精品解析：四川省南充高级中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

南充高中2024—2025学年度上学期期中考试 高2023级数学试卷 时间：120分钟 总分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知圆的方程是，则圆心的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把圆的一般方程化为标准方程，可得圆心坐标. 【详解】圆的方程可化为，所以圆心的坐标是. 故选：A. 2. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由空间向量的坐标运算计算． 【详解】由已知， 故选：C． 3. 设直线的方程为，则下列向量可以作为方向向量的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出直线的斜率，进而求出的方向向量. 【详解】依题意，直线l的斜率为，所以直线的方向向量可以取为. 故选：A 4. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】联立方程组结合交集的概念计算即可. 【详解】由，解得或，则. 故选：D. 5. 已知复数（为虚数单位，为实数），则“为纯虚数”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数为纯虚数求出的值，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若复数为纯虚数，则，即 所以若为纯虚数不一定得到，故充分性不成立； 由一定能得到为纯虚数，故必要性成立； 故“为纯虚数”是“”的必要非充分条件. 故选：B 6. 紫砂壶是中国特有的手工陶土工艺品，经典的有西施壶、石瓢壶、潘壶等，其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，如图给了一个石瓢壶的相关数据（单位： ），那么该壶的容积约为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】法一：利用圆台体积公式进行求解，再结合选项得到答案；法二：补全图像利用三角形相似可求出小圆锥体的高，大圆锥体积减小圆锥体积即可求解. 【详解】解法一：根据题意可知，根据圆台体积公式可得 . 解法二：如图，设小圆锥的高为 ，根据三角形相识可得，解得， 所以该壶的容积为. 故选：B. 7. 如图，函数的图象经过点和，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 函数的图象与直线仅有三个公共点 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象求出周期，即可求出，再根据函数过点求出，即可得到函数解析式，最后根据二倍角公式及正弦型函数的图象和性质判断即可. 【详解】由已知，函数的图象经过点和， 所以，所以，所以，故A正确； 得，由的图象过点， 且在附近单调递增，所以， 又，可得，故B正确； 所以， 由，得，故C错误； 对于D，作图可知函数的图象与直线有三个公共点，故D正确. 故选：C. 8. 已知的内角A，B，C的对边分别为，，，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先弦化切结合正弦和角公式得出，再根据正弦定理与余弦定理得，利用基本不等式计算最值即可 【详解】因为 ， 又，所以， 所以，由正弦定理可得， 又余弦定理，即， 所以，则由余弦定理， 当且仅当时取得等号. 故选：D 【点睛】思路点睛：利用同角三角函数的商数关系切化弦，结合正余弦定理角化边再利用基本不等式计算最值. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 民营经济是推进中国式现代化的生力军.为了更好地支持民营企业的发展，某市决定对部分企业的税收进行适当的减免.某机构调查了当地的中小型民营企业年收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图，则下列结论正确的是（ ） A. 样本数据落在区间内的频率为0.45 B. 若规定年收入在500万元以内的民营企业才能享受减免税政策，估计有的当地中小型民营企业能享受到减免税政策 C. 若该调查机构调查了100家民营企业，则年收入不少于400万元的有80家 D. 根据频率分布直方图估计样本的中位数为500万元 【答案】AB 【解析】 【分析】利用频率分布直方图的性质一一判定选项即可. 【详解】对于A，由，得， 所以数据落在区间内的频率为，A正确； 对于B，数据落在区间内的频率为，B正确； 对于C，，年收入大于或等于400万元的有四组， 其频率和是， 所以符合条件的民营企业有家，C错误； 对于D，数据落在区间内的频率为0.3， 数据落在区间内的频率为， 估计中位数为，D错误. 故选:AB. 10. 如图，在棱长为1的正方体中，、分别是、的中点，下列结论正确的是（ ） A. EF与垂直 B. 平面ABCD C. 异面直线与所成的角为 D. 点到平面的距离为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据，但AC与不垂直，即可判断A，根据线面平行的判定即可求解B，根据线线平行可得就是异面直线与所成的角或其补角，利用三角形的边角关系即可求解C，根据线面平行，结合等体积法即可求解D. 【详解】对A：连接，，则交于， 又为中点，可得，即，但AC与不垂直，故A错误； 对B：由，平面，平面，故平面；故B正确. 对C：由于，故就是异面直线与所成的角或其补角， 由正方体可知，即为等边三角形， 故，即异面直线与所成的角为，故C正确； 对D：由于，平面，平面，故平面， 所以点E到平面的距离等于点A到平面的距离，设为d， 由体积法可知，，故D正确. 故选：BCD. 11. 已知动点在直线上，动点在圆上，过点作圆的两条切线，切点分别为A、，则下列描述正确的有（ ） A. 直线与圆相交 B. 的最小值为 C. 存在点，使得 D. 直线过定点 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用圆心到直线的距离及点圆的位置关系可判定A，B；由切线长定理结合正弦函数的单调性确定的最大值即可判定C，根据两圆的位置关系及公共弦方程可得直线方程判定D. 【详解】圆的圆心，半径，连接， 对于A，点到直线的距离，直线l与圆C相离，A错误； 对于B，点在圆上，则，B正确； 对于C，由切线长定理知，，而， 又是锐角，正弦函数在上单调递增，则的最大值为， 当且仅当时取等号，因此的最大值为，C正确； 对于D，设，则以PC为直径的圆的方程为 即， 与已知圆的方程相减可得直线的方程为， 即，由可得， 即直线AB过定点，故D正确； 故选：BCD 【点睛】思路点睛：利用点与圆可处理直线与圆上点的距离最值问题，根据直线与圆、圆与圆的位置关系处理相切及切点弦问题即可. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 与直线平行，且在轴上的截距为1的直线的一般式方程是______. 【答案】 【解析】 【分析】先由题意设所求的直线方程为，接着依据直线在轴上截距是求出c即可得解， 【详解】由题可设所求的直线方程为，令得， 因为所求直线在轴上截距是，所以，即， 所以所求的直线方程为. 故答案为：. 13. 某企业为了推广一种新饮料，开展了有奖促销活动：将6罐这种饮料装一箱，每箱中都放置2罐能够中奖的饮料，若从一箱中随机抽出2罐饮料，恰好一罐中奖另一罐不中奖的概率为______. 【答案】 【解析】 【分析】应用树状图分析基本事件，由古典概型的概率求法求概率. 【详解】设这箱中6罐饮料分别记为1，2，3，4，5，6，其中编号为1，2的为能中奖的饮料，一罐中奖另一罐不中奖为事件A，则 于是，16，故. 故答案为： 14. 已知，，为平面向量，如果，，，则的最小值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】建立直角坐标系，利用坐标运算可得B在圆上，进而根据点关于直线的对称可得对称点，结合三点共线即可求解最值. 【详解】在平面直角坐标系中，设，不妨设，则点A在直线上，设， 由可知，所以,即 所以点B在圆上，记该圆圆心为， 所以 设关于直线的对称点为，则有 解得，即 所以, 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线. （1）求证：不论实数取何值，直线恒过一定点； （2）在（1）的条件下，若直线与轴相交于点A，与轴相交于点，且恰为线段的中点，求直线的斜截式方程. 【答案】（1） 由直线变形得， 令，解得：， 由于不论实数取何值，总是方程的一个解， 所以直线恒过这一定点. （2） 【解析】 【分析】（1）将直线方程变换主元，联立方程组解方程即可； （2）设，由中点坐标公式计算得，得出截距式方程转化为斜截式即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设，则由已知有，联立解得：， 所以直线的截距式方程为，即的方程为，. 16. 如图，在四棱锥中，平面，，，且，，是AD的中点，是的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成夹角的余弦值. 【答案】（1） 因为平面，平面， 所以， 由，知，， 又，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，是的中点，所以， 又，平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）通过证明,来证明； （2）构建空间直角坐标系，通过求两个面的法向量求解面面夹角； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以C为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图，则， 故，，， 设平面的法向量， 则，即，取， 由（1）可知为平面ADE的法向量 则， 即平面ADE与平面所成夹角的余弦值. 17. 甲、乙两人组队成“星对”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为，在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响.在一轮活动中，甲、乙都猜对的概率为，甲猜对且乙猜错的概率为. （1）求，的值； （2）求“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据相互独立事件的概率乘法公式，即可列方程求解， （2）根据相互独立事件的概率乘法公式即可求解. 【小问1详解】 由已知由， 解得,所以. 【小问2详解】 设，分别表示甲两轮猜对1个，2个成语的事件，，表示乙两轮猜对1个，2个成语的事件，则有 “星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率为 ， 所以“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率为. 18. 在中，角A，，所对的边分别为，，，且满足，的外接圆的半径为. （1）求角的值； （2）如果，求的面积； （3）求内切圆半径的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合三角形内角和及正弦的和角公式消角得，计算即可； （2）利用正弦定理先计算c，由正余弦定理得出关系式解方程得，再利用面积公式计算即可； （3）利用面积公式及三角形内切圆半径、周长及三角形面积的关系式得，结合余弦定理得，化简得，再利用基本不等式计算最值即可. 【小问1详解】 由及正弦定理，可得 又因为 所以，故， 由于，所以. 【小问2详解】 由已知， 由余弦定理可得① 又由可得② 由①②可解得， 所以. 【小问3详解】 因为， 所以，即 由可知，即 从而 又因为，所以，因此 从而的最大值为，当且仅当，即为正三角形时等号成立 19. 常用测量距离的方式有3种，设，，定义欧几里得距离；定义曼哈顿距离；定义余弦距离，其中（为坐标原点）. （1）若，，求，之间的余弦距离； （2）若，，求的取值范围； （3）动点在直线上，动点在圆上，求的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据新定义，结合平面向量数量积的坐标表示计算即可求解； （2）根据新定义，由平面向量数量积的坐标表示，将问题转化为半圆与直线有公共点时t取值范围，结合直线与圆的位置关系计算即可求解； （3）设，根据新定义，结合绝对值不等式和三角恒等变换的化简以及三角函数的性质计算即可求解. 【小问1详解】 由已知， 所以. 【小问2详解】 由已知有， 所以， 令，则有， 所以问题转化为半圆与直线即有公共点时t取值范围， 由，得，圆心坐标为，半径为2，如图， 当直线l经过时，， 当直线l与半圆相切时，由，得，解得， 又，解得，所以， 故，于是， 所以. 【小问3详解】 设， 则 ， 又取时， ， 所以的最小值为. 【点睛】方法点睛： 学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南充高中2024—2025学年度上学期期中考试 高2023级数学试卷 时间：120分钟 总分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知圆的方程是，则圆心的坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 3. 设直线的方程为，则下列向量可以作为方向向量的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知复数（为虚数单位，为实数），则“为纯虚数”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 6. 紫砂壶是中国特有的手工陶土工艺品，经典的有西施壶、石瓢壶、潘壶等，其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，如图给了一个石瓢壶的相关数据（单位： ），那么该壶的容积约为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，函数的图象经过点和，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 函数的图象与直线仅有三个公共点 8. 已知的内角A，B，C的对边分别为，，，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 民营经济是推进中国式现代化的生力军.为了更好地支持民营企业的发展，某市决定对部分企业的税收进行适当的减免.某机构调查了当地的中小型民营企业年收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图，则下列结论正确的是（ ） A. 样本数据落在区间内的频率为0.45 B. 若规定年收入在500万元以内的民营企业才能享受减免税政策，估计有的当地中小型民营企业能享受到减免税政策 C. 若该调查机构调查了100家民营企业，则年收入不少于400万元的有80家 D. 根据频率分布直方图估计样本的中位数为500万元 10. 如图，在棱长为1的正方体中，、分别是、的中点，下列结论正确的是（ ） A. EF与垂直 B. 平面ABCD C. 异面直线与所成的角为 D. 点到平面的距离为 11. 已知动点在直线上，动点在圆上，过点作圆的两条切线，切点分别为A、，则下列描述正确的有（ ） A. 直线与圆相交 B. 的最小值为 C. 存在点，使得 D. 直线过定点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 与直线平行，且在轴上的截距为1的直线的一般式方程是______. 13. 某企业为了推广一种新饮料，开展了有奖促销活动：将6罐这种饮料装一箱，每箱中都放置2罐能够中奖的饮料，若从一箱中随机抽出2罐饮料，恰好一罐中奖另一罐不中奖的概率为______. 14. 已知，，为平面向量，如果，，，则的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线. （1）求证：不论实数取何值，直线恒过一定点； （2）在（1）的条件下，若直线与轴相交于点A，与轴相交于点，且恰为线段的中点，求直线的斜截式方程. 16. 如图，在四棱锥中，平面，，，且，，是AD的中点，是的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成夹角的余弦值. 17. 甲、乙两人组队成“星对”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为，在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响.在一轮活动中，甲、乙都猜对的概率为，甲猜对且乙猜错的概率为. （1）求，的值； （2）求“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率. 18. 在中，角A，，所对的边分别为，，，且满足，的外接圆的半径为. （1）求角的值； （2）如果，求的面积； （3）求内切圆半径的最大值. 19. 常用测量距离的方式有3种，设，，定义欧几里得距离；定义曼哈顿距离；定义余弦距离，其中（为坐标原点）. （1）若，，求，之间的余弦距离； （2）若，，求的取值范围； （3）动点在直线上，动点在圆上，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $