空间向量与立体几何：位置关系、角度问题、距离问题复习讲义-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

空间向量与立体几何：位置关系、角度问题、距离问题复习讲义 考点一 空间向量与立体几何：位置问题 1.平面的法向量的定义：法向量，是空间解析几何的一个概念，与平面内所有直线__________所表示的向量为该平面的法向量。法向量适用于解析几何。由于空间内有无数个直线垂直于已知平面，因此一个平面都存在无数个法向量。 2.平面的法向量的求解：已知平面，且、、 (1)__________________________ (2)__________________________ (3)__________________________ (4)__________________________ 3.空间向量与空间位置关系 空间位置关系 向量关系 1．（23-24高二上·吉林延边·期末）已知平面的一个法向量为，直线的方向向量为，若，则实数（    ）. A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24高二上·河南洛阳·期末）若平面的法向量为，直线的方向向量为，，则下列四组向量中能使的是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．（23-24高二上·江西九江·期末）若平面外的直线的方向向量为，平面的法向量为，则（    ） A． B． C． D．与斜交 4．（23-24高二上·广东茂名·期末）已知直线的方向向量为，平面的一个法向量为，若直线平面，则（    ） A． B．2 C． D． 5．（23-24高二下·陕西咸阳·期末）若，且为直线的一个方向向量，为平面的一个法向量，则实数的值为 . 6．（23-24高二上·广东深圳·期末）已知平面的一个法向量为，若点均在内，则 . 7．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）如图所示，在棱长均相等的平行六面体中分别为线段的中点． (1)设，请以向量表示； (2)求证：平面平面． 8．（23-24高二上·江西·阶段练习）如图，正四棱锥的高为6，，且M是棱上更靠近C的三等分点. (1)证明：； (2)若在棱上存在一点N，使得平面，求的长度. 9．（23-24高二下·四川凉山·期末）如图，在多面体中，四边形是菱形，平面，，，． (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点，使得∥平面？若存在，指出点的位置并证明；若不存在，请说明理由． 考点二 空间向量与立体几何：角度问题 1.求异面直线所成的角 解题步骤：若求直线与直线所称之角 (1)表示、、、四点的__________. (2)表示__________________. (3)记直线所成之角为，. 2.求直线和平面所成的角 解题步骤：若求直线与平面所成之角 (1)表示、、、、五点的__________. (2)表示__________________. (3)设平面的一个法向量为，利用__________________________列方程，赋值求解. (4)记直线与平面所成之角为，. 3.求二面角 解题步骤：若求平面与平面所成之角 (1)表示、、、、、五点的__________. (2)表示__________________. (3)设平面的一个法向量为，利用________________列方程，赋值求解，同理求平面的一个法向量. (4)记平面与平面所成之角为，. 1．（23-24高二下·福建厦门·期末）在四面体中，，，，，则与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·陕西西安·期末）在正方体中，是棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·福建龙岩·期末）如图，在四棱锥中，侧面底面，侧棱，底面为直角梯形，其中，，，则直线与平面所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·河南开封·期末）在棱长为1的正四面体ABCD中，M是BC的中点，且，，则直线AM与CN夹角的余弦值的最大值为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·福建龙岩·阶段练习）如图，四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，平面，为侧棱上的点，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·陕西渭南·期末）在四棱锥中，平面，，，，，为的中点，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·云南昆明·期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，平面，平面平面． (1)求证：平面； (2)设E为PD的中点，，求二面角的正弦值． 8．（23-24高二上·云南迪庆·期末）如图形中，底面是菱形，，与交于点，底面，为的中点，. (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的正弦值. 9．（23-24高二下·北京海淀·期末）在五面体中，平面，平面. (1)求证：； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 10．（23-24高二下·四川德阳·期末）如图，在直三棱柱中，，，M、N分别是BC、的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 考点三 空间向量与立体几何：距离问题 1.点到平面的距离 若点为平面外一点，点为平面内任一点，平面的法向量为，则到平面的距离就等于在法向量方向上的投影的绝对值. 即. 2. 点到直线的距离 若点为直线外一点，为直线上一点，直线的方向向量为，则点到直线方向上的投影向量，再利用勾股定理可得. 即. 4.异面直线的距离 已知直线与为异面直线，与与均垂直的向量为，直线与上各取一点形成，则异面直线与的距离为在方向上的投影的绝对值. 即. 5.直线到直线的距离可转化为________到________的距离. 6.直线到平面的距离、平面到平面的距离可转化为________到________的距离. 7.点到面的距离也可以用_______________法. 1．（23-24高二上·山西朔州·阶段练习）已知平面的一个法向量为，点是平面上的一点，则点到平面的距离为 . 2．（23-24高二上·福建泉州·期末）在空间直角坐标系中，若平面过点，且以向量不全为零为法向量，则平面的方程为．已知平面的方程为，则点到平面平面的距离为 . 3．（23-24高二下·福建莆田·期末）已知，，三点，则到直线的距离为 . 4．（23-24高二上·天津·期末）已知空间中三点，，，则点到直线的距离为 . 5．（23-24高二下·江苏镇江·期末）已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中．是的中点，是的中点. (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离. 6．（23-24高二下·上海·期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，为线段的中点，，为线段上的动点. (1)证明：； (2)当为线段的中点时，求点到面的距离. 7．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）如图所示，在直三棱柱中，，，，分别是的中点． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$空间向量与立体几何：位置关系、角度问题、距离问题复习讲义 考点一 空间向量与立体几何：位置问题 1.平面的法向量的定义：法向量，是空间解析几何的一个概念，与平面内所有直线__________所表示的向量为该平面的法向量。法向量适用于解析几何。由于空间内有无数个直线垂直于已知平面，因此一个平面都存在无数个法向量。 2.平面的法向量的求解：已知平面，且、、 (1)__________________________ (2)__________________________ (3)__________________________ (4)__________________________ 3.空间向量与空间位置关系 空间位置关系 向量关系 1．（23-24高二上·吉林延边·期末）已知平面的一个法向量为，直线的方向向量为，若，则实数（    ）. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】因为，所以，所以，解得． 故选：. 2．（23-24高二上·河南洛阳·期末）若平面的法向量为，直线的方向向量为，，则下列四组向量中能使的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】根据题意，平面的法向量为，直线的方向向量为，， 若，即，又由，则有， 依次分析选项： 对于A，，，，即成立，符合题意； 对于B，，，，即不成立，不符合题意； 对于C，，，，即不成立，不符合题意； 对于D，，，，即不成立，不符合题意． 故选：A． 3．（23-24高二上·江西九江·期末）若平面外的直线的方向向量为，平面的法向量为，则（    ） A． B． C． D．与斜交 【答案】B 【详解】根据题意，直线的方向向量为， 平面的法向量为，易得， 又直线在平面外，则有． 故选：B． 4．（23-24高二上·广东茂名·期末）已知直线的方向向量为，平面的一个法向量为，若直线平面，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【详解】由直线平面，得，则，所以. 故选：D 5．（23-24高二下·陕西咸阳·期末）若，且为直线的一个方向向量，为平面的一个法向量，则实数的值为 . 【答案】-8 【详解】由题意，解得. 故答案为：-8. 6．（23-24高二上·广东深圳·期末）已知平面的一个法向量为，若点均在内，则 . 【答案】 【详解】由点可得. 因为平面的一个法向量为，点均在内， 所以， 则，解得. . 故答案为：. 7．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）如图所示，在棱长均相等的平行六面体中分别为线段的中点． (1)设，请以向量表示； (2)求证：平面平面． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）. （2）∵ ∴， 又∵， ∴，即， ∵底面菱形中，，且，平面. 所以平面． 又平面． ∴平面平面． 8．（23-24高二上·江西·阶段练习）如图，正四棱锥的高为6，，且M是棱上更靠近C的三等分点. (1)证明：； (2)若在棱上存在一点N，使得平面，求的长度. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）如图，连接，交于点，连接. 底面是正方形，，，， ，，平面.平面. 平面，. （2）以O为原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，. ，，，. 设平面的法向量为.则 取，则，，得. 设，，则. 平面，，得.故. 9．（23-24高二下·四川凉山·期末）如图，在多面体中，四边形是菱形，平面，，，． (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点，使得∥平面？若存在，指出点的位置并证明；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在点，当与重合时，使得∥平面. 【详解】（1）证明：连接交于点， 因为四边形为菱形，所以， 因为平面，平面， 所以， 因为，平面， 所以平面； （2）解：取的中点，连接， 因为四边形为菱形，，所以为等边三角形， 所以， 因为平面，平面，所以， 所以两两垂直， 所以以为原点，所在的直线分别为建立空间直角坐标系， 设，则， 所以， 假设存在点，使得∥平面， 设，则， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，则， 由，得， 此时与重合，平面， 所以存在点，当与重合时，使得∥平面. 考点二 空间向量与立体几何：角度问题 1.求异面直线所成的角 解题步骤：若求直线与直线所称之角 (1)表示、、、四点的__________. (2)表示__________________. (3)记直线所成之角为，. 2.求直线和平面所成的角 解题步骤：若求直线与平面所成之角 (1)表示、、、、五点的__________. (2)表示__________________. (3)设平面的一个法向量为，利用__________________________列方程，赋值求解. (4)记直线与平面所成之角为，. 3.求二面角 解题步骤：若求平面与平面所成之角 (1)表示、、、、、五点的__________. (2)表示__________________. (3)设平面的一个法向量为，利用________________列方程，赋值求解，同理求平面的一个法向量. (4)记平面与平面所成之角为，. 1．（23-24高二下·福建厦门·期末）在四面体中，，，，，则与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题知，，令为与所成夹角， 则 . 故选：A 2．（23-24高二下·陕西西安·期末）在正方体中，是棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 设正方体的棱长为2， 则， 所以 设平面的法向量为， 则， 令，则，所以， 设直线与平面所成角为， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 故选：A. 3．（23-24高二下·福建龙岩·期末）如图，在四棱锥中，侧面底面，侧棱，底面为直角梯形，其中，，，则直线与平面所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】取中点为，连接，，， 又侧面底面，侧面底面，面， 底面， ，，，连接，则. 如图，以为原点，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系. ，设平面的法向量为，则，可取， ， 设直线与平面所成角为，， ， 直线与平面所成角的正切值为. 故选：. 4．（23-24高二下·河南开封·期末）在棱长为1的正四面体ABCD中，M是BC的中点，且，，则直线AM与CN夹角的余弦值的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图所示，延长，使得，由题意点在线段上（不包含端点）， 选取为基底，由题意， 而， 从而， ， ， 所以， 设，因为，所以，而， 因为 ， 设，则，， 当且仅当，即，即时，的最小值为， 所以当且仅当时，. 故选：C. 5．（23-24高二下·福建龙岩·阶段练习）如图，四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，平面，为侧棱上的点，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】连接，设交于点，则平面， 以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 设底面边长为，则， 显然是平面的一个法向量， 因为平面，所以是平面的一个法向量， 设二面角为，所以. 故选：B. 6．（23-24高二上·陕西渭南·期末）在四棱锥中，平面，，，，，为的中点，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】过点作交于点， 因为平面，平面， 所以， 又因为，，所以， 所以两两互相垂直， 所以以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系： 因为，，为的中点， 所以， 所以， 设平面的法向量为，则， 令，解得，即可取， 显然可取平面的法向量为，且二面角为锐角， 所以二面角的余弦值为. 故选：A. 7．（23-24高二上·云南昆明·期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，平面，平面平面． (1)求证：平面； (2)设E为PD的中点，，求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【详解】（1）在平面内过点作于，由平面平面，平面平面， 得平面，而平面，则，由平面， 平面，得，又平面， 所以平面. （2）由，得，由（1）知平面，则平面， 则直线两两垂直，以点为原点，直线分别为轴建立坐标系， 令，则， ， 设平面的法向量，则，令，得， 设平面的法向量，则，令，得， 设二面角的大小为，则， 所以二面角的正弦值为. 8．（23-24高二上·云南迪庆·期末）如图形中，底面是菱形，，与交于点，底面，为的中点，. (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：如图所示，连接， 因为底面是菱形，且与交于点，则点为的中点， 因为为的中点，所以为的中位线，可得， 又因为平面，平面， 所以平面. （2）解：以所在的直线分别为轴，以过点作的垂线所在的直线为轴， 建立空间直角坐标系，如图所示， 可得，则， 设平面的一个法向量为，则， 令，可得，所以， 又由， 设直线与平面所成的角为， 则， 即直线与平面所成的角的正弦值为. 9．（23-24高二下·北京海淀·期末）在五面体中，平面，平面. (1)求证：； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【详解】（1）由平面，平面，得，而平面，平面， 则平面，又平面，平面平面， 所以. （2）令，则，有， 于是，由已知得直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量，则，令，得， 设直线与平面所成的角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 10．（23-24高二下·四川德阳·期末）如图，在直三棱柱中，，，M、N分别是BC、的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）由题意以A为坐标原点建立如图空间直角坐标系： 则，， 所以，，， 所以， ， 即，， 又平面，所以平面. （2）由（1）知平面的法向量可取， 平面的法向量可取为， 设平面与平面夹角为， 则. 考点三 空间向量与立体几何：距离问题 1.点到平面的距离 若点为平面外一点，点为平面内任一点，平面的法向量为，则到平面的距离就等于在法向量方向上的投影的绝对值. 即. 2. 点到直线的距离 若点为直线外一点，为直线上一点，直线的方向向量为，则点到直线方向上的投影向量，再利用勾股定理可得. 即. 4.异面直线的距离 已知直线与为异面直线，与与均垂直的向量为，直线与上各取一点形成，则异面直线与的距离为在方向上的投影的绝对值. 即. 5.直线到直线的距离可转化为________到________的距离. 6.直线到平面的距离、平面到平面的距离可转化为________到________的距离. 7.点到面的距离也可以用_______________法. 1．（23-24高二上·山西朔州·阶段练习）已知平面的一个法向量为，点是平面上的一点，则点到平面的距离为 . 【答案】 【详解】由已知可得， 所以点到平面的距离为. 故答案为：. 2．（23-24高二上·福建泉州·期末）在空间直角坐标系中，若平面过点，且以向量不全为零为法向量，则平面的方程为．已知平面的方程为，则点到平面平面的距离为 . 【答案】/ 【详解】由平面的方程为，可得平面过点，且其法向量为， 又由点，可得， 所以点到平面的距离为． 故答案为： 3．（23-24高二下·福建莆田·期末）已知，，三点，则到直线的距离为 . 【答案】/ 【详解】因为，，所以， 得到， 所以到直线的距离为， 故答案为：. 4．（23-24高二上·天津·期末）已知空间中三点，，，则点到直线的距离为 . 【答案】 【详解】由点的坐标可得， 则点到直线的距离为. 故答案为： 5．（23-24高二下·江苏镇江·期末）已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中．是的中点，是的中点. (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）取中点，连接，， 由是的中点，故，且， 由是的中点，故，且， 则有、， 故四边形是平行四边形，故， 又平面，平面， 故平面； （2）以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 有、、、、、， 则有、、， 设平面的法向量分别为， 则有，取， 则有， 即点到平面的距离为. 6．（23-24高二下·上海·期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，为线段的中点，，为线段上的动点.    (1)证明：； (2)当为线段的中点时，求点到面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）平面，平面， ， 又平面， 平面，又平面， ， 中，为的中点，， 平面，平面， 平面，. （2）以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 设为平面的法向量，    则，令，则，故， 则点与平面的距离. 7．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）如图所示，在直三棱柱中，，，，分别是的中点． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：如图，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系， 则 因为，分别是，的中点，所以，， 所以， 平面的一个法向量为， 因为， 又因为平面， 所以平面； （2）由（1）知，， 设平面的一个法向量为， 则，令，得， 所以平面的一个法向量为. 所以点到平面的距离为， 故点到平面的距离为 2 学科网（北京）股份有限公司 $$