山西省忻州市2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题

2024—2025学年度第一学期期中 九年级数学 （满分120分，练习时间120分钟） 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下图中的4个图案，是中心对称图形的有（ ） A. ①② B. ①③ C. ①④ D. ③④ 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 且 4. 一元二次方程的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的正根 B. 有两个不相等的负根 C. 没有实数根 D. 有两个相等的实数根 5. 如图是某个二次函数的图象，根据图象可知，该二次函数的表达式是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，是的直径，点C，D是圆上两点，若，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 如图，将一枚圆形铜钱的模型放入一个矩形袋子中，铜钱模型与矩形袋子的下边沿相切于点E，与上边沿交于点F、G，若，，则该圆形铜钱模型的半径为（ ） A. B. C. 3 D. 4 8. 如图，AB为半圆O的直径，现将一块等腰直角三角板如图放置，锐角顶点P在半圆上，斜边过点B，一条直角边交该半圆于点Q．若AB＝2，则线段BQ的长为( ) A. B. C. D. 1 9. 如图，是的切线，切点为，的延长线交于点，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 10. 将一把直尺、一个含60°角的直角三角板和一个光盘按如图所示摆放，直角三角板的直角边AD与直尺的一边重合，光盘与直尺相切于点B，与直角三角板相切于点C，且，则光盘的直径是（ ） A. 6 B. C. 3 D. 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 二次函数的图象经过点．其解析式为________． 12. 抛物线先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线是______． 13. 设实数a，b满足，则______． 14. 已知∠AOB＝30°，P是OA上的一点，OP＝4cm，以r为半径作⊙P．若rcm，则⊙P与OB的位置关系是 _____． 15. 已知点P是圆外一点，过点P引圆的两条切线PA、PB，切点分别为A、B，点C是圆上异于A、B的点，若∠P＝70°，则∠ACB＝_____． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. （1）解方程：． （2）小明在解方程时出现了错误，其解答过程如下： 解：∵，，， 第一步 ∴， 第二步 ∴， 第三步 ∴，． 第四步 ①小明的解答过程是从第______步开始出错的，其错误原因是__________________． ②写出此题正确的解答过程． 17. 如图，将（顶点都在网格的格点上）分别按下列要求画图： （1）向上平移3个单位； （2）绕点O顺时针旋转； 18. 已知，是一元二次方程的两实根. （1）如果，求的值； （2）如果等腰一边长为7，另两边为，，求的周长． 19. 如图，在四边形中，平分．点O在上，以点O为圆心，为半径，作与相切于点B，且过点，延长线交于点E，交于点F，连接， ． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 20. 如图，已知抛物线与x轴交于点，两点，与y轴交于点C，点P是抛物线上在第一象限内的一动点，且点P的横坐标为t． （1）求抛物线的表达式； （2）连接，，，设的面积为S，求S与t的函数表达式，并求S最大时点P的坐标． 21. 如图①，已知是等腰直角三角形，，是等边三角形．将图①中绕点顺时针旋转后得到图②，并连接，设线段与相交于点． （1）求证：； （2）若，求四边形的面积． 22. 根据以下素材，探索完成任务． 素材1 一圆形喷泉池的中央安装了一个喷水装置，通过调节喷水装置的高度，从而实现喷出水柱竖直方向的升降，但不改变水柱的形状．为了美观在半径为米的喷泉池四周种植了一圈宽度均相等的花卉(图1中的阴影部分)． 素材 2 从喷泉口喷出的水柱成抛物线形，如图2 是该喷泉喷水时的一个截面示意图，已知喷水口A离地面高度为米，喷出的水柱在离喷水口水平距离为米处离地面最高，高度为米． 问题解决 任务1 建立模型 以点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，根据素材2求抛物线的函数表达式． 任务2 利用模型 为了提高对水资源的利用率，在欣赏喷泉之余也能喷灌四周的花卉，确定喷水口升高的最小值． 任务 3 分析计算 喷泉口升高的最大值为米，为能充分喷灌四周花卉，请对花卉的种植宽度提出合理的建议． 23. 综合探究 小明同学在学习“圆”这一章内容时，发现如果四个点在同一个圆上（即四点共圆）时，就可以通过添加辅助圆的方式，使得某些复杂的问题变得相对简单，于是开始和同学一起探究四点共圆的条件．小明同学已经学习了圆内接四边形的一个性质：圆内接四边形的对角互补．因此，他想探究它的逆命题是否成立，以下是小明同学的探究过程，请你补充完整． （1）【猜想】“圆内接四边形的对角互补”的逆命题为：________________________________________，如果该逆命题成立，则可以作为判定四点共圆的一个依据． （2）【验证】如图1，在四边形中，，请在图1中作出过点三点的，并直接判断点D与的位置关系．（要求尺规作图，要保留作图痕迹，不用写作法） （3）【证明】已知：如图1，在四边形ABCD中，， 求证：点四点共圆． 证明：过三点作，假设点D不在上， 则它有可能在圆内（如图2），也有可能在圆外（如图3）． 假设点D在内时，如图2，延长交于点E，连结AE， 是的外角，， 四边形ABCE是的内接四边形，， 又，． 这与相矛盾，所以假设不成立，所以点D不可能在内． 请仿照以上证明，用反证法证明“假设点D在外”（如图3）的情形 2024—2025学年度第一学期期中 九年级数学 （满分120分，练习时间120分钟） 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】A 【9题答案】 【答案】D 【10题答案】 【答案】D 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】0或 【14题答案】 【答案】相离 【15题答案】 【答案】55°或125° 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 【16题答案】 【答案】（1），； （2）①一，原方程没有化成一般形式； ②∵，，， ∴ ， ∴， ∴，． 【17题答案】 【答案】（1） 如图，即为所求， （2） 如图所示，即为所求， 【18题答案】 【答案】（1） （2） 【19题答案】 【答案】（1）证明：连接， 平分， ， ，， ，， ，， ， ，， ， ， 与相切于点B， ， ， ， 即， 是的切线； （2） 【20题答案】 【答案】（1）；（2），点P的坐标为． 【21题答案】 【答案】（1） 证明：∵是等腰直角三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴； （2） 【22题答案】 【答案】任务1：；任务 2：喷水口升高的最小值为米；任务3∶建议花卉的种植宽度为米 【23题答案】 【答案】（1）对角互补的四边形能内接于圆．（或：对角互补的四边形是圆的内接四边形） （2）如图1，为所求． 点D在上 （3） 证明：假设点D在外时，如图3， CD交于点E，连结， 是的外角， ． 四边形是的内接四边形， 又， ． 这与相矛盾，所以假设不成立， 所以点D不可能在外． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $