2.3简单的轴对称图形 课件 2024-2025学年鲁教版（五四制）数学七年级上册

第二章 轴对称 3 简单的轴对称图形 第4课时 简单的轴对称图形（4） 情 境 导 入 3 简单的轴对称图形 第4课时 简单的轴对称图形（4） 上节课我们学习了等腰三角形和等边三角形的哪些性质？ 情 境 导 入 等腰三角形的性质： 1.等腰三角形是轴对称图形。 3.等腰三角形的两个底角相等。 2.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称“三线合一”），它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴。 单击此处添加标题文本内容 情境导入 新课探究 课堂小结 等边三角形的性质： 1.等边三角形是轴对称图形。 2.等边三角形每个角的平分线和这个角的对边上的中线、高线重合（“三线合一”），它们所在的直线都是等边三角形的对称轴。等边三角形共有三条对称轴。 3.等边三角形的各角都相等，都等于60° 单击此处添加标题文本内容 情境导入 新课探究 课堂小结 等腰三角形还有哪些性质，大家知道吗？ 1、议一议 如果一个三角形有两边相等，那么这两边所对的角也相等。反过来怎么说？ 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。 这句话对吗？ 3 简单的轴对称图形 第4课时 简单的轴对称图形（4） 新 课 探 究 如图，在△ABC中，如果∠B=∠C，AD是BC边上的高，那么△ABD和△ACD全等吗？边AB和AC相等吗？ 证明：因为AD⊥BC， 所以∠ADB=∠ADC=90 °. 又∠B=∠C ，AD=AD， 所以△ABD≌△ACD（AAS）， 所以AB=AC， 即△ABD和△ACD全等，AB=AC. 结论：如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也相等. 新课探究 情境导入 课堂小结 2、想一想 （1）如果三角形的三个内角都相等，那么这个三角形是什么三角形？ （2）如果一个等腰三角形有一个角是60°，那么这个三角形是什么三角形？ 等边三角形 等边三角形 新课探究 情境导入 课堂小结 3、 如图，将两个大小相同的含30°角的三角尺摆放在一起，所拼成的△ABD是什么三角形？ 你能借助这个图形，找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗？ 等边三角形 结论：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 新课探究 情境导入 课堂小结 （1）如图，已知AD∥BC，BD是∠ABC的平分线，那么△ABD是等腰三角形吗？为什么？ 做一做 是 解：因为BD是∠ABC的平分线， 所以∠ABD= ∠CBD. 又因为AD∥BC， 所以∠ADB= ∠CBD， 所以∠ADB= ∠ABD， 所以 △ABD是等腰三角形. 新课探究 情境导入 课堂小结 （2）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D是边BC延长线上的一点，并且CD=CA，∠ADC=15°，试说明AB与CD的大小关系。 新课探究 情境导入 课堂小结 1、如果三角形的两个内角都是60°，那么这个三角形是 三角形。 2、如图，已知∠A=∠B，DE∥CB，△ADE是等腰三角形吗？说明你的理由。 新课探究 情境导入 课堂小结 3、如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E，DB=10，则AC是多少？ 新课探究 情境导入 课堂小结 本节课的知识点是什么？ 这节课学到了哪些知识？ 最大的收获是什么？ 3 简单的轴对称图形 第4课时 简单的轴对称图形（4） 课 堂 小 结 THANK YOU $$ 第二章 轴对称 3 简单的轴对称图形 第1课时 简单的轴对称图形（1） 情 境 导 入 说一说下列图形哪些是轴对称图形？ 3 简单的轴对称图形 第1课时 简单的轴对称图形（1） 情 境 导 入 线段是轴对称图形吗？如果是，你能找出它的一条对称轴吗？这条对称轴与线段存在着什么关系？ A B 探索1 3 简单的轴对称图形 第1课时 简单的轴对称图形（1） 新 课 探 究 按照下面的步骤做一做： （1）在纸片上画一条线段AB， A B 对折AB使点A，B重合， 折痕与AB的交点为O； O （2）在折痕上任取一点C，沿CA将纸折叠； C （3）把纸展开，得到折痕CA和CB。 A O B C 做一做 新课探究 情境导入 课堂小结 C A O B C （1）CO与AB有怎样的位置关系？ （2）AO与BO相等吗？CA与CB呢？能说明你的理由吗？ 垂直 AO=BO CA=CB 想一想 （3）在折痕上另取一点，再试一试。 新课探究 情境导入 课堂小结 小 结 1、线段是轴对称图形 A B A B 它的一条对称轴就是 对折后能使之完全重合的那条折痕 。 2、线段的对称轴过线段AB的 点。 中 O 3、线段的对称轴与线段AB 。（位置关系） 垂直 4、线段的对称轴上的任意一点C到线段AB的两端点A,B的距离______。 C 相等 新课探究 情境导入 课堂小结 A B A B O 线段的对称轴经过线段的 中点且垂直于这条线段。 C 线段的对称轴上任意一点到这条线段的两端点的距离相等。 新课探究 情境导入 课堂小结 A B 1 线段的对称轴是这条线段的垂直平分线。 O 2 垂直平分线是垂直且平分线段的一条直线。 线段的垂直平分线 3 垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 新课探究 情境导入 课堂小结 探索2 如图，已知线段AB，画出它的垂直平分线. 做一做 新课探究 情境导入 课堂小结 做一做 如图，已知线段AB，画出它的垂直平分线. 作法：(1)以点A为圆心，以大于AB一半的长为半径画弧； (2)以点B为圆心，以同样的长为半径画弧，两弧的交点记为C，D； (3)经过点C，D作直线CD． 直线CD即为所求． 新课探究 情境导入 课堂小结 拓展 1 如图，点C在直线l上，试过点C画出直线l的垂线． 能否利用画线段垂直平分线的方法解决呢？试试看，完成整个作图． 试一试 新课探究 情境导入 课堂小结 以C为圆心，任一线段的长为半径画弧，交l于A，B两点，则C是线段AB的中点．因此，过C画直线l的垂线转化为画线段AB的垂直平分线． 新课探究 情境导入 课堂小结 2.如图，如果点C不在直线l上，试和同学讨论，应采取怎样的步骤，过点C画出直线l的垂线？ 试一试 新课探究 情境导入 课堂小结 (3)以点B为圆心，以CB长为半径在直线另一侧画弧，交前一条弧于点D． 作法：(1)以点C为圆心，以适当长为半径画弧，交直线l于点A,B. (2)以点A为圆心，以CB长为半径在直线另一侧画弧． (4)经过点C,D作直线CD． 则直线CD即为所求． 新课探究 情境导入 课堂小结 练习 1.在△ABC中，BC=10，边BC的垂直平分线分别交AB，BC于点E，D，BE=6，求△BCE的周长． 解：因为DE是线段BC的垂直平分线, 所以EC=EB=6, 所以△BCE的周长为EB+EC+BC=6+6+10=22. 大胆尝试，练一练！ 新课探究 情境导入 课堂小结 2. 如图,AB是△ABC的一条边，DE是AB的垂直平分线，垂足为E，并交BC于点D，已知AB=8cm,BD=6cm,那么EA=_______cm, DA=____cm. 4 6 大胆尝试，练一练！ 新课探究 情境导入 课堂小结 3. 如图，在△ABC中，AB=AC=16cm，AB的垂直平分线交AC于点D，如果BC=10cm，那么△BCD的周长是_______cm. A B C D E 26 大胆尝试，练一练！ 新课探究 情境导入 课堂小结 4. 如图，已知点D在AB的垂直平分线上，如果 AC=5cm,BC=4cm,那么△BDC的周长是（ ） ∟ A D E B C M N A. 6 cm B. 7 cm C. 8 cm D. 9 cm D 大胆尝试，练一练！ 新课探究 情境导入 课堂小结 小结 1. 垂直于一条线段并且平分它的直线叫这条线段的垂直平分线。 2. 线段是轴对称图形，它的垂直平分线是它的一条对称轴 . 3. 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 . 3 简单的轴对称图形 第1课时 简单的轴对称图形（1） 课 堂 小 结 THANK YOU 图24.4.7 图24.4.7 图24.4.8 图24.4.9 图24.4.10 $$ 第二章 轴对称 3 简单的轴对称图形 第3课时 简单的轴对称图形（3） 情 境 导 入 观察下列各种图形，判断是不是轴对称图形,能找出对称轴吗？ 3 简单的轴对称图形 第3课时 简单的轴对称图形（3） 情 境 导 入 认识等腰三角形 单击此处添加标题文本内容 情境导入 新课探究 课堂小结 有两条边相等的三角形叫等腰三角形 ( （ 顶角 底角 底角 腰 腰 底边 ) 单击此处添加标题文本内容 情境导入 新课探究 课堂小结 生活中的等腰三角形 单击此处添加标题文本内容 情境导入 新课探究 课堂小结 1.等腰三角形是轴对称图形吗？找出对称轴。 2.顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？ 3.底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？底边上的高所在直线呢？ 4.沿对称轴对折，你能发现等腰三角形的哪些特征？说说你的理由。 思考 3 简单的轴对称图形 第3课时 简单的轴对称图形（3） 新 课 探 究 拿出你的等腰三角形纸片，折折看，你能发现什么现象？ 等腰三角形是一种特殊的三角形，它除具有一般三角形的性质外，还有一些特殊的性质吗？ 看看你本组其他同学的情况,共同交流, 能得出什么结论? 小组合作交流 新课探究 情境导入 课堂小结 (1)等腰三角形是轴对称图形; (2)∠B =∠C ; (3 )∠BAD＝∠CAD，AD为顶角的平分线; (4)∠ADB=∠ADC=90°，AD为底边上的高; (5 )BD=CD，AD为底边上的中线。 A B C D 归纳现象： 新课探究 情境导入 课堂小结 A B C D 现象(3)、(4)、(5)能用一句话归纳出来吗？ 现象(2)能用一句话归纳出来吗？ 等腰三角形的两个底角相等 等腰三角形的顶角平分线、底边上的高和底边上的中线互相重合（简称“三线合一”） 新课探究 情境导入 课堂小结 A B C D 三线合一 在ΔABC中,因为 AD是角平分线, 所以∠BAD=∠CAD。 在ΔABD和ΔACD中, AB=AC, ∠BAD=∠CAD, AD=AD， 所以ΔABD≌ΔACD， 所以BD=CD, ∠ADB=∠ADC=90˚， 所以AD是ΔABC的角平分线、底边上的中线、底边上的高。 新课探究 情境导入 课堂小结 等腰三角形的特征 1.等腰三角形是轴对称图形 3.等腰三角形的两个底角相等。 2.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称“三线合一”），它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴。 新课探究 情境导入 课堂小结 三边都相等的三角形是等边三角形也叫正三角形. （1）等边三角形是轴对称图形吗？找出对称轴. （2）你能发现它的哪些特征？ 折叠一下试试！ 想一想 新课探究 情境导入 课堂小结 等边三角形的性质： 1.等边三角形是轴对称图形。 2.等边三角形每个角的平分线和这个角的对边上的中线、高线重合（“三线合一”），它们所在的直线都是等边三角形的对称轴。等边三角形共有三条对称轴。 3.等边三角形的各角都相等，都等于60°。 新课探究 情境导入 课堂小结 议一议 你有哪些办法可以得到一个等腰三角形？与同伴交流。 新课探究 情境导入 课堂小结 如图，是由大小不等的等边三角形组成的图案，请找出它的对称轴。 随堂练习1 新课探究 情境导入 课堂小结 如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，顶角∠A=100°那么底角∠B=_______∠C =_______ . 40° 40° 2. 在△ABC中，AB=AC，∠B=72°，那么 ∠A=______ 3. 在等腰三角形ABC中，有一个角为50°，那么另外两个角分别是多少？ B C A 36°. 随堂练习2 新课探究 情境导入 课堂小结 4.如图，在△ABC中，AB=AC时， (1)因为AD⊥BC, 所以∠ ____= ∠_____;____=____. (2) 因为AD是中线, 所以____⊥____; ∠_____=∠_____. (3) 因为 AD是角平分线, 所以____ ⊥____; _____=____. BAD CAD CD BD AD BC BAD CAD AD BC BD CD A B C D 新课探究 情境导入 课堂小结 5. 若 ΔABC是轴对称图形，则它的对称轴一定是（ ） A. 某一条边上的高 B. 某一条边上的中线 C. 平分一角和这个角的对边的直线 D. 某一个角的平分线 C 新课探究 情境导入 课堂小结 6.已知等腰三角形的腰长比底边长多2cm,并且它的周长为16cm,求这个等腰三角形的各边长。 解：设三角形的底边长为xcm,则其腰长为 (x+2)cm，根据题意，得 2(x+2)+x=16， 解得 x=4. 所以等腰三角形三边长为4cm，6cm，6cm. 新课探究 情境导入 课堂小结 如图，P，Q是△ABC边上的两点，BP=PQ=QC=AP=AQ，求∠BAC的度数。 A P B C Q 开动脑筋 新课探究 情境导入 课堂小结 1. 等腰三角形的性质。 2. 等边三角形的性质。 3. 相关计算。 3 简单的轴对称图形 第3课时 简单的轴对称图形（3） 课 堂 小 结 THANK YOU $$ 第二章 轴对称 3 简单的轴对称图形 第2课时 简单的轴对称图形（2） 情 境 导 入 不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角。你有什么办法？ A O B C 再打开纸片 ，看看折痕与这个角有何关系？ （对折） 3 简单的轴对称图形 第2课时 简单的轴对称图形（2） 情 境 导 入 C 结论： 角是轴对称图形，对称轴是角平分线所在的直线. A B O 单击此处添加标题文本内容 情境导入 新课探究 课堂小结 有一个简易平分角的仪器（如图），其中AB=AD,BC=DC,将点A放角的顶点，AB和AD沿AC画一条射线AE,AE就是∠BAD的平分线，为什么？ 对这种可以折叠的角可以用折叠方法得到角平分线，对不能折叠的角怎样得到其角平分线？ 3 简单的轴对称图形 第2课时 简单的轴对称图形（2） 新 课 探 究 证明：在△ACD和△ACB中， AD=AB（已知）， DC=BC（已知）， CA=CA（公共边）， 所以 △ACD≌ △ACB（SSS）， 所以∠CAD=∠CAB（全等三角形的对应角相等）， 所以AC平分∠DAB（角平分线的定义）. A D B C E 新课探究 情境导入 课堂小结 根据角平分仪的制作原理怎样用尺规作一个角的平分线？（不用角平分仪或量角器） O A B C E N O M C E N M 新课探究 情境导入 课堂小结 用尺规作角的平分线的方法 A Ｂ Ｏ Ｍ Ｎ Ｃ 作法： 　１．以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，交OA于点M，交OB于点N． ３．作射线OC． 则射线OC即为所求． 　２．分别以Ｍ，Ｎ为圆心，大于 ＭＮ的长为半径作弧．两弧在∠AOB的内部交于点Ｃ． 新课探究 情境导入 课堂小结 探究： 将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？ 新课探究 情境导入 课堂小结 猜想: 可以看一看,第一条折痕是∠AOB的平分线OC,第二次折叠形成的两条折痕PD,PE是角的平分线上一点到∠AOB两边的距离,这两个距离相等. 角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 探究角平分线的性质 新课探究 情境导入 课堂小结 已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E。 求证：PD=PE。 证明：因为 PD⊥OA，PE⊥OB（已知）， 所以∠PDO=∠PEO=90（垂直的定义）. 在△PDO和△PEO中, 所以 PD=PE（全等三角形的对应边相等）. ∠ PDO= ∠ PEO, ∠ AOC= ∠ BOC, OP=OP, 所以△ PDO≌ △ PEO（AAS）, D P E A O B C 验证猜想 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 新课探究 情境导入 课堂小结 角平分线上的点到角两边的距离相等。 由此得到角平分线的性质： 利用此性质怎样书写推理过程? 新课探究 情境导入 课堂小结 定理：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 用符号语言表示为： A O B P E D 1 2 因为 ∠1= ∠2, PD ⊥OA ，PE ⊥OB, 所以PD=PE (角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等). 推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个。 新课探究 情境导入 课堂小结 角平分线的性质 角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 B A D O P E C 定理应用所具备的条件： （1）角的平分线； （2）点在该平分线上； （3）垂直距离。 定理的作用： 证明线段相等。 新课探究 情境导入 课堂小结 O A B C E D P 辨一辨 如图，OC平分∠AOB，PD与PE相等吗？ 新课探究 情境导入 课堂小结 （1）如图，因为AD平分∠BAC（已知）， 所以 = ，( ) 。 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 BD CD （×） 判断： 新课探究 情境导入 课堂小结 （2） 如图，因为 DC⊥AC，DB⊥AB （已知）， 所以 = ，( ) 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 BD CD （×） 新课探究 情境导入 课堂小结 （3）因为 AD平分∠BAC, DC⊥AC，DB⊥AB （已知） 所以 = ，（ ） DB DC 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 （√） 不必再证全等 新课探究 情境导入 课堂小结 如图， 因为 OC是∠AOB的平分线， 又 ________________ 所以PD=PE ( 角的平分线上的点到角的两边的距离相等). PD⊥OA，PE⊥OB， B O A C D P E 练一练 新课探究 情境导入 课堂小结 已知在△ABC中, ∠C=90°,AD平分∠ CAB,且 BC=8,BD=5,求点D到AB的距离是多少？ A B C D E 你会吗？ 思考： 新课探究 情境导入 课堂小结 ◆这节课我们学习了哪些知识？ 1.“作已知角的平分线”的尺规作图法； 2.角的平分线的性质; 3.角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 因为OC是∠AOB的平分线, 又 PD⊥OA,PE⊥OB， 所以 PD=PE (角的平分线上的点 到角的两边距离相等). E D O A B P C 几何语言: 3 简单的轴对称图形 第2课时 简单的轴对称图形（2） 课 堂 小 结 THANK YOU $$