精品解析：黑龙江省哈尔滨第一一三中学2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题

哈113中学2024-2025学年度上学期九年数学 十一月份学业水平反馈 一、选择题：（每题3分，共30分） 1. 下列实数中，是无理数的是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】A选项：是无限不循环小数，故是无理数； B选项：是有理数； C选项：＝3，故是有理数； D选项：＝2，故是有理数； 故选A. 2. 下列运算正确的是（　　） A. （﹣a2）3＝﹣a5 B. a2•a6＝a8 C. 4a2﹣2a2＝2 D. a6÷a2＝a3 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及积的乘方运算法则、合并同类项法则分别化简得出答案． 【详解】解：A、（﹣a2）3＝﹣a6，故此选项错误； B、a2•a6＝a8，正确； C、4a2﹣2a2＝2a2，故此选项错误； D、a6÷a2＝a4，故此选项错误； 故选B． 【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及积的乘方运算、合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键． 3. 如图所示的由六个小正方体组成的几何体的俯视图是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：从上面看易得左边第一列有3个正方形，中间第二列有1个正方形，最右边一列有1个正方形． 故选D． 【点睛】本题考查简单组合体的三视图． 4. 如图，点、、是上的三点，已知，那么的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解本题的关键．根据图形，利用圆周角定理求出所求角度数即可． 【详解】解：与都对，且， ， 故选：C． 5. 如图，中，，于点，若，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了求角的正弦值，先求出，从而得出，即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 6. 如图，一束光线先后经平面镜，反射后，反射光线与平行，当时，的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得：∠ABM=∠OBC， ∠BCO=∠DCN，然后平行线的性质可得∠BCD =70°，即可求解． 【详解】解：根据题意得：∠ABM=∠OBC， ∠BCO=∠DCN， ∵∠ABM=35°， ∴∠OBC=35°， ∴∠ABC=180°-∠ABM-∠OBC=180°-35°-35°=110°， ∵CD∥AB， ∴∠ABC+∠BCD=180°， ∴∠BCD=180°-∠ABC=70°， ∵∠BCO+∠BCD+∠DCN=180°， ∠BCO=∠DCN， ∴． 故选：A 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键． 7. 已知反比例函数的图象经过点，则这个函数的图象位于（ ） A. 第二、四象限 B. 第一、三象限 C. 第三、四象限 D. 第二、三象限 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟知反比例函数的系数k的正负与反比例函数图象的关系是解本题的关键．根据点P的坐标求出反比例函数的系数k，然后根据：，反比例函数图像经过一、三象限；，反比例函数图象经过二、四象限；由此判断即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴将点代入 得， ∴图象过第二、四象限， 故选：A． 8. 把抛物线向下平移2个单位，再向右平移1个单位，所得到的抛物线是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】根据平移概念，图形平移变换，图形上每一点移动规律都是一样的，也可用抛物线顶点移动，根据点的坐标是平面直角坐标系中的平移规律：“左加右减，上加下减.”，顶点（－1，0）→（0，－2）．因此，所得到的抛物线是．故选D． 9. 如图，△ABC中，若DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理找准线段的对应关系，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：∵DE∥BC， ∴＝，BD≠BC， ∴≠，选项A不正确； ∵DE∥BC，EF∥AB， ∴＝，EF=BD，＝， ∵≠， ∴≠，选项B不正确； ∵EF∥AB， ∴＝，选项C正确； ∵DE∥BC，EF∥AB， ∴＝，=，CE≠AE， ∴≠，选项D不正确； 故选C． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理；熟练掌握平行线分线段成比例定理，在解答时寻找对应线段是关键． 10. 如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A（－3，0），对称轴为直线x＝－1．给出四个结论：①b2 ＞ 4ac；②2a＋b=0；③a－b＋c=0；④ abc＜0．其中正确结论有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数与x轴交点个数，判断大小． 根据二次函数对称轴，判断数值． 根据图像，代入特殊值 ，判断的值．根据二次函数对称轴位置、与y轴交点位置判断积的大小． 【详解】解∶ 二次函数与x轴有两个交点， ，，故①选项正确． ，， ，故②选项错误． 将代入得，， 从图像上看，， 故③选项错误． 对称轴，对称轴在y轴左侧，、 同号， ； 抛物线与y轴交点位置在x轴上方， 故④选项错误． 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是掌握二次函数 系数由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与x轴交点个数、与y轴交点位置确定． 二、填空题：（每题3分，共30分） 11. 将1314000用科学记数法表示为________________． 【答案】 【解析】 【分析】利用科学记数法的定义解决．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 函数中，自变量x的取值范围是_____． 【答案】x≠6 【解析】 【分析】根据分母不等于0列式计算即可得解． 【详解】解：由题意得，x﹣6≠0， 解得x≠6． 故答案为x≠6． 【点睛】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 13. 分解因式：＝_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的提取公因式以及因式分解的计算，根据题意先提取公因式，然后再因式分解即可得出答案． 【详解】解： ； 故答案为：． 14. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的性质分别化简，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：=， 故答案为：． 【点睛】此题考查二次根式的性质及化简，合并同类二次根式，正确化简是解题的关键． 15. 不等式组的解集是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了”的原则是解答此题的关键． 先分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即为不等式组的解集． 【详解】解： 由①得，， 由②得，， ∴此不等式组的解集为：， 故答案为：． 16. 一个扇形的弧长为，面积为，则这个扇形的半径是___________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据扇形的面积公式（其中为扇形的弧长，为扇形的半径）即可得． 【详解】设这个扇形的半径为， 则， 解得， 即这个扇形的半径为6， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了扇形的面积公式，熟记公式是解题关键． 17. 已知反比例函数y =，当x>0时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是________ 【答案】m＜﹣2 【解析】 【详解】∵x＞0时，y随x的增大而增大，∴m+2＜0，解得：m＜﹣2， 故答案为m＜﹣2． 18. 按一定规律排列的一组数：，，，，，，（其中为整数），则的值为____． 【答案】113 【解析】 【分析】本题考查了数字的变化规律，能够通过所给的数字，探索数字之间的关系，从而发现规律来求解． 通过观察，，，，，，可得到和的值，进而求解． 【详解】解：由已知可知 ，，，，，， ，， ． 故答案为：113． 19. 等腰三角形内接于，若的半径为5，底，则腰长__________________． 【答案】或##或 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，线段垂直平分线的性质， 先连接，当圆心O在内时，过点O作，于点E，可知是的垂直平分线，根据圆的对称性可知点A，O，E共线，再根据勾股定理求出，即可得出，然后根据勾股定理求出答案； 当圆心O在外时，过点O作，于点E，可知是的垂直平分线，根据圆的对称性可知点E在上，再根据勾股定理求出，即可得出，然后根据勾股定理求出答案． 【详解】如图所示，先连接，当圆心O在内时，过点O作于点E， ∴是的垂直平分线，． 根据圆的对称性可知点A，O，E共线， 在中，根据勾股定理，得， ∴． 在中，根据勾股定理，得； 当圆心O在外时，过点O作，于点E， ∴是的垂直平分线，． 根据圆的对称性可知点E在上， 在中，根据勾股定理，得， ∴． 在中，根据勾股定理，得． 故答案为：或． 20. 如图，四边形的对角线交于点，点在边上，、交于点，连接，为等边三角形，，，，若，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】作于，于，证明，得出，证明，得出，证明，得出，证明为等边三角形，得出，，期初，得出，求出，，得出，证明，由相似三角形的性质可得，即可得解． 【详解】解：如图，作于，于， 则， ∵，， ∴，即， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形外角的定义及性质、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 三、解答题（共计60分，其中21~22题各7分，23~24题各8分，25~27题各10分） 21. 先化简，再求值，其中 【答案】；． 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，求特殊角的三角函数值，括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简，求出的值，代入计算即可得解． 【详解】解： ， 当时，原式． 22. 如图，每个小正方形的边长都是1的方格纸中，有线段和线段，点的端点都在小正方形的顶点上． （1）在方格纸中画出一个以线段为一边的菱形，所画的菱形的各顶点必须在小正方形的顶点上，并且其面积为20． （2）在方格纸中以为底边画出等腰三角形，点在小正方形的顶点上，且的面积为10． （3）在（1）、（2）的条件下，连接，请直接写出线段的长． 【答案】（1） 如图，菱形即为所求； （2）如图，等腰三角形即为所求； （3） 【解析】 【分析】本题考查勾股定理与网格问题，菱形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质： （1）直接利用菱形的性质结合勾股定理得出符合题意的图形； （2）结合等腰三角形的性质及三角形的面积求法得出答案； （3）直接利用勾股定理得出答案． 【小问1详解】 解：由图可知：，高为， ∴菱形的面积等于，满足题意； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 连接如图， 由勾股定理，得：． 23. 如图，在平面直角坐标系中，已知正比例函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）求反比例函数的解析式； （2）是第一象限内直线上方反比例函数图像上一点，过点作轴于点，交于点，连接，若，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的性质等知识点， （1）将代入，可得点A坐标，将代入，即可得解； （2）过作轴于，由四边形为矩形，可得，由横坐标与相同，为3，代入可得，进而即可得解； 熟练掌握其性质，合理添加辅助线是解决此题的关键． 【小问1详解】 将代入得，， 解得，， ∴， 设反比例函数解析式为：， 将代入得，， ∴， 反比例函数解析式为； 【小问2详解】 过作轴于， ， 轴，轴轴， ， 四边形为矩形， ， 纵坐标为1， ， 当时，， ∴， ， 轴，横坐标与相同，为3， ， 当时，， ， ， ， ． 24. 如图，在△ABC 中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F （1）求证：EO=FO； （2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论． 【答案】(1)如图所示， ∵CE平分∠BCA， ∴∠1=∠2， 又∵MN∥BC， ∴∠1=∠3， ∴∠3=∠2， ∴EO=CO， 同理，FO=CO， ∴EO=FO； (2) 当O运动到OA=OC处，四边形AECF是矩形，理由如下： ∵OA=OC，EO=FO， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵CF是∠BCA的外角平分线， ∴∠4=∠5， 又∵∠1=∠2， ∴∠1+∠5=∠2+∠4， 又∵∠1+∠5+∠2+∠4=180°， ∴∠2+∠4=90°， ∴平行四边形AECF是矩形． 【解析】 【分析】（1）由于CE平分∠BCA，那么有∠1=∠2，而MN∥BC，利用平行线的性质有∠1=∠3，等量代换有∠2=∠3，于OE=OC，同理OC=OF，于是OE=OF； （2）OA=OC，那么可证四边形AECF是平行四边形，又CE、CF分别是∠BCA及其外角的角平分线，易证∠ECF是90°，从而可证四边形AECF是矩形． 【详解】解：（1）略 （2）略 【点睛】本题考查平行线的性质、矩形的判定和角平分线的定义，解题的关键是掌握平行线的性质、矩形的判定和角平分线的定义． 25. 某商场经营某种品牌的玩具，购进的单价是20元，根据市场调查，在一段时间内，销售单价是30元时，销售量是220件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具． （1）设该种品牌玩具的销售单价为元，请用的代数式来表示销售量件：________________________； （2）在（1）的条件下，若商场获利了2520元销售利润，求该玩具销售单价应定为多少元？ （3）在（1）的条件下，销售单价应定为多少元时，商场销售该品牌玩具获利最大，最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）或； （3）销售单价定为36元时，获利最大，最大利润是2560元． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用、一次函数的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据题意即可得出答案； （2）根据销售利润单件利润销售量列出方程即可解答； （3）根据销售利润单件利润销售量得出函数关系式，再根据二次函数的性质即可得解． 【小问1详解】 解：由题意得：； 【小问2详解】 解：由题意得：， 解得，，， 故该玩具销售单价应定为或元； 【小问3详解】 解：设获利元． ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； 故销售单价定为36元时，获利最大，最大利润是2560元． 26. 已知内接于，于点，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，延长交于点，连接交于点，，求证：； （3）在（2）的条件下，延长至点，连接交于点，连接，连接并延长交于点，，，，求的半径长． 【答案】（1） 证明：延长交于，连 过， 即是的直径， ∴ 在中， ， ， ∵， ∴， ， 即； （2） 证明：如图：连 设， ， 在中， 则 ， ， ， ∵弧弧， ， ， 在中，， ，， ， ， 在中，， ， ； （3）． 【解析】 【分析】（1）由圆周角定理得，结合直角三角形的两个锐角互余以及圆周角定理得出，即可作答． （2）由等边对等角以及三角形的内角和性质，得出，根据圆周角定理得，由等边对等角得，最后根据三角形的内角和性质列式计算化简，即可作答． （3）先得出垂直平分，再证明，结合，，则，，，因为，且结合圆周角定理以及角的等量代换证明，因为，算出，，因为是直径，则，运用勾股定理列式计算，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：依题意，分别延长交于点，再连接， ∵，， ∴都在的垂直平分线上， 故垂直平分， ， ∵ ∴ ∵ ∴ 即， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ，， ∵，且由（2）得， ∴， ∵， ∴， ∴， 则， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴（等角对等边）， 则设， ∵， 则， ∵是的直径， 则， 中，， 则，， ， 设 （圆周角定理） ∵ ， ， ， 则， ， 则， ， 在中， 即 ， ， ， ， ， ， 在中，， 设， 则， 解得， ∴，， ∵是直径， ∴， ∵， ∴，且， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，垂直平分线的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，三角形内角和，全等三角形的判定与性质，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 27. 如图，在平面直角坐标系中抛物线经过点，，点为抛物线顶点． （1）如图1，求的值； （2）如图2，横坐标为的点在第一象限对称轴右侧抛物线上，连接、、，的面积为，求与之间的函数关系式，直接写出自变量的取值范围； （3）在（2）的条件下，交轴于点，连接，点在线段上，且在上方，连接、，，，点在第四象限抛物线上，连接，，，求线段的长． 【答案】（1） （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得解； （2）将抛物线解析式化为顶点式得出，待定系数法求出直线的解析式为，作轴交于，设，求出，得到，再根据计算即可得解； （3）过点作轴于，过点作于，作轴于，作对称轴，作于，作于，轴于，证明，得出，进而得出，求出为等腰直角三角形，得到，进而得出为等腰直角三角形，即，推出，证明，得出，推出为等腰直角三角形，表示出，得出，由平行线分线段成比例定理得出，求出，得到，则，证明为等腰直角三角形，得出，设，则，，求出，得到，则，设，计算得出，再由勾股定理计算即可得解． 【小问1详解】 解：∵在平面直角坐标系中抛物线经过点，， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：由（1）可得：抛物线解析式为， ∵， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 如图，作轴交于， 设，则点的纵坐标为， 在中，令，则， 解得：，即， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，过点作轴于，过点作于，作轴于，作对称轴，作于，作于，轴于， ， 则， ∵， ∴， ∴， 由（2）可得：， ∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 在中，令，则，即， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，则， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，，，， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）或， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数综合—面积问题、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈113中学2024-2025学年度上学期九年数学 十一月份学业水平反馈 一、选择题：（每题3分，共30分） 1. 下列实数中，是无理数的是( ) A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（　　） A. （﹣a2）3＝﹣a5 B. a2•a6＝a8 C. 4a2﹣2a2＝2 D. a6÷a2＝a3 3. 如图所示的由六个小正方体组成的几何体的俯视图是( ) A. B. C. D. 4. 如图，点、、是上的三点，已知，那么的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，中，，于点，若，则的值是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，一束光线先后经平面镜，反射后，反射光线与平行，当时，的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 已知反比例函数的图象经过点，则这个函数的图象位于（ ） A. 第二、四象限 B. 第一、三象限 C. 第三、四象限 D. 第二、三象限 8. 把抛物线向下平移2个单位，再向右平移1个单位，所得到的抛物线是 A. B. C. D. 9. 如图，△ABC中，若DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式正确的是( ) A. B. C. D. 10. 如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A（－3，0），对称轴为直线x＝－1．给出四个结论：①b2 ＞ 4ac；②2a＋b=0；③a－b＋c=0；④ abc＜0．其中正确结论有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：（每题3分，共30分） 11. 将1314000用科学记数法表示为________________． 12. 函数中，自变量x的取值范围是_____． 13. 分解因式：＝_____________． 14. 计算：______． 15. 不等式组的解集是__________． 16. 一个扇形的弧长为，面积为，则这个扇形的半径是___________． 17. 已知反比例函数y =，当x>0时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是________ 18. 按一定规律排列的一组数：，，，，，，（其中为整数），则的值为____． 19. 等腰三角形内接于，若的半径为5，底，则腰长__________________． 20. 如图，四边形的对角线交于点，点在边上，、交于点，连接，为等边三角形，，，，若，则________． 三、解答题（共计60分，其中21~22题各7分，23~24题各8分，25~27题各10分） 21. 先化简，再求值，其中 22. 如图，每个小正方形的边长都是1的方格纸中，有线段和线段，点的端点都在小正方形的顶点上． （1）在方格纸中画出一个以线段为一边的菱形，所画的菱形的各顶点必须在小正方形的顶点上，并且其面积为20． （2）在方格纸中以为底边画出等腰三角形，点在小正方形的顶点上，且的面积为10． （3）在（1）、（2）的条件下，连接，请直接写出线段的长． 23. 如图，在平面直角坐标系中，已知正比例函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）求反比例函数的解析式； （2）是第一象限内直线上方反比例函数图像上一点，过点作轴于点，交于点，连接，若，求的面积． 24. 如图，在△ABC 中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F （1）求证：EO=FO； （2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论． 25. 某商场经营某种品牌的玩具，购进的单价是20元，根据市场调查，在一段时间内，销售单价是30元时，销售量是220件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具． （1）设该种品牌玩具的销售单价为元，请用的代数式来表示销售量件：________________________； （2）在（1）的条件下，若商场获利了2520元销售利润，求该玩具销售单价应定为多少元？ （3）在（1）的条件下，销售单价应定为多少元时，商场销售该品牌玩具获利最大，最大利润是多少元？ 26. 已知内接于，于点，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，延长交于点，连接交于点，，求证：； （3）在（2）的条件下，延长至点，连接交于点，连接，连接并延长交于点，，，，求的半径长． 27. 如图，在平面直角坐标系中抛物线经过点，，点为抛物线顶点． （1）如图1，求的值； （2）如图2，横坐标为的点在第一象限对称轴右侧抛物线上，连接、、，的面积为，求与之间的函数关系式，直接写出自变量的取值范围； （3）在（2）的条件下，交轴于点，连接，点在线段上，且在上方，连接、，，，点在第四象限抛物线上，连接，，，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $