重庆渝北区实验中学校2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷

渝北区实验中学校2025届2024—2025学年度第一学期半期考试 数学试卷 （满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标是( ) A. （3，1） B. （3，﹣1） C. （﹣3，1） D. （﹣3，﹣1） 3. 用配方法解一元二次方程，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若二次函数的图象过点，则必在该图象上的点还有（ ） A. B. C. D. 5. 如图，若与关于点成中心对称，则下列结论不成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 关于x的方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 不能确定 7. 已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 抛物线交x轴于，A两点，将绕点A旋转得到抛物线，交x轴于另一点；将绕点旋转得到抛物线，交x轴于另一点；…，如此进行下去，形成如图所示的图像，则下列各点在图像上的是（ ） A. B. C. D. 9. 已知关于的二次函数自变量的部分取值和对应的函数值如下表： … … … … 下列说法中正确的是（ ） A. 函数图象开口向上 B. 顶点坐标是 C. 函数图象与轴的交点坐标是， D. 当时，随的增大而减小 10. 已知三个函数：，，，下列说法： ①当时，x的值为5或； ②对于任意的实数m，n，若，，则； ③若时，则； ④若当式子中x的取值为与时，的值相等，则a的最大值为8． 以上说法中不正确的个数是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 二、填空题：（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 若是关于x的一元二次方程，则m的值是________． 12. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为______． 13. 若m是方程的一个实数根，则代数式的值为________． 14. 如果二次函数（m为常数）的图象上有两点和，那么________（填“>”、“=”或“<”）． 15. 某次商品交易会上，所有参加会议的商家每两家之间都签订了一份合同，共签订合同36份．共有___________家商家参加了交易会． 16. 如图，在边长为的正方形中，点E，F，G，H分别从点A，B，C，D同时出发，均以的速度向点B，C，D，A匀速运动，当点E到达点B时，四个点同时停止运动，在运动过程中，四边形面积的最小值是________． 17. 如图，点M是等边内的一点，，．若等边三角形边长为5，则的面积为________． 18. 若一个四位数的首尾两位数字顺次组成的两位数与中间两位数字顺次组成的两位数之和为，则称这个四位数为“吉祥数”，若一个四位数．（其中，，，，且，，，均为整数）为“吉祥数”，则________，定义，若能被整除，且存在整数，使得，则满足条件的的值为________． 三、解答题：（本大题共8个小题，19题8分，其余每小题10分，共78分） 解答时每小题都必须写出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 用适当的方法解下列方程 （1） （2） 20. 近年来，由于智能驾驶技术的横空出世，电动汽车成为汽车领域的热门话题．有关人员开展了A，B两款电动汽车的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意， 下面给出了部分信息： 抽取的对A款电动汽车的评分数据中“满意”的数据为84，86，86，87，88，89 抽取的对B款电动汽车的评分数据为 66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100 抽取的对A，B款电动汽车的评分统计表 电动汽车 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比 A 88 b 96 B 88 87.5 c 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中：________，________，________； （2）根据以上数据分析，你认为哪款电动汽车更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）在此次测验中，有600人对A款电动汽车进行评分，700人对B款电动汽车进行评分，请估计此次测验中对电动汽车评分不少于80分的人数？ 21. 学习了全等三角形知识后，小明进行了如下思考，在直角三角形中，连接直角角平分线上一点与任意非直角顶点和它所对的直角边所在直线上任意一点，得到两条线段，如果这两条线段互相垂直，那么这两条线段有什么数量关系？请根据他的思考完成以下作图与填空． 在中，，平分，点M为上一点，连接． （1）用直尺和圆规：过点M作，交于点D，在上截取点E，使．（只保留作图痕迹） （2）在（1）所作的图形中，连接，探究与的数量关系． 证明： 平分， ． 在和中， ， （）． ，①______． 又，， 在四边形中，． ． 又， ②______． ． ③______． 通过以上探究，请你帮助小明完成下面命题：在直角三角形中，连接直角角平分线上一点与任意非直角顶点和它所对的直角边所在直线上任意一点，得到两条线段，如果这两条线段互相垂直，那么④______． 22. 某服装厂生产一批服装，2022年该类服装的出厂价是200元/件，2023年、2024年连续两年改进技术，降低成本，2024年该类服装的出厂价调整为128元/件． （1）这两年此类服装的出厂价下降的百分比相同，求平均下降率． （2）2024年某商场从该服装厂以出厂价购进若干件此类服装，以166元/件销售时，平均每天可销售20件．为了减少库存，商场决定降价销售．经调查发现，单价每降低2元，每天可多售出4件，如果每天盈利1144元，为了尽快减少库存，单价应降低多少元？ 23. 如图1，在平行四边形中，，过点B作于点E，，．点M从点A出发，以每秒1个单位的速度沿折线运动，到达点E时停止．设点M的运动时间x秒，的面积为y． （1）请直接写出y与x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围； （2）在如图2所示的平面直角坐标系中画出y的函数图象，并写出函数y的一条性质：________________； （3）若直线与该函数图象只有一个交点，则常数b的取值范围是________________． 24. 综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． （1）【操作判断】 操作一：如图1，将矩形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在上的点E处，折痕为，把纸片展平，连接； 操作二：如图2，将矩形纸片再次折叠，使点A与点E重合，得到折痕为，把纸片展平； 操作三：如图3，连接，并把折到上的处，得到折痕，把纸片展平，连接． 根据以上操作，直接写出图3中的值：________； （2）【问题解决】 请判断图3中四边形的形状，并说明理由． （3）【拓展应用】 我们知道：将一条线段分割成长、短两条线段，若，则点P叫做线段的黄金分割点． 在以上探究过程中，已知矩形纸片的宽为，当点M是线段的黄金分割点时，直接写出的长度． 25. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接，． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）如图，点是抛物线上位于直线下方一动点，过点作轴的平行线交直线于点，点是轴上的一个动点，连接．当线段长度取得最大值时，求的最大值，及此时点的坐标； （3）如图，将抛物线，先向右平移个单位长度，再像上平移个单位长度，得到新抛物线，点是新抛物线上一点，连接，当时，请求出点的坐标． 26. 在中，，． （1）如图1，点为延长线上一点，连接，当时，求线段的长度； （2）如图2，过点作，且点在点的上方，连接，点是线段的中点，连接交于点，过点作，交于点，平分交于点，猜测线段，，之间的数量关系，并证明你的猜测； （3）如图3，若点在线段边上，连接，过点作，，连接，已知，当取最小值时，直接写出的周长． 渝北区实验中学校2025届2024—2025学年度第一学期半期考试 数学试卷 （满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】A 【9题答案】 【答案】C 【10题答案】 【答案】C 二、填空题：（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 【11题答案】 【答案】1 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】< 【15题答案】 【答案】9 【16题答案】 【答案】 【17题答案】 【答案】## 【18题答案】 【答案】 ①. ②. 三、解答题：（本大题共8个小题，19题8分，其余每小题10分，共78分） 解答时每小题都必须写出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 【19题答案】 【答案】（1）， （2）， 【20题答案】 【答案】（1）15，88.5，98 （2） 解：款电动汽车更受用户喜爱， 理由如下：两款的评分数据的平均数相同都是88，但款评分数据的中位数为88.5比款的中位数87.5高， 款电动汽车更受用户喜爱（答案不唯一）； （3）1045人 【21题答案】 【答案】（1） 解：根据题意所作图形如下： （2）①；②；③；④这两条线段相等 【22题答案】 【答案】（1）平均下降率为 （2）单价应降低元 【23题答案】 【答案】（1） （2）当时，函数有最大值 4 （答案不唯一） （3）或 【24题答案】 【答案】（1） （2） 解：四边形是菱形， 理由：如图3，由折叠可知：，， ∵在矩形中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形； （3）或 【25题答案】 【答案】（1） （2）的最大值为，点的坐标为 （3）点的坐标为或 【26题答案】 【答案】（1） （2），证明见解答过程 （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $