精品解析：黑龙江省哈尔滨工业大学附属中学2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试题

哈工大附中2024-2025学年度八年级（上）教学学情检测 数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列图案中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念（如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形）逐一判断即可． 【详解】A不是轴对称图形，故该选项错误； B是轴对称图形，故该选项正确； C不是轴对称图形，故该选项错误； D不是轴对称图形，故该选项错误． 故选：B． 【点睛】本题主要考查轴对称图形，掌握轴对称图形的概念是解题的关键． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘法．熟练掌握合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘法是解题的关键． 根据合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘法判断作答即可． 【详解】解：A、，故不符合要求； B、，故不符合要求； C、，故不符合要求； D、，故符合要求； 故选：D． 3. 点关于轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了关于轴对称的点坐标的特征．熟练掌握关于轴对称的点坐标横坐标不变，纵坐标互为相反数是解题的关键． 根据关于轴对称的点坐标横坐标不变，纵坐标互为相反数，判断作答即可． 【详解】解：由题意知，点关于轴对称的点的坐标为， 故选：A． 4. 下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式的结构，理解平方差的含义是关键．根据平方差公式的结构，判断是否是两个式子的平方差的形式即可判断． 【详解】解：A、是与的平方差的形式，故选项正确； B、不是平方差的形式，故选项错误； C、是、的平方和的形式，不是平方差的形式，故选项错误； D、是，的立方差的形式，不是平方差的形式，故选项错误． 故选：A． 5. 如图，与关于直线对称， ，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的性质，结合与关于直线对称，结合三角形内角和进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵与关于直线对称， ∴ ∵， ∴， 故选：B． 6. 一个长方形的面积为，它的长为，则它的宽为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了整式的除法，正确掌握相关运算法则是解题关键．直接利用整式的除法运算法则计算得出答案． 【详解】解：一个长方形的面积为，长为， 长方形的宽为：． 故选：D． 7. （x﹣2）（x﹣6）＝x2﹣px+12，则p的值是（　　） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】根据多项式乘多项式的运算法则将展开，即可得出p的值． 【详解】∵， ∴． 故选C． 【点睛】本题考查多项式乘多项式．掌握多项式乘多项式的运算法则是解答本题的关键． 8. 如图，在中，，点在上，点在上，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质等知识，令， ，由，得到，由，得到，则，再根据，即，求解即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：令， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 9. 如图，是的平分线，过作一直线分别与的两边交于、两点，线段的垂直平分线交于点，交于点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图，作于，于，则，可证，，则，，则，然后求即可． 【详解】解：如图，作于，于， ∵是的平分线，是线段的垂直平分线， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质．熟练掌握角平分线的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 10. 如图，在中，的平分线交于点D，过C点作于G，交于点E，过点D作于点F．下列结论： ①；②；③．其中一定正确的有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】根据直角三角形的性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质，可证明；根据角平分线的性质，过点作于，可计算出，，并证明；根据题目给定的条件，无法证明；根据结论①，角平分线的性质可证，由此即可求解． 【详解】解：结论①， ，，平分， ，， ， ， ，故结论①正确； 结论②，如图所示，过点作于， 平方，， ， ，， ，故结论②正确； 结论③， ，，平分， ，，， ， ， ，， ， ，且由结论①正确得，， 在中，，即， ， 条件不足，无法证明，故结论③错误； 综上所述，正确的有①②． 故选：C． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，角平分线的性质的综合，掌握直角三角形的性质，角平分线的性质，全等三角的判定和性质是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共30分） 11. 若，，则________. 【答案】30 【解析】 【分析】逆用同底数幂的乘法进行计算，即可求出答案． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：30． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题． 12. 将因式分解后的结果为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，先提公因式，再利用平方差公式因式分解即可，掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 13. 计算：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查积的乘方、同底数幂相乘等知识点，直接逆用积的乘方运算、同底数幂的乘法法则即可解答． 【详解】解： ． 故答案为：． 14. 计算：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了单项式除单项式，先计算积的乘方，然后进行整式除法运算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 15. 定义新运算：，则的运算结果是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查定义新运算，整式的混合运算，根据定义新运算计算即可，解题的关键是掌握定义新运算的运算法则． 【详解】解：根据新定义可得： ， 故答案为：． 16. 如图，在中，，，的垂直平分线交于点，垂足为，的周长为11，则的长为_______． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线性质，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．根据线段垂直平分线求出，根据周长求出，求出，即可得出答案． 【详解】解：的垂直平分线， ， 的周长为11，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：7． 17. 如图，，P是平分线上一点，交AB于M，于D，若，则______． 【答案】12 【解析】 【分析】根据角平分线的性质作PE⊥AB于E，可求得PE，在中根据直角三角形30°角所对边是斜边的一半求得MP，根据角平分线和平行线的性质证明，即可求出答案． 【详解】解：如图，过点P作PE⊥AB于E， ∵P是平分线上一点，PD⊥AC， ∴，， ∵PM//AC， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：12． 【点睛】本题考查角平分线的性质定理，直角三角形30°角所对边是斜边的一半，平行线的性质等，能根据角平分线上的点到角两边距离相等构造合适的辅助线是解决此题的关键． 18. 如图，在中，，，，的垂直平分线交于，交于，的垂直平分线交于，交于，则的长为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．连接、，根据线段的垂直平分线的性质证明，得到，同理，，得到，得到答案． 【详解】解：如图，连接、， ，， ， 是的垂直平分线， ， ， ， 同理，， 是等边三角形， ， 故答案为：2． 19. 已知，在等腰三角形中，，，为直线上一点，，则的度数为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，三角形的内角和，正确的画出图形是解题的关键．如图1，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到，，由等腰三角形的性质得到，于是求得，如图2，同理求得，于是求得． 【详解】解：如图1，，， ， ， ， ， ， 如图2，，， ， ， ， ， ． 综上所述：的度数为或， 故答案为：或 20. 如图，在四边形中，，，，于点，，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识．熟练掌握全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理是解题的关键． 如图，作的延长线于，连接，证明，则，，证明，则，设，则，由，可得，计算求解即可． 【详解】解：如图，作的延长线于，连接， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得，， 故答案为：． 三、解答题（第21题6分，第22、23、24题每题8分，第25、26、27题每题10分，共计60分） 21. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方，单项式乘单项式，多项式乘多项式．熟练掌握积的乘方，单项式乘单项式，多项式乘多项式是解题的关键． （1）先计算积的乘方，然后根据单项式乘单项式求解即可； （2）根据多项式乘多项式计算求解即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：． 22. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点的坐标为． （1）画出关于轴对称的（点，，的对应点分别为点，，）并直接写出点的坐标； （2）在坐标平面的格点上确定一个点，使是以为腰的等腰直角三角形，且点在第四象限．画出，并直接写出点的坐标． 【答案】（1） 解：由轴对称的性质作图如图1，即为所作； （2） 解：如图2，点即为所作； 点的坐标为． 【解析】 【分析】本题考查了作轴对称图形，等腰三角形的性质等知识．熟练掌握作轴对称图形，等腰三角形的性质是解题的关键． （1）利用轴对称的性质作图求解即可； （2）根据等腰三角形的定义作图，然后作答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 若，且． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）2 （2）1 【解析】 【分析】此题考查整式的化简求值，掌握完全平方公式是解决问题的关键． （1）先去括号，再整体代入即可求出答案； （2）先将变形为，再整体代入，即可求出答案． 【小问1详解】 解：，， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：，， ． 24. 已知，在中，，点、点在边上，连接、，． （1）如图，求证：； （2）如图，当时，过点作交的延长线于点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中的四个等腰三角形，使写出的每个等腰三角形的顶角都等于． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2），，， 【解析】 【分析】（）由等边对等角可得，，即得，进而证明即可求证； （）由全等三角形的性质可得，根据三角形内角和定理可得，再分别求出各内角的度数即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，，，，， ∴满足条件的等腰三角形有：，，，． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形内角和定理，掌握以上知识点是解题的关键． 25. 为迎接哈尔滨冰雪节，某商店决定购进、两种纪念品．若购进种纪念品3件，种纪念品5件，需要2100元；若购进种纪念品4件，种纪念品10件，需要3800元． （1）求购进、两种纪念品每件各需多少元？ （2）若该商店决定购进这两种纪念品共30件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这30件纪念品的资金不超过8000元，那么该商店最少可购进A种纪念品多少件？ 【答案】（1）购进纪念品每件需200元，纪念品每件需300元． （2）最少可购进种纪念品10件． 【解析】 【分析】（1）设购进纪念品每件需x元，纪念品每件需y元，根据等量关系列出方程组求出其解即可； （2）设购进纪念品m件，则购进纪念品件，根据这30件纪念品的资金不超过8000元建立不等式，求出其解即可． 【小问1详解】 解：设购进纪念品每件需x元，纪念品每件需y元，根据题意得： ， 解得， 答：购进纪念品每件需200元，纪念品每件需300元． 【小问2详解】 解：设购进纪念品m件，则购进纪念品件，根据题意得： ， 解得：； 答：最少可购进种纪念品10件． 【点睛】本题考查了列二元一次方程组解实际问题运用及列一元一次不等式解实际问题的运用，解答时找到反应题意的等量关系及不相等关系建立方程组及不等式是关键． 26. 已知，点为的边上一点，点在的延长线上，连接交边于点，，． （1）如图1，求的度数； （2）如图2，连接，若，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，在上取一点，连接，，若，，求线段的长． 【答案】（1） （2） 证明：∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】本题考查三角形的内角与外角，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质； （1）由得到，再由结合外角得到，然后根据三角形内角和得到，代入求解即可； （2）先证明是等边三角形，再证明即可； （3）在上取一点，连接，，先证明得到，再由外角得到，即可得到的，进而得到． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：在上取一点，连接，， 由（2）可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 27. 在平面直角坐标系中，是原点，点在轴上，点在轴上，且． （1）如图1，填空：点的坐标为________，点的坐标为_______． （2）如图2，点为第一象限内一点，，连接，过点作，交的延长线于点，连接，．设的面积为，线段的长为，求与的关系式（用含有的式子表示）． （3）在（2）的条件下，过点作于点，交于点，当时，求点的坐标和的面积． 【答案】（1）， （2） （3），面积为 【解析】 【分析】（1）结合非负数的性质确定的值，即可获得答案； （2）结合（1）确定为等腰直角三角形，进而可得，，，利用“”证明，易得，结合三角形面积公式即可获得答案； （3）过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，结合可解得，再证明为等腰直角三角形，并利用勾股定理解得，即可确定点坐标；确定点坐标，利用待定系数法解得直线的解析式为，结合点在直线上，可设，在中，利用勾股定理解得的值，即可确定点坐标，利用待定系数法可确定直线的解析式为，然后利用待定系数法确定直线的解析式为，联立直线和直线的解析式，即可确定点坐标，之后由求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， 解得， ∴，． 故答案为：，； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，即， ∴， 又∵ ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 如下图，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点， 当时，可知， 解得或（舍去）， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，可有， ∴，解得， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∴， 在中，可有， ∴，解得， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将点，代入， 可得，解得， ∴直线的解析式为， ∵点在直线上，可设， ∴，， ∵， ∴在中，可有， 即， 整理可得，解得，（舍去）， ∴， 设直线的解析式为， 将点代入，可得，解得， ∴设直线的解析式为， 设直线的解析式为， 将点，代入， 可得，解得， ∴直线的解析式为， 联立直线和直线的解析式， 可得，解得， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形、非负数的性质、等腰直角三角形的判定和性质、三角形全等的判定和性质、勾股定理、一次函数综合应用等知识，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法和一次函数的性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈工大附中2024-2025学年度八年级（上）教学学情检测 数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列图案中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 点关于轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，与关于直线对称， ，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 6. 一个长方形的面积为，它的长为，则它的宽为（ ） A. B. C. D. 7. （x﹣2）（x﹣6）＝x2﹣px+12，则p的值是（　　） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 8. 如图，在中，，点在上，点在上，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是的平分线，过作一直线分别与的两边交于、两点，线段的垂直平分线交于点，交于点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，的平分线交于点D，过C点作于G，交于点E，过点D作于点F．下列结论： ①；②；③．其中一定正确的有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题（每小题3分，共30分） 11. 若，，则________. 12. 将因式分解后的结果为______． 13. 计算：_____． 14. 计算：_____． 15. 定义新运算：，则的运算结果是_____． 16. 如图，在中，，，的垂直平分线交于点，垂足为，的周长为11，则的长为_______． 17. 如图，，P是平分线上一点，交AB于M，于D，若，则______． 18. 如图，在中，，，，的垂直平分线交于，交于，的垂直平分线交于，交于，则的长为_____． 19. 已知，在等腰三角形中，，，为直线上一点，，则的度数为______． 20. 如图，在四边形中，，，，于点，，，则的长为________． 三、解答题（第21题6分，第22、23、24题每题8分，第25、26、27题每题10分，共计60分） 21. 计算： （1）； （2）． 22. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点的坐标为． （1）画出关于轴对称的（点，，的对应点分别为点，，）并直接写出点的坐标； （2）在坐标平面的格点上确定一个点，使是以为腰的等腰直角三角形，且点在第四象限．画出，并直接写出点的坐标． 23. 若，且． （1）求的值； （2）求的值． 24. 已知，在中，，点、点在边上，连接、，． （1）如图，求证：； （2）如图，当时，过点作交的延长线于点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中的四个等腰三角形，使写出的每个等腰三角形的顶角都等于． 25. 为迎接哈尔滨冰雪节，某商店决定购进、两种纪念品．若购进种纪念品3件，种纪念品5件，需要2100元；若购进种纪念品4件，种纪念品10件，需要3800元． （1）求购进、两种纪念品每件各需多少元？ （2）若该商店决定购进这两种纪念品共30件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这30件纪念品的资金不超过8000元，那么该商店最少可购进A种纪念品多少件？ 26. 已知，点为的边上一点，点在的延长线上，连接交边于点，，． （1）如图1，求的度数； （2）如图2，连接，若，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，在上取一点，连接，，若，，求线段的长． 27. 在平面直角坐标系中，是原点，点在轴上，点在轴上，且． （1）如图1，填空：点的坐标为________，点的坐标为_______． （2）如图2，点为第一象限内一点，，连接，过点作，交的延长线于点，连接，．设的面积为，线段的长为，求与的关系式（用含有的式子表示）． （3）在（2）的条件下，过点作于点，交于点，当时，求点的坐标和的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $