1.1认识三角形 课件 2024-2025学年鲁教版（五四制）数学七年级上册

第一章 三角形 1 认识三角形 第1课时 认识三角形（1） 情 境 导 入                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                    1 认识三角形 第1课时 认识三角形（1） 观察图片 情 境 导 入 2                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                    你能发现生活中的三角形吗？ 单击此处添加标题文本内容 情境导入 新课探究 课堂小结 1 认识三角形 第1课时 认识三角形（1） 定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫三角形。 三个顶点 三个内角 A B C 三条边 “三角形”可以用符号“Δ”表示 新 课 探 究 C B A D ΔABD ΔACD ΔABC 请你找出下图中的三角形，并用符号表示出来。 它们分别是： 新课探究 情境导入 课堂小结 方法一：可用顶点的两个大写字母表示。 A B C c b 怎样表示三角形的三条边呢？ 如：边AB，BC，CA 方法二：可用一个小写字母表示。 在一般情况下，顶点A所对的边BC用a表示，顶点B所对的边CA用b表示，顶点C所对的边AB用c表示。 ？ 想一想 a 如：边a，b，c 新课探究 情境导入 课堂小结 在小学我们探究了三角形三个内角的和等于180˚ ，你还记得这个结论的探索过程吗? 1 A B D 2 C 如图,当时我们是撕下两个角,把∠A移到了∠1的位置,把∠B移到了∠2的位置。 回顾与思考 新课探究 情境导入 课堂小结 如果只撕下一个角,你能用学过的知识拼凑并解释“三角形的三个内角和是180˚”吗？ 拼一拼 说一说 新课探究 情境导入 课堂小结 1 2 3 (1)做一个三角形纸片,它的三个内角分别为∠1,∠2和∠3,如下图. 做一做 新课探究 情境导入 课堂小结 1 2 3 (2)将∠1撕下,并按上图进行摆放,其中∠1的顶点与∠2的顶点重合,它的一条边与∠2的一条边重合.此时∠1的另一条边b与∠3的一条边a 平行吗?为什么? 1 a b 做一做 新课探究 情境导入 课堂小结 1 2 3 1 a b (3)将∠2与∠3的公共边延长，它与边b所夹的角为∠4， ∠3，∠4的大小有什么关系？为什么？ 4 做一做 新课探究 情境导入 课堂小结 1.由此你能得到什么结论？ 三角形的三个内角和等于180°。 2.你会用几何语言进行证明吗？ 想一想 新课探究 情境导入 课堂小结 证明： 在△ABC的外部， 以CA为一边， CE为另一边作∠1=∠A， 作BC的延长线CD， 于是CE∥BA (内错角相等，两直线平行). 所以∠B=∠2 (两直线平行，同位角相等)。 又因为∠1+∠2+∠ACB=180° (平角的定义)， 所以∠A+∠B+∠ACB=180° (等量代换)。 ） 1 2 C A E ） B D 新课探究 情境导入 课堂小结 还有其他证明方法吗？ 证法2： ） 1 2 C A E ） B D 作BC的延长线CD，过C作CE∥BA. 于是∠A=∠1 (两直线平行，内错角相等)。 所以∠B=∠2 又因为∠1+∠2+∠ACB=180° (平角的定义)， 所以∠A+∠B+∠ACB=180° (两直线平行，同位角相等)。 (等量代换)。 新课探究 情境导入 课堂小结 C A B E F 证法3： 过点A作EF∥BC C A B E 证法4： 过点A作AE∥BC 试一试 新课探究 情境导入 课堂小结 例1 如图，在ΔABC中，∠B=3∠A，∠C=5∠A，求∠A，∠B， ∠C的度数. 解： 因为三角形三个内角的和是180°， 所以∠A+∠B+∠C=180°， 所以∠A+3∠A+5∠A=180°， 即9∠A=180°. 所以∠A=20°，∠B=60 °，∠C=100 °. 知识应用 新课探究 情境导入 课堂小结 在ΔABC中： （1）如果∠A+∠B=∠C，那么∠C等于多少度？ （2）如果∠A+∠B=2∠C，那么∠C等于多少度？ 大家齐动手！ 做一做 新课探究 情境导入 课堂小结 请你谈一谈: 通过这节课的学习，你对三角形又多了哪些认识? 1 认识三角形 第1课时 认识三角形（1） 1.定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫三角形. 2.“三角形”可以用符号“Δ”表示. 3.三角形的三个内角和等于180°. 课 堂 小 结 THANK YOU $$ 第一章 三角形 1 认识三角形 第4课时 认识三角形（4） 情 境 导 入 在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线. 三角形的“中线” BE=EC B A C E A 如图， AE是边BC上的中线. 1 认识三角形 第4课时 认识三角形（4） 情 境 导 入 (1) 在纸上画出一个锐角三角形， 并画出它的三条中线. 议一议 它们有怎样的位置关系?与同伴进行交流. (2) 钝角三角形和直角三角形的三条中线 也有同样的位置关系吗? 折一折，画一画，并与同伴进行交流. 单击此处添加标题文本内容 情境导入 新课探究 课堂小结 三角形的三条中线的性质 三角形的三条中线交于一点. 单击此处添加标题文本内容 情境导入 新课探究 课堂小结 问题1.在一张薄纸上任意画一个三角形，你能设法画出它的一个内角的平分线吗? B A C 用量角器画最简便。用圆规也能画。 问题2.你能通过折纸的方法得到它吗? 在一张纸上画出一个三角形并剪下，将它的一个角对折，使其两边重合。 折痕AD即为三角形的∠A的平分线。 A B C A D 1 认识三角形 第4课时 认识三角形（4） 新 课 探 究 三角形的角平分线的定义 以前所学的“角平分线”是一条射线， B A C “三角形的角平分线”还是射线 吗? 在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的 线段叫三角形的角平分线。 “三角形的角平分线”是一条线段。 注意 ! D ∠1=∠2 1 2 新课探究 情境导入 课堂小结 三角形的角平分线的性质 每人准备锐角三角形、钝角三角形和直角三角形纸片各一个。 (1) 你能分别画出这三个三角形的三条角平分线吗? (2) 你能用折纸的办法得到它们吗? 做一做 (3) 在每个三角形中，这三条角平分线之间有怎样的位置关系? 将你的结果与同伴进行交流. 三角形的三条角平分线交于同一点. 新课探究 情境导入 课堂小结 本 课 概 要 B D ∠1=∠2 1 2 A C BE=EC B C E A 在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的 线段叫三角形的角平分线。 三角形的三条中线交于一点. 三角形的三条角平分线交于一点. 在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线。 新课探究 情境导入 课堂小结 例题：如图，在△ABC中，BP，CP分别是∠B，∠C的平分线，求证： ∠BPC= 90˚+ ∠A。 B A C P 证明： 因为BP，CP分别是∠B， ∠C的平分线(已知)， 所以∠1= 1 ∠ABC， ∠2= 2 ∠ACB. 因为 ∠BPC +∠1 + ∠2 =180˚， ∠A +∠ABC +∠ACB=180˚， 所以∠BPC=180˚−(∠1 +∠2 ) =180˚− =180˚− (∠ABC +∠ACB ) =180˚− (180˚ −∠A ) =90˚+ ∠A. 新课探究 情境导入 课堂小结 1.今天你学到了什么？ 2.你觉得角平分线有哪些注意点？ 3.中线呢？ 4.想一想在三角形中除了中线、 角平分线外还有其他线吗？ 1 认识三角形 第4课时 认识三角形（4） 课 堂 小 结 THANK YOU $$ 第一章 三角形 1 认识三角形 第5课时 认识三角形（5） 情 境 导 入 你还记得 “过一点画已知直线的垂线” 吗? 画法 放、 靠、 过、 画。 过三角形的一个顶点，你能画出它的对边的垂线吗? B A C 1 认识三角形 第5课时 认识三角形（5） 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 情 境 导 入 三角形的高 A B C 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线， 顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高。 D 如图, 线段AD是BC边上的高. 任意画一个锐角三角形ABC, 和垂足的字母. A B C 请你画出BC边上的高. 注意 ! 标明 垂直的记号 D 1 认识三角形 第5课时 认识三角形（5） 新 课 探 究 想一想 分别指出图中△ABC 的三条高。 直角边BC上的 高是 ; 边AB 直角边AB上的 高是 ; 边CB A B C D E F A B C D 斜边AC上的 高是 ; BD AB边上的高是 ; CE BC边上的高是 ; AD CA边上的高是 ; BF 新课探究 情境导入 课堂小结 锐角三角形的三条高 每人准备一个锐角三角形纸片。 (1) 你能画出这个三角形的三条高吗? 做一做 (3) 这三条高之间有怎样的位置关系？ 将你的结果与同伴进行交流. 锐角三角形的三条高交于同一点. (2) 你能用折纸的办法得到它们吗? O 锐角三角形的三条高是 在三角形的内部还是外部? 使折痕过顶点，顶点的对边边缘重合 锐角三角形的三条高 都在三角形的内部。 新课探究 情境导入 课堂小结 在纸上画出一个直角三角形。 议一议 将你的结果与同伴进行交流. A B C (1) 画出直角三角形的三条高, 直角边BC上的高是 ; 边AB 直角边AB上的高是 ; 边BC 斜边AC上的高是 ； 直角三角形的三条高交于直角顶点. D 直角三角形的三条高 它们有怎样的位置关系？ BD 新课探究 情境导入 课堂小结 折、画钝角三角形的三条高 在纸上画出一个钝角三角形。 议一议 (2) 你能折出钝角三角形的 三条高吗？ 需要把CB延长。 A C B B A A A A B C D F 为了便于折出AB边上的高， 需要把AB延长。 C C A B C D F C A B C D F E 为了便于折出BC边上的高， 你能画出钝角三角形的三条高吗？ A B C BC边上的高是在三角形的内部还是外部? D AB边上的高呢？ E F 新课探究 情境导入 课堂小结 钝角三角形的三条高 A B C D E F 议一议 A B C D F (3) 钝角三角形的 三条高交于一点吗？ 钝角三角形的 三条高不相交于一点 它们所在的直线交于一点吗？ 将你的结果与同伴进行交流. 钝角三角形的三条高所在直线交于一点 O E 新课探究 情境导入 课堂小结 从三角形中的一个顶点向它的对边所在直线作垂线， 顶点和垂足之间的线段 叫做三角形的高。 三角形的三条高的特性： 高所在的直线是否相交 高之间是否相交 高在三角形内部的数量 钝角三角形 直角三角形 锐角三角形 3 1 1 相交 相交 不相交 相交 相交 相交 三角形的三条高所在直线交于一点 情境导入 课堂小结 新课探究 知识应用 例4 如图,在△ABC中,AD,AF分别是BC边上中线和高, （1）AF是图中哪几个三角形的高？ （2）图中哪两个三角形的面积相等？请说明理由。 A B F D C 新课探究 情境导入 课堂小结 解：（1）AF是△ABC，△ABD，△ABF，△ADF，△ADC和△AFC的高. （2）△ABD与△ADC的面积相等. 因为BD=CD，所以 由三角形的面积公式可知，△ABD与△ADC的面积相等. A B F D C 新课探究 情境导入 课堂小结 拓展练习 2. 如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.锐角三角形 B 3. 三角形的三条高相交于一点，此点定在（ ） A. 三角形的内部 B.三角形的外部 C.三角形的一条边上 D. 不能确定 D 1.下列各组图形中，哪一组图形中AD是△ABC 的高( ) A D C B A B C D A B C D A B C D (A) (B) (C) (D) D 新课探究 情境导入 课堂小结 感悟与反思 通过这节课的学习活动你有哪些收获？ 你还有什么想法吗？ 1 认识三角形 第5课时 认识三角形（5） 课 堂 小 结 THANK YOU $$ 第一章 三角形 1 认识三角形 第3课时 认识三角形（3） 情 境 导 入 若将方屋顶的框架图抽象成一个几何图形，标出字母。聪明的你能表示出哪些三角形？ A F D B E C G 1 认识三角形 第3课时 认识三角形（3） 情 境 导 入 观察发现 观察下面的三角形，你能发现它们各自的边长之间有什么关系吗？ 单击此处添加标题文本内容 情境导入 新课探究 课堂小结 顶角 腰 腰 底角 底角 底边 有两边相等的三角形叫做等腰三角形 三边都相等的的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形 按边分类 形成概念 1 认识三角形 第3课时 认识三角形（3） 新 课 探 究 (1) 元宵节的晚上，房梁上亮起了彩灯，装有黄色彩灯的电线与装有红色彩灯的电线哪根长呢？说明你的理由。 利用你发现的规律填空: AB+AC BC; AB+BC AC; AC+BC AB. A B C A B C A B C (2)在一个三角形中,任意两边之和与第三边的长度有怎样的关系?为什么?由此你能得到什么结论? 议一议 新课探究 情境导入 课堂小结 在A点的小狗，为了尽快吃到B点的香肠，它选择A—B路线，而不选择A—C—B路线，难道小狗也懂数学？ C B A 验证 三角形任意两边之和大于第三边 议一议 新课探究 情境导入 课堂小结 计算每个三角形的任意两边之差，并与第三边比较，你能得到什么结论？ 分别量出下面三个三角形的三边长度，并填入空格内。 a c b a c b a b c a = ， b = ， c = 。 a = ， b = ， c = 。 a = ， b = ， c = 。 三角形任意两边之差小于第三边 验证 新课探究 情境导入 课堂小结 有两根长度分别为5cm和8cm的木棒，用长度为2cm的木棒与它们能摆成三角形吗？为什么？长度为13cm的木棒呢？动手摆一摆。 解题技巧三角形第三边的取值范围是: 两边之差<第三边<两边之和 典例分析 新课探究 情境导入 课堂小结 2.三条线段的长度分别为： （1）3,8,10 （2）5,2,7 （3）5,5,11 （4）13,12,20 能组成三角形的有（ ）组. 1．用两根长度分别为4㎝和7㎝的两根木棒, （1）用长度为2 ㎝的木棒能与它们组成三角形吗?为什么? （2）用长度为11㎝的木棒呢? （3）如果第三边是正整数,那么第三边可能是哪几个数? 练习 新课探究 情境导入 课堂小结 (A) 2a-2b (B) 2a+2b+2c (C) 2b-2c (D) 2a-2c （ ） 拓展训练 新课探究 情境导入 课堂小结 分析：a+b-c可以看作（a+b）-c,b-a-c则可以看作b-(a+c) 由三角形任意两边和大于第三边可得： a+b>c, b<a+c 因此我们有a+b-c>0, b-a-c<0 而由去绝对值法则： 正数的绝对值是它本身， 负数的绝对值是它的相反数， 0的绝对值是0. 新课探究 情境导入 课堂小结 原式=（a+b-c）+（b-a-c） = a+b-c +b-a-c =2b-2c. 解：由题意，我们可以得到 新课探究 情境导入 课堂小结 三角形三边之间的关系： 1.三角形任意两边之和大于第三边; 2.三角形任意两边之差小于第三边. 请你谈一谈: 通过这节课的学习，你对三角形又多了哪些认识? 1 认识三角形 第3课时 认识三角形（3） 课 堂 小 结 THANK YOU $$ 第一章 三角形 1 认识三角形 第2课时 认识三角形（2） 情 境 导 入 下面的图⑴、图⑵、图⑶中的三角形被遮住的两个内角是什么角？试着说明理由。 发现猜想 1 认识三角形 第2课时 认识三角形（2） 情 境 导 入 将图⑶的结果与图⑴、图⑵的结果进行比较，可以将三角形如何按角分类？ 发现猜想 单击此处添加标题文本内容 情境导入 新课探究 课堂小结 1 认识三角形 第2课时 认识三角形（2） 三角形的分类 锐角三角形 三个内角都是锐角 钝角三角形 有一个内角是钝角 直角三角形 有一个内角是直角 按三角形内角的大小把三角形分为三类 新 课 探 究 直角边 直角边 斜边 1.常用符号“Rt∆ABC”来表示 直角三角形ABC。. 2.直角三角形的两个锐角之间 有什么关系？ 直角三角形的两个锐角互余 直角三角形 新课探究 情境导入 课堂小结 如果一个三角形有两个角互余，这个三角形是直角三角形吗？ 根据∠A+∠B+∠C=180°， 因为∠A+∠B=90 °， 所以∠C=90°. 所以，是直角三角形. 想一想 新课探究 情境导入 课堂小结 例2 如图，在△ABC中，D为BC上的一点，∠ADB=90°，∠1=∠B.若按角分类，△ABC是什么形状的三角形？为什么？ 解： △ABC 是直角三角形.理由如下： 因为∠ADB=90°， 所以△ ADB是直角三角形. 所以∠B+ ∠2=90°. 又因为∠1=∠B， 所以∠1+ ∠2=90°，即∠BAC=90 °. 所以△ABC 是直角三角形. 知识应用 新课探究 情境导入 课堂小结 1.观察下面的三角形，并把它们的标号填入相应图内： 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 ③⑤ ①④⑥ ②⑦ 练一练 新课探究 情境导入 课堂小结 2.一个三角形两个内角的度数分别如下,这个三角形是什么三角形? (1)30度和60度; (2)40度和70度; (3)50度和20度; 直角三角形 锐角三角形 钝角三角形 新课探究 情境导入 课堂小结 3.在下面的空白处,分别填入“锐角”“钝角” 或“直角”： （1）如果三角形的三个内角都相等，那么这个三角形是 三角形； （2）如果三角形的一个内角等于另外两个内角之和，那么这个三角形是 三角形； （3）如果三角形的两个内角都小于40度，那么这个三角形是 三角形. 钝角 锐角 直角 新课探究 情境导入 课堂小结 4. 在△ABC中, ∠A:∠B:∠C=2:3:4，则 ∠A= , ∠B= , ∠C= . 5.在△ABC中, ∠A=1/3∠B=1/5∠C,则△ABC 是 三角形. 40° 80° 60° 钝角 新课探究 情境导入 课堂小结 6.已知∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D. ⑴ 图中有几个直角三角形？是哪几个？分别说出它们的直角边和斜边。 ⑵ ∠ACD和∠A有什么关系？∠BCD和∠A呢？ C B A D 新课探究 情境导入 课堂小结 C B A D 解:(1)直角三角形有三个，分别是： Rt∆BDC Rt∆ADC Rt∆ACB 直角边是AC、BC,斜边AB 直角边是AD、CD,斜边AC 直角边是BD、CD,斜边BC 新课探究 情境导入 课堂小结 C B A D 解:(2) ∠ACD和∠A互余, ∠BCD和∠A相等. 因为 ∠ACD＋∠A ＋ ∠ADC =180°， 证明：在Rt∆ADC中,因为 CD⊥AB , 所以∠ADC =90°. 所以 ∠ACD＋∠A =90°. 又因为∠ACD＋ ∠BCD= 90°， 所以∠BCD=∠A. 新课探究 情境导入 课堂小结 一个三角形中会有两个直角吗？可能两个内角是钝角或锐角吗？ 想一想 新课探究 情境导入 课堂小结 1. 已知∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角，∠A＝70°，∠C＝30 °， ∠B＝（ ）. 2. 直角三角形的一个锐角为70°，另一个锐角为（ ）. 80 ° 20 ° 3.在△ABC中，∠A=80°，∠B=∠C，则∠C=（ ）. 4.在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶5，此三角形按角分类应为 （ ）. 50 ° 直角三角形 练一练 新课探究 情境导入 课堂小结 有关三角形的角度计算问题，有两种类型： 一是直接利用三角形的内角和180°进行计算；二是设某一个角为x（或将某一个角视为未知 数），其余的角用x的代数式表示，从而根据题意列出方程（组）求解，这就是“形题数解”。 方法规律 新课探究 情境导入 课堂小结 如图，一艘轮船B按箭头所示方向行驶，C处有一灯塔，请你根据图中所标数据求∠ACB的大小，当轮船距离灯塔C最近时，∠ACB是多少度？ 30 ° 70 ° B C A E 实际问题 新课探究 情境导入 课堂小结 30 ° 70 ° B C A E 解：因为∠ABC+∠CBE= 180°， 所以 ∠ABC= 180°－∠CBE= 180°－ 70°= 110°. 所以在∆ABC中， ∠ACB= 180°－ ∠ABC － ∠A = 180°－ 110° － 30° = 40°. 实际问题 新课探究 情境导入 课堂小结 30 ° 90 ° B C A 解：当轮船距离灯塔C最近时，则有CB⊥AB 即∠ACB = 90° 所以在∆ABC中， ∠ACB= 180°－ ∠ABC － ∠A = 180°－ 90° － 30° = 60°. 实际问题 新课探究 情境导入 课堂小结 1 认识三角形 第2课时 认识三角形（2） 请你谈一谈: 通过这节课的学习，你对三角形又多了哪些认识? 1.三角形按角的大小分类： ⑴锐角三角形 ：三个内角都是锐角； ⑵直角三角形 ：有一个内角为直角； ⑶钝角三角形 ：有一个内角为钝角 。 2.直角三角形的两个锐角互余。 课 堂 小 结 THANK YOU $$