空间向量与立体几何：线性运算、数量积、坐标运算复习讲义-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

空间向量与立体几何：线性运算、数量积、坐标运算复习讲义 考点一 空间向量的基本定理与线性运算 1.空间向量：在空间中，我们把具有_________和_________的量叫做空间向量，表示为________或__________. 2.空间向量的模：________或__________. 3.平行向量：两个向量的方向_____或______，即向量所在直线_____ 或_____ ，平行向量与______意义相同. 4.相等向量：两个向量的方向_________________且大小_________________. 5.零向量与单位向量：模为______的向量叫做零向量，模为______的向量叫做单位向量. 6.向量的加法与减法：、. 7.空间向量基本定理：任意向量可由其他三个__________的向量、、线性表示，即___________________. 8.四点共面：为空间任意一点，若四点共面，且三点不共线，则 （1）,且___________________. （2） 1．（23-24高二下·甘肃临夏·期末）如图，在平行六面体中，点E，F分别为AB，的中点，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·四川成都·期末）已知在四面体中，，，，，为BC的中点，若.则（   ）    A． B． C． D．3 3．（23-24高二下·江苏扬州·期末）已知是三个不共面的向量，，且四点共面，则实数的值为（    ）. A．1 B．2 C．3 D．4 4．（23-24高二下·江苏宿迁·期末）已知三点不共线，为平面外一点，下列条件中能确定四点共面的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·河南周口·期中·多选）设是空间一个基底，下列选项中正确的是（    ） A．两两共面，但不可能共面 B．若，，则 C．对空间任一向量，总存在有序实数组，使 D．则，，一定能构成空间的一个基底 6．（23-24高二上·陕西宝鸡·期中·多选）给出下列命题，其中正确的有（    ） A．空间任意三个向量都可以作为一组基底 B．已知向量，则、与任何向量都不能构成空间的一组基底 C．、、、是空间四点，若、、不能构成空间的一组基底，则、、、共面 D．已知是空间向量的一组基底，则也是空间向量的一组基底 7．（23-24高二上·浙江嘉兴·期末·多选）若构成空间的一个基底，则空间的另一个基底可以是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·湖北荆州·期末·多选）下列说法正确的是（    ） A．若有空间非零向量，，则存在唯一的实数，使得 B．A，B，C三点不共线，空间中任意点O，若，则P，A，B，C四点共面 C．，，若，则 D．若是空间的一个基底，则O，A，B，C四点共面，但不共线 考点二 空间向量的数量积 1.. 2.若，则. 3.，即. 4.在上的投影为___________________. 5.在上的投影向量为______________________. 6.若求平面向量的数量积，常见的处理方法有以下四种： （1）方法一：定义直接展开：若已知、和夹角，. （2）方法二：线性运算代换：若，则. （3）方法三：建系坐标代换：若，，则. 1．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期末）如图，在平行六面体中，，，则的长为（    ） A． B． C．85 D．97 2．（23-24高二上·山东青岛·期末）正四面体各棱长均为，E，F，G分别是的中点，则（    ） A． B． C．1 D． 3．（23-24高二下·甘肃·期末）在棱长均为2的平行六面体中，，则的长为（    ） A． B． C． D．6 4．（23-24高二上·福建福州·期末）如图，已知二面角的大小为，，，，且，，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·江西萍乡·期末）已知，，是空间中两两垂直的单位向量，则（    ） A． B．14 C． D．2 6．（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知是平行六面体，， ，，则（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·江苏南通·期末）已知平行六面体中，，则（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·四川成都·期末）如图，已知四面体的棱长都是2，点为棱的中点，则的值为（    ） A．1 B． C． D．2 9．（23-24高二上·山东烟台·期中）已知空间向量，，满足，，且，则与的夹角大小为（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 10．（23-24高二上·山东济宁·期中）如图，二面角的度数为，其棱上有两点、，线段、分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，若，，则线段的长为（    ）    A． B． C． D． 考点三 空间向量的坐标运算 3.空间向量的加法、减法、数乘及数量积运算的坐标表示都可以类似平面向量的坐标运算得到． 设，，则 （1）. . . . （2）. . . . （3）在空间直角坐标系中，已知点，，则. 4.与坐标轴与坐标平面有关的对称与投影 (1)在空间直角坐标系中，已知点，则 点关于轴的对称点的坐标______________. 点关于轴的对称点的坐标______________. 点关于轴的对称点的坐标______________. 点关于坐标平面上的对称点的坐标______________. 点关于坐标平面上的对称点的坐标______________. 点关于坐标平面上的对称点的坐标______________. (2)在空间直角坐标系中，已知点，则 在轴上的投影向量______________. 在轴上的投影向量______________. 在轴上的投影向量______________. 在坐标平面上的投影向量______________. 在坐标平面上的投影向量______________. 在坐标平面上的投影向量______________. 1．（23-24高二下·湖南邵阳·期末）已知空间向量，，若两个向量互相垂直，则（ ） A．1.5 B．1 C．0.5 D．2 2．（23-24高二下·河南开封·期末）已知，，且，则（    ） A． B． C．2 D．6 3．（23-24高二下·福建莆田·期末）已知向量，，若，，三点共线，则（    ） A． B． C．2 D．3 4．（23-24高二下·甘肃白银·期末）已知空间向量,若,则（    ） A．6 B． C．36 D．5 5．（23-24高二下·四川泸州·期末）已知空间向量，若共面，则实数 （    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（23-24高二下·江苏南京·期末）在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点坐标是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·广东深圳·期末·多选）若向量，，则下列结论正确的为（   ） A． B． C．∥ D． 8．（23-24高二下·河南·阶段练习·多选）下列结论正确的是（    ） A．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为 B．若向量，且，则 C．若向量，则在上的投影向量的模为 D．为空间中任意一点，若，且，则四点共面 9．（23-24高二上·福建泉州·期末·多选）已知空间向量，则（    ） A． B．在上的投影向量为 C．若向量，则点在平面内 D．向量是与平行的一个单位向量 10．（23-24高二上·安徽·期末·多选）在空间直角坐标系中，已知向量，，则下列结论正确的是（    ） A．向量关于平面的对称向量的坐标为 B．若，则 C．若，则 D．若且，则， 2 学科网（北京）股份有限公司 $$空间向量与立体几何：线性运算、数量积、坐标运算复习讲义 考点一 空间向量的基本定理与线性运算 1.空间向量：在空间中，我们把具有_________和_________的量叫做空间向量，表示为________或__________. 2.空间向量的模：________或__________. 3.平行向量：两个向量的方向_____或______，即向量所在直线_____ 或_____ ，平行向量与______意义相同. 4.相等向量：两个向量的方向_________________且大小_________________. 5.零向量与单位向量：模为______的向量叫做零向量，模为______的向量叫做单位向量. 6.向量的加法与减法：、. 7.空间向量基本定理：任意向量可由其他三个__________的向量、、线性表示，即___________________. 8.四点共面：为空间任意一点，若四点共面，且三点不共线，则 （1）,且___________________. （2） 1．（23-24高二下·甘肃临夏·期末）如图，在平行六面体中，点E，F分别为AB，的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在平行六面体中，点E，F分别为AB，的中点， 则. 故答案为：A. 2．（23-24高二下·四川成都·期末）已知在四面体中，，，，，为BC的中点，若.则（   ）    A． B． C． D．3 【答案】B 【详解】因为，为BC的中点， 所以， 又，则，，， 所以. 故选：B. 3．（23-24高二下·江苏扬州·期末）已知是三个不共面的向量，，且四点共面，则实数的值为（    ）. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】因为， 且四点共面， 由空间共面向量定理可知，存在实数满足， 即， 所以，解得，所以的值为. 故选：D. 4．（23-24高二下·江苏宿迁·期末）已知三点不共线，为平面外一点，下列条件中能确定四点共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由空间向量基本定理可知，若四点共面，则需满足存在实数使得，且， 显然选项A，C不成立； 对于选项B，由可得， 不合题意，即B错误； 对于D，化简可得， 满足，可得D正确； 故选：D 5．（23-24高二上·河南周口·期中·多选）设是空间一个基底，下列选项中正确的是（    ） A．两两共面，但不可能共面 B．若，，则 C．对空间任一向量，总存在有序实数组，使 D．则，，一定能构成空间的一个基底 【答案】ACD 【详解】对于A，由基底的定义和性质得两两共面，但不可能共面，A正确； 对于B，，则所成角不一定为错误； 对于C，根据空间向量基本定理得到总存在有序实数组，使正确； 对于D，假设共面， 则存在实数，使得， ， 因为是空间一个基底，则矛盾，假设错误， 不共面， 一定能构成空间的一个基底，故正确. 故选：ACD. 6．（23-24高二上·陕西宝鸡·期中·多选）给出下列命题，其中正确的有（    ） A．空间任意三个向量都可以作为一组基底 B．已知向量，则、与任何向量都不能构成空间的一组基底 C．、、、是空间四点，若、、不能构成空间的一组基底，则、、、共面 D．已知是空间向量的一组基底，则也是空间向量的一组基底 【答案】BCD 【详解】对于A项，空间任意的三个不共面的向量才可以作为一组基底，故A错误； 对于B项，若，则、与任何向量都共面，故不能构成空间的一组基底，故B正确； 对于C项，若、、不能构成空间的一组基底，则、、共面， 又、、过相同的点，则、、、四点共面，故C正确； 对于D项，若，，共面， 则，可知，，共面， 与为空间向量的一组基底相矛盾，故，，可以构成空间向量的一组基底. 故选：BCD. 7．（23-24高二上·浙江嘉兴·期末·多选）若构成空间的一个基底，则空间的另一个基底可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】A：因为构成空间的一个基底， 所以可以得两两都不是共线向量， 假设是共面向量， 则有显然无实数解，假设不成立，因此不是共面向量，因此可以成为一组基底； B：因为构成空间的一个基底， 所以可以得两两都不是共线向量， 因为，所以是共面向量，因此不能成为一组基底； C：因为构成空间的一个基底， 所以可以得两两都不是共线向量， 假设是共面向量， 则有显然无实数解，假设不成立，因此不是共面向量，因此可以成为一组基底； D：因为构成空间的一个基底， 所以可以得两两都不是共线向量， 因为，所以是共面向量，因此不能成为一组基底， 故选：AC 8．（23-24高二上·湖北荆州·期末·多选）下列说法正确的是（    ） A．若有空间非零向量，，则存在唯一的实数，使得 B．A，B，C三点不共线，空间中任意点O，若，则P，A，B，C四点共面 C．，，若，则 D．若是空间的一个基底，则O，A，B，C四点共面，但不共线 【答案】ABC 【详解】对于A：若有空间非零向量，，则存在唯一的实数，使得，A正确； 对于B：， 即，故则P，A，B，C四点共面，B正确； 对于C：因为，则存在实数，使，即，解得，C正确； 对于D：若是空间的一个基底，则O，A，B，C四点不共面，D错误. 故选：ABC. 考点二 空间向量的数量积 1.. 2.若，则. 3.，即. 4.在上的投影为___________________. 5.在上的投影向量为______________________. 6.若求平面向量的数量积，常见的处理方法有以下四种： （1）方法一：定义直接展开：若已知、和夹角，. （2）方法二：线性运算代换：若，则. （3）方法三：建系坐标代换：若，，则. 1．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期末）如图，在平行六面体中，，，则的长为（    ） A． B． C．85 D．97 【答案】B 【详解】依题意可得，，，， ，． ， ， ，即的长为. 故选：B． 2．（23-24高二上·山东青岛·期末）正四面体各棱长均为，E，F，G分别是的中点，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【详解】因为E，F，G分别是的中点，四面体是正四面体，且棱长， 所以 . 故选：D． 3．（23-24高二下·甘肃·期末）在所有棱长均为2的平行六面体中，，则的长为（    ） A． B． C． D．6 【答案】C 【详解】因为，所以 ， 从而，即的长为． 故选：C. 4．（23-24高二上·福建福州·期末）如图，已知二面角的大小为，，，，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为二面角的大小为，，，，，， 所以与的夹角为，又因为， 所以 ， 所以，即． 故选：A． 5．（23-24高二上·江西萍乡·期末）已知，，是空间中两两垂直的单位向量，则（    ） A． B．14 C． D．2 【答案】A 【详解】依题意得，，； 所以， 故选：A. 6．（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知是平行六面体，， ，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得 ， 所以， 故选：A 7．（23-24高二上·江苏南通·期末）已知平行六面体中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 ， 故， 所以. 故选：B. 8．（23-24高二上·四川成都·期末）如图，已知四面体的棱长都是2，点为棱的中点，则的值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【详解】因为点为棱的中点， 所以， 因为四面体的棱长都是2， 所以， 故选：B 9．（23-24高二上·山东烟台·期中）已知空间向量，，满足，，且，则与的夹角大小为（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 【答案】C 【详解】由题设，则， 所以，又，可得，即. 故选：C 10．（23-24高二上·山东济宁·期中）如图，二面角的度数为，其棱上有两点、，线段、分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，若，，则线段的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知，，，，，， 则， 因为， 所以， ， 因此，. 故选：D. 考点三 空间向量的坐标运算 3.空间向量的加法、减法、数乘及数量积运算的坐标表示都可以类似平面向量的坐标运算得到． 设，，则 （1）. . . . （2）. . . . （3）在空间直角坐标系中，已知点，，则. 4.与坐标轴与坐标平面有关的对称与投影 (1)在空间直角坐标系中，已知点，则 点关于轴的对称点的坐标______________. 点关于轴的对称点的坐标______________. 点关于轴的对称点的坐标______________. 点关于坐标平面上的对称点的坐标______________. 点关于坐标平面上的对称点的坐标______________. 点关于坐标平面上的对称点的坐标______________. (2)在空间直角坐标系中，已知点，则 在轴上的投影向量______________. 在轴上的投影向量______________. 在轴上的投影向量______________. 在坐标平面上的投影向量______________. 在坐标平面上的投影向量______________. 在坐标平面上的投影向量______________. 1．（23-24高二下·湖南邵阳·期末）已知空间向量，，若两个向量互相垂直，则（ ） A．1.5 B．1 C．0.5 D．2 【答案】C 【详解】由空间向量，互相垂直， 则，解得， 故选：C. 2．（23-24高二下·河南开封·期末）已知，，且，则（    ） A． B． C．2 D．6 【答案】B 【详解】因为，，， 所以，所以. 故选：B. 3．（23-24高二下·福建莆田·期末）已知向量，，若，，三点共线，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【详解】因为，，三点共线，则，又向量，， 所以，解得， 故选：B. 4．（23-24高二下·甘肃白银·期末）已知空间向量,若,则（    ） A．6 B． C．36 D．5 【答案】A 【详解】因为，所以，所以，所以. 故选：A 5．（23-24高二下·四川泸州·期末）已知空间向量，若共面，则实数 （    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】因为不共线，共面， 所以存在一对有序实数，使， 所以， 所以，解得， 故选：A 6．（23-24高二下·江苏南京·期末）在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点坐标为. 故选：C 7．（23-24高二上·广东深圳·期末·多选）若向量，，则下列结论正确的为（   ） A． B． C．∥ D． 【答案】AB 【详解】因为向量，， 所以，故A正确； ， 所以，故B正确； 不存在非零实数，使成立，故与不共线，故C错误； 因为，故D错误. 故选：AB. 8．（23-24高二下·河南·阶段练习·多选）下列结论正确的是（    ） A．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为 B．若向量，且，则 C．若向量，则在上的投影向量的模为 D．为空间中任意一点，若，且，则四点共面 【答案】BC 【详解】对于选项A，点关于平面的对称点为，所以选项A错误， 对于选项B，因为，且，所以，得到，所以选项B正确， 对于选项C，因为，所以在上的投影向量的模为，故选项C正确， 对于选项D，由空间向量基本定理的推论可知：，且时，四点共面，所以选项D错误， 故选：BC. 9．（23-24高二上·福建泉州·期末·多选）已知空间向量，则（    ） A． B．在上的投影向量为 C．若向量，则点在平面内 D．向量是与平行的一个单位向量 【答案】ABD 【详解】由已知可得，A正确； 由于，所以在上的投影向量即为，B正确； 若在平面ABC内，则存在实数x，y，使得，而, 所以， 上述方程组无解，故点E不在平面ABC内，C错误; 由，故，且， 所以正确． 故选：ABD． 10．（23-24高二上·安徽·期末·多选）在空间直角坐标系中，已知向量，，则下列结论正确的是（    ） A．向量关于平面的对称向量的坐标为 B．若，则 C．若，则 D．若且，则， 【答案】AC 【详解】对于选项A:根据题意可知向量关于平面的对称向量的坐标为,故A正确； 对于选项B:若，则，即，故B错误； 对于选项C:若，则，故C正确； 对于选项D:若且，或，故D错误． 故选：AC. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$