或半径）求圆的方程、定点到圆上点的最值（范围） 【分析】根据圆的性质，可得判定A正确；当线段的中垂线经过点时，此时取得最值，结合圆的性质，可判定B正确；设的外接圆的圆心为，根据，求得轨迹方程，可判定以C正确；设的重心为点，结合C项，求得其轨迹方程，可判定D错误. 【详解】因为圆，可得圆心，半径为，且点在圆内， 对于A中，由，根据圆的性质，可得， 即，即， 所以的最大值为，所以A正确； 对于B中，因为，当线段的中垂线经过点时，此时取得最值， 如图所示，可得时，可得， 时，可得，所以B正确； 对于C中，设的外接圆的圆心为，则， 则有，可得， 即，所以C正确； 对于D中，设的重心为点，则， 由C项知的外接圆的圆心点的轨迹方程为， 且点为的中点，即，所以， 即，即，所以D错误. 故选：ABC. 22．（2024·河南·三模）空间直角坐标系中的动点的轨迹为，其中，则下列说法正确的有（    ） A．存在定直线，使得上的点到的距离是定值 B．存在定点，使得上的点到的距离为定值 C．的长度是个定值，且这个定值小于14 D．是上任意两点，则的距离的最大值为4 【答案】ACD 【难度】0.4 【知识点】轨迹问题——圆 【分析】由题意空间直角坐标系中的动点的轨迹为，其中，可知，点的轨迹为以坐标原点为圆心，半径为1的圆，高为4的圆柱上螺旋上升，共计旋转两次两周，根据条件即可判断。 【详解】由题意空间直角坐标系中的动点的轨迹为，其中，可知，点的轨迹为以坐标原点为圆心，半径为1的圆，高为4的圆柱上螺旋上升，共计旋转两次两周。 对于A，为以坐标原点为圆心，半径为1的圆，高为4的圆柱上螺旋上升，共计旋转两次两周，所以存在定直线即为轴，使得上的点到的距离是定值为1，A正确； 对于B，根据轨迹可得不存在定点，使得上的点到的距离为定值，B错误； 对于C，轨迹的长度是，C正确； 对于D, 是上任意两点，则的距离的最大值为4,D正确； 故选：ACD 【点睛】求动点轨迹问题方法：直接法；相关点法；定义法； 三、填空题：（每小题5分，把答案填在答题卡中的横线上.） 23．（2023·广东·模拟预测）已知点，，，点满足，则的最大值为 ． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】求二次函数的值域或最值、万能公式、轨迹问题——圆、圆的参数方程 【分析】先明确点的轨迹，再借助三角换元，把问题转化成二次函数的值域问题或辅助角公式结合正弦函数的有界性求解. 【详解】易知点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆.其标准方程为：， 设，则（为参数且）， ∴． 方法一：当时，， 当时，， 令，∴， ∴ （时取等号）， 即，故的最大值为． 故答案为： 方法二：设 所以. 即，故的最大值为． 故答案为： 【点睛】方法点睛：可借助圆的参数方程，进行三角换元，把问题转化成与三角函数有关的值域问题. 24．（2024·四川达州·二模）在中，角的对边分别为，点在平面内，满足，则的最大值为 . 【答案】 【难度】0.15 【知识点】辅助角公式、余弦定理边角互化的应用、定点到圆上点的最值（范围） 【分析】由余弦定理结合题干得到，从而，又因为，所以，得到是等边三角形，建立平面直角坐标系，根据得到点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，从而求得的最大值. 【详解】在中，由余弦定理得，代入到， 整理得， 则，当且仅当时等号成立， 又由，所以，此时， 又因为，所以，所以，所以是等边三角形. 以中点为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，如图， ，设， 由得，整理得， 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 所以的最大值为， 故答案为：. 【点睛】方法点睛：建立平面直角坐标系解决几何问题 第一步：根据角度和长度，建立合适的平面直角坐标系， 第二步：写出所需点、向量的坐标，设未知点的坐标为， 第三步：根据题干信息得到与之间的关系，解题. 25．（2024·湖南·三模）已知，点P是以线段为直径的圆上任意一点，动点M与点A的距离是它与点B的距离的倍，则的取值范围为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】轨迹问题——圆、判断圆与圆的位置关系 【分析】以AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，判断得点M的轨迹是以为圆心，为半径的一个圆，由与的位置关系是相交，可求得的取值范围. 【详解】以AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系， 则，，，于是， 化简得：，即， 因此点M的轨迹是以为圆心，为半径的一个圆，与的位置关系是相交， 所以 故答案为： 26．（2024·山东淄博·二模）“若点P为椭圆上的一点，为椭圆的两个焦点，则椭圆在点处的切线平分的外角”，这是椭圆的光学性质之一．已知椭圆，点P是椭圆上的点，在点处的切线为直线，过左焦点作的垂线，垂足为，设点的轨迹为曲线．若是曲线上一点，已知点，则的最小值为 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】轨迹问题——圆、椭圆定义及辨析、求椭圆中的最值问题、椭圆中的定值问题 【分析】先由已知椭圆的性质结合椭圆定义可得轨迹，再利用圆的性质在轴上找一定点，满足，从而将转化为最值问题求解可得. 【详解】由椭圆方程，知. 如图，延长、交于点，由题意可知， 又因为，则为的中点，且， 所以，， 又因为为的中点，则. 故点的轨迹为以为原点，为半径的圆，圆的方程为. 设在轴上存在定点，使得圆上任意一点，满足， 由，则， 化简得， 又∵，代入得， 要使等式恒成立，则，即. ∴存在定点，使圆上任意一点满足， 则，当三点共线（位于两侧）时，等号成立. 由，则， 所以，当三点共线（位于两侧）时等号成立. 如图，连接，线段与圆的交点即为取最值时的点，此时取到最小值. 故答案为：5. 【点睛】方法点睛：借助阿氏圆探究最值问题：若为两定点，动点满足，则时，动点的轨迹为直线；当且时，动点的轨迹为圆，此圆称之为阿波罗尼斯圆，也称阿氏圆.借助阿波罗尼斯圆，可以转化动点到定点的距离，化系数为，从而转化为到另一定点的距离进而由几何性质等求解最值. 27．（2024·上海·三模）已知圆，圆，点M，N分别是圆、圆上的动点，点为上的动点，则的最小值是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求点关于直线的对称点、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围） 【分析】作出示意图，分别为的半径，圆可得，求得圆关于直线的对称圆的方程为，数形结合可求. 【详解】作出示意图如图所示： 由，可得圆心，半径， 由，可得圆心，半径， 由题意可得， 易得圆关于直线的对称圆的方程为， ， 当且仅当三点共线时等号成立， 所以. 故答案为：. 28．（2024高二下·四川·竞赛）用表示点与曲线上任意一点距离的最小值．已知及，设为上的动点，则的最大值为 ． 【答案】3 【难度】0.65 【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、判断圆与圆的位置关系 【分析】由圆心距与半径的关系可得到两圆相离，再由题意与圆的知识即可求解． 【详解】如图所示，   得到圆心； 得到圆心； 由于，所以两圆相离，因为为上的动点，， 所以要使取得最大值，只需最大即可， 因为，则的最大值为. 故答案为：3. 一、选择题（每小题5分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．（2024·全国·高考真题）已知直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、圆的弦长与中点弦 【分析】根据题意，由条件可得直线过定点，从而可得当时，的最小，结合勾股定理代入计算，即可求解. 【详解】因为直线，即，令， 则，所以直线过定点，设， 将圆化为标准式为， 所以圆心，半径， 当时，的最小， 此时. 故选：C 2．（2024·北京·高考真题）圆的圆心到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】求点到直线的距离、由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】求出圆心坐标，再利用点到直线距离公式即可. 【详解】由题意得，即， 则其圆心坐标为，则圆心到直线的距离为. 故选：D. 3．（2024·全国·高考真题）已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】等差中项的应用、直线过定点问题、圆的弦长与中点弦 【分析】结合等差数列性质将代换，求出直线恒过的定点，采用数形结合法即可求解. 【详解】因为成等差数列，所以，，代入直线方程得 ，即，令得， 故直线恒过，设，圆化为标准方程得：， 设圆心为，画出直线与圆的图形，由图可知，当时，最小， ，此时.    故选：C 4．（2023·全国·高考真题）已知实数满足，则的最大值是（    ） A． B．4 C． D．7 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数 【分析】法一：令，利用判别式法即可；法二：通过整理得，利用三角换元法即可，法三：整理出圆的方程，设，利用圆心到直线的距离小于等于半径即可. 【详解】法一：令，则， 代入原式化简得， 因为存在实数，则，即， 化简得，解得， 故 的最大值是， 法二：，整理得， 令，，其中， 则， ，所以，则，即时，取得最大值， 法三：由可得， 设，则圆心到直线的距离， 解得 故选：C. 5．（2023·全国·高考真题）已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】圆的弦长与中点弦、根据a,b,c齐次式关系求渐近线方程 【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长. 【详解】由，则， 解得， 所以双曲线的渐近线为， 当渐近线为时，圆心到该渐近线的距离，不合题意； 当渐近线为时，则圆心到渐近线的距离， 所以弦长. 故选：D 6．（2023·全国·高考真题）设O为平面坐标系的坐标原点，在区域内随机取一点，记该点为A，则直线OA的倾斜角不大于的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、几何概型-角度型 【分析】根据题意分析区域的几何意义，结合几何概型运算求解. 【详解】因为区域表示以圆心，外圆半径，内圆半径的圆环， 则直线的倾斜角不大于的部分如阴影所示，在第一象限部分对应的圆心角， 结合对称性可得所求概率. 故选：C.      7．（2023·全国·高考真题）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】给值求值型问题、余弦定理解三角形、已知点到直线距离求参数、切线长 【分析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的性质求切线长，结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得，利用韦达定理结合夹角公式运算求解. 【详解】方法一：因为，即，可得圆心，半径， 过点作圆C的切线，切点为， 因为，则， 可得， 则， ， 即为钝角， 所以； 法二：圆的圆心，半径， 过点作圆C的切线，切点为，连接， 可得，则， 因为 且，则， 即，解得， 即为钝角，则， 且为锐角，所以； 方法三：圆的圆心，半径， 若切线斜率不存在，则切线方程为，则圆心到切点的距离，不合题意； 若切线斜率存在，设切线方程为，即， 则，整理得，且 设两切线斜率分别为，则， 可得， 所以，即，可得， 则， 且，则，解得. 故选：B.      8．（2005·江西·高考真题）“”是“直线与圆相切”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、既不充分也不必要条件 【分析】求出当直线与圆相切时a,b的关系即可判断. 【详解】解：当直线与圆相切时， 则有，解得或， 所以“”是“直线与圆相切”的既不充分又不必要条件. 故选：D. 二、多选题（每小题6分，在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.） 9．（2024·全国·高考真题）抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（    ） A．l与相切 B．当P，A，B三点共线时， C．当时， D．满足的点有且仅有2个 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】切线长、根据抛物线方程求焦点或准线、直线与抛物线交点相关问题 【分析】A选项，抛物线准线为，根据圆心到准线的距离来判断；B选项，三点共线时，先求出的坐标，进而得出切线长；C选项，根据先算出的坐标，然后验证是否成立；D选项，根据抛物线的定义，，于是问题转化成的点的存在性问题，此时考察的中垂线和抛物线的交点个数即可，亦可直接设点坐标进行求解. 【详解】A选项，抛物线的准线为， 的圆心到直线的距离显然是，等于圆的半径， 故准线和相切，A选项正确； B选项，三点共线时，即，则的纵坐标， 由，得到，故， 此时切线长，B选项正确； C选项，当时，，此时，故或， 当时，，，， 不满足； 当时，，，， 不满足； 于是不成立，C选项错误； D选项，方法一：利用抛物线定义转化 根据抛物线的定义，，这里， 于是时点的存在性问题转化成时点的存在性问题， ，中点，中垂线的斜率为， 于是的中垂线方程为：，与抛物线联立可得， ，即的中垂线和抛物线有两个交点， 即存在两个点，使得，D选项正确. 方法二：（设点直接求解） 设，由可得，又，又， 根据两点间的距离公式，，整理得， ，则关于的方程有两个解， 即存在两个这样的点，D选项正确. 故选：ABD 10．（2021·全国·高考真题）已知点在圆上，点、，则（    ） A．点到直线的距离小于 B．点到直线的距离大于 C．当最小时， D．当最大时， 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】切线长、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】计算出圆心到直线的距离，可得出点到直线的距离的取值范围，可判断AB选项的正误；分析可知，当最大或最小时，与圆相切，利用勾股定理可判断CD选项的正误. 【详解】圆的圆心为，半径为， 直线的方程为，即， 圆心到直线的距离为， 所以，点到直线的距离的最小值为，最大值为，A选项正确，B选项错误； 如下图所示： 当最大或最小时，与圆相切，连接、，可知， ，，由勾股定理可得，CD选项正确. 故选：ACD. 【点睛】结论点睛：若直线与半径为的圆相离，圆心到直线的距离为，则圆上一点到直线的距离的取值范围是. 11．（2020·山东·高考真题）已知曲线.（    ） A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上 B．若m=n>0，则C是圆，其半径为 C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为 D．若m=0，n>0，则C是两条直线 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】二元二次方程表示的曲线与圆的关系、判断方程是否表示椭圆、双曲线定义的理解 【分析】结合选项进行逐项分析求解，时表示椭圆，时表示圆，时表示双曲线，时表示两条直线. 【详解】对于A，若，则可化为， 因为，所以， 即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故A正确； 对于B，若，则可化为， 此时曲线表示圆心在原点，半径为的圆，故B不正确； 对于C，若，则可化为， 此时曲线表示双曲线， 由可得，故C正确； 对于D，若，则可化为， ，此时曲线表示平行于轴的两条直线，故D正确； 故选：ACD. 【点睛】本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养. 三、填空题（每小题5分，把答案填在答题卡中的横线上.） 12．（2024·天津·高考真题）已知圆的圆心与抛物线的焦点重合，且两曲线在第一象限的交点为，则原点到直线的距离为 ． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、由标准方程确定圆心和半径、根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】先求出圆心坐标，从而可求焦准距，再联立圆和抛物线方程，求及的方程，从而可求原点到直线的距离. 【详解】圆的圆心为，故即， 由可得，故或（舍）， 故，故直线即， 故原点到直线的距离为， 故答案为： 13．（2023·天津·高考真题）已知过原点O的一条直线l与圆相切，且l与抛物线交于点两点，若，则 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、求直线与抛物线相交所得弦的弦长 【分析】根据圆和曲线关于轴对称，不妨设切线方程为，，即可根据直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系解出． 【详解】易知圆和曲线关于轴对称，不妨设切线方程为，， 所以，解得：，由解得：或， 所以，解得：． 当时，同理可得． 故答案为：． 14．（2023·全国·高考真题）已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值 ． 【答案】（中任意一个皆可以） 【难度】0.85 【知识点】圆的弦长与中点弦 【分析】根据直线与圆的位置关系，求出弦长，以及点到直线的距离，结合面积公式即可解出． 【详解】设点到直线的距离为，由弦长公式得， 所以，解得：或， 由，所以或，解得：或． 故答案为：（中任意一个皆可以）． 15．（2005·北京·高考真题）若圆与直线相切，且其圆心在y轴的左侧，则m的值为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数 【分析】将圆方程化为标准形式得到圆心和半径，根据相切得到，根据圆心在y轴的左侧得到，解得答案. 【详解】，即， 圆心为，半径为，圆心在轴的左侧，故，即， 圆与直线相切，故，解得. 故答案为： 16．（2006·天津·高考真题）若半径为1的圆分别与y轴的正半轴和射线相切，则这个圆的方程为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】已知点到直线距离求参数、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】设圆心坐标，根据题意结合点到直线的距离运算求解. 【详解】由题意可设圆心， ∵圆与射线相切，则，解得或（舍去）， 即圆心为，故圆的方程为. 故答案为：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题8.2 圆的方程 一、选择题：（每小题5分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．（2024·广西来宾·模拟预测）一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·江西新余·模拟预测）已知为直线上一点，为圆的直径，则对于的说法正确的是：（     ）. A．对于任意固定的点，为定值 B．对于任意固定的，存在点使取最大值 C．对于任意固定的点，存在使取最小值 D．对于任意固定的，当最小时，的坐标固定 3．（2024·广东珠海·一模）已知点，，点是圆上任意一点，则面积的最小值为（    ） A．6 B． C． D． 4．（2024·海南·模拟预测）已知点，在圆上，点，，则使得是面积为的等边三角形的点的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2024·广西南宁·三模）已知圆，点在线段（）上，过点作圆的两条切线，切点分别为，，以为直径作圆，则圆的面积的最大值为（    ）. A． B． C． D． 6．（2024·四川乐山·三模）已知圆，点是上的动点，过作圆的切线，切点分别为，直线与交于点，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 7．（2024·黑龙江牡丹江·一模）已知为虚数单位，复数，，且满足，求点到直线距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 8．（2024·西藏拉萨·二模）已知点，动点在圆上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 9．（2024·陕西商洛·三模）已知是圆上任意一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 10．（2024·山西晋中·模拟预测）已知直线l：与圆：，下列说法正确的是（    ） A．所有圆均不经过点 B．若关于l对称，则 C．若l与相交于AB且，则 D．存在与x轴和y轴均相切的圆 11．（2024·江西鹰潭·三模）已知，直线与的交点在圆：上，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 12．（2024·广西贵港·模拟预测）已知圆C：，直线l：，若l与圆C交于A，B两点，设坐标原点为O，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 13．（2024·辽宁·模拟预测）已知点在圆上，点在直线上，点为中点，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 14．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知两个不同的圆，均过定点，且圆，均与轴、轴相切，则圆与圆的半径之积为（   ） A． B． C． D． 15．（2024·河南·模拟预测）已知点在以原点为圆心，半径的圆上，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 16．（2024·浙江杭州·三模）在平面直角坐标系xOy中，直线与圆C：相交于点A，B，若，则（    ） A．或 B．－1或－6 C．或 D．－2或－7 二、多选题：（每小题6分，在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.） 17．（2024·河北·模拟预测）已知平面内点，，点为该平面内一动点，则（    ） A．，点的轨迹为椭圆 B．，点的轨迹为双曲线 C．，点的轨迹为抛物线 D．，点的轨迹为圆 18．（2024·云南大理·模拟预测）设，过定点A的动直线：，和过定点的动直线：交于点，圆：，则下列说法正确的有（    ） A．直线过定点 B．直线与圆相交最短弦长为2 C．动点的曲线与圆相交 D．最大值为5 19．（2024·江西南昌·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知圆的动弦，圆，则下列选项正确的是（   ） A．当圆和圆存在公共点时，则实数的取值范围为 B．的面积最大值为1 C．若原点始终在动弦上，则不是定值 D．若动点满足四边形为矩形，则点的轨迹长度为 20．（2024·山西太原·二模）已知两定点，，动点M满足条件，其轨迹是曲线C，过B作直线l交曲线C于P，Q两点，则下列结论正确的是（    ） A．取值范围是 B．当点A，B，P，Q不共线时，面积的最大值为6 C．当直线l斜率时，AB平分 D．最大值为 21．（2024·浙江绍兴·三模）已知，为圆上的两个动点，点，且，则（    ） A． B． C．外接圆圆心的轨迹方程为 D．重心的轨迹方程为 22．（2024·河南·三模）空间直角坐标系中的动点的轨迹为，其中，则下列说法正确的有（    ） A．存在定直线，使得上的点到的距离是定值 B．存在定点，使得上的点到的距离为定值 C．的长度是个定值，且这个定值小于14 D．是上任意两点，则的距离的最大值为4 三、填空题：（每小题5分，把答案填在答题卡中的横线上.） 23．（2023·广东·模拟预测）已知点，，，点满足，则的最大值为 ． 24．（2024·四川达州·二模）在中，角的对边分别为，点在平面内，满足，则的最大值为 . 25．（2024·湖南·三模）已知，点P是以线段为直径的圆上任意一点，动点M与点A的距离是它与点B的距离的倍，则的取值范围为 . 26．（2024·山东淄博·二模）“若点P为椭圆上的一点，为椭圆的两个焦点，则椭圆在点处的切线平分的外角”，这是椭圆的光学性质之一．已知椭圆，点P是椭圆上的点，在点处的切线为直线，过左焦点作的垂线，垂足为，设点的轨迹为曲线．若是曲线上一点，已知点，则的最小值为 ． 27．（2024·上海·三模）已知圆，圆，点M，N分别是圆、圆上的动点，点为上的动点，则的最小值是 . 28．（2024高二下·四川·竞赛）用表示点与曲线上任意一点距离的最小值．已知及，设为上的动点，则的最大值为 ． 一、选择题（每小题5分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．（2024·全国·高考真题）已知直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 2．（2024·北京·高考真题）圆的圆心到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·全国·高考真题）已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 4．（2023·全国·高考真题）已知实数满足，则的最大值是（    ） A． B．4 C． D．7 5．（2023·全国·高考真题）已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（    ） A． B． C． D． 6．（2023·全国·高考真题）设O为平面坐标系的坐标原点，在区域内随机取一点，记该点为A，则直线OA的倾斜角不大于的概率为（    ） A． B． C． D． 7．（2023·全国·高考真题）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（    ） A．1 B． C． D． 8．（2005·江西·高考真题）“”是“直线与圆相切”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 二、多选题（每小题6分，在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.） 9．（2024·全国·高考真题）抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（    ） A．l与相切 B．当P，A，B三点共线时， C．当时， D．满足的点有且仅有2个 10．（2021·全国·高考真题）已知点在圆上，点、，则（    ） A．点到直线的距离小于 B．点到直线的距离大于 C．当最小时， D．当最大时， 11．（2020·山东·高考真题）已知曲线.（    ） A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上 B．若m=n>0，则C是圆，其半径为 C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为 D．若m=0，n>0，则C是两条直线 三、填空题（每小题5分，把答案填在答题卡中的横线上.） 12．（2024·天津·高考真题）已知圆的圆心与抛物线的焦点重合，且两曲线在第一象限的交点为，则原点到直线的距离为 ． 13．（2023·天津·高考真题）已知过原点O的一条直线l与圆相切，且l与抛物线交于点两点，若，则 ． 14．（2023·全国·高考真题）已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值 ． 15．（2005·北京·高考真题）若圆与直线相切，且其圆心在y轴的左侧，则m的值为 ． 16．（2006·天津·高考真题）若半径为1的圆分别与y轴的正半轴和射线相切，则这个圆的方程为 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$