精品解析：四川省泸州市泸县五中学区2024-2025学年九年级上学期11月期中联考数学试题

泸县五中学区2024年秋期九年级半期定时训练 数学试题 全卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分120分．考试时间共120分钟． 第Ⅰ卷（选择题 共36分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的，请将正确选项的字母填涂在答题卡相应的位置上． 1. 若方程是关于x的一元二次方程，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的解是（ ） A. 2 B. 0 C. 2或0 D. 2或 3. 二次函数的图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 一元二次方程的一个根为2，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 5. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 7. 将抛物线的图象向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 8. 已知二次函数的图象过点，则的大小关系（ ） A. B. C. D. 9. 抛物线与x轴有交点，则k的取值范围是（　　） A. B. C. 且 D. 且 10. 某网络学习平台2021年的新注册用户数为36万，2023年的新注册用户数为81万．设新注册用户数的年平均增长率为，则有（ ） A. B. C. D. 11. 如图，当某运动员以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有函数关系．下列结论不正确的是（ ） A. 小球从飞出到落地要用 B. 小球飞行的最大高度为 C. 当小球飞出时间从到时，飞行的高度随时间的增大而减小 D. 当小球飞出时间从到时，飞行的高度随时间的增大而减小 12. 已知二次函数，当时，的最小值为，则a的值为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 第Ⅱ卷（非选择题 共84分） 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 已知关于x的方程没有实数根，则k的取值范围是________． 14. 若，是方程的两个实数根，则的值为________； 15. 二次函数的部分图象如图所示，由图象可知，不等式的解集为_________． 16. 已知二次函数，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③；④（其中）；⑤若和均在该函数图象上，且，则．其中正确结论有___________．（填写序号） 三、解答题（本大题共3个小题，共22分） 17. 解方程： （1） （2） 18. 已知二次函数图象的顶点坐标为（1，-4），且过点（2，-3）.求该函数的解析式. 19. 在学校劳动基地里有一块长50米、宽30米的矩形试验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横开辟三条等宽的小道，如图，已知这块矩形试验田中种植的面积为1421米2，小道的宽为多少米？ 四、解答题（本大题共2个小题，共14分） 20. 已知二次函数经过和． （1）求该二次函数的表达式和对称轴． （2）当时，求该二次函数的最大值和最小值． 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求实数m的取值范围； （2）若方程两实数根分别为，且满足，求实数m的值 五、解答题（本大题共4个小题，共36分） 22. 阅读下面的例题． 解方程． 解：原方程化为． 令，原方程化成，解得，． 当时，；当时（不合题意，舍去）． ∴原方程的解是，． 请模仿上面的方法解方程：． 23. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利44元，为了增加盈利，但要保证顾客得到实惠，商场决定采取降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价2元，商场平均每天可多售出10件． （1）若商场平均每天要盈利2380元，每件衬衫应降价多少元？ （2）每件降价多少元时商场平均每天能获得最大盈利？ 24. 如图，抛物线交x轴于点和点B，交y轴于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若点P在抛物线上，且求点P的坐标； 25. 如图，已知抛物线与轴交于、两点点在点的左边，与轴交于点，连接． （1）求、、三点的坐标； （2）若点为线段上的一点不与、重合，轴，且交抛物线于点，交轴于点，当线段的长度最大时，求点的坐标； （3）在（2）的条件下，当线段的长度最大时，在抛物线的对称轴上有一点，使得为直角三角形，直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泸县五中学区2024年秋期九年级半期定时训练 数学试题 全卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分120分．考试时间共120分钟． 第Ⅰ卷（选择题 共36分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的，请将正确选项的字母填涂在答题卡相应的位置上． 1. 若方程是关于x的一元二次方程，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程定义是解题的关键， 根据一元二次方程的定义∶只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行分析即可． 【详解】方程是关于x的一元二次方程， ， 解得：， 故选：C． 2. 一元二次方程的解是（ ） A. 2 B. 0 C. 2或0 D. 2或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程．根据方程的形式选择合适的解法是解题的关键． 先移项，再利用因式分解法求解即可． 【详解】∵， 移项得， 分解因式得， ∴， ∴， ∴一元二次方程的解是2或0． 故选：C． 3. 二次函数的图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：图象的顶点坐标是， 故选：D． 4. 一元二次方程的一个根为2，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，根据一元二次方程的解的定义，将代入一元二次方程得到关于一元一次方程求解即可得到答案，熟练掌握一元二次方程的解及解一元一次方程是解决问题的关键． 【详解】解：一元二次方程的一个根为2， ，解得， 故选：A． 5. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程－配方法．利用解一元二次方程配方法，进行计算即可解答． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 6. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数图象的综合，掌握两种函数的图象与性质是关键；根据一次函数与二次函数的图象与性质逐项分析即可． 【详解】解：A、由一次函数图象知，；由二次函数图象知，，a的值不同，不符合题意； B、由一次函数图象知，；由二次函数图象知，，a的值相同，且b的值相等，故符合题意； C、由一次函数图象知，；由二次函数图象知，，a的值不同，不符合题意； D、由一次函数图象知，；由二次函数图象知，，a与b的值都不同，故不符合题意； 故选：B． 7. 将抛物线的图象向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】解：将抛物线向左平移2个单位所得直线解析式为：； 再向下平移3个单位为：． 故选：B． 8. 已知二次函数的图象过点，则的大小关系（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，根据二次函数解析式可推出二次函数开口向上，对称轴为直线，则离对称轴越远函数值越大，据此求出三点到对称轴的距离即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为，且， ∴二次函数开口向上，对称轴为直线， ∴离对称轴越远函数值越大， ∵二次函数的图象过点，且， ∴， 故选：D． 9. 抛物线与x轴有交点，则k的取值范围是（　　） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数和一元二次方程的联系，掌握抛物线与x轴有交点，即求令的一元二次方程有实数根，用根的判别式解题即可． 【详解】∵与x轴有交点， ∴且， 解得：且， 故选D 10. 某网络学习平台2021年的新注册用户数为36万，2023年的新注册用户数为81万．设新注册用户数的年平均增长率为，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．利用该网络学习平台2023年的新注册用户数该网络学习平台2021年的新注册用户数新注册用户数的年平均增长率），即可列出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得：． 故选：D． 11. 如图，当某运动员以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有函数关系．下列结论不正确的是（ ） A. 小球从飞出到落地要用 B. 小球飞行的最大高度为 C. 当小球飞出时间从到时，飞行的高度随时间的增大而减小 D. 当小球飞出时间从到时，飞行的高度随时间的增大而减小 【答案】C 【解析】 【分析】根据解析式，令，解方程，即可判断A，将解析式化为顶点式，进而即可求解． 【详解】解：由题意，，令，即， 解得：， ∴小球从飞出到落地要用，故A正确，不符合题意； ∵，最大值为，故B正确，符合题意； ∴对称轴为直线，开口向下，当时，飞行的高度随着时间的增大而增大，故C错误，不符合题意； 当时，飞行的高度随时间的增大而减小，故D正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 12. 已知二次函数，当时，的最小值为，则a的值为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象及性质，根据二次函数的性质，在指定的范围内准确求出函数的最小值是解题的关键； 根据题意分两种情况讨论，当时，，解得；当时，在，，解得，即可求解； 【详解】解：的对称轴为直线， 顶点坐标为， 当时，在，函数有最小值， 的最小值为， ， ， 当时，在，当时，函数有最小值， ， 解得； 综上所述：的值为或， 故选：B 第Ⅱ卷（非选择题 共84分） 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 已知关于x的方程没有实数根，则k的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根． 利用一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程无实数根， ， ， 故答案为：． 14. 若，是方程的两个实数根，则的值为________； 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的知识，解题的关键是掌握一元二次方程中根与系数的关系，根据题意，，为方程的根，得，根据，则，根据，即可． 【详解】解：∵若，是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 二次函数的部分图象如图所示，由图象可知，不等式的解集为_________． 【答案】或##或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与不等式（组）：利用两个函数图在直角标中的上下位置系自变量的取范，可作图利用点直观解也可把个函数解析式列成不式求解．先利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为，然后写出抛物线在x轴下方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， 而抛物线与x轴的一个交点坐标为， 所以抛物线与x轴的另一个交点坐标为， 所以不等式的解集为或． 故答案为：或． 16. 已知二次函数，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③；④（其中）；⑤若和均在该函数图象上，且，则．其中正确结论有___________．（填写序号） 【答案】②③④ 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．根据抛物线与轴的一个交点以及其对称轴，求出抛物线与轴的另一个交点，利用待定系数法得到，再根据抛物线开口朝下，可得，进而可得，，即可得到③正确，①错误，根据抛物线与轴两个交点可以判断出②正确，根据，，，，可以得到，从而得到④正确；根据抛物线的对称性和增减性可以判断出⑤错误，问题得解． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线，且抛物线与轴的一个交点坐标为， 抛物线与轴的另一个交点坐标为， 把，代入，可得： ， 解得， ，故③正确； 抛物线开口方向向下， ， ，， ，故①错误； 抛物线与轴两个交点， 当时，方程有两个不相等的实数根， ，故②正确； ，， ， 又，， ， 即（其中，故④正确； 抛物线的对称轴为直线，且抛物线开口朝下， 可知二次函数，在时，随的增大而减小， ， ，故⑤错误， 正确的有②③④，共3个， 故答案为：②③④． 三、解答题（本大题共3个小题，共22分） 17. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，正确计算是解题的关键： （1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ， 或， ，； 【小问2详解】 解：， ， ，． 18. 已知二次函数图象的顶点坐标为（1，-4），且过点（2，-3）.求该函数的解析式. 【答案】 【解析】 【分析】已知二次函数的顶点坐标为（1，﹣4），设抛物线的顶点式为，将点（2，-3）代入求a即可． 【详解】解：设此二次函数的解析式为， ∵其图象经过点（2，-3）， ∴a（2﹣1）2﹣4＝-3， ∴a＝1， ∴，即． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式．在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解． 19. 在学校劳动基地里有一块长50米、宽30米的矩形试验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横开辟三条等宽的小道，如图，已知这块矩形试验田中种植的面积为1421米2，小道的宽为多少米？ 【答案】小道的宽为1米 【解析】 【分析】设小道的宽为x米，根据块矩形试验田中种植的面积为大矩形面积减去小道面积或通过平移，把矩形试验田中种植的面积拼成一个矩形列方程即可． 【详解】解法1：设小道的宽为x米， 则依题意，得 整理，得 解这个方程，得，（不合题意，舍去） 答：小道的宽为1米． 解法2：设小道的宽为x米， 则依题意，得 整理化简，得 解这个方程，得，（不合题意，舍去） 答：小道的宽为1米． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是熟练利用面积和差或平移建立等量关系，列出方程． 四、解答题（本大题共2个小题，共14分） 20. 已知二次函数经过和． （1）求该二次函数的表达式和对称轴． （2）当时，求该二次函数的最大值和最小值． 【答案】（1）表达式为；对称轴为直线 （2）最小值为，最大值为 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）先将和，分别代入求出二次函数的表达式，再根据对称轴公式作答即可； （2）先确定开口方向，再根据对称轴确定最大值和最小值即可． 【小问1详解】 解：∵经过和， ∴， 解得， ∴二次函数的表达式为； ∴对称轴为直线； 【小问2详解】 解：由（1）可知的开口向上， ∵二次函数的对称轴为直线在内， ∴当时，有最小值； ∵直线距直线最远， ∴当时，有最大值． 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求实数m的取值范围； （2）若方程两实数根分别为，且满足，求实数m的值 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当时，方程有实数根”；（2）根据根与系数的关系结合，找出关于的一元二次方程． （1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出实数的取值范围； （2）根据根与系数的关系可得出，，结合可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合（1）的结论即可确定的值． 【小问1详解】 解：由题意得 当时，原方程有实数根，即 ； 【小问2详解】 解：根据题意得：，， ， ， ， ， 解得，（舍去）， 实数的值是1． 五、解答题（本大题共4个小题，共36分） 22. 阅读下面的例题． 解方程． 解：原方程化为． 令，原方程化成，解得，． 当时，；当时（不合题意，舍去）． ∴原方程的解是，． 请模仿上面的方法解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程、绝对值的性质及一元二次方程的解法，解题的关键是通过换元法将含绝对值的复杂方程转化为普通的一元二次方程，再结合绝对值的非负性对解进行取舍． 先根据，将原方程化为；令，将方程转化为关于的一元二次方程，求解得，；根据绝对值的非负性，舍去；解，得，进而求出，． 【详解】解：原方程化为， 令，原方程化成， 解得：，， 当， ， 解得：，； 当时（舍去）． 则原方程的解是，． 23. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利44元，为了增加盈利，但要保证顾客得到实惠，商场决定采取降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价2元，商场平均每天可多售出10件． （1）若商场平均每天要盈利2380元，每件衬衫应降价多少元？ （2）每件降价多少元时商场平均每天能获得最大盈利？ 【答案】（1）若商场平均每天要盈利2380元，每件衬衫应降价30元； （2）每件降价20元时商场平均每天能获得最大盈利． 【解析】 【分析】（1）设每件衬衫应降价元，则每件盈利元，每天可以售出，所以此时商场平均每天盈利元，根据商场平均每天要盈利元，为等量关系列出方程求解即可． （2）设商场平均每天盈利元，由（1）可知商场平均每天盈利元与每件衬衫应降价元之间的函数关系为：，用“配方法”求出该函数的最大值，并求出降价多少． 【小问1详解】 解：设每件衬衫应降价元，则每件盈利元，每天可以售出， 由题意，得， 解，得，， 为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，所以的值应为30， 所以，若商场平均每天要盈利2380元，每件衬衫应降价30元； 【小问2详解】 解：设商场平均每天盈利元，每件衬衫应降价元， 由题意，得 ， 当元时，该函数取得最大值2880元， 答：每件降价20元时商场平均每天能获得最大盈利． 24. 如图，抛物线交x轴于点和点B，交y轴于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若点P在抛物线上，且求点P的坐标； 【答案】（1）；（2）、，或，． 【解析】 【分析】（1）根据点A，C的坐标，利用待定系数法可求出抛物线的函数表达式； （2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，设点P的纵坐标为m，根据三角形的面积公式结合S△AOP=4S△BOC，即可得出关于m的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出m的值，再利用二次函数图象上点的坐标特征，即可求出点P的坐标. 【详解】解：（1）将，代入，得： ，解得：， 抛物线的函数表达式为． （2）当时，， 解得：，， 点的坐标为， ． 设点的纵坐标为，则， ， ， ． 当时，， 解得：， 点的坐标为； 当时，， 解得：，， 点的坐标为，或，． 综上所述：点的坐标为、，或，． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积，解含绝对值符号的一元一次方程、待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出抛物线的函数表达式；（2）根据两三角形面积间的关系，求出点P的纵坐标. 25. 如图，已知抛物线与轴交于、两点点在点的左边，与轴交于点，连接． （1）求、、三点的坐标； （2）若点为线段上的一点不与、重合，轴，且交抛物线于点，交轴于点，当线段的长度最大时，求点的坐标； （3）在（2）的条件下，当线段的长度最大时，在抛物线的对称轴上有一点，使得为直角三角形，直接写出点的坐标． 【答案】（1），， （2）点坐标 （3）点坐标为或或或 【解析】 【分析】（1）在抛物线解析式中，令可求得点坐标，令y=0则可求得、的坐标； （2）由、的坐标可求得直线的解析式为，则可表示出点坐标，从而可用表示的长，再利用二次函数的性质即可求解； （3）由（2）可知点坐标，设点，则可用分别表示出、及，分点为直角顶点、点为直角顶点和点为直角顶点三种情况，分别根据勾股定理可得到关于的方程，可求出的值，可求得点坐标． 【小问1详解】 解：对于，令，则， ， 令，则， 解得：，， ，； 【小问2详解】 设的表达式为， 则， 解得， 直线的表达式为， 设点的坐标为，则点的坐标为， ， 当时，最大， 此时点坐标为； 【小问3详解】 ， 抛物线的对称轴为直线， 设，且，， ，，， 为直角三角形， 分点为直角顶点、点为直角顶点和点为直角顶点三种情况， 当点为直角顶点时，则有 即， 解得：， 此时点坐标为； 当点为直角顶点时，则有， 即， 解得：，， 此时点坐标为或， 当点为直角顶点时，则有， 即， 解得：， 此时点坐标为， 综上所述，点坐标为或或或． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法函数与坐标轴的交点，三角形的面积，二次函数的性质，勾股定理，方程思想以及分类讨论思想等知识，解题的关键是灵活运用这些知识． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $