精品解析：福建省部分优质高中2024-2025学年高一上学期期中联考数学试题

2024-2025学年第一学期福建省部分优质高中期中联考 高一数学试卷 （完卷时间：120分钟；满分：150分） 注意事项： 1．答题前，考生务必在答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致. 2．答题时，选择题部分用2B铅笔填涂.非选择题部分用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答.在试题卷上答题无效. 3．考试结束，考生上交答题卡，试题卷带回自行保管. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设p：，q：，则p是q成立的（ ） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 如图，三个圆的内部区域分别代表集合，，，全集为，则图中阴影部分的区域表示（ ） A. B. C. D. 4. 若命题“，”假命题，则不能等于（ ） A. B. C. D. 5. 已知若，则实数的值为（ ） A. 1 B. 4 C. 1或4 D. 2 6. 函数的大致图象是（ ） A. B. C D. 7. 已知函数的定义域为R，若，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 8. 已知正数a，b满足，若恒成立，则实数取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0分. 9. 下列命题为真命题的有（ ） A. 若，则 B. 不等式对任意的x，恒成立 C. 已知实数a，b满足，则 D. 若关于x的不等式的解集是，则 10. 已知函数，则（ ） A. B. 为奇函数 C. 在区间上单调递增 D. 集合元素个数为4 11. 已知函数．若对于给定的非零常数m，存在非零常数T，使得对于恒成立，则称函数是D上的“m级类周期函数”，周期为T，则下列命题正确的是（ ） A. 函数是上的“2级类周期函数”，周期为1 B. 函数不可能是“m级类周期函数” C. 已知函数是上周期为1的“m级类周期函数”，当时，，若在上单调递减，则m的取值范围为 D. 若函数是上周期为2的“2级类周期函数”，且当时，，对任意，都有，则n的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 不等式的解集为________． 13. 函数单调减区间为______； 14. 已知函数，，.若对，或，则的取值范围为_____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设全集为R，集合，． （1）分别求，； （2）已知，若，求实数a的取值范围． 16. 设函数． （1）判断函数在区间上的单调性，并用定义证明结论； （2）若，求函数的值域． 17. 对口帮扶是我国一项重要的扶贫开发政策，在对口扶贫工作中，某生态基地种植某中药材的年固定成本为250万元，每产出吨需另外投入可变成本万元，已知，通过市场分析，该中药材可以每顿50万元的价格全面售完，设基地种植该中药材年利润（利润销售额成本）为万元，当基底产出该中药材40吨时，年利润为190万元. （1）年利润（单位：万元）关于年产量（单位：吨）的函数关系式； （2）当年产量为多少时（精确到0.1吨），所获年利润最大？最大年利润是多少（精确到0.1吨）？ 18. 若实数满足，则称比远离. （1）若2比远离1，求x的取值范围； （2）设，其中，判断：与哪一个更远离？并说明理由. （3）若，试问：与哪一个更远离？并说明理由. 19. 已知函数，若存在非零常数k，对于任意实数x，都有成立，则称函数是“类函数”． （1）若函数是“类函数”，求实数的值； （2）若函数是“类函数”，且当时，，求函数在时的最大值和最小值； （3）已知函数是“类函数”，是否存在一次函数（常数，），使得，其中，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第一学期福建省部分优质高中期中联考 高一数学试卷 （完卷时间：120分钟；满分：150分） 注意事项： 1．答题前，考生务必在答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致. 2．答题时，选择题部分用2B铅笔填涂.非选择题部分用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答.在试题卷上答题无效. 3．考试结束，考生上交答题卡，试题卷带回自行保管. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求得，将中的元素代入中，可求结. 【详解】由，将集合中的元素代入中， 可得. 故选：D 2. 设p：，q：，则p是q成立的（ ） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】解不等式化简命题q，再利用充分条件、必要条件的定义直接判断作答. 【详解】解不等式得：，即，显然， 所以p是q成立的必要不充分条件. 故选：C 3. 如图，三个圆的内部区域分别代表集合，，，全集为，则图中阴影部分的区域表示（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】找到每一个选项对应的区域即得解. 【详解】解：如图所示， A. 对应的是区域1； B. 对应的是区域2； C. 对应的是区域3； D. 对应的是区域4. 故选：B 4. 若命题“，”是假命题，则不能等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】转化为命题的否定“，”为真命题，用关于的一次函数来考虑，即可求解. 【详解】根据题意，知原命题的否定“，”为真命题. 令，故，解得. 故选：D. 5. 已知若，则实数值为（ ） A. 1 B. 4 C. 1或4 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】分和，求解，即可得出答案. 【详解】当时，，则，解得：（舍去）； 当时，，则，解得：. 故选：B. 6. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用单调性、最值结合图象可得答案. 【详解】当时，，为减函数，排除AD； 当时，， 当且仅当时，取得最小值2，故排除C. B选项的图象符合题意. 故选：B. 7. 已知函数的定义域为R，若，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】利用奇偶性和对称性求得函数周期为4，然后由周期性和奇函数的性质可得. 【详解】因为， 所以，即， 又，函数的定义域为R， 所以，是定义域为R的奇函数，所以，， 所以，，故， 所以是以4为周期的周期函数， 所以. 故选：A 8. 已知正数a，b满足，若恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先参变分离得，再利用，与相乘，然后连续运用两次基本不等式即可. 【详解】依题意，． 又， 而 ， 当且仅当，即，时， 前后两个不等号中的等号同时成立，所以的取值范围为 故选： 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0分. 9. 下列命题为真命题的有（ ） A. 若，则 B. 不等式对任意的x，恒成立 C. 已知实数a，b满足，则 D. 若关于x的不等式的解集是，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对AB利用作差法即可判断；对C举反例即可；对D，利用一元二次方程的根与系数关系即可判断. 【详解】A选项中，，所以，即A选项正确； B选项中，由， 知对任意的恒成立，所以B选项正确； C选项中，若，代入，则结论不成立，所以C选项错误； D选项中，知方程有两个根1和， 所以，且，所以符合要求，故D选项正确. 故选：ABD. 10. 已知函数，则（ ） A. B. 为奇函数 C. 在区间上单调递增 D. 集合的元素个数为4 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A直接计算即可，对于B验证，对于C先证明上的单调性，再根据奇偶性得到 上的单调性，对于D把问题转化方程解的个数的判断. 【详解】对A，，故A正确； 对B，的定义域为，关于原点对称，，所以为奇函数，故B正确； 对C，当时，，，根据单调递增，所以在单调递减， 又因为是奇函数，所以在单调递减，且，所以在上单调递减，故C错误； 对D，得：， 当时，方程可化为， 因为，此时，方程的两根满足，可以说明， 所以当时，有两个不相等正根， 当时，方程可化为， 因为，此时，方程的两根满足，可以说明， 所以当时，有两个不相等的负根， 综上所述，方程有四个不相等的实数解，即集合有个元素，故D正确. 故选：ABD 11. 已知函数．若对于给定的非零常数m，存在非零常数T，使得对于恒成立，则称函数是D上的“m级类周期函数”，周期为T，则下列命题正确的是（ ） A. 函数是上的“2级类周期函数”，周期为1 B. 函数不可能是“m级类周期函数” C. 已知函数是上周期为1的“m级类周期函数”，当时，，若在上单调递减，则m的取值范围为 D. 若函数是上周期为2的“2级类周期函数”，且当时，，对任意，都有，则n的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据“级类周期函数”的定义即可判断A；假设函数是“级类周期函数”，再根据定义即可判断B；由题意当时，，则，进而可判断C；根据题意可得，再结合当时，，分析即可判断D. 【详解】对于A，对于函数，因为， 因为函数是上的“2级类周期函数”， 所以函数是上的“2级类周期函数”，周期为1，故A正确； 对于B，假设函数是“级类周期函数”， 则存在非零常数，使得成立， 即，整理得， 所以，解得，又因为， 所以函数不可能是“级类周期函数”，故B正确； 对于C，因为函数是上周期为1的“级类周期函数”， 所以， 因为当时，， 所以， 所以当时， ， 而， 因为在上单调递减， 所以，解得， 若，，与题意矛盾， 所以m的取值范围为，故C错误； 对于D，因为函数是上周期为2的“2级类周期函数”， 所以， 因为当时，， 所以当时，， 故当时，恒成立， 当时，， 则， 此时，令，解得或， 当时，， 综上所述，对任意，都有，则n的取值范围为，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：函数新定义问题，命题新颖，且存在知识点交叉，常常会和函数的性质，包括奇偶性，单调性，值域等进行结合，很好的考虑了知识迁移，综合运用能力，对于此类问题，一定要解读出题干中的信息，正确理解问题的本质，转化为熟悉的问题来进行解决. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 不等式的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】将，转化为不等式组求解即可. 【详解】因为，所以 所以 即所以不等式的解集为． 故答案为：． 13. 函数的单调减区间为______； 【答案】 【解析】 【分析】先求解原函数的定义域，然后根据复合函数单调性分析求解即可. 【详解】解：令，则可以看作是由与复合而成的函数. 令，得或. 易知在上是减函数，在上是增函数，而在上是增函数， 所以的单调递减区间为. 故答案为：. 14. 已知函数，，.若对，或，则的取值范围为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用或命题的真假，结合一次函数、二次函数的性质分类讨论即可. 【详解】若，则，显然符合题意； 若，则时有，而为单调递增函数， 要满足题意则需，解之得； 若，则时有，而单调递减函数，要满足题意则需，显然恒成立； 综上所述：. 故答案为： 【点睛】思路点睛：将或命题的真即与有一个真即可，利用一次函数与二次函数的性质分类讨论即可. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设全集为R，集合，． （1）分别求，； （2）已知，若，求实数a的取值范围． 【答案】（1），或或； （2）. 【解析】 【分析】（1）应用集合交并补运算求集合； （2）根据题设有且集合非空，进而列不等式组求参数范围. 【小问1详解】 由题设，且或， 所以或或. 【小问2详解】 由题意，显然集合非空， 所以，可得. 16. 设函数． （1）判断函数在区间上的单调性，并用定义证明结论； （2）若，求函数的值域． 【答案】（1）函数在上单调递增；证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）通过定义法即可判断； （2）由，由复合函数的单调性知函数在上单调递增，在上单调递减，即可求解． 【小问1详解】 函数在上单调递增； 证明：任取，且， 则 ， 因为， 所以， 所以，得， 所以函数在上单调递增； 【小问2详解】 解：因为，则，， 所以， 由（1）证明过程知，函数在上单调递减， 所以由复合函数的单调性可得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 所以， 又， 显然，故， 所以函数的值域为： 17. 对口帮扶是我国一项重要的扶贫开发政策，在对口扶贫工作中，某生态基地种植某中药材的年固定成本为250万元，每产出吨需另外投入可变成本万元，已知，通过市场分析，该中药材可以每顿50万元的价格全面售完，设基地种植该中药材年利润（利润销售额成本）为万元，当基底产出该中药材40吨时，年利润为190万元. （1）年利润（单位：万元）关于年产量（单位：吨）的函数关系式； （2）当年产量为多少时（精确到0.1吨），所获年利润最大？最大年利润是多少（精确到0.1吨）？ 【答案】（1） （2）当年产量为84.1吨时，最大年利润是451.3万元. 【解析】 【分析】（1）由基地产出该中药材40吨时，年利润为190万元，列出方程，即可求解； （2）当，时，求得万元；当，时，结合基本不等式，即可求. 【小问1详解】 当基底产出该中药材40吨时，年成本为万元， 利润为，解得， 则. 【小问2详解】 当，，，对称轴为， 则函数在，上单调递增，故当时，， 当，时， 当且仅当，即时取等号， 因为，所以当年产量为84.1吨时，所获年利润最大，最大年利润是451.3万元. 18. 若实数满足，则称比远离. （1）若2比远离1，求x的取值范围； （2）设，其中，判断：与哪一个更远离？并说明理由. （3）若，试问：与哪一个更远离？并说明理由. 【答案】（1）； （2）比更远离，理由见解析 （3）比更远离，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由题意得，解不等式可求得结果； （2）若比更远离，则成立，利用分析证明即可； （3），可得，然后分类判断与的大小关系即可. 【小问1详解】 根据题意可得：， 所以，解得； 【小问2详解】 比更远离, 理由如下：要证比更远离,只要证， 即证， 因为，所以， 所以只要证，即证， 因为，所以， 所以， 所以比更远离； 【小问3详解】 因为，当且仅当时等号成立， 所以，从而， ①， ， 即； ②时，， ， 即， 综上：，即比更远离. 【点睛】关键点点睛：此题考查绝对值不等式的解法，考查分析法证明不等式和基本不等式的应用，解题的关键是对比远离的正确理解，考查转化思想和分类讨论的思想，属于较难题. 19. 已知函数，若存在非零常数k，对于任意实数x，都有成立，则称函数是“类函数”． （1）若函数是“类函数”，求实数的值； （2）若函数是“类函数”，且当时，，求函数在时的最大值和最小值； （3）已知函数“类函数”，是否存在一次函数（常数，），使得，其中，说明理由． 【答案】（1） （2），. （3）存在，使得函数. 【解析】 【分析】（1）由题知，对于任意实数x，有成立，解方程组即得解； （2）求出，，，，再利用二次函数求得最值，即得解； （3）求出，得到时，，即得解. 【小问1详解】 由题得，对于任意实数x，都有， 即，所以， 即，所以. 所以 【小问2详解】 由题得，对于任意实数x，都有， ，， 因为，所以，设，所以， 所以，， 所以，， 对称轴为，在上单调递减，在上单调递增； 同理，， 对称轴为，在上单调递增，在上单调递减； 由题得， 所以，. 小问3详解】 由题得， 因为， 所以， 所以， 所以， 所以， 令得，， ， 所以，所以是周期函数. 所以，所以. 所以存在，使得函数. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数新定义，函数的值域，判断证明抽象函数的周期性，解题的关键是理解“类函数”的定义，及函数周期性的定义，考查学生的理解思维能力及运算求解能力，属于较难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$