上海市行知中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

上海市行知中学2024学年第一学期 高一期中考试数学试题 (满分150分, 考试时间120分钟) 一、填空题(本大题共12小题, 1-6每小题4分, 7-12每小题5分, 满分54分) 1. 设集合 若2∈A,则= . 2. 函数的定义域为 . 3.若,设 则的大小关系为 4. 用反证法证明命题:“若, 则”时, 应假设 . 5.已知, 则的最小值为 . 6. 指数函数在R上是严格增函数，则实数的取值范围是 . 7. 已知则用表示 . 8. 已知关于的方程 有两个实数根分别为,且 则实数的值为 . 9. 已知实数满足，则 的取值范围是 . 10.若函数 在[1，+∞)上是严格减函数，且在[1，+∞)上函数值不恒为负，则实数的取值范围是 . 11.已知为实数，用|S|表示有限集合S的元素个数， 则|A|-|B|所有可能的值是 . 12. 若对任意的，总存在，使得成立，则数的取值范围是 . 二、选择题(本大题共4小题, 13、14 每题 4 分, 15、16 每题 5 分, 满分18分) 13. 已知, 则下列不等式正确的是 ( ) A. 14.如图，图像①②③④所对应的函数不属于中的一个是( ) A. ① B. ② C. ③ D. ④ 15.大西洋鲑鱼每年都要逆游而上游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速 (单位：m/s)可以表示为 其中O表示鲑鱼的耗氧量的单位数.若一条鲑鱼游速为2m/s时耗氧量的单位数为U，游速为3m/s时耗氧量的单位数为W，则 A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 16. 已知满足 则( ) A. |a-c|≥|b-c|, |a-b|≥|b-c| B. |a-c|≥|b-c|, |a-b|≤|b-c| c. |a-c|≤|b-c|, |a-b|≥|b-c| D. |a-c|≤|b-c|, |a-b|≤|b-c| 三、解答题(本大题共有5小题，满分78分，必须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤) 17.(本题满分14分，第一小题满分6分，第2小题满分8分) 已知全集为R，集合 集合 B={}. (1) 求集合A,B及A∩B: (2) 若C={}, 且满足A∪C=A, 求实数的取值范围. 18.(本题满分14分，第一小题满分6分，第2小题满分8分) 已知幂函数 且该函数在 上是严格增函数. (1) 求此幂函数的表达式： (2) 求关于的不等式 的解, 其中. 19.(本题满分14分，第一小题满分6分，第2小题满分8分) 某厂商计划投资生产甲、乙两种商品，经市场调研发现，如图所示，甲、乙商品的投资与利润(单位：万元) 分别满足函数关系与 (1) 求 与 的值： (2)该厂商现筹集到资金20万元，如何分配生产甲、乙商品的投资，可使总利润最大?并求出总利润的最大值. 20.(本题满分18分, 第1小题6分, 第2小题6分,第3小题6分) 已知, 函数 (1) 当时，求该函数的定义域 (2) 设 是该函数图像上任意不同的两点，且满足点 P在点Q的左侧，求证：点P在点Q的上方. (3)设，若对任意的， 在区间[]上的最大值与最小值的和不大于. 求的取值范围. 21.(本题满分18分, 第1小题4分, 第2小题6分, 第3小题8分) 对于元素为正整数集合 如果去掉集合A中任意一个元素 之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A为“求真集合”： (1) 判断集合{1，2，3}是否为“求真集合”，并说明理由； (2) 求证：四个元素为正整数的集合 定不是“求真集合”： (3)求证：“元素为正整数集合 为求真集合”是“为奇数”的充分非必要条件. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 上海市行知中学2024学年第一学期 高一期中考试数学试题 (满分150分, 考试时间120分钟) 一、填空题(本大题共12小题, 1-6每小题4分, 7-12每小题5分, 满分54分) 1. 设集合 若2∈A,则= . 【答案】 2. 函数的定义域为 . 【答案】 3. 若,设 则的大小关系为 【答案】 4. 用反证法证明命题:“若, 则”时, 应假设 . 【答案】 5. 已知, 则的最小值为 . 【答案】 6. 指数函数在R上是严格增函数，则实数的取值范围是 . 【答案】 7. 已知则用表示 . 【答案】 8. 已知关于的方程 有两个实数根分别为,且 则实数的值为 . 【答案】 8. 已知实数满足，则 的取值范围是 . 【答案】 10.若函数 在[1，+∞)上是严格减函数，且在[1，+∞)上函数值不恒为负，则实数的取值范围是 . 【答案】 11. 已知为实数，用|S|表示有限集合S的元素个数， 则|A|-|B|所有可能的值是 . 【答案】 12. 若对任意的，总存在，使得成立，则数的取值范围是 . 【答案】 二、选择题(本大题共4小题, 13、14 每题 4 分, 15、16 每题 5 分, 满分18分) 13. 已知, 则下列不等式正确的是 ( ) A. 【答案】 14.如图，图像①②③④所对应的函数不属于中的一个是( ) A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】 15.大西洋鲑鱼每年都要逆游而上游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速 (单位：m/s)可以表示为 其中O表示鲑鱼的耗氧量的单位数.若一条鲑鱼游速为2m/s时耗氧量的单位数为U，游速为3m/s时耗氧量的单位数为W，则 A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】 16. 已知满足 则( ) A. |a-c|≥|b-c|, |a-b|≥|b-c| B. |a-c|≥|b-c|, |a-b|≤|b-c| c. |a-c|≤|b-c|, |a-b|≥|b-c| D. |a-c|≤|b-c|, |a-b|≤|b-c| 【答案】 三、解答题(本大题共有5小题，满分78分，必须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤) 17.(本题满分14分，第一小题满分6分，第2小题满分8分) 已知全集为R，集合 集合 B={}. (1) 求集合A,B及A∩B: (2) 若C={}, 且满足A∪C=A, 求实数的取值范围. 【解析】 18.(本题满分14分，第一小题满分6分，第2小题满分8分) 已知幂函数 且该函数在 上是严格增函数. (1) 求此幂函数的表达式： (2) 求关于的不等式 的解, 其中. 【解析】 因为 为幂函数, 且 在 上单调递增, 则 , 解得 , 所以 ; (2)不等式 , 即 当 , 不等式解集为 , 当 或 , 即不等式解集为 , 当 或 , 即不等式解集为 . 19.(本题满分14分，第一小题满分6分，第2小题满分8分) 某厂商计划投资生产甲、乙两种商品，经市场调研发现，如图所示，甲、乙商品的投资与利润(单位：万元) 分别满足函数关系与 (1) 求 与 的值： (2)该厂商现筹集到资金20万元，如何分配生产甲、乙商品的投资，可使总利润最大?并求出总利润的最大值. 【解析】 (1) 将 代入 ,则 , 解得 ,将 代入 ,则 , 解得 ,故 . (2) 设分配生产乙商品的投资为 万元、甲商品的投资为 万元, 总利润为 ,则 , 即 时, 取得最大值,故分配生产甲投资为 19 万元，乙投资为 1 万元，此时总利润的最大值为 31.5 万元. 20.(本题满分18分, 第1小题6分, 第2小题6分,第3小题6分) 已知, 函数 (1) 当时，求该函数的定义域 (2) 设 是该函数图像上任意不同的两点，且满足点 P在点Q的左侧，求证：点P在点Q的上方. (3)设，若对任意的， 在区间[]上的最大值与最小值的和不大于，求的取值范围. 【解析】 当 时, , 则 , , 解得 , 不等式的解集为 ; 用定义法证明函数严格递减即可 (3) 在 上单调递减, 函数 在定义域内单调递减, 函数 在区间 上的最大值为 , 最小值为, , 即 , 令 , 则 , 即 在 上单调递增, 解得 ， 实数 的取值范围时 . 21.(本题满分18分, 第1小题4分, 第2小题6分, 第3小题8分) 对于元素为正整数集合 如果去掉集合A中任意一个元素 之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A为“求真集合”： (1) 判断集合{1，2，3}是否为“求真集合”，并说明理由； (2) 求证：四个元素为正整数的集合定不是“求真集合”： (3)求证：“元素为正整数集合 为求真集合”是“为奇数”的充分非必要条件. 【解析】(1) 对于集合 , 去掉1时, 去掉2时， 去掉3时， 所以集合 }不是"求真集合"; (2)不妨设 , 去掉 , 则 , 去掉 , 则 , 所以 , 显然与 矛盾, 所以四个元素的集合 一定不 是"求真集合"; 设集合 所有元素之和为 ， 由题可知， 均为偶数，因此 均为奇数或偶数, 如果 为奇数, 则 也均为奇数,由于 , 所以 为奇数,如果 为偶数, 则 均为偶数, 此时设 , 则 也是"求真集合", 重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的"求真集合", 此时各项之和也为奇数, 则集合 中元素个数 为奇数, 而当为奇数时，例如集合 ，并不是求真集合。综上所述,元素为正整数集合 为求真集合”是“为奇数”充分不必要条件。 1 学科网（北京）股份有限公司 $$